TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Biostatistiek (2S390) op maandag ,

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Biostatistiek (2S390) op maandag , uur ƒbij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en van een onbeschreven Statistisch Compendium. ƒde antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. ƒer zijn 5 vraagstukken met in totaal 21 onderdelen. ƒelk onderdeel wordt gewaardeerd met 2 punten, behalve opgave 4c met 4 punten en opgave 4e met 3 punten. Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4.5 te delen. ƒtenzij anders vermeld wordt in dit tentamen steeds getoetst op een 5% significantieniveau Gegeven is de functie f( x) =, 10 x 30 2 x a. Toon aan dat door f een kansdichtheid gedefinieerd wordt. b. Bereken de verwachting en variantie van een stochastische variabele X met kansdichtheid f. c. Bereken de cumulatieve verdelingsfunctie F. d. Stel dat f de verdeling van de dikte van een verflaag weergeeft. De verf kost fl. 0.1 per dikte eenheid per m 2. Geef de verwachting en de variantie van de kosten voor de verf per m Het aantal stofdeeltjes na het spuiten op de motorkap van de Volvo V70 is Poisson verdeeld met kansdichtheid: 5 x e 5 f( x) =, x = 0,1, 2,3,... x! a. Geef de verwachting en de variantie van het aantal stofdeeltjes per motorkap. b. Hoe groot is de kans dat het aantal stofdeeltjes op 1 motorkap groter is dan 2? c. Hoe groot is de kans dat het totaal aantal stofdeeltjes op 2 motorkappen groter is dan 4? d. Hoe groot is de kans dat het totaal aantal stofdeeltjes op 4 motorkappen groter is dan 8? 3. X 1, X 2, X 3 is een aselecte steekproef uit een normale verdeling met verwachting µ en variantie σ 2. a. Zijn (X 1 + X 2 + X 3 )/3 en (3X 1-2X 3 ) zuivere schatters van µ? b. Welke van de twee prefereert u, en waarom?

2 4. Symbiose is een in de natuur veel voorkomend verschijnsel waarbij verschillende levensvormen tot wederzijds voordeel in elkaars onmiddellijke nabijheid leven. Zo kunnen schimmels mineralen uit de bodem opnemen en deze vervolgens doorgegeven aan de wortels van een boom. Omgekeerd levert dezelfde boom suikers aan de schimmel. Om na te gaan of de aanwezigheid van de schimmel Pisolithus tinctoris een gunstig effect heeft op de groei van de rode eik werden 20 jonge ontkiemde zaadjes van deze boomsoort geplant in een kweekkas met een gesteriliseerde voedingsbodem. De omstandigheden waaronder de boompjes groeiden waren voor alle boompjes nagenoeg dezelfde, d.w.z. gelijke hoeveelheid licht, temperatuur, zuurstof/kooldioxide verhouding, homogene voedingsbodem en constante vochtigheidsgraad van lucht en bodem. Bij het planten van de boompjes werd bij 10 exemplaren de bodem geïnjecteerd met een wateroplossing met het mycelium van de schimmel. De overige plantjes kregen geen extra behandeling (controle groep). Na 500 dagen werd van ieder boompje het gewicht van de stam in grammen bepaald. Het resultaat van deze metingen ziet u in onderstaande tabel. Controle Behandeld Analyse van de meetresultaten leverde o.a. de uitvoer op zoals weergegeven in de bijlage In deze bijlage stellen de waarden van de variabele BEHANDELD resp. CONTROLE de gewichten voor in de behandelde groep resp. niet behandelde groep. Bij het beantwoorden van de diverse onderdelen van deze opgave mag u gebruik maken van de resultaten van de analyse zoals weergegeven in de bijlage. a. Geef aan de hand van de resultaten in de bijlage aan of aanname van normaliteit in beide groepen redelijk is. Motiveer uw antwoord. b. Bereken een puntschatting en een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het verwachte gewicht in de behandelde groep. c. Toets de veronderstelling dat de aanwezigheid van de schimmel een gunstige invloed heeft op de ontwikkeling van de rode eik. Geef de beide hypothesen, de toetsingsgrootheid, het beslissingscriterium van de toets, en uiteraard uw conclusie. U mag er vanuit gaan dat de varianties in beide populaties gelijk zijn. d. Veronderstel nu dat de variantie in beide populaties 35 bedraagt. Bereken een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het verwachte verschil in gewicht tussen controlegroep en behandelde groep. e. Veronderstel weer dat de variantie in beide populaties 35 bedraagt. Ga er vanuit dat de omvang van de behandelde en de controlegroep steeds gelijk is. Men wil nu met een betrouwbaarheid van 95% het werkelijke gewichtsverschil tussen beide populaties schatten met een maximale fout van 3 gram. Bereken de hiervoor benodigde omvang van de groepen.

3 5. Corrosie van ijzer in gewapend beton is het belangrijkste duurzaamheidsprobleem bij betonconstructies. Verkoling van beton ontstaat uit een chemische reactie waarbij de phwaarde voldoende laag wordt om de corrosie te laten beginnen. Van een steekproef van betonmonsters van een gebouw werden sterkte (y in MPa) en carbonisatiediepte (x in mm) gemeten. Daarbij wordt er vanuit gegaan dat het verband tussen de twee variabelen lineair is. Uitvoer van Statgraphics is hieronder gegeven. a. Geef het regressiemodel met de modelveronderstellingen. b. Hoe groot is het aantal waarnemingen n? c. Bereken een schatting van de restvariantie σ 2 en toon aan dat de kwadratensom 2 Sxx = ( xi x) gelijk is aan d. Geef het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de helling. e. Toets de nulhypothese dat de helling nul is. Is dit resultaat in overeenstemming met onderdeel d.? f. Toon aan dat een betrouwbaarheidsinterval voor de verwachte respons (sterkte) bij een zekere instelling (carbonisatiediepte) breder wordt naarmate deze verder afligt van het gemiddelde x.

4 Bijlage bij opgave 4 Summary Statistics for CONTROLE Count = 10 Average = 37.5 Variance = Standard deviation = Minimum = 28.0 Maximum = 47.0 Range = 19.0 Stnd. skewness = Stnd. kurtosis = percentage Normal Probability Plot for CONTROLE CONTROLE Summary Statistics for BEHANDELD Count = 10 Average = 42.9 Variance = Standard deviation = Minimum = 35.0 Maximum = 52.0 Range = 17.0 Stnd. skewness = Stnd. kurtosis =

5 percentage Normal Probability Plot for BEHANDELD BEHANDELD Box-and-Whisker Plot CONTROLE BEHANDELD