Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?"

Transcriptie

1 Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? dr. H.P. Lopuhaä UHD Statistiek Opleiding Technische Wiskunde Faculteit Informatietechnologie & Systemen Technische Universiteit Delft TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

2 Inhoud Introductie

3 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden

4 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden

5 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden Wat heeft dit met Wiskunde te maken?

6 Inhoud Introductie Mogelijke schattingsmethoden Onderzoeken en vergelijken van de verschillende methoden Wat heeft dit met Wiskunde te maken? Resultaten voor de 2e wereldoorlog TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

7 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal

8 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal Doel: beter inzicht te verkijgen in de Duitse oorlogsproductie (hoeveel, wanneer en waar) en oorlogsterkte

9 Introductie Begin 1943: Economic Warfare Division van de Amerikaanse ambassade in Londen begint een samenwerking het Britse Ministry of Economic Warfare waarbij men merktekens en serienummers analyseert op buitgemaakt Duits oorlogsmateriaal Doel: beter inzicht te verkijgen in de Duitse oorlogsproductie (hoeveel, wanneer en waar) en oorlogsterkte Eerst banden van trucks, auto s en vliegtuigen Later tanks, trucks, kanonnen, raketten TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

10 Banden n serienummers werden gedecodeerd en vertaald naar een steekproef van n getallen uit 1, 2,..., N De onbekende N interpreteren we als het totaal aantal banden

11 Banden n serienummers werden gedecodeerd en vertaald naar een steekproef van n getallen uit 1, 2,..., N De onbekende N interpreteren we als het totaal aantal banden Doel: schat N op basis van de n buitgemaakte serienummers TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

12 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N

13 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N elk getal uit 1, 2,..., N heeft evenveel kans om getrokken te worden

14 Statistisch model de gedecodeerde serienummers X 1, X 2,..., X n vatten we op als trekkingen zonder teruglegging uit 1, 2,..., N elk getal uit 1, 2,..., N heeft evenveel kans om getrokken te worden het resultaat van een bepaalde trekking heeft geen invloed op het resultaat van andere trekkingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

15 Mogelijke schattingsmethoden

16 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef

17 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef 2. Methode gebaseerd op het maximum van de steekproef

18 Mogelijke schattingsmethoden 1. Methode gebaseerd op het gemiddelde van de steekproef 2. Methode gebaseerd op het maximum van de steekproef 3. Methode gebaseerd op onderlinge tussenafstanden in de steekproef TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

19 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N + 1 2

20 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N Dit suggereert voor het gemiddelde van de getallen in de steekproef, dat X n = X 1 + X X n n N + 1 2

21 1. Schatter gebaseerd op het gemiddelde Merk op dat voor het gemiddelde van alle getallen geldt N N = 1 2N(N + 1) N = N Dit suggereert voor het gemiddelde van de getallen in de steekproef, dat Neem als schatter voor N X n = X 1 + X X n n N T 1 = 2 X n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

22 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N

23 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N

24 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N Merk echter ook op dat voor alle getallen (n = N) geldt N + 1 N M N = N + 1 N N = N + 1

25 2. Schatter gebaseerd op het maximum Merk op dat voor M n = maximum van X 1, X 2,..., X n geldt M n n n + 1 N zodat n + 1 n M n N Merk echter ook op dat voor alle getallen (n = N) geldt Dus neem als schatter N + 1 N M N = N + 1 N N = N + 1 T 2 = n + 1 n M n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

26 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte

27 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte Merk op dat het aantal ontbrekende nummers tussen het maximum en N ongeveer gelijk is aan de gemiddelde tussenafstand: N M n D D n 1 n 1

28 3. Schatter gebaseerd op tussenafstanden Definieer de tussenafstand D i als het aantal ontbrekende nummers tussen het i-de en het (i + 1)-de steekproefnummer in volgorde naar grootte Merk op dat het aantal ontbrekende nummers tussen het maximum en N ongeveer gelijk is aan de gemiddelde tussenafstand: Dus neem als schatter N M n D D n 1 n 1 T 3 = M n + D D n 1 n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

29 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: T 1 = 2 X n 1

30 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: 2. methode gebaseerd op het maximum T 1 = 2 X n 1 T 2 = n + 1 n M n 1

31 Mogelijke schattingsmethoden 1. methode gebaseerd op het gemiddelde: 2. methode gebaseerd op het maximum 3. methode gebaseerd op tussenafstanden T 1 = 2 X n 1 T 2 = n + 1 n M n 1 T 3 = M n + D D n 1 n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

32 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt?

33 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N?

34 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol?

35 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol? Neem als voorbeeld N = Trek zonder teruglegging n getallen uit 1, 2,...,

36 Onderzoeken van de drie methoden Wordt schatting beter als n toeneemt? Hoe snel komt schatting dichter bij N? In hoeverre speelt de getrokken steekproef een rol? Neem als voorbeeld N = Trek zonder teruglegging n getallen uit 1, 2,..., Gedrag bij toenemende steekproefomvang n Plot de waarde van de schatter als functie van n TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

37 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N?

38 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = 500

39 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,...,

40 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter

41 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer

42 Gedrag bij herhaalde steekproeven van vaste omvang Is de schatting gemiddeld genomen in de buurt van N? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken de schatter 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer Plot een histogram van de 1000 herhaalde schattingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

43 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding?

44 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = 500

45 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,...,

46 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken alledrie de schatters

47 Onderling vergelijken van de drie methodes Hoe erg verschilt de mate van spreiding? Neem als voorbeeld N = en n = Trek zonder teruglegging 500 getallen uit 1, 2,..., Bereken alledrie de schatters 3. Herhaal stap 1 en 2 een groot aantal malen, zeg 1000 keer Vergelijk de drie histogrammen van de 1000 schattingen TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

48 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,....

49 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N

50 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N

51 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N, E(T 2 ) = N

52 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 1. T ligt gemiddeld genomen dicht bij N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip zuiverheid van een schatter T. Stel dat T een schatter is met mogelijke waarden w 1, w 2,.... We zeggen dat T een zuivere schatter is voor N, als voor alle N E(T ) = w 1 P (T = w 1 ) + w 2 P (T = w 2 ) + = N Voor onze drie schatters geldt: E(T 1 ) = N, E(T 2 ) = N, E(T 3 ) = N TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

53 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T.

54 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2

55 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = (N n)(n + 1) 3n

56 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = V (T 2 ) = (N n)(n + 1) 3n (N n)(n + 1) (n + 2)n

57 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 2. De mate van spreiding van T rond N wordt wiskundig geformaliseerd door het begrip variantie van een schatter T. De variantie van een schatter T is gedefinieerd als V (T ) = E(T E(T )) 2 Voor onze drie schatters geldt V (T 1 ) = V (T 2 ) = V (T 3 ) = (N n)(n + 1) 3n (N n)(n + 1) (n + 2)n (N n)(n + 1)n (n + 2)(n 1)(n + 1) TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

58 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 3. Bestaat er een zuivere schatter met de kleinst mogelijke variantie?

59 Wat heeft dit met wiskunde te maken? 3. Bestaat er een zuivere schatter met de kleinst mogelijke variantie? Met andere woorden, bestaat er een T die voldoet aan E(T ) = N zodanig dat V (T ) V (U) voor elke andere schatter U, die voldoet aan E(U) = N TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

60 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA:

61 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA: Met behulp van wiskundige theorie ( ) kan worden afgeleid dat schatter T 2 = n + 1 n M n 1 een zuivere schatter is, met de kleinst mogelijke variantie onder alle zuivere schatters

62 Wat heeft dit met wiskunde te maken? JA: Met behulp van wiskundige theorie ( ) kan worden afgeleid dat schatter T 2 = n + 1 n M n 1 een zuivere schatter is, met de kleinst mogelijke variantie onder alle zuivere schatters Welke methode gebruikte men in de tweede wereldoorlog? TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

63 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3

64 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1

65 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1

66 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1 = n 2 n 2 1 T n 2 1 min n 1

67 Methode tijdens tweede wereldoorlog Tijdens de tweede wereldoorlog gebruikte men schatter T 3 Merk op dat T 3 = max + D D n 1 n 1 max min = max + 1 n 1 = T 2 n 2 n 2 1 T n 2 1 min n 1 TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

68 Gemiddelde maandelijkse productie van banden tijdens periode Januari - Maart 1943 Type band schatting werkelijk Truck en auto Vliegtuig Totaal

69 Gemiddelde maandelijkse productie van banden tijdens periode Januari - Maart 1943 Type band schatting werkelijk geheime dienst Truck en auto Vliegtuig Totaal TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

70 Productie van trucks in 1942 Type truck schatting werkelijk Lichte truck Medium truck Zware truck Totaal

71 Productie van trucks in 1942 Type truck schatting werkelijk geheime dienst Lichte truck Medium truck Zware truck Totaal TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

72 Gemiddelde maandelijkse productie van tanks in Datum schatting werkelijk Juni Juni Augustus

73 Gemiddelde maandelijkse productie van tanks in Datum schatting werkelijk geheime dienst Juni Juni Augustus TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

74 Jaarlijkse productie van kanonnen Type Jaar schatting werkelijk 7.5 cm. Pak cm. Kwk cm. Kwk TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

75 Productie van V-2 raketten Periode schatting werkelijk Tot aan 15 sep sep - 29 okt okt - 24 nov nov - 15 jan jan -15 feb TU Delft Opleiding Technische Wiskunde

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Rik Lopuhaä TU Delft 30 januari, 2015 Rik Lopuhaä (TU Delft) Schatten van de Duitse oorlogsproductie 30 januari,

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1 Juno KOEKELKOREN D.1.3. OEFENINGENREEKS 3 OEFENING 1 In onderstaande tabel vind je zes waarnemingen van twee variabelen (ratio meetniveau). Eén van de waarden van y is onbekend. Waarde x y 1 1 2 2 9 2

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Nederlandse samenvatting

Nederlandse samenvatting Kort samengevat is het doel van dit proefschrift het verbeteren van de kwaliteit van officiële statistieken. Kwaliteit van statistische informatie heeft meerdere facetten. Dit werk richt zich op twee van

Nadere informatie

variantie: achtergronden en berekening

variantie: achtergronden en berekening variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei 007 1 berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Studentenhuisvesting

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Studentenhuisvesting Omnibusenquête 2015 deelrapport Studentenhuisvesting Omnibusenquête 2015 deelrapport Studentenhuisvesting OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport STUDENTENHUISVESTING Zoetermeer, 9 december 2015 Gemeente Zoetermeer

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit Kwaliteit Les 1 Kwaliteitsbeheersing Introductie & Begrippen Monstername Les 2 Kwaliteitsgegevens Gegevens Verzamelen Gegevens Weergeven Les 3 Introductie Statistiek Statistische begrippen Statistische

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

EWMA Control Charts in Statistical Process Monitoring I.M. Zwetsloot

EWMA Control Charts in Statistical Process Monitoring I.M. Zwetsloot EWMA Control Charts in Statistical Process Monitoring I.M. Zwetsloot EWMA Control Charts in Statistical Process Monitoring Inez M. Zwetsloot Samenvatting EWMA Regelkaarten in Statistische Procesmonitoring

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Inleiding statistiek

Inleiding statistiek Inleiding Statistiek Pagina 1 uit 8 Inleiding statistiek 1. Inleiding In deze oefeningensessie is het de bedoeling jullie vertrouwd te maken met een aantal basisbegrippen van de statistiek, meer bepaald

Nadere informatie

Hoofdstuk 13. De omvang van een steekproef bepalen

Hoofdstuk 13. De omvang van een steekproef bepalen Hoofdstuk 13 De omvang van een steekproef bepalen Steekproefnauwkeurigheid Steekproefnauwkeurigheid: verwijst naar hoe dicht een steekproefgrootheid (bijvoorbeeld het gemiddelde van de antwoorden op een

Nadere informatie

STATISTIEK OEFENOPGAVEN

STATISTIEK OEFENOPGAVEN STATISTIEK OEFENOPGAVEN 1. Bereken van elke serie getallen steeds de modus, het gemiddelde, de mediaan en de spreidingsbreedte. A. 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 10. B. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 8, 9, 11. C. 9, 3,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen Statistiek 2009 Versie 2

Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen Statistiek 2009 Versie 2 Centraal Bureau voor de Statistiek Divisie sociale en regionale statistieken (SRS) Sector statistische analyse voorburg (SAV) Postbus 24500 2490 HA Den Haag Kenmerk ontheffing in de Bijstands Uitkeringen

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2010-2011 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en

Nadere informatie

Memo. 6 januari aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij. onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014.

Memo. 6 januari aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij. onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014. aan Lotte Vermey cc van Vincent de Heij Memo onderwerp Steekproef voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014. 6 januari 2015 Introductie Voor het onderzoek Sociaal Vitaal Platteland 2014, dat het

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van

Nadere informatie

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Ter Zake Het Ondernemershuis

Omnibusenquête 2015. deelrapport. Ter Zake Het Ondernemershuis Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport TER ZAKE HET ONDERNEMERSHUIS Zoetermeer, 15 februari

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A Domein Statistiek en kansrekening havo A 4 Normale verdeling Inhoud 4.0 Een bijzondere verdeling 4.1 Gemiddelde en standaardafwijking 4.2 Normale verdeling 4.3 Rekenen met normale verdelingen 4.4 Steekproef

Nadere informatie

1 Appels (2,2,2p) Betrouwbaarheidsintervallen II (2,2,2,2)

1 Appels (2,2,2p) Betrouwbaarheidsintervallen II (2,2,2,2) RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM PROEFTOETS VWO CM Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen 1a. Niet sterk, want het is gebaseerd op slechts één zomer. b. Vriendinnen volgen is een vorm van groepsgedrag. Waar heeft Anneke het bericht gelezen? In een kwaliteitskrant

Nadere informatie

Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t

Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t 07 Breuk in de tijdreeks internationale ale handel in diensten0t Publicatiedatum CBS-website: 24 november 2008 Den Haag/Heerlen Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni uur Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.

Nadere informatie

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20 Januari 2016 Vrijdag 1-jan 6:44 8:50 11:41 12:44 14:55 16:41 18:45 Zaterdag 2-jan 6:44 8:50 11:41 12:45 14:56 16:42 18:46 Zondag 3-jan 6:44 8:50 11:42 12:45 14:57 16:43 18:47 Maandag 4-jan 6:44 8:49 11:42

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door

Nadere informatie

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00 3de bach HI Econometrie Volledige samenvatting Q www.quickprinter.be uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen 170 A 11,00 Practicum 0: Herhaling statistiek Hier vindt u een kort overzicht van enkele

Nadere informatie

Hoofdstuk 12 : Regressie en correlatie. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 12 : Regressie en correlatie. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 12 : Regressie en correlatie Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Regressie en correlatie p 1/26 Regressielijn Vraag : vind het

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 420 Dit is geen open boek tentamen.

Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: Tijd: , BBL 420 Dit is geen open boek tentamen. Tentamen Inleiding Intelligente Data Analyse Datum: 19-12-2002 Tijd: 9.00-12.00, BBL 420 Dit is geen open boek tentamen. Algemene aanwijzingen 1. U mag ten hoogste één A4 met aantekeningen raadplegen.

Nadere informatie

Foutenbronnen bij statistisch onderzoek. 9 10Jelke Bethlehem. Statistische Methoden (10004)

Foutenbronnen bij statistisch onderzoek. 9 10Jelke Bethlehem. Statistische Methoden (10004) Foutenbronnen bij statistisch onderzoek 9 10Jelke Bethlehem Statistische Methoden (10004) Den Haag/Heerlen, 2010 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer ** = nader voorlopig cijfer

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat

De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat Met boeken statistiek alleen kan men een hele bibliotheek vullen. Het domein is zo uitgebreid en de maatschappelijke relevantie zo groot dat er inmiddels

Nadere informatie

Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme

Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme In 2010 is op de Europese Scholen het nieuwe wiskunde programma gestart. Een van de grote innovaties betreft het invoeren

Nadere informatie

Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Stam-bladdiagram en boxplot 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Stam-bladdiagram en boxplot zijn methoden om visueel een verdeling voor te stellen.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN

Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN Kwaliteitsrapportage van het mobiele netwerk van KPN september 2015 1 KWALITEITSRAPPORTAGE VAN HET MOBIELE NETWERK VAN KPN Mobiel bellen en gebeld worden

Nadere informatie

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99 Inhoud 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek 13 1.1 Een eerste verkenning 14 1.2 Frequentieverdelingen 22 1.3 Grafische voorstellingen 30 1.4 Diverse diagrammen 35 1.5 Stamdiagram, histogram en frequentiepolygoon

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Duikeend Op het IJsselmeer overwinteren grote groepen duikeenden. Ze leven van mosselen die daar veel op de bodem voorkomen. Duikeenden slikken hun mosselen met

Nadere informatie

Toerisme in Caribisch Nederland 2016

Toerisme in Caribisch Nederland 2016 Paper Toerisme in Caribisch Nederland 216 Juli 217 CBS Centraal Bureau voor de Statistiek Losse elektronische publicatie, 1 Inhoud 1. Bonaire 3 1.1 Samenvatting 216 3 1.2 Toeristen per vliegtuig 4 1.3

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

Scores. 100 71,43. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde

Scores. 100 71,43. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde Scores Op een internetsite kunnen liefhebbers Stepbridge spelen. Elke keer dat je Stepbridge speelt, wordt je prestatie uitgedrukt in een aantal punten. Om prestaties van spelers met elkaar te kunnen vergelijken,

Nadere informatie

Omnibusenquête deelrapport. Werk, zorg en inkomen

Omnibusenquête deelrapport. Werk, zorg en inkomen Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport WERK, ZORG EN INKOMEN Zoetermeer, 25 januari 2016 Gemeente Zoetermeer

Nadere informatie

S1 STATISTIEK. Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding

S1 STATISTIEK. Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding S1 STATISTIEK Tabellen & diagrammen Centrummaten & Spreiding TABELLEN & DIAGRAMMEN WELKE AUTO VIND JIJ HET MOOISTE? Kies 1,2,3,4 of 5 NUMMER 1 NUMMER 2 NUMMER 3 NUMMER 4 NUMMER 5 VERWERKING Tabel Cirkeldiagram

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B1 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 19 mei 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 83 unten te behalen; het examen bestaat uit 3 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

ALGEMENE STATISTIEK VOOR BWI COMPUTEROPGAVEN 2009/2010. A.W. van der Vaart en F. Bijma

ALGEMENE STATISTIEK VOOR BWI COMPUTEROPGAVEN 2009/2010. A.W. van der Vaart en F. Bijma ALGEMENE STATISTIEK VOOR BWI COMPUTEROPGAVEN 2009/2010 A.W. van der Vaart en F. Bijma 1 Algemene Instructies Het programma R is onder Windows beschikbaar. Je kunt R vinden in de lijst met programma s onder

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector

Nadere informatie

Inleiding Statistiek

Inleiding Statistiek Inleiding Statistiek Practicum 1 Op dit practicum herhalen we wat Matlab. Vervolgens illustreren we het schatten van een parameter en het toetsen van een hypothese met een klein simulatie experiment. Het

Nadere informatie

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 2 kruistabel a c b d, met phi = ad bc ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) als phi

Nadere informatie

Omnibusenquête deelrapport. Zoetermeer FM

Omnibusenquête deelrapport. Zoetermeer FM Omnibusenquête 2015 deelrapport Zoetermeer FM Omnibusenquête 2015 deelrapport Zoetermeer FM OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport ZOETERMEER FM Zoetermeer, 18 december 2015 Gemeente Zoetermeer Afdeling Juridische

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen Zeldzame en extreme gebeurtenissen Ruud H. Koning 19 March 29 Outline 1 Extreme gebeurtenissen 2 3 Staarten 4 Het maximum 5 Kwantielen Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 /

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Persbericht. Geregistreerde werkloosheid gedaald. Centraal Bureau voor de Statistiek

Persbericht. Geregistreerde werkloosheid gedaald. Centraal Bureau voor de Statistiek Centraal Bureau voor de Statistiek Persbericht PB00-164 19 juli 2000 9.30 uur Geregistreerde werkloosheid gedaald In het tweede kwartaal van dit jaar kwam het aantal geregistreerde werklozen uit op 173

Nadere informatie

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Opmerkingen vooraf Wiskunde Pagina 2 uit 20 Opmerkingen vooraf Pak je rekenmachine, de TI-83, erbij en

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2003-II

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2003-II Startende ondernemingen In Nederland starten elk jaar ongeveer 5 bedrijven. Sommige van deze startende bedrijven verdwijnen weer snel, andere overleven langere tijd. De Kamers van Koophandel houden de

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie