TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Biostatistiek voor BMT (2DM4 en 2S39) op maandag 2--27, uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en van een onbeschreven Statistisch Compendium. De antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. In het bijzonder dienen bij statistische toetsen expliciet hypothesen, toetsingsgrootheden, relevante steekproefverdelingen en steekproefresultaten vermeld te worden. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Er zijn 5 vraagstukken met in totaal 25 onderdelen. Elk onderdeel wordt gewaardeerd met 4 punten. Het eindcijfer wordt berekend door het totaal door te delen. LET OP: Bij opgave 2 zijn er twee varianten, een voor deelnemers aan het tentamen 2DM4 (biostatistiek - cursus 27-28), een voor deelnemers aan het tentamen 2S39 (biostatistiek oude versie). Deelnemers aan het tentamen 2S39 mogen, naar eigen keuze, in plaats van de 2S39-variant ook de 2DM4-variant maken. Wel moeten zij duidelijk aangeven welke variant zij kiezen! Opgave : (zowel 2DM4 als 2S39) Uit een onderzoek onder een grote groep verpleegkundigen tussen 3 en 4 jaar is het gemiddelde en de standaardafwijking van het cholesterolgehalte bepaald. Resultaten zijn respectievelijk 63.7 voor het gemiddelde en.4 voor de standaard afwijking. Er is sprake van een problematisch verhoogd cholesterol gehalte wanneer het cholesterolgehalte hoger is dan 9. a. Bepaal de kans dat een verpleegkundige tussen 3 en 4 jaar een problematisch verhoogd cholesterol gehalte heeft. b. Bepaal de kans dat in een groep van 2 verpleegkundigen tussen 3 en 4 jaar er precies 3 zijn met een problematisch verhoogd cholesterol gehalte. c. In een groep van 2 verpleegkundigen tussen 3 en 4 jaar blijken er 25 te zijn met een problematisch verhoogd cholesterol gehalte. Beargumenteer of hier sprake is van een ongebruikelijk groot aantal gevallen van een problematisch verhoogd cholesterol gehalte. Onderbouw je argumentatie met een relevante kans berekening en vermeld welke kansverdeling van toepassing is! 2DM4 & 2S

2 Opgave 2: (2DM4) Let op: 2S39-deelnemers mogen in plaats van deze opgave ook de alternatieve opgave 2 (ALLEEN 2S39) kiezen. Een farmaceutische onderneming heeft een screening test ontwikkeld om bij personen van 65 jaar of ouder de ziekte van Altzheimer vast te stellen. Om de kwaliteit van deze screening test te onderzoeken past ze de test toe op twee aselect gekozen groepen van personen van 65 of ouder, namelijk een groep met personen waarvan bekend is dat ze aan de ziekte van Altzheimer lijden en een onafhankelijke groep met personen waarvan bekend is dat ze de ziekte van Altzheimer niet hebben. In de eerste groep blijken 99 personen positief op de test te reageren: volgens de screening test lijden zij aan de ziekte van Altzheimer. In de tweede groep blijken 95 personen negatief op de test te reageren: volgens de screening test lijden zij niet aan de ziekte van Altzheimer. Uit epidemiologische studies is bekend dat 5% van de personen van 65 jaar of ouder aan de ziekte van Altzheimer lijdt. a. Bepaal de sensitiviteit van de screening test. b. Bepaal de specificiteit van de screening test. c. Bepaal de positief voorspellende waarde (predictive value positive) van de test. d. Bepaal de negatief voorspellende waarde (predictive value negative) van de test. Alternatieve Opgave 2: (ALLEEN 2S39) Let op: Deze opgave is NIET voor 2DM4 deelnemers. 2S39-deelnemers mogen in plaats van deze opgave ook opgave 2 (2DM4) kiezen. Van een discrete stochastische variabele X is de cumulatieve verdelingsfunctie F gedefinieerd als: ( ) F x voor x <.5.4 voor.5 x < 3 =.6 voor 3 x < 4.5 voor 4.5 x a. Bereken de kansfunctie f(x) en toon door berekening aan dat f(x) inderdaad een kansfunctie is. b. Bereken de verwachting en variantie van X. c. Beschouw een stochast Y =2X, met X de eerder gegeven discrete stochastische variabele. Geef de kansverdeling van Y en bepaal de variantie van Y. d. Beschouw een stochast Y 2 =X +X 2, met X en X 2 twee onafhankelijke discrete stochasten die allebei verdeeld zijn volgens de eerder gegeven cumulatieve verdelingsfunctie F. Geef de kansverdeling van Y 2 en beredeneer of je verwacht dat de variantie van Y 2 groter of kleiner is dan de variantie van Y. 2DM4 & 2S

3 Opgave 3: (zowel 2DM4 als 2S39) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit de bijlage bij opgave 3 noodzakelijk) Wijkt ten gevolge van het gebruik van een nieuw medicijn de bloeddruk af van de streefwaarde van 65? Om dit vast te stellen wordt eerst in een kleine pilot study de systolische bloedruk (in mm Hg) bepaald van 8 personen die het medicijn gebruiken. De resultaten zijn: a. Voer op basis van de resultaten in de bijlage bij opgave 3 een Exploratieve Data Analyse uit op deze data. Vermeld relevante kentallen, beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een Normale danwel een symmetrische verdeling van de resultaten. b. Beargumenteer of een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de verwachtingswaarde van de bloeddruk breder danwel smaller is dan het gerapporteerde 95%-betrouwbaarheidsinterval. c. Beargumenteer op basis van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de verwachte bloeddruk of de bloeddruk significant afwijkt van de streefwaarde 65. d. Bepaal een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de variantie van de bloeddruk. Licht je werkwijze toe! De onderzoeker wil nu een grotere studie opzetten. Dit kost echter tijd en geld, dus wil zij eerst een steekproefgroottebepaling doen. De onderzoeker geeft aan dat zij een afwijking van 5 eenheden in de bloeddruk ten opzichte van het bevolkingsgemiddelde van 65 met grote kans wil detecteren op basis van een toets. Zij gaat daarbij uit van standaarddeviatie zoals die in de pilot study geschat is en vindt een noodzakelijke steekproefomvang n = 32. Bij deze gegevens is ook de volgende toetskarakteristiek bepaald: Power Curve.8 Power ( - beta) True Mean e. Wat is bij de gekozen opzet het onderscheidingsvermogen bij een afwijking Δ= 5? Welke α (type I fout) gebruikt de onderzoeker? f. Wat is bij de gekozen opzet de kans op een fout van de tweede soort bij een afwijking Δ= 5. Wat houdt zo n fout van de tweede soort in? 2DM4 & 2S

4 Opgave 4: (2DM4 & 2S39) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit de bijlage bij opgave 4 noodzakelijk) Beïnvloedt het ontbreken van externe stimuli de frequentie van alfa-golven in de hersenen? Om dit te onderzoeken is een groep van 2 vergelijkbare proefpersonen random verdeeld in twee groepen: een behandelgroep, groep A, die gedurende langere tijd aan een verlaagd nivo van externe stimuli blootgesteld wordt en een controlegroep, groep B, die geen speciale behandeling ondergaat. Na afloop van het experiment wordt voor elk van de deelnemers uit een electro-encephalogram de frequentie van de alfa-golven bepaald. Resultaten zijn: Groep A Groep B a. Beargumenteer dat hier sprake is van een experiment op basis van ONAFHANKELIJKE groepen. b. Voer op basis van de resultaten in de bijlage bij opgave 4 voor een experiment met ONAFHANKELIJKE groepen een Exploratieve Data Analyse uit. Vermeld relevante kentallen, beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een Normale verdeling van de resultaten. c. Voer een statistische toets uit om vast te stellen of de variantie in beide groepen hetzelfde is. d. Selecteer een parametervrije toets om zo efficiënt mogelijk te bepalen of er een significant verschil is in de frequentie van de alfa-golven tussen beide groepen. Voer op basis van de beschikbare resultaten in bijlage 4 deze toets uit. Stel nu dat de waarnemingen verkregen zijn door een experiment op basis van GEPAARDE data uit te voeren met proefpersonen. e. Beschrijf in detail hoe je in een dergelijk experiment op basis van GEPAARDE data op zou zetten. Geef eventuele voordelen/nadelen ten opzichte van het eerder besproken experiment op basis van ONAFHANKELIJKE groepen. f. Selecteer een adequate toets om bij deze GEPAARDE opzet zo efficiënt mogelijk te bepalen of er een significant verschil is in de frequentie van de alfa-golven tussen beide groepen. Gebruik daarbij de resultaten uit bijlage 4 voor een Exploratieve Data Analyse van GEPAARDE data. (Opm. de toets zelf hoeft in dit geval NIET uitgevoerd te worden!) 2DM4 & 2S

5 Opgave 5: (zowel 2DM4 & 2S39) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit de bijlage bij opgave 5 noodzakelijk) Is bij hyperactieve kinderen leeftijd van invloed is op het effect van een gedragstherapie? Om dit te bepalen wordt bij een aantal hyperactieve kinderen gemeten hoe hun scores op een sociale test verschillen voor en na deze therapie. Als afhankelijke variabele is deze verschilscore genomen (variabele: SOCIAL; een positieve waarde betekent een verbetering na de therapie), als onafhankelijke variabele de leeftijd (variabele: AGE). Gebruik bij het beantwoorden van deze opgaven resultaten van de analyse uit de bijlage bij opgave 5. Merk op dat in deze bijlage sommige deelresultaten met opzet ontbreken! a. Geef op basis van summary statistics en scatterplot aan of in dit geval lineaire regressie een geschikte methode lijkt om de resultaten van het onderzoek te analyseren. b. Geef de vergelijking van de regressielijn die het verband tussen verschilscore en leeftijd weergeeft. Vind je de keuze van afhankelijke en onafhankelijke variabele juist of had dit net zo goed andersom kunnen zijn? c. Bereken het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de richtingscoëfficiënt van de regressielijn. Specificeer de kansverdeling die je hierbij nodig hebt. Beargumenteer op grond van het verkregen resultaat of de richtingscoëfficiënt significant van verschilt. d. Bepaal de ontbrekende gegevens in de Analysis of Variance tabel. Op hoeveel kinderen had het onderzoek betrekking? e. Welke modelaannamen gelden voor een enkelvoudig lineair regressiemodel? Beargumenteer op basis van de residuen of aan deze modelaannames voldaan lijkt te zijn. f. Bereken een 95% predictie-interval (voorspelinterval) voor een hyperactief kind van jaar. Geef een praktische omschrijving voor de betekenis van dit voorspelinterval. 2DM4 & 2S

6 2DM4 & 2S

7 Bijlage bij opgave 3: SnapStat: One Sample Analysis Data variable: bloeddruk Count = 8 Average = Standard deviation = Coeff. of variation = 5.744% Minimum = 4. Maximum = 94. Range = 8. Stnd. skewness = Stnd. kurtosis = frequency Histogram bloeddruk Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Mean: / [39.523; 8.727] Sigma: [6.6889; 5.373] Diagnostics Shapiro-Wilks P-value =.865 Lag autocorrelation = / bloeddruk bloeddruk Time Sequence Plot Row percentage Normal Probability Plot bloeddruk 2DM4 & 2S

8 Bijlage bij opgave 4: onafhankelijke groepen SnapStat: Two Sample Comparison Groep A Groep B Count Average.28.8 Standard deviation Coeff. of variation % % Minimum 9.5. Maximum.4.7 Range.9.6 Stnd. skewness Stnd. kurtosis frequency Groep A Groep B Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Diff. of means: -.8 +/-.579 [-.37; ] Ratio of variances: [.4233; ] Groep A Groep B Comparison of Means Null hypothesis: difference = t statistic = Two-sided P-value =.35 Comparison of Sigmas Null hypothesis: ratio = F statistic =.6962 Two-sided P-value =.4433 Diagnostics Shapiro-Wilks P-values =.7293 and.4934 Lag autocorrelation =.396 +/-.698, /-.6 proportion Quantile Plot Normal Probability Plot.9 Variables Groep A.5 Groep B percentage 2DM4 & 2S

9 Vervolg bijlage bij opgave 4: onafhankelijke groepen Comparison of Means t test to compare means Null hypothesis: mean = mean2 Alt. hypothesis: mean NE mean2 assuming equal variances: t = P-value =.3523 Comparison of Standard Deviations Groep A Groep B Standard deviation Variance Df 9 9 Ratio of Variances =.6962 F-test to Compare Standard Deviations Null hypothesis: sigma = sigma2 Alt. hypothesis: sigma NE sigma2 F =.6962 P-value =.4433 Comparison of Medians Median of sample :.5 Median of sample 2:. Mann-Whitney (Wilcoxon) W test to compare medians Null hypothesis: median = median2 Alt. hypothesis: median NE median2 Average rank of sample : 6.95 Average rank of sample 2: 4.5 W = 35.5 P-value = DM4 & 2S

10 Bijlage bij opgave 4: gepaarde data SnapStat: Paired Sample Comparison Data variable: Groep A-Groep B Count = Average = -.8 Standard deviation =.7833 Coeff. of variation = % Minimum = -.9 Maximum =.6 Range = 2.5 Stnd. skewness =.4347 Stnd. kurtosis = frequency Histogram Groep A-Groep B Box-and-Whisker Plot 95% confidence intervals Mean difference: -.8 +/ [-.3582; ] Sigma: [ ;.42455] Comparison of Means Null hypothesis: difference = t statistic = Two-sided P-value =. Diagnostics Shapiro-Wilks P-value =.9596 Lag autocorrelation = / Groep A-Groep B Groep A-Groep B Time Sequence Plot Row percentage Normal Probability Plot Groep A-Groep B 2DM4 & 2S

11 Bijlage bij opgave 5: L S = ; L S = ; L S = ; xx xx xy xy yy yy Summary Statistics AGE SOCIAL Scatter Plot Count???? Average Standard deviation Coeff. of variation % % Minimum Maximum 3..4 Range Stnd. skewness Stnd. kurtosis SOCIAL -.5 Plot of SOCIAL vs AGE AGE Simple Regression - SOCIAL vs. AGE Dependent variable: SOCIAL Independent variable: AGE Linear model: Y = a + b*x Coefficients Least Squares Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value Intercept ??????.9 Slope ??????.262 Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model ??????????????????.262 Residual.9285?????????? Total (Corr.) Correlation Coefficient = R-squared = percent R-squared (adjusted for d.f.) = percent Standard Error of Est. = DM4 & 2S

12 Vervolg bijlage bij opgave 5: Plot of Fitted Model: Plot of Fitted Model 2.5 SOCIAL AGE Residual Plots: 3 Residual Plot 3 Residual Plot Studentized residual Studentized residual AGE predicted SOCIAL Normal Probability Plot percentage SRESIDUALS 2DM4 & 2S