2DM71: Eindtoets Biostatistiek, op dinsdag 20 Januari 2015,

Transcriptie

1 Faculteit der Wiskunde en Informatica 2DM71: Eindtoets Biostatistiek, op dinsdag 20 Januari 2015, Opgave 1: (5 x 6 = 30 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit bijlage 1 noodzakelijk) Is voor twee verschillende typen metalen, metaal A en metaal B, de corrosiesnelheid van salpeterzuur gelijk? Om dit te bepalen voert men een experiment uit waarbij voor samples van elk van de typen metalen de corrosiesnelheid onder gecontroleerde omstandigheden bepaald is. De gemeten waarden, opgeslagen in het bestand 'Exercise1' met variabelen 'Rate' voor de corrosiesnelheid en 'Metal' voor het gebruikte type metaal zijn statistisch geanalyseerd, de resultaten opgenomen in bijlage 1. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vragen gebruik gemaakt worden! a. Beargumenteer dat hier sprake is van een experiment met onafhankelijke groepen. Voer een Exploratieve Data Analyse uit. Vermeld relevante kentallen, beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een symmetrische verdeling danwel van een Normale verdeling van de resultaten. b. Bereken een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de verwachtingswaarde, A, van de corrosiesnelheid van metaal van type A. Hint: gebruik de kanstabellen uit de bijlagen! c. Voer een toets uit om te bepalen of er een significant verschil is in de varianties van de corrosiesnelheden van beide metalen, 2 en A 2. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie B van de toets. d. Voer een parametrische toets uit om te bepalen of de verwachte corrosiesnelheid van metaal A, A, kleiner is dan de verwachte corrosiesnelheid van metaal B, B. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. Indien meerdere toetsen van toepassing zijn, beargumenteer dan welke toets de voorkeur verdient. e. Voer een parametervrije toets uit om te bepalen of de verwachte corrosiesnelheid van metaal A, A, verschilt van de verwachte corrosiesnelheid van metaal B, B. Omschrijf naam en principe van de geselecteerde toets en vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie. Indien meerdere toetsen van toepassing zijn, beargumenteer dan welke toets de voorkeur verdient. Opgave 2 2DM71:

2 Opgave 2: (4 x 5 = 20 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit bijlage 2 noodzakelijk) Hoe beïnvloedt de concentratie van een specifieke reactie component de opbrengst van een chemisch proces? Om dit te onderzoeken bepaalt men experimenteel bij een aantal concentraties van deze component (variabele: 'X') de opbrengst van het chemisch proces (variabele: 'Y'). Men vermoedt, op basis van een theoretische reactie-analyse, dat het verband tussen deze opbrengst en de betreffende concentratie te beschrijven is met een model, dat niet lineair is in de parameters α en β: Y X X Door echter de gebruikte variabelen te transformeren volgens: Y trafo 1 Y en X 1 trafo X is het oorspronkelijke model te lineariseren, dat wil zeggen dat het omgeschreven kan worden in een model dat lineair is in de parameters, β 0 en β 1 : Y X trafo 0 1 Voor dit gelineariseerde model is een regressie-analyse uitgevoerd op basis van de beschikbare experimentele data. Resultaten staan in bijlage 2. Gebruikte variabelen zijn 'Xtrafo' en 'Ytrafo'. a. Voer een Exploratieve Data Analyse uit op de getransformeerde variabelen, 'Ytrafo' en 'Xtrafo'. Geef expliciet de vergelijking van de gevonden regressielijn en gebruik het resultaat om de parameters, α en β, in het niet-lineaire model te schatten.. b. Voer een toets uit om te bepalen of de richtingscoëfficiënt in het gelineariseerde model significant van 0 verschilt. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. c. Welke aannames gelden voor dit gelineariseerde regressiemodel? Voer op basis van de beschikbare resultaten een modelcontrole uit en beargumenteer of aan deze modelaannames voldaan lijkt te zijn. trafo Ook voor het oorspronkelijke niet-lineaire model is een regressie-analyse uitgevoerd op basis van de beschikbare experimentele data. Resultaten zijn: Nonlinear Model NonLinModel.1 <- nls(y~x/(a+b*x),data=c(exercise2),start=list(a=0.2,b=0.4)) summary(nonlinmodel.1) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a e-09 b < 2e-16 Residual standard error: on 13 degrees of freedom Number of iterations to convergence: 4 Achieved convergence tolerance: 1.696e-07 d. Beargumenteer of er convergentie opgetreden is en geef expliciet de vergelijking van het gefitte niet-lineaire model. Welke startwaardes zijn in dit geval gebruikt voor de parameters α en β? 2DM71:

3 Opgave 3: (5 x 6 = 30 points) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit de bijlagen 3a en 3b noodzakelijk) Van drie typen medicijnen, type A, type B and type C (variabele: "Medication"), wil men nagaan in hoe verre ze een allergische reactie veroorzaken. Men voert daartoe een experiment uit, waarbij gezonde proefpersonen één van de drie medicijnen toegediend krijgen. Na afloop van het experiment wordt voor elk van de proefpersonen een zogenaamde 'severity-index' bepaald (variable: "Severity"), die maatgevend is voor de mate waarin een allergische reactie optreedt: hoe hoger de waarde hoe heftiger de allergische reactie. Op basis van deze gegevens zijn een aantal analyses uitgevoerd. Resultaten zijn opgenomen in bijlage 3a. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vragen gebruik gemaakt worden! a. Voer op basis van de resultaten in bijlage 3a een Exploratieve Data Analyse uit. Beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoe verre er sprake is van een gebalanceerde opzet van het experiment. b. Voer een parametrische toets uit om te bepalen of het type medicijn van invloed is op de mate waarin een allergische reactie optreedt. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de gebruikte toets. c. Voer een post-hoc test uit om te bepalen welke typen medicijnen onderling significant verschillen. Vermeld naam, relevante details en het onderliggend principe van de gebruikte toets. d. Voer een parametervrije toets uit om te bepalen of het type medicijn van invloed is op de mate waarin een allergische reactie optreedt. Omschrijf naam en principe van de geselecteerde toets en vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie. Van de deelnemende proefpersonen is ook het geslacht bijgehouden in een variabele Gender : men, women. In een vervolganalyse is deze informatie meegenomen. Resultaten van deze aanvullende analyses zijn opgenomen in bijlage 3b. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vraag gebruik gemaakt worden! e. Voer een adequate Analysis of Variance (ANOVA) uit om mogelijke hoofd- en interactieeffecten van de factoren Medication and Gender vast te kunnen stellen. Vermeld duidelijk details, p-waarden en conclusies van de gebruikte toetsen en besteed aandacht aan de praktische interpretatie van significante hoofdeffecten en interacties! Opgave 4 2DM71:

4 Opgave 4: (4 x 5 = 20 punten) a. De analyse van een lineair regressiemodel levert de volgende ANOVA tabel (Analysis of Variance table) op: Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 816, ,0000 Residual 78, Total (Corr.) 895,31 19 Bepaal op basis hiervan: het aantal waarnemingen dat voor het berekenen van het regressiemodel gebruikt is, het aantal parameters in het model (inclusief de constante, 0 ), de coefficient of determination, R 2, de standaardafwijking van de residuën (standard error of estimate). b. Beschrijf de essentiële stappen in een procedure om op basis van experimentele data een adequaat regressiemodel te fitten. c. Op basis van experimentele data zijn de parameters, 0 en 1, van een lineair regressiemodel: Y 0 1 x geschat. De resultaten gebruikt men om een schatting te doen van de afhankelijke variabele, y, in het punt x=x p : op basis van de formule: x x 2 p p 0 1 p n2; /2 2 n xi x yˆ b b x t s Geef een toelichting op deze formule en beargumenteer of hier sprake is van een voorspelinterval (prediction interval) of van een betrouwbaarheidsinterval (confidence interval) voor de geschatte respons. d. Beschrijf details en principe van de toets van Friedman. Geef aan in welke situaties deze toets gebruikt kan worden! 1 2DM71:

5 Stripchart of Rate (order: A, B) Bijlage 1: Opgave 1 Boxplot of Rate (order: A, B) Rate Rate A B A Quantile comparison plot of Rate (metal A only) B Metal Quantile comparison plot of Rate (metal B only) Rate Rate norm quantiles norm quantiles > numsummary(exercise1[,"rate"], groups=exercise1$metal, statistics=c("mean", "sd", + "IQR", "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1)) mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% data:n A B > t.test(rate~metal, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=true, + data=exercise1) data: Rate by Metal t = , df = 22, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 > t.test(rate~metal, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=false, + data=exercise1) data: Rate by Metal t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 > var.test(rate ~ Metal, alternative='two.sided', conf.level=.95, data=exercise1) data: Rate by Metal F = , num df = 10, denom df = 12, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 > with(exercise1, shapiro.test(rate)) data: Rate W = , p-value = > wilcox.test(rate ~ Metal, + alternative="two.sided", + data=exercise1) Wilcoxon rank sum test data: Rate by Metal W = 25, p-value = > wilcox.test(metaal.a, metaal.b, + alternative='two.sided', paired=true, + data=exercise1)) Wilcoxon signed rank test data: metaal.a and metaal.b V = 4, p-value = DM71:

6 Bijlage 2: Opgave 2, onderdelen a t/m c Linearized Model > numsummary(exercise2[,c("xtrafo", "Ytrafo")], statistics=c("mean", "sd", "IQR", + "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1)) mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n Xtrafo Ytrafo x-axis: Xtrafo, y-axis: Ytrafo Ytrafo > cor(exercise2[,c("xtrafo","ytrafo")]) Xtrafo Ytrafo Xtrafo Ytrafo > Confint(LinearModel.1, level=0.95) Estimate 2.5 % 97.5 % (Intercept) Xtrafo Xtrafo > LinearModel.1 <- lm(ytrafo ~ Xtrafo, data=exercise2) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 Xtrafo e-09 Residual standard error: on 13 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 13 DF, p-value: 3.457e-09 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.1) Residuals Residuals vs Fitted Standardized residuals Scale-Location Studentized Residuals(LinearModel.1) Fitted values Fitted values t Quantiles 2DM71:

7 Bijlage 3a: Opgave 3, onderdelen a t/m d > numsummary(exercise3[,"severity"], groups=exercise3$medication, statistics=c("mean", + "sd", "IQR", "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1)) mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% data:n Type_A Type_B Type_C Boxplot: {Type_A, Type_B, Type_C} Severity > Confint(AnovaModel.1, level=0.95) Estimate 2.5 % 97.5 % (Intercept) Medication[T.Type_B] Medication[T.Type_C] Medication > AnovaModel.1 <- aov(severity ~ Medication, data=exercise3) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Medication Residuals > kruskal.test(severity ~ Medication, data=exercise3) chi-squared = , df = 2, p-value = > levenetest(exercise3$severity, Exercise3$Medication, center=mean) Df F value Pr(>F) group > plot(anovamodel.1) # Residuals vs. Fitted values > qqplot(anovamodel.1, simulate=true) Residuals Residuals vs Fitted Studentized Residuals(AnovaModel.1) Fitted values aov(severity ~ Medication) Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts t Quantiles Linear Hypotheses: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) Type_B - Type_A == Type_C - Type_A == Type_C - Type_B == > cld(.pairs) # compact letter display "ab" "b" "a" Appendix 3b 2DM71:

8 Bijlage 3b: Opgave 3, onderdeel e tapply(exercise3$severity, list(medication=exercise3$medication), mean, na.rm=true) Medication tapply(exercise3$severity, list(gender=exercise3$gender), mean, na.rm=true) Gender Men Women order: {Men, Women} Plot of Means order: {Type_A, Type_B, Type_C} Plot of Means mean of Problem_5$Severity mean of Problem_5$Severity Men Women Problem_5$Gender Problem_5$Medication tapply(exercise3$severity,list(gender=exercise3$gender,mediction=exercise3$medication), + mean, na.rm=true) Medication Gender Men Women order: {Men, Women} Plot of Means order: {Type_A, Type_B, Type_C} Plot of Means mean of Problem_5$Severity Men Type_B Women Problem_5$Gender > Anova(AnovaModel.2) Anova Table (Type II tests) Problem_5$Medication Type_C Type_A Type_A Type_B Type_C mean of Problem_5$Severity Problem_5$Medication Women Problem_5$Gender Men Women Men Response: Severity Sum Sq Df F value Pr(>F) Gender Medication Gender:Medication e-05 Residuals DM71:

9 Tabel Standard normal distribution Tabel Student t-verdeling 2DM71: