b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): hoogte

Transcriptie

1 Classroom Exercises GEO Opgave 7.1 a) Regressie-analyse dicteert hier geen stricte regels voor. Wanneer we echter naar causaliteit kijken (wat wordt door wat bepaald), dan is het duidelijk dat hoogte nooit door vochtgehalte bepaald kan worden, terwijl het omgekeerde wel mogelijk is. Het ligt daarom voor de hand om vocht als afhankelijk van hoogte te modelleren. b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): vocht Er is sprake van een negatief lineair verband. Negatief wil zeggen dat het vochtgehalte afneemt als de hoogte toeneemt. De relatie lijkt verder redelijk sterk. hoogte c) Een visuele inspectie van het spreidingsdiagram levert op dat: Er is sprake van een lineair verband. De punten liggen mooi verspreid rond de regressie-lijn. Zo lijkt het erop dat de residuen geen relatie hebben met de hoogte (bv. er is bij lagere hoogte niet veel meer scatter dan bij hogere hoogtes). Er zijn geen extreme uitschieters. Hoewel moeilijk te zien zou het best zo kunnen zijn dat de residuen normaal verdeeld zijn. Al met al wordt aan de voorwaarden voor een lineaire regressie voldaan.

2 d) Om deze vraag te beantwoorden is het handig om eerst de tabel als volgt aan te vullen met de 3de en 4de kolom (X = 179.4; Y = 38.6: X Y (%) X X Y Y residu Hieruit kunnen we berekenen (xy) = 17055, (x 2 ) = 79971, en dus b = 17055/79971 = En: a = Y bx = = We hebben dus gevonden: vochtgehalte = *hoogte Deze lijn staat in het spreidingsdiagram getekend. e) Invullen van 150 cm in de regressie-vergelijking. Vochtgehalte = * = 44.87%. f) De residuen kun je uitrekenen als Y (a+bx). Hun waarden staan in de vijfde kolom van bovenstaande tabel. De residuele variantie is (blz 379) s 2 = 1 n 2 (Y Ŷ ) 2 ) = s g) Het 95% betrouwbaarheidsinterval loopt van b t α/2 (x tot b + t 2 α/2 s (x. ) 2 ) De waarde van t bij n 2 = 12 vrijheidsgraden bedraagt (tabel V) Het 95% betrouwbaarheidsinterval loopt dus: van tot = van tot h) Het uitgerekende interval omvat niet 0. Oftewel, de relatie is significant bij α = 0.05.

3 Opgave 7.2 a) Het is duidelijk dat de afvoer veroorzaakt wordt door de neerslag. Alhoewel er geen stricte regels zijn bij lineaire regressie welke variabele X en welke Y moet zijn, ligt het hier van wege de causaliteit voor de hand om de neerslag de onafhankelijke variabele X en de afvoer de afhankelijke variabele Y te nemen. b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): afvoer neerslag Er is sprake van een positief lineair verband. Positief wil zeggen dat de afvoer toeneemt als de neerslag toeneemt. De relatie lijkt verder redelijk sterk. Een visuele inspectie van het spreidingsdiagram levert op dat: Er is sprake van een lineair verband. De punten liggen mooi verspreid rond de regressie-lijn. Zo lijkt het erop dat de residuen geen relatie hebben met de neerslag (bv. er is bij lagere neerslag niet veel meer scatter dan bij hogere neerslag, al moet wel worden toegegeven dat het aantal gegevens bij een hogere neerslag nogal beperkt is om dit echt te kunnen aantonen). Er zijn geen extreme uitschieters. Hoewel moeilijk te zien zou het best zo kunnen zijn dat de residuen normaal verdeeld zijn.

4 Al met al lijkt aan dus aan de voorwaarden voor lineaire regressie voldaan. c) X = 100.1, Y = 99.9 [NB 100 omdat de getallen als percentage van het gemiddelde zijn genomen], (xy) = 12042, en (x 2 ) = d) b = (xy)/ (x 2 ) = 12042/9091 = a = Y bx = = 32.6 e) De schattingsfout s is de wortel van de residuele variantie, s 2. De residuen kun je 1 uitreken als Y (a+bx). Dit leidt tot s = n 2 (Y Ŷ ) 2 1 = = f) Dit kan worden bepaald door het 95% betrouwbaarheidsinterval voor b uit te rekenen, en te kijken of dit interval 0 omvat. Het 95% betrouwbaarheidsinterval voor b loopt s van b t α/2 (x tot b + t 2 α/2 s (x. De waarde van t ) bij n 2 = 16 ) vrijheidsgraden bedraagt (tabel V) Het 95% betrouwbaarheidsinterval loopt dus: van tot = van tot Zoals je ziet, omvat het 95% betrouwbaarheidsinterval voor b niet 0. Oftewel, de relatie tussen neerslag en afvoer is statistisch significant bij α = g) De verwachte (gemiddelde) afvoer is 1.325* = h) Het 95% interval voor een (gemiddelde) verwachte afvoer Ŷ loopt van Ŷ t α/2 s (1/n) + (X X) 2 / (x 2 ) tot Ŷ + t α/2 s (1/n) + (X X) 2 / (x 2 ). De waarde van t bij n 2 = 16 vrijheidsgraden bedraagt (tabel V) Het 95% betrouwbaarheidsinterval loopt dus: van ((1/18) + (( ) 2 /9091)) tot ((1/18) + (( ) 2 /9091)) = 88.1 tot Wanneer je dit interval voor veel meer waardes van de neerslag had uitgerekend, en alle berekende intervallen als een bovengrens en ondergrens had uitgezet, had je het figuur op de voorkant van deze uitwerkingen gekregen.

5 Opgave 7.3 a) De covariantie is gedefinieerd als cov = 1 n 1 n i=1 (X i X)(Y i Y ) = 1 n 1 (xy). (1) Van het vorig werkcollege: (xy) = Dus, cov = 17055/(14 1) = b) De correlatie-coëfficiënt kan worden uitgerekend als r = cov s x s y. (2) De standaarddeviatie van X is 78.43, en van Y Invullen geeft r = /( ) = c) Verklaarde variatie (%) = r = 76.5%. d) Gebruik figuur 15.4 op blz 480 van het boek. n = 14 is er niet, dus kijk bij n = 15. De onderste n = 15 lijn aflezen bij r = 0.9 geeft ongeveer ρ = 0.96, de bovenste n = 15 lijn aflezen geeft dan ρ = 0.7. Het is duidelijk dat het interval rho = 0 niet omvat, de relatie is statistisch significant bij α = Dit is uiteraard dezelfde conclusie als bij werkcollege 7.

6 Opgave 7.4 a) Verklaarde variatie (%) = r Eerst dus r uitrekenen: r = cov s x s y, (3) met cov = 1 n (X i X)(Y i Y ) = 1 (xy). (4) n 1 n 1 i=1 (xy) = Dus cov = 12042/17 = De standaarddeviatie van X en Y bedragen respectivelijk 23.1 en Dus r = 708.4/( ) = De verklaarde variatie is dus = 90.8%. b) Gebruik wederom figuur 15.4 op blz 480, nu met n = 15. Erg moeilijk aflezen, maar het 95% betrouwbaarheidsinterval voor ρ is ongeveer van 0.88 tot c) Het interval berekend bij b omvat niet 0. Dat betekent dat de relatie statistisch significant is bij α = Dit is dezelfde conclusie als bij Opgave 7.2f.

7 Opgave 7.5 a) Een visuele inspectie van het spreidingsdiagram levert op dat: Er is sprake van een lineair verband. De punten liggen mooi verspreid rond de regressie-lijn. Zo lijkt het erop dat de residuen geen relatie hebben met de neerslag (bv. er is bij lagere neerslag niet veel meer scatter dan bij hogere neerslag, al moet wel worden toegegeven dat het aantal gegevens bij een hogere neerslag nogal beperkt is om dit echt te kunnen aantonen). Er zijn geen extreme uitschieters. Hoewel moeilijk te zien zou het best zo kunnen zijn dat de residuen normaal verdeeld zijn. b) De covariantie kan worden uitgerekend met cov = (xy)/(n 1), met (xy) = (X X)(Y Y ) (5) Uit de gegeven tabel kan worden uitgerekend: (xy) = De covariantie is / 9 = c) De correlatie-coëfficiënt is r = cov/(s x s y ) = 135.3/( ) = Merk op dat s x en s y allebei al gegeven waren in de opgave. d) Dit kunnen we doen door het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de populatie correlatiecoëfficiënt ρ te bepalen en te kijken of dit interval 0 omvat. Gebruik figuur 15.4, blz 480. M.b.v. de 2 n = 10 lijnen kun je aflezen dat het 95% betrouwbaarheidsinterval voor ρ loopt van (ongeveer) tot Het interval omvat niet 0, dus de relatie is statistisch significant bij α = e) Het is hier het handigst om b uit te rekenen als b = rs Y /s X. Dit geeft b = /46.5 = Voor a: a = Y bx = = f) De schattingsfout is de wortel uit de residuele variantie. De residuen kunnen worden uitgerekend als Y (a + bx). De residuele variantie is s 2 = 1 (Y Ŷ ) 2. (6) n 2 Uitrekenen geeft (Y Ŷ 2 ) = 41.35, en s 2 = De schattingsfout is dan g) Invullen van x = 90 in de regressielijn Ŷ = x geeft h) Verklaarde variatie (%) = r = 64.8%.

8 Opgave 7.6 a) Uit de gegevens kan worden uitgerekend: X = 17.5 en Y = Gegeven zijn reeds: x 2 = 1050, y 2 = en xy = Dit leidt tot b = xy/ x 2 = 2815/1050 = 2.68 en tot a = Y bx = ( ) = De regressielijn is dus: Y = 2.68X , met X is diepte en Y is vochtgehalte. b) : Vochtgehalte Diepte c) De residuen zijn Y ( 2.68X ) en zijn voor diepte van 0 tot 35 m als volgt: 29.3, -3.3, -13.9, -19.4, -11.0, -6.6, 7.8 en Residu Diepte

9 d) De schattingsfout s is gelijk aan (Y Ŷ ) 2 /(n 2). De waarden voor Y Ŷ zijn de zo juist uitgerekende residuen. Invullen met n = 8 levert s = 18.1 op. e) Dit kan worden uitgezocht door het 95% betrouwbaarheidsinterval voor β uit te rekenen, en te kijken of dit interval 0 omvat. Dit laatste impliceert dat de nulhypothese β = 0 en de alternatieve hypothese β 0 is. Zou de nulhypothese waar zijn, dit is de uitgerekende regressielijn niet statistisch significant verschillend van een horizontale lijn (b = 0). Een horizontale lijn impliceert geen relatie tussen X en Y, immers voor elke X komt er dan dezelfde Y uit. (Uiteraard kan er ook een ander betrouwbaarheidsinterval worden uitgerekend, bv 99%, maar de huidige uitwerking gebruikt het 95% interval) Het interval loopt van b t α/2 s/ x 2 tot b + t α/2 s/ x 2. t α/2 met df = n 2 = 6 bedraagt hier (Tabel V) De waarden voor s en x 2 zijn al bekend. Invullen geeft voor het interval: [ *18.1/ *18.1/32.40] = [ ]. Dit interval omvat niet 0, dus de lineaire relatie tussen X en Y is statistisch significant met 95% betrouwbaarheid. (Voor α = 0.01 hadden we het interval [ ] gevonden, met dus dezelfde eindconclusie) f) Degene die deze opmerking maakt heeft volledig gelijk. Het spreidingsdiagram geeft aan dat de relatie tussen X en Y niet lineair is. Dit blijkt ook de grafiek met de residuen. De waarde van de residuen is duidelijk afhankelijk van de waarde van X. Voor deze situatie is lineaire regressie dus niet de meest aangewezen techniek. Toch komt er bij het toepassen van lineaire regressie een statistsch significant verband uit. Deze opgave fungeert dus vooral om je er van te laten doordringen hoe belangrijk het is om een spreidingsdiagram en een residuen-analyse uit te voeren. Zonder deze figuren had je gewoon een lineaire lijn uitgerekend, zonder te weten dat deze lijn geen goede beschrijving van de daadwerkelijke relatie tussen diepte en vochtgehalte is. Bij het maken van eventuele nieuwe voorspellingen was je dan flink de fout ingegaan.