Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam:Biostatistiek en Lineaire Algebra Vakcode: 2DM81 Datum: Begintijd:18.00 Eindtijd: Aantal pagina s: 8 (excl. Voorblad) Aantal vragen: 6 voor Lineaire Algebra (10 onderdelen), 3 voor Biostatistiek (10 onderdelen) Aantal te behalen punten/normering per vraag: Totaal 100 punten, detailscores per vraag vermeld Wijze van vaststellen eindcijfer: 2DM81: totaalscore gedeeld door 10, afgerond op 1 decimaal Dit cijfer bepaalt voor 70% het eindcijfer van 2DM80 Wijze van beantwoording vragen: De uitwerkingen van de opgaven dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. In het bijzonder dienen bij statistische toetsen expliciet de volgende details vermeld te worden: hypothesen, toetsingsgrootheden, relevante steekproefverdelingen en steekproefresultaten. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Aan het eind van deze toets zijn bijlagen met uitvoer van R & R Commander en kanstabellen toegevoegd. Antwoorden Lineaire Algebra & Biostatistiek GESCHEIDEN inleveren! Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): x (Standaard) zakrekenmachine (GEEN grafische calculator) Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2

3 Faculteit der Wiskunde en Informatica 2DM81: Eindtoets Biostatistiek & Lineaire Algebra, op dinsdag 28 juni 2016, LINEAIRE ALGEBRA GEDEELTE Antwoorden Lineaire Algebra & Statistiek Gescheiden Inleveren! Opgave LA1: (10 = punten) Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: x 3 x 5 x b 2 x x 6 x 7 x b 2 x 4 x 6 x 2 x b a. Bepaal de oplossingsverzameling voor het stelsel lineaire vergelijkingen met b1=3, b2= -7 en b3=10: x1 3 x3 5 x4 3 2 x1 x2 6 x3 7 x4 7 2 x1 4 x2 6 x3 2 x4 10 b. Beargumenteer of het oorspronkelijke stelsel lineaire vergelijkingen consistent is voor alle mogelijke b1, b2 en b3. Als dit niet het geval is, bepaal dan de conditie(s) waaraan b1, b2, b3 moeten voldoen opdat het stelsel lineaire vergelijkingen consistent is. Opgave LA2: (10 = punten) Beschouw de matrixvergelijking Ax=b, waarbij voor de coëfficiëntenmatrix A de volgende LU-decompositie gegeven is: A L U en b a. Los met behulp van deze LU-decompositie (!!) de matrixvergelijking Ax=b op. Beargumenteer welke stappen je maakt. b. Bereken de inverse matrices L -1 en U -1. Laat tussenstappen van je berekeningen zien. Geef aan hoe met behulp van deze inversen, L -1 en U -1, de inverse matrix A -1 bepaald kan worden! Hint: expliciete berekening van A -1 is niet nodig! vervolg opgaven LA 2DM81: 1

4 Opgave LA3: (5 punten) Beschouw een matrix A(), die afhangt van een parameter : A. Bereken de determinant van deze matrix A() door middel van een co-factor expansie. Beargumenteer voor welke waarde(n) van de matrix A() singulier is. Opgave LA4: (5 punten) Beschouw een lineaire afbeelding T: R 4 R 3, gedefinieerd als T(x)=Ax, met matrix A: A Beargumenteer of deze afbeelding T surjectief (onto) is. Opgave LA5: (10 = punten) Beschouw de matrix A Van deze matrix A is gegeven dat =6 een eigenwaarde is. a. Bepaal de (algebraïsche) multipliciteit van deze eigenwaarde =6. b. Bepaal de dimensie van de eigenruimte bij deze eigenwaarde =6. Is de matrix A diagonaliseerbaar? Opgave LA6: (10 = punten) Beschouw de vectoren: u1 1; u2 2; u3 1 en de vector: x 8 3 a. Toon aan dat de verzameling vectoren {u1, u2, u3} een orthogonale basis vormt voor R 3. b. Schrijf de vector x als een lineaire combinatie van de vectoren {u1, u2, u3}. 2DM81: 2

5 Faculteit der Wiskunde en Informatica 2DM81: Eindtoets Biostatistiek & Lineaire Algebra, op dinsdag 28 Juni 2016, STATISTIEK GEDEELTE Antwoorden Lineaire Algebra & Statistiek Gescheiden Inleveren! Opgave ST1: (4 x 5 = 20 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit bijlage 1 noodzakelijk) Een stent is een metalen of kunststof buisje dat in medische toepassingen in een vat of kanaal in het lichaam van een patiënt wordt geplaatst, bijvoorbeeld in een bloedvat, met het doel om dit kanaal open te houden.voor twee verschillende typen stents, type A en type B, wil men onderzoeken of de zogenaamde vervormings-belasting verschilt: de belasting waarbij de stent een vooraf gespecificeerde mate van vervorming overschrijden. Daartoe zijn van een aantal exemplaren van type A en van een aantal exemplaren van type B deze belastingen experimenteel bepaald. Resultaten, opgeslagen in de variabelen "Load" en "Type", zijn statistisch geanalyseerd, de resultaten zijn opgenomen in bijlage 1. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vragen gebruik gemaakt worden! a. Voer een Exploratieve Data Analyse uit op deze data. Vermeld relevante kentallen (Engels: statistics), beschrijf opvallende zaken en bespreek in hoeverre er sprake is van een symmetrische verdeling danwel van een Normale verdeling van de resultaten. b. Voer een toets uit om te bepalen of de varianties van de vervormings-belastingen van stents van Type A en Type B gelijk zijn. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. c. Voer een toets uit om te bepalen of de verwachtingswaarden van de vervormings-belastingen van stents van Type A en Type B gelijk zijn. Vermeld duidelijk details, p-waarde en conclusie van de toets. Als meerdere toetsen mogelijk zijn, beargumenteer dan welke je voorkeur heeft! d. Bepaal op grond van de beschikbare gegevens een schatting voor de verwachtingswaarde, Y, en de standaardafwijking, Y, van de verhouding van de vervormings-belastingen XA van stents van type A en XB, van stents van type B: Y g X,X A B X X A B Opgave ST2: (2 x 5 = 10 punten) Het is bekend dat de gebruiksduur van een volgeladen laptop-accu van het type 'LongLife4All' Normaal verdeeld is met een verwachtings-waarde µ = 210 minuten en een standaardafwijking σ = 40 minuten. a. Bereken de kans dat een volgeladen laptop-accu van het type LongLife4All een gebruiksduur van 240 minuten of meer heeft. Laat de stappen van je berekening zien! b. Bereken wat de minimale gebruiksduur (in minuten) is die voor een volgeladen laptop-accu van het type LongLife4All in 80% van de gevallen gegarandeerd kan worden. Laat de stappen van je berekening zien! 2DM81 3

6 Opgave ST3: (4 x 5 = 20 punten) (Bij deze opgave is gebruik van resultaten uit bijlagen 2a en 2b noodzakelijk) Hoe beinvloedt de toegediende dosis van het antistollingsmiddel Xarelto de stollingswaarde van bloed? Om dit te onderzoeken bepaalt men bij verschillende doses Xarelto, volgens een standaard protocol, de bloedstollingswaarde. De beschikbare gegevens, opgeslagen in de variabelen "Stolling" en Dose, zijn statistisch geanalyseerd, een gedeelte van de resultaten is opgenomen in bijlage 2a. Hiervan kan bij het beantwoorden van de volgende vragen gebruik gemaakt worden! a. Voer een Exploratieve Data Analyse uit op deze data. Beargumenteer of een eerste orde lineair model geschikt lijkt om de waarnemingen te beschrijven en geef de vergelijking van het gevonden model. b. Voer een ANOVA-toets uit om te bepalen of het model als geheel significant is. Vermeld expliciet hypothesen, toetsingsgrootheid, beslisregels, p-waarde en conclusies! c. Geef de bij dit model gemaakte modelaannames en beargumenteer, op basis van een adequate modelcontrole, of hieraan voldaan lijkt te zijn! Tijdens de uitgevoerde experimenten is ook de bloedtemperatuur geregistreerd. Gegevens zijn opgeslagen in de variabele "Temp" en worden gebruikt om te onderzoeken in hoe verre ze (mede) van invloed zijn op de bloedstollingswaarde. Daartoe zijn, in aanvulling op de eerdere analyses, zoals beschreven in bijlage 2a, twee andere regressiemodellen gefit, namelijk LinearModel.2 en LinearModel.3. De resultaten voor deze twee modellen zijn opgenomen in bijlage 2b. d. Vergelijk de beschikbare modellen LinearModel.1, LinearModel.2 en LinearModel.3 met elkaar. Beargumenteer welk van deze modellen de voorkeur heeft om de bloedstollingswaarden te beschrijven en geef expliciet de vergelijking van het model van je voorkeur. 2DM81 4

7 Stripchart (order: Type_A, Type_B) Appendix 1 (Opgave ST1) Boxplot (order: Type_A, Type_B) Load Load Type.A Type.B Type.A Type.B qqplot: Type_A only qqplot: Type_B only Type qqplot: all data Load Load Load norm quantiles norm quantiles norm quantiles > numsummary(problem01[,"load"], groups=problem01$type, statistics=c("mean", "sd", + "se(mean)", "IQR", "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1)) mean sd se(mean) IQR 0% 25% 50% 75% 100% data:n Type.A Type.B > t.test(load~type, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=true, + data=problem01) data: Load by Type t = , df =??, p-value = > t.test(load~type, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=false, + data=problem01) data: Load by Type t = , df = , p-value = > var.test(load ~ Type, alternative='two.sided', conf.level=.95, data=problem01) data: Load by Type F = , num df =??, denom df =??, p-value = > with(problem01a, shapiro.test(load)) # Type_A only data: Load W = , p-value = > with(problem01b, shapiro.test(load)) # Type_B only data: Load W = , p-value = > with(problem01, shapiro.test(load)) # all data data: Load W = , p-value = DM81 5

8 Appendix 2a (Opgave ST3) > numsummary(problem03[,c("dose", "Stolling")], statistics=c("mean", "sd", "IQR", + "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1)) mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n Dose Stolling x-axis: Dose, y-axis: Stolling > cor(problem03[,c("dose","stolling")]) Stolling Dose Stolling Dose Stolling > Anova(LinearModel.1, type="ii") Response: Stolling Sum Sq Df F value Pr(>F) Dose ?? e-11 Residuals ?? Dose > LinearModel.1 <- lm(stolling ~ Dose, data=problem03) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-12 Dose e-11 Residual standard error: on?? degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on?? and?? DF, p-value: 6.195e-11 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.1) Residuals Standardized residuals Studentized Residuals(LinearModel.1) t Quantiles Appendix 2b 2DM81 6

9 Appendix 2b (Opgave ST 3d) > LinearModel.2 <- lm(stolling ~ Dose +Temp, data=problem03) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Dose e-09 Temp e-05 Residual standard error: on?? degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on?? and?? DF, p-value: 8.383e-14 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.2) Residuals Standardized residuals Studentized Residuals(LinearModel.2) t Quantiles > LinearModel.3 <- lm(stolling ~ Dose * Temp, data=problem03) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Dose Temp Dose:Temp Residual standard error: on?? degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 179 on?? and?? DF, p-value: 1.619e-12 Residual vs. Fitted: Scale - Location: qqplot(linearmodel.3) Residuals Standardized residuals Studentized Residuals(LinearModel.3) t Quantiles 2DM81 7

10 Tabel Standard normal distribution Tabel Student t-verdeling 2DM81 8