variantie: achtergronden en berekening

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "variantie: achtergronden en berekening"

Henriette de Veen
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is er ook een snellere formule (Hays 1973: 38). De formule is gebaseerd op de populatie-variantie (d.w.z. delen door ). Het gebruik van de hoofdletter S komt ter sprake in de volgende paragraaf. S (Xi X) X X (1) Er is ook een snellere formule om de steekproef -variantie uit te rekenen (d.w.z. delen door 1). Deze formule is gegeven bij (16) hieronder, na uitleg van de verschillen tussen beide varianties. variantie van steekproef en van populatie Statistische grootheden (zoals gemiddelde en variantie) worden op twee manieren gebruikt in de statistiek. 1. Om eigenschappen van een steekproef samen te vatten, dus om de steekproef te beschrijven ( descriptive ). 1

2 . Om uit de steekproef iets af te leiden over de populatie waaruit de steekproef afkomstig is ( inferential ). De statistische grootheden worden dan gebruikt als schatters ( estimators ) van eigenschappen van de populatie. Hiervoor is het essentieel dat de steekproef willekeurig (at random) getrokken is uit de populatie. De verwarring bij de twee formules voor het berekenen van de variantie (met danwel met 1) komt voort uit het verschillend gebruik van de variantie. Om de steekproef te beschrijven kunnen we volstaan met het berekenen van S (hoofdletter, ongecorrigeerd, delen door ). Als je de steekproef-variantie wilt gebruiken als schatting voor de populatie-variantie, dan moet er een correctie worden toegepast op S. Die correctie komt erop neer dat je niet moet delen door, maar door 1. Het resultaat wordt aangeduid met s (kleine letter, gecorrigeerd, delen door 1). Hieronder in. wordt dat gemotiveerd en toegelicht. Voor de duidelijkheid bespreek ik eerst in.1 een statistische grootheid die niet gecorrigeerd hoeft te worden..1 voorbeeld van unbiased schatting: gemiddelde De geschatte waarde voor het steekproef-gemiddelde (X) wordt gevormd door het populatie-gemiddelde (µ), zoals blijkt uit de volgende afleiding. Hierbij duidt E(Q) de schatting ( estimate of expected ) aan voor Q. Merk op dat de redenering eigenlijk andersom verloopt: we proberen aan te tonen dat het geschatte steekproef-gemiddelde gelijk is aan het populatie-gemiddelde. ( ) X1 + X X i X E(X) E Per definitie geldt dat E(X i) () E(X i ) µ (3) want de steekproef is immers willekeurig (random) getrokken uit de populatie. Dus E(X) µ µ (4) Zo zien we dat de verwachte waarde van (X) gevormd wordt door het populatie-gemiddelde µ. Bij een voldoende grote steekproef, of bij herhaalde steekproeven, zal het steekproef-gemiddelde X gelijk zijn aan het populatiegemiddelde µ. Omgekeerd vormt X dus een goede schatting voor de waarde van het populatie-gemiddelde µ. Er hoeft dus geen correctie op toegepast te worden.

3 . voorbeeld van biased schatting: variantie Bij het gebruik van de steekproef-variantie als schatter ligt het ingewikkelder. We doen alsof onze neus bloedt, en beginnen het verhaal met de ongecorrigeerde steekproef-variantie, aangeduid met hoofdletter S (d.w.z. delen door ). Je zou willen dat de verwachte steekproef-variantie E(S ) gelijk is aan de populatie-variantie σ. Uit de afleiding hieronder blijkt dat echter niet het geval te zijn. ( ) X E(S ) E X (5) volgens formule (1) hierboven. ( ) X E(S ) E E (X ) }{{}}{{} (6) volgens afleiding bij Hays (1973, p.74). E(S ) (σ + µ ) (σ X + µ ) (7) E(S ) σ σ X (8) De verwachte steekproef-variantie S is dus niet gelijk aan de populatievariantie σ. Omgekeerd vormt de S dus een biased estimate voor de σ, d.w.z. géén goede schatting maar een schatting-met-afwijking. De afwijking heeft de omvang van de standard variance of the (population) mean, σ. Deze grootheid is gedefinieerd (volgens Ferguson & Takane, formule 9., X p.154) als ormaliter geldt dat deze Daaruit volgt dus dat σ X σ (9) σ X > 0 (10) E(σ X ) < σ (11) m.a.w. de steekproef-variantie S is kleiner dan de populatie-variantie σ. De omvang van het verschil is onbekend, omdat de grootheid σ een eigenschap X is van de populatie. We weten dus nog niet hoeveel onze schatting naast de waarheid σ zit. 3

4 Ben je nog bij de les? Goedzo! Dan kunnen we nu gaan bepalen hoeveel kleiner de steekproef-variantie S is. Als we dat weten, kunnen we immers S gaan corrigeren zodat we een goede (unbiased) schatting verkrijgen van de populatie-variantie σ. Deze afleiding (ontleend aan Hays, 1973, 7.14) begint met het combineren van formules (8) en (9): E(S ) σ σ (1) u volgt er een belangrijke stap, die toegelicht wordt in de Appendix om de afleiding hier niet te compliceren: E(S ) 1 σ (13) Op grond van (13) weten we dus dat de steekproef-variantie kleiner is dan de populatie-variantie, en dat de verhouding tussen beide grootheden 1 is. De oplossing voor het bepalen van een unbiased schatting ligt daarmee voor de hand: corrigeer de schatting met deze gevonden verhouding. Het resultaat is een gecorrigeerde steekproef-variantie, aangeduid met kleine letter s. E(s ) 1 E(S ) 1 1 σ σ (14) Deze gecorrigeerde steekproef-variantie s vormt dus wèl een goede schatting van de populatie-variantie σ. Bij een voldoende grote steekproef, of bij herhaalde steekproeven, zal de steekproef-variantie s bij benadering gelijk zijn aan de populatie-variantie σ. u we dit allemaal weten, kunnen we de gecorrigeerde steekproef-variantie s ook rechtstreeks uitrekenen, dus niet via S. Dat uitrekenen doen we met de bekende formule (15). Daaronder staat een snellere formule (16) voor als je met de hand rekent, zie ook (1) hierboven. s (Xi X) 1 (15) s X 1 ( X) ( 1) (16) 4

5 Appendix Referenties E(S ) σ E(S ) σ σ σ σ σ ( 1) σ ((1) herhaald) (17) E(S ) 1 σ ((13) herhaald) [1] Ferguson, G.A., & Takane, Y. (1989). Statistical Analysis in Psychology and Education (6th ed.). ew York: McGraw-Hill. [] Hays, W.L. (1973). Statistics for the Social Sciences. ew York: Holt, Rinehart and Winston. 5

Vergelijkbare documenten

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties