Opgave 1: (zowel 2DM40 als 2S390)

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Biostatistiek voor BMT (DM4 en S39) op donderdag, uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en van een onbeschreven Statistisch Compendium. De antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. In het bijzonder dienen bij statistische toetsen expliciet hypothesen, toetsings-grootheden, relevante steekproefverdelingen en steekproefresultaten vermeld te worden. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Er zijn 5 vraagstukken met in totaal onderdelen. Elk onderdeel wordt gewaardeerd met 5 punten. Het eindcijfer wordt berekend door het totaal door te delen. LET OP: Bij opgave 3e, 4d en opgave 5 zijn er twee varianten, een voor deelnemers aan het tentamen DM4 (biostatistiek - cursus 7-8), een voor deelnemers aan het tentamen S39 (biostatistiek oude versie). Deelnemers aan het tentamen S39 mogen, naar eigen keuze, in plaats van de S39-variant ook de DM4-variant maken. Wel moeten zij duidelijk per opgave aangeven welke variant zij kiezen! Opgave : (zowel DM4 als S39) Uit een studie naar de erfelijkheid van hoge bloeddruk zijn de volgende gegevens bekend: De kans dat de vader hoge bloeddruk heeft is.3. Als de vader hoge bloeddruk heeft is de kans dat de moeder hoge bloeddruk heeft.6. Als de vader geen hoge bloeddruk heeft is de kans dat de moeder hoge bloeddruk heeft.. Bovendien is uit deze studie bekend: Als beide ouders hoge bloeddruk hebben is de kans op hoge bloeddruk bij het oudste kind:.5. Als de moeder hoge bloeddruk heeft, maar de vader niet is de kans op hoge bloeddruk bij het oudste kind:.3. Als de moeder geen hoge bloeddruk heeft maar de vader wel is de kans op hoge bloeddruk bij het oudste kind:.5. Als geen van beide ouders hoge bloeddruk heeft is de kans op hoge bloeddruk bij het oudste kind:.4. Druk bij het oplossen van deze opgave relevante gebeurtenissen uit in termen van de elementaire gebeurtenissen MV,, K: M={moeder heeft hoge bloeddruk}, V={vader heeft hoge bloeddruk}, K={oudste kind heeft hoge bloeddruk}. en de bijbehorende complementaire gebeurtenissen MV,, K. Geef telkens expliciet aan welke kansregel(s) je toepast. a. Beargumenteer of hoge bloeddruk van de vader en hoge bloeddruk van de moeder onafhankelijk zijn. b. Bepaal de kans dat zowel de vader als de moeder hoge bloeddruk heeft. c. Bepaal de kans dat het oudste kind hoge bloeddruk heeft, ongeacht de situatie van vader en moeder. d. Bepaal de kans dat de vader hoge bloeddruk heeft als bekend is dat het oudste kind hoge bloeddruk heeft. Beargumenteer of hoge bloeddruk van de vader en van het oudste kind onafhankelijk zijn. DM4 & S39

2 Opgave : (zowel DM4 als S39) In een grootschalig onderzoek naar het optreden van bijwerkingen van een medicijn blijkt dat 5% van de personen last van bijwerkingen heeft. a. Bereken de kans dat bij een onderzoek onder n=75 personen minder dan 3 personen last van bijwerkingen heeft. Wanneer het onderzoek een jaar later herhaald wordt bij dezelfde personen blijkt dat % van de personen die eerder last van bijwerkingen had dit een jaar later opnieuw heeft, terwijl 4.% van de personen die eerder geen last van bijwerkingen had dit een jaar later wel heeft. Beschouw nu de stochast X: het aantal keren dat een persoon last van bijwerkingen heeft tijdens de twee onderzoeken die in totaal uitgevoerd zijn, namelijk het eerste onderzoek en het onderzoek een jaar later. b. Bepaal de kansverdeling van X. c. Bepaal de verwachtingswaarde, E(X), en de variantie, Var(X). Opgave 3: (onderdeel a t/m d voor zowel DM4 als S39; onderdeel e. verschilt!) Let op: Bij onderdeel e. zijn er twee varianten, een voor deelnemers aan DM4 (biostatistiek cursus 7-8) en een voor deelnemers aan S39 (biostatistiek oude versie). Deelnemers aan het tentamen S39 mogen, naar eigen keuze, in plaats van de S39-variant ook de DM4-variant maken. Om het longvolume van deelnemers aan een fitnessprogramma te onderzoeken is bij een groep van n=8 deelnemers het longvolume experimenteel bepaald. Resultaten (in liters) zijn: Gebruik bij het beantwoorden van deze opgaven resultaten van de analyse uit de bijlage bij opgave 3. a. Voer op basis van de resultaten in de bijlage bij opgave 3 een Exploratieve Data Analyse uit op deze data. Vermeld relevante kentallen, beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een Normale danwel een symmetrische verdeling van de resultaten. b. Voer een toets uit om vast te stellen of het longvolume van deelnemers groter is dan 9 liter. Licht je werkwijze toe en geef ook een schatting voor de p-waarde van deze toets. c. Beargumenteer of de p-waarde van een toets om vast te stellen of het longvolume van deelnemers verschilt van 9 liter groter of kleiner is dan het resultaat bij onderdeel b. d. Bepaal de minimale steekproefomvang die nodig is om met 9% kans een afwijking in longvolume van liter vast te kunnen stellen. Veronderstel hierbij een bekende standaardafwijking σ=3 en een significantienivo α=.5. Variant voor DM4: e. Bereken een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de variantie van het longvolume. Licht je werkwijze toe! Alternatief voor S39: e. Geef een interpretatie voor een 95%-betrouwbaarheidsinterval van de verwachtingswaarde μ. DM4 & S39

3 Opgave 4: (onderdeel a t/m c voor zowel DM4 als S39, onderdeel d. verschilt!) Let op: Bij onderdeel d. zijn er twee varianten, een voor deelnemers aan DM4 (biostatistiek cursus 7-8) en een voor deelnemers aan S39 (biostatistiek oude versie). Deelnemers aan het tentamen S39 mogen, naar eigen keuze, in plaats van de S39-variant ook de DM4-variant maken. Om de effectiviteit van twee medicijnen tegen psoriasis te vergelijken wordt bij personen die aan psoriasis lijden één van de armen met medicijn A behandeld en de andere arm met medicijn B. Na afloop van de behandeling wordt per arm de mate van psoriasis bepaald op een schaal tussen en. Hogere waarden duiden op een grotere mate van psoriasis. Resultaten zijn: Persoon Medicijn A Medicijn B Gebruik bij het beantwoorden van deze opgaven resultaten van de analyse uit de bijlagen bij opgave 4. a. Beargumenteer dat hier sprake is van een experiment met gepaarde data. Geef eventuele voordelen/nadelen ten opzichte van een experiment met onafhankelijke groepen en voer op basis van de resultaten in de bijlagen bij opgave 4 een Exploratieve Data Analyse uit. b. Bereken een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de verwachtingswaarde van het verschil in mate van psoriasis tussen medicijn A en B. Beargumenteer op basis van het resultaat of het verschil tussen het effect van medicijn A en B significant is. c. Selecteer een parametervrije toets om zo efficiënt mogelijk te bepalen of er een significant verschil is in de effectiviteit van beide medicijnen en voer deze toets uit. Veronderstel nu dat de waarnemingen verkregen zijn door een experiment met onafhankelijke groepen waarbij van proefpersonen een behandeling met medicijn A krijgen en de andere een behandeling met medicijn B: Medicijn A Medicijn B Variant voor DM4: d. Voer een toets uit om vast te stellen of de variantie in beide groepen gelijk is. Licht je werkwijze toe! Alternatief voor S39: d. Selecteer een parametervrije toets om zo efficiënt mogelijk te bepalen of er een significant verschil is in de effectiviteit van beide medicijnen en voer deze toets uit. Opgave 5: Z.O.Z. DM4 & S39 3

4 Opgave 5: (DM4) Let op: S39-deelnemers mogen in plaats van deze opgave ook de alternatieve opgave 5 kiezen. Is er een samenhang tussen de dagelijkse kwikinname via voedsel en het kwiknivo in het bloed? Om dit te onderzoeken is bij een aantal proefpersonen de dagelijkse kwikinname via voedsel bepaald (variabele INNAME, in μg/dag) en het kwiknivo in het bloed (variabele NIVO, in ng/g). Resultaten zijn: INNAME NIVO Gebruik bij het beantwoorden van deze opgaven resultaten van de analyse uit de bijlage bij opgave 5. a. Geef op basis van summary statistics en scatterplot aan of in dit geval lineaire regressie een geschikte methode lijkt om de resultaten van het onderzoek te analyseren. Geef de vergelijking van de regressielijn die het verband tussen kwikinname en kwiknivo weergeeft. b. Bereken het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de constante term van het regressiemodel. Specificeer de kansverdeling die je hierbij nodig hebt. Beargumenteer of de constante term van het model significant van verschilt. c. Welke modelaannamen gelden voor een enkelvoudig lineair regressiemodel? Beargumenteer op basis van de residuen of aan deze modelaannames voldaan lijkt te zijn. d. Bereken de verwachte waarde, het 95% betrouwbaarheidsinterval en het 95% predictie-interval (voorspellings-interval) voor het kwiknivo in het bloed bij een dagelijkse kwikinname van 5 μg/dag. Alternatieve Opgave 5: (ALLEEN S39) Let op: Deze opgave is NIET voor DM4 deelnemers. S39-deelnemers mogen in plaats van deze opgave ook opgave 5 (DM4) kiezen. Een onderzoek naar mogelijk verband tussen roken en alcoholgebruik werd als volgt uitgevoerd: Er werd een steekproef van personen genomen. Van hen bleken er 5 te roken. Het totaal aantal gebruikers van alcohol bleek 5 te zijn. Er zijn 4 personen die geen van beide genotmiddelen gebruikten. a. Bereken een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het percentage rokers. b. Maak een afhankelijkheidstabel (contingency table) met daarin de waargenomen aantallen, en de verwachte aantallen onder de aanname van onafhankelijkheid. c. Toets H : roken en alcoholgebruik zijn onafhankelijk. Geef de toetsingsgrootheid, inclusief parameters, en benader de p-waarde van de toets. Wat is je conclusie? d. Bij de gebruikelijke toets bij afhankelijkheidstabellen is het niet mogelijk te zien of de samenhang positief is: als je rookt zul je ook wel drinken of negatief : als je rookt zul je wel niet drinken. In dit speciale geval van een x tabel kun je ook een andere toets toepassen, die het wel mogelijk maakt om de richting van de samenhang te bepalen. Hiervoor moet je dit probleem anders formuleren. Doe dit, en geef aan welke toets je dan gebruikt (niet uitvoeren). DM4 & S39 4

5 Bijlage bij opgave 3: SnapStat: One Sample Analysis Data variable: longvolume Count = 8 Average = 7. Standard deviation = Coeff. of variation = % Minimum = 3.6 Maximum =. Range = 7.5 Stnd. skewness = Stnd. kurtosis = frequency Histogram longvolume Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Mean: 7. +/-.95 [4.8479; 9.395] Sigma: [.858; ] Diagnostics Shapiro-Wilks P-value =.6865 Lag autocorrelation = / longvolume longvolume Time Sequence Plot Row percentage Normal Probability Plot longvolume DM4 & S39 5

6 Bijlage bij opgave 4: onafhankelijke groepen SnapStat: Two Sample Comparison medicijn A medicijn B Count Average Standard deviation Coeff. of variation 3.969%.95% Minimum Maximum Range Stnd. skewness Stnd. kurtosis frequency medicijn A medicijn B Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Diff. of means: /- 8.5 [-6.35;.95] Ratio of variances: [.47973; ] medicijn A medicijn B Comparison of Means Null hypothesis: difference = t statistic = Two-sided P-value =.375 Comparison of Sigmas Null hypothesis: ratio = F statistic =.9955 Two-sided P-value =.347 Diagnostics Shapiro-Wilks P-values =.448 and.8 proportion Quantile Plot Normal Probability Plot 6 Variables medicijn medicijn percentage DM4 & S39 6

7 Bijlage bij opgave 4: gepaarde data SnapStat: Paired Sample Comparison Data variable: medicijn A-medicijn B Count = Average = -7.9 Standard deviation = Coeff. of variation = -.736% Minimum = -7.4 Maximum = 3. Range = 3.6 Stnd. skewness = Stnd. kurtosis =.649 frequency Histogram medicijn A-medicijn B Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Mean difference: / [-4.55; ] Sigma: [6.8697; 6.557] Comparison of Means Null hypothesis: difference = t statistic = Two-sided P-value =.97 Diagnostics Shapiro-Wilks P-value =.3769 Lag autocorrelation = / medicijn A-medicijn B medicijn A-medicijn B Time Sequence Plot Row percentage Normal Probability Plot medicijn A-medicijn B DM4 & S39 7

8 Bijlage bij opgave 5: L S = 99; L S = 7379; L S = 957.5; xx xx xy xy yy yy Summary Statistics INNAME NIVO Scatter Plot Count Average Standard deviation Coeff. of variation Maximum Stnd. skewness % % Minimum Range Stnd. kurtosis NIVO Plot of NIVO vs INNAME INNAME Simple Regression - NIVO vs. INNAME Dependent variable: NIVO Independent variable: INNAME Linear model: Y = a + b*x Coefficients Least Squares Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value Intercept Slope Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model Residual Total (Corr.) Correlation Coefficient =.963 R-squared = percent R-squared (adjusted for d.f.) = 9.86 percent Standard Error of Est. = DM4 & S39 8

9 Vervolg bijlage bij opgave 5: 4 Plot of Fitted Model: Plot of Fitted Model 3 NIVO INNAME Residual Plots: 3 Residual Plot 3 Residual Plot Studentized residual - - Studentized residual INNAME predicted NIVO Normal Probability Plot percentage SRESIDUALS DM4 & S39 9