Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?"

Transcriptie

1 Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? dr. H.P. Lopuhaä UHD Statistiek Opleiding Technische Wiskunde Faculteit Informatietechnologie & Systemen Technische Universiteit Delft TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

2 Inhoud Introductie

3 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden

4 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden

5 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden Wat heeft dit met Wiskunde te maken?

6 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden Wat heeft dit met Wiskunde te maken? Resultaten voor de 2e wereldoorlog TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

7 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal

8 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal Doel: beter inzicht te verkijgen in de Duitse oorlogsproductie (hoeveel, wanneer en waar) en oorlogsterkte

9 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal Doel: beter inzicht te verkijgen in de Duitse oorlogsproductie (hoeveel, wanneer en waar) en oorlogsterkte Eerst banden van trucks, auto s en vliegtuigen Later tanks, trucks, kanonnen, raketten TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

10 Banden n serienummers werden gedecodeerd en vertaald naar een steekproef van n getallen uit 1, 2,..., N De onbekende N interpreteren we als het totaal aantal banden

11 Banden n serienummers werden gedecodeerd en vertaald naar een steekproef van n getallen uit 1, 2,..., N De onbekende N interpreteren we als het totaal aantal banden Doel: schat N op basis van de n buitgemaakte serienummers TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

12 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N

13 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N elk getal uit 1, 2,..., N heeft evenveel kans om getrokken te worden

14 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N elk getal uit 1, 2,..., N heeft evenveel kans om getrokken te worden het resultaat van een bepaalde trekking heeft geen invloed op het resultaat van andere trekkingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

15 Mogelijke schattingsmethoden

16 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef

17 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef 2. Methode gebaseerd op het maximum van de steekproef

18 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef 2. Methode gebaseerd op het maximum van de steekproef 3. Methode gebaseerd op onderlinge tussenafstanden in de steekproef TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

19 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N + 1 2

20 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N Dit suggereert voor het gemiddelde van de getallen in de steekproef, dat X n = X 1 + X X n n N + 1 2

21 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N Dit suggereert voor het gemiddelde van de getallen in de steekproef, dat Neem als schatter voor N X n = X 1 + X X n n N T 1 = 2 X n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

22 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N

23 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N

24 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N Merk echter ook op dat voor alle getallen (n = N) geldt N + 1 N M N = N + 1 N N = N + 1

25 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N Merk echter ook op dat voor alle getallen (n = N) geldt Dus neem als schatter N + 1 N M N = N + 1 N N = N + 1 T 2 = n + 1 n M n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

26 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte

27 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte Merk op dat het aantal ontbrekende nummers tussen het maximum en N ongeveer gelijk is aan de gemiddelde tussenafstand: N M n D D n 1 n 1

28 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte Merk op dat het aantal ontbrekende nummers tussen het maximum en N ongeveer gelijk is aan de gemiddelde tussenafstand: Dus neem als schatter N M n D D n 1 n 1 T 3 = M n + D D n 1 n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

29 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: T 1 = 2 X n 1

30 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: 2. methode gebaseerd op het maximum T 1 = 2 X n 1 T 2 = n + 1 n M n 1

31 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: 2. methode gebaseerd op het maximum 3. methode gebaseerd op tussenafstanden T 1 = 2 X n 1 T 2 = n + 1 n M n 1 T 3 = M n + D D n 1 n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

32 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt?

33 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N?

34 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol?

35 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol? Neem als voorbeeld N = Trek zonder teruglegging n getallen uit 1, 2,...,

36 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol? Neem als voorbeeld N = Trek zonder teruglegging n getallen uit 1, 2,..., Gedrag bij toenemende steekproefomvang n Plot de waarde van de schatter als functie van n TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

37 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N?

38 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = 500

39 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,...,

40 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter

41 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer

42 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer Plot een histogram van de 1000 herhaalde schattingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

43 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding?

44 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = 500

45 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,...,

46 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken alledrie de schatters

47 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken alledrie de schatters 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer Vergelijk de drie histogrammen van de 1000 schattingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

48 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,....

49 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N

50 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N

51 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N, E(T 2 ) = N

52 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N, E(T 2 ) = N, E(T 3 ) = N TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

53 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T.

54 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2

55 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = (N n)(n + 1) 3n

56 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = V (T 2 ) = (N n)(n + 1) 3n (N n)(n + 1) (n + 2)n

57 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = V (T 2 ) = V (T 3 ) = (N n)(n + 1) 3n (N n)(n + 1) (n + 2)n (N n)(n + 1)n (n + 2)(n 1)(n + 1) TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

58 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 3. Bestaat er een zuivere schatter met de kleinst mogelijke variantie?

59 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 3. Bestaat er een zuivere schatter met de kleinst mogelijke variantie? Met andere woorden, bestaat er een T die voldoet aan E(T ) = N zodanig dat V (T ) V (U) voor elke andere schatter U, die voldoet aan E(U) = N TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

60 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA:

61 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA: Met behulp van wiskundige theorie ( ) kan worden afgeleid dat schatter T 2 = n + 1 n M n 1 een zuivere schatter is, met de kleinst mogelijke variantie onder alle zuivere schatters

62 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA: Met behulp van wiskundige theorie ( ) kan worden afgeleid dat schatter T 2 = n + 1 n M n 1 een zuivere schatter is, met de kleinst mogelijke variantie onder alle zuivere schatters Welke methode gebruikte men in de tweede wereldoorlog? TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

63 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3

64 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1

65 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1

66 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1 = n 2 n 2 1 T n 2 1 min n 1

67 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1 = T 2 n 2 n 2 1 T n 2 1 min n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

68 Gemiddelde maandelijkse productie van banden tijdens periode Januari - Maart 1943 Type band schatting werkelijk Truck en auto Vliegtuig Totaal

69 Gemiddelde maandelijkse productie van banden tijdens periode Januari - Maart 1943 Type band schatting werkelijk geheime dienst Truck en auto Vliegtuig Totaal TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

70 Productie van trucks in 1942 Type truck schatting werkelijk Lichte truck Medium truck Zware truck Totaal

71 Productie van trucks in 1942 Type truck schatting werkelijk geheime dienst Lichte truck Medium truck Zware truck Totaal TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

72 Gemiddelde maandelijkse productie van tanks in Datum schatting werkelijk Juni Juni Augustus

73 Gemiddelde maandelijkse productie van tanks in Datum schatting werkelijk geheime dienst Juni Juni Augustus TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

74 Jaarlijkse productie van kanonnen Type Jaar schatting werkelijk 7.5 cm. Pak cm. Kwk cm. Kwk TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

75 Productie van V-2 raketten Periode schatting werkelijk Tot aan 15 sep sep - 29 okt okt - 24 nov nov - 15 jan jan -15 feb TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Rik Lopuhaä TU Delft 30 januari, 2015 Rik Lopuhaä (TU Delft) Schatten van de Duitse oorlogsproductie 30 januari,

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1 Juno KOEKELKOREN D.1.3. OEFENINGENREEKS 3 OEFENING 1 In onderstaande tabel vind je zes waarnemingen van twee variabelen (ratio meetniveau). Eén van de waarden van y is onbekend. Waarde x y 1 1 2 2 9 2

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

variantie: achtergronden en berekening

variantie: achtergronden en berekening variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei 007 1 berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Studentenhuisvesting

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Studentenhuisvesting Omnibusenquête 2015 deelrapport Studentenhuisvesting Omnibusenquête 2015 deelrapport Studentenhuisvesting OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport STUDENTENHUISVESTING Zoetermeer, 9 december 2015 Gemeente Zoetermeer

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit Kwaliteit Les 1 Kwaliteitsbeheersing Introductie & Begrippen Monstername Les 2 Kwaliteitsgegevens Gegevens Verzamelen Gegevens Weergeven Les 3 Introductie Statistiek Statistische begrippen Statistische

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Inleiding statistiek

Inleiding statistiek Inleiding Statistiek Pagina 1 uit 8 Inleiding statistiek 1. Inleiding In deze oefeningensessie is het de bedoeling jullie vertrouwd te maken met een aantal basisbegrippen van de statistiek, meer bepaald

Nadere informatie

STATISTIEK OEFENOPGAVEN

STATISTIEK OEFENOPGAVEN STATISTIEK OEFENOPGAVEN 1. Bereken van elke serie getallen steeds de modus, het gemiddelde, de mediaan en de spreidingsbreedte. A. 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 10. B. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 8, 9, 11. C. 9, 3,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen Statistiek 2009 Versie 2

Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen Statistiek 2009 Versie 2 Centraal Bureau voor de Statistiek Divisie sociale en regionale statistieken (SRS) Sector statistische analyse voorburg (SAV) Postbus 24500 2490 HA Den Haag Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2010-2011 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Memo. 6 januari aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij. onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014.

Memo. 6 januari aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij. onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014. aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij Memo onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014. 6 januari 2015 Introductie Voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014, dat het

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van

Nadere informatie

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Ter Zake Het Ondernemershuis

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Ter Zake Het Ondernemershuis Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport TER ZAKE HET ONDERNEMERSHUIS Zoetermeer, 15 februari

Nadere informatie

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A Domein Statistiek en kansrekening havo A 4 Normale verdeling Inhoud 4.0 Een bijzondere verdeling 4.1 Gemiddelde en standaardafwijking 4.2 Normale verdeling 4.3 Rekenen met normale verdelingen 4.4 Steekproef

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen 1a. Niet sterk, want het is gebaseerd op slechts één zomer. b. Vriendinnen volgen is een vorm van groepsgedrag. Waar heeft Anneke het bericht gelezen? In een kwaliteitskrant

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t

Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t 07 Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t Publicatiedatum CBS-website: 24 november 2008 Den Haag/Heerlen Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim

Nadere informatie

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20 Januari 2016 Vrijdag 1-jan 6:44 8:50 11:41 12:44 14:55 16:41 18:45 Zaterdag 2-jan 6:44 8:50 11:41 12:45 14:56 16:42 18:46 Zondag 3-jan 6:44 8:50 11:42 12:45 14:57 16:43 18:47 Maandag 4-jan 6:44 8:49 11:42

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00 3de bach HI Econometrie Volledige samenvatting Q www.quickprinter.be uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen 170 A 11,00 Practicum 0: Herhaling statistiek Hier vindt u een kort overzicht van enkele

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 420 Dit is geen open boek tentamen.

Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 420 Dit is geen open boek tentamen. Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: 19-12-2002 Tijd: 9.00-12.00, BBL 420 Dit is geen open boek tentamen. Algemene aanwijzingen 1. U mag ten hoogste één A4 met aantekeningen raadplegen.

Nadere informatie

Foutenbronnen bij statistisch onderzoek. 9 10Jelke Bethlehem. Statistische Methoden (10004)

Foutenbronnen bij statistisch onderzoek. 9 10Jelke Bethlehem. Statistische Methoden (10004) Foutenbronnen bij statistisch onderzoek 9 10Jelke Bethlehem Statistische Methoden (10004) Den Haag/Heerlen, 2010 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer ** = nader voorlopig cijfer

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat

De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat Met boeken statistiek alleen kan men een hele bibliotheek vullen. Het domein is zo uitgebreid en de maatschappelijke relevantie zo groot dat er inmiddels

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Duikeend Op het IJsselmeer overwinteren grote groepen duikeenden. Ze leven van mosselen die daar veel op de bodem voorkomen. Duikeenden slikken hun mosselen met

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Scores. 100 71,43. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde

Scores. 100 71,43. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde Scores Op een internetsite kunnen liefhebbers Stepbridge spelen. Elke keer dat je Stepbridge speelt, wordt je prestatie uitgedrukt in een aantal punten. Om prestaties van spelers met elkaar te kunnen vergelijken,

Nadere informatie

Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Stam-bladdiagram en boxplot zijn methoden om visueel een verdeling voor te stellen.

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni uur Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

S1 STATISTIEK. Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding

S1 STATISTIEK. Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding S1 STATISTIEK Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding TABELLEN & DIAGRAMMEN WELKE AUTO VIND JIJ HET MOOISTE? Kies 1,2,3,4 of 5 NUMMER 1 NUMMER 2 NUMMER 3 NUMMER 4 NUMMER 5 VERWERKING Tabel Cirkeldiagram

Nadere informatie

Omnibusenquête deelrapport. Werk, zorg en inkomen

Omnibusenquête deelrapport. Werk, zorg en inkomen Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport WERK, ZORG EN INKOMEN Zoetermeer, 25 januari 2016 Gemeente Zoetermeer

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector

Nadere informatie

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 2 kruistabel a c b d, met phi = ad bc ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) als phi

Nadere informatie

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Opmerkingen vooraf Wiskunde Pagina 2 uit 20 Opmerkingen vooraf Pak je rekenmachine, de TI-83, erbij en

Nadere informatie

Omnibusenquête deelrapport. Zoetermeer FM

Omnibusenquête deelrapport. Zoetermeer FM Omnibusenquête 2015 deelrapport Zoetermeer FM Omnibusenquête 2015 deelrapport Zoetermeer FM OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport ZOETERMEER FM Zoetermeer, 18 december 2015 Gemeente Zoetermeer Afdeling Juridische

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 2.4.1 Basis Verhoudingen 1 13 cm : 390 km, dat is 13 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 13 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot 1 : 3.000.000. 2 De schaal

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

STATISTIEK. Een korte samenvatting over: Termen Tabellen Diagrammen

STATISTIEK. Een korte samenvatting over: Termen Tabellen Diagrammen STATISTIEK Een korte samenvatting over: Termen Tabellen Diagrammen Modus De waarneming die het meeste voorkomt. voorbeeld 1: De waarnemingen zijn 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7 en 8. De waarneming 5 komt het

Nadere informatie

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke Niet de hoogte, wel de oppervlakte Prof. dr. Herman Callaert Aandachtspunten bij - statistische technieken voor een continue veranderlijke - de interpretatie van een histogram - de normale dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Herkansing Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 508 Dit is geen open boek tentamen.

Herkansing Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 508 Dit is geen open boek tentamen. Herkansing Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: 3-3-2003 Tijd: 14.00-17.00, BBL 508 Dit is geen open boek tentamen. Algemene aanwijzingen 1. U mag ten hoogste één A4 met aantekeningen raadplegen.

Nadere informatie

Klantonderzoek: statistiek!

Klantonderzoek: statistiek! Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Verwachte tijd tot verwachting (Engelse titel: Expected time till expectancy)

Verwachte tijd tot verwachting (Engelse titel: Expected time till expectancy) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Verwachte tijd tot verwachting (Engelse titel: Expected time till expectancy) Verslag

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 23 mei 13.30-16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Een touwtje om de aarde

Een touwtje om de aarde Een touwtje om de aarde Quidquid latine dictum sit, altum videtur K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Leiden, 22 oktober 2014: 13:00 13:45 Vraag 1 Stel je voor dat er een touw strak om de aarde getrokken

Nadere informatie

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-2 H10: Kansverdelingen..3-4 H11: Allerlei functies.5- Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve formule

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A Experimenteel (oude stijl)

Examen VWO. Wiskunde A Experimenteel (oude stijl) Wiskunde A Experimenteel (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 31 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 0 punten te behalen; het examen

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek

Permutaties Combinaties Binomiaalcoëfficiënt Variaties. Combinatoriek. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Combinatoriek 27 januari 2014 Deze les Inleiding combinatoriek: de faculteit permutaties combinaties variaties de binomiaalcoëfficiënt De faculteit Eenvoudige recursieve definitie: 0! = 1 n! = n(n 1)! Voorbeelden: 5!

Nadere informatie

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel

Nadere informatie

Statistisch Bulletin. Jaargang 71 2015 17

Statistisch Bulletin. Jaargang 71 2015 17 Statistisch Bulletin Jaargang 71 2015 17 23 april 2015 Inhoud 1. Arbeid en sociale zekerheid 3 CBS: Meer mensen aan het werk, vooral jongeren 3 Werkloze beroepsbevolking 4 2. Inkomen en bestedingen 5 Vertrouwen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur. Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een (eventueel

Nadere informatie

Robuustheid regressiemodel voor kapitaalkosten gebaseerd op aansluitdichtheid

Robuustheid regressiemodel voor kapitaalkosten gebaseerd op aansluitdichtheid Robuustheid regressiemodel voor kapitaalkosten gebaseerd op aansluitdichtheid Dr.ir. P.W. Heijnen Faculteit Techniek, Bestuur en Management Technische Universiteit Delft 22 april 2010 1 1 Introductie De

Nadere informatie

Samenvatting (in Dutch)

Samenvatting (in Dutch) Samenvatting (in Dutch) Geordende latente klassen modellen voor nonparametrische itemresponstheorie Een geordend latente klassen model kan als een nonparametrisch itemresponstheorie model beschouwd worden.

Nadere informatie

b. F (y) = 1 2 f. F (y) =

b. F (y) = 1 2 f. F (y) = Tentamen Statistische methoden MST-STM 27 juni 20, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B1 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 19 mei 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 83 unten te behalen; het examen bestaat uit 3 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN

Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN september 2015 1 KWALITEITSRAPPORTAGE VAN HET MOBIELE NETWERK VAN KPN Mobiel bellen en gebeld worden

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The

Nadere informatie

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets Moore, McCabe, and Craig.

Nadere informatie

Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016

Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016 Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016 Open vragen Vraag 1 1. Bewijs dat σ^² een onvertekende schatter is voor σ²=σi 1/n * Xi² 2. Bereken de variantie van o^² 3. Is de schatter consistent? 4. Teken chi-kwadraat

Nadere informatie

Durft u het risico aan?

Durft u het risico aan? Durft u het risico aan? Hoe het uitkeringspercentage van de vernieuwde Nederlandse Lotto te schatten? Ton Dieker en Henk Tijms De Lotto is in Nederland een grote speler op de kansspelmarkt. Met onderdelen

Nadere informatie

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling

Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Statistische analyse CMDB

Statistische analyse CMDB UvA IC, IMP overleg, 16 november 2010 Statistische analyse CMDB B. Kleijn, KdV Instituut, UvA in samenwerking met C. Klaassen (KdVI, UvA) R. Knijn (IC, UvA) Statistische vraag Analyse en enquete Analyse

Nadere informatie