Statistiek ( ) ANTWOORDEN eerste tentamen

Transcriptie

1 Statistiek ( ) ANTWOORDEN eerste tentamen studiejaar , blok 4; Taalwetenschap, Universiteit Utrecht. woensdag 18 mei 2011, 17:15-19:00u, Kromme Nieuwegracht 80, zaal Schrijf je naam en student-nummer op elk vel papier dat je inlevert. Dit tentamen bestaat uit vier vragen op 3 pagina s. Je mag deze door elkaar beantwoorden. Er is nog een extra vraag 5, die telt niet mee in de beoordeling. Vermeld bij ieder antwoord het nummer van de corresponderende vraag. Dit is een open-boek-tentamen, waarbij je gebruik mag maken van: het boek van Peck & Devore, Statistics etc, het boek van De Vocht, Basishandboek SPSS 16 etc, je aantekeningen, een (grafische) rekenmachine, de practicum-handleiding. Je mag niet gebruik maken van mobiele telefoon, tablet-computer, laptop e.d. In dit tentamen wordt als decimaal symbool een punt gebruikt: liter is gelijk aan 1 liter plus 10 milliliter. Geef vooral beknopte en kernachtige antwoorden. Goed geformuleerde, bondige antwoorden leveren meer punten op dan breedsprakige. Dit tentamen weegt mee voor 2 van de 10 punten van je eindcijfer. Vraag 1 t/m 4 van dit deeltentamen wegen elk even veel. Vraag 5 weegt niet mee. Veel succes! 1. De onderstaande 10 kenmerken behoren bij (a) een observationele studie, of (b) een experiment, of (c) bij zowel een observationele studie als een experiment. Geef van ieder kenmerk aan bij welk soort studie het hoort, d.m.v. letters a of b of c. (1) steekproef, (2) interne validiteit, (3) correlatie, (4) toevallige (random) toewijzing aan condities, (5) blocking, (6) aantoonbare causaliteit, (7) toevallige (random) selectie van eenheden, (8) afhankelijke variabele, (9) meerdere observaties (replicatie), (10) storende variabele. 1c, 2c, 3a, 4b, 5b, 6b, 7c, 8b of 8c, 9c, 10c 1

2 2. a. Hoeveel verschillende ordeningen zijn er mogelijk van 17 successen over 20 pogingen? (Hint: hoeveel verschillende ordeningen zijn er mogelijk van 17 zitkussens over 20 harde stoelen? Alle kussens zijn identiek, maximaal 1 kussen per stoel). aantal mogelijke ordeningen van x = 17 successen over n = 20 pogingen, zie p.731. ( ) n x = n C x = n! = 20! = ! = = 6840 = 1140 x!(n x)! 17!3! 17!3! b. Als de kans op succes p = 0.8 is, wat is dan de kans op 17 successen in 20 pogingen? Geef ook aan hoe je aan je antwoord bent gekomen. Zie binomiaalverdeling, 7E:p732, 6E:p696. P (x = 17) = (aantal ordeningen) (.8 17 ) (.2 3 ) = =.2054 Je kunt het antwoord ook opzoeken in Table 9 (7E:p757, 6E:p721): n = 20, p = 0.8, x = 17, dan P (x = 17) = Hemelvaartsdag 2010 (13 mei 2010) was een koude dag, met een maximum temperatuur van 9.2 C in De Bilt. Hieronder zie je een histogram en cumulatieve frequentieverdeling van de maximum temperatuur op Hemelvaartsdag, voor het tijdvak 1901 t/m a. Hoeveel jaren zitten er in dit tijdvak? = 110 jaren, de toevoeging +1 omdat het tijdvak tot en met het laatste jaar loopt. b. Wat is de proportie van jaren met een maximum temperatuur onder 9.5 C op Hemelvaartsdag? Dit is af te lezen uit het histogram. Precies 1 jaar is kouder dan 9.5 C. Een bin voor x C omvat de temperatuur van (x 0.5) tot (x + 0.5). P = 1/110 = c. Laat zien dat deze temperaturen bij benadering normaal verdeeld zijn, met x = 17.6 en s = 4.3. Gebruik daarbij de onderstaande figuren, en de Empirical Rule. 2

3 Het histogram lijkt behoorlijk op normale verdeling, o.a. qua symmetrie. We mogen dus de Empirical Rule gebruiken (7E:p193, 6E:p172). Dan moet ongeveer 68% van observaties liggen tussen 17.6 ± 4.3, dus als x = 13.3 dan moet cumulatieve proportie ongeveer =.16 zijn: dat klopt, zoals de hulplijnen in de CDF laten zien. Als x = 21.9 dan moet cumulatieve proportie ongeveer =.84 zijn: dat klopt ook, zoals de hulplijnen in de CDF ook laten zien. Je kunt ook laten zien dat ongeveer 95% van de observaties moet liggen tussen 17.6 ± (2 4.3). Dat is wat lastiger te zien in de CDF (zonder hulplijnen) maar het klopt wel ongeveer. d. Wat is volgens de normaalverdeling de kans op een Hemelvaartsdag met een maximum temperatuur 9.5 C? Gebruik grenswaarde x = 9.5. De bijbehorende standaardscore is z = ( ) 8.1 = Bijbehorende waarschijnlijkheid opzoeken in tabel in achterkaft: 4.3 z = 1.88, P = = De geobserveerde proportie P =.009 is dus wat lager dan de verwachte proportie ˆP =

4 Hemelvaartsdag 1901 t/m 2010 aantal jaren proportie maximum temperatuur (gr.c) maximum temperatuur (gr.c) Gegevens: Hemelvaartsdag 2011 valt op donderdag 2 juni a.s. 4

5 4. Om het Europese estimated-teken ( ) te mogen vermelden op de verpakking van een product, moet de fabrikant van dat product aan bepaalde eisen voldoen. De gemiddelde inhoud mag niet lager zijn dan de vermelde inhoud, en de inhoud mag nooit lager zijn dan de vermelde inhoud minus 3%. Laten we aannemen dat een fabrikant voldoet aan die laatste eis als er minder dan 1 op de (1:miljoen) verpakkingen te weinig inhoud heeft. Fabrikant X vult haar verpakkingen met een vulmachine die gemiddeld µ = liter afgeeft, met σ = liter. De afgeleverde inhoud is normaal verdeeld. a. Hoeveel liter moet iedere verpakking ten minste bevatten? Geef je antwoord in 3 decimalen (d.w.z. tot op milliliter nauwkeurig). De vraag vermeldt niet heel duidelijk dat de bedoelde inhoud precies 1 liter is, hoewel dat wel blijkt uit vraag (e) hieronder. Je kunt de vragen (a,b,c) op twee manieren uitwerken: (i) met een bedoelde inhoud van 1 liter = 1000 ml, of (ii) met een bedoelde inhoud van 1010 ml. Beide uitwerkingen worden goed gerekend. (i) % = = liter (ii) % = = liter b. Met welke z-score van de vulmachine correspondeert die minimale inhoud? (i) z = x x s (ii) z = x x s = = = = = = c. Hoe groot is de kans dat de vulmachine van X een verpakking vult met onvoldoende inhoud? Kans opzoeken in tabel voor normaalverdeling in achterkaft. (i) z = 2.00, P =.0228 (ii) z = 1.515, P =.0649, precies tussen getabuleerde P -waarden in. d. De vulmachine wordt gecontroleerd door een steekproef van 100 willekeurig geselecteerde verpakkingen na te meten. Wat is de kans dat het 5

6 gemiddelde van deze steekproef kleiner is dan liter? Volgens het Centraal Limiet Theorema (7E:p395, 6E:p353) hebben de gemiddelden een normale verdeling, met x = en s x = s/ n = 0.020/10 = De kritieke waarde x = correspondeert dus met z = De bijbehorende kans staat niet in de tabel in achterkaft, maar we weten wel dat z < 3.8 en dus P < In werkelijkheid P e. Mag X de aanduiding inhoud 1 liter vermelden op de verpakking? Motiveer je antwoord. Aan de eerste eis is wel voldaan. De vulmachine heeft µ en de kans dat een steekproef van n = 100 verpakkingen een gemiddelde oplevert van x < is extreem klein, P = , zoals uitgerekend bij vraag (d). Aan de tweede eis is niet voldaan. De kans dat een verpakking onvoldoende inhoud bevat is (i) P =.0228 of (ii) P =.0649, zoals uitgerekend bij vraag (c), en die kans is veel groter dan de vereiste P Omdat niet voldaan is aan beide eisen, mag het Europese teken niet vermeld worden op deze verpakkingen. f. [BONUS] Geef een korte omschrijving van twee factoren die mogelijk bijdragen aan de standaarddeviatie van de vulmachine. samenstelling van het product; temperatuur en dichtheid van het product; temperatuur en vochtigheid in omgeving; volume-meetfout van vulmachine; menselijke fouten in afstelling van machine; leeftijd van de vulmachine. Hier eindigt het tentamen. Beantwoord a.u.b. ook onderstaande vraag over jouw inschatting van je prestaties. Deze vraag telt niet mee in de beoordeling. 5 a. Wat is jouw schatting van je cijfer voor dit deeltentamen? b. Wat is jouw schatting van je eindcijfer voor de gehele cursus? Bij voorbaat dank voor je moeite! 6