ICT - De hypergeometrische verdeling

Transcriptie

1 ladzijde 9 a P( X = ) = ( ) ( ) = c De steekproefgrootte is 5 dus n = 5. De fractie witte allen is 5 = 3 dus p = 3. 5 Met VU-Statistiek krijg je: De volledige verdeling van X vind je in de middelste kolom hieroven. a Dit levert dezelfde kansverdeling op omdat de steekproefgrootte en de fractie witte knikkers ( 3 = 3 ) hetzelfde is als in opgave. Met knikkers waaronder 3 witte lukt het ook. Omdat de reuk 3 niet verder is te vereenvoudigen is dit de situatie met het kleinste aantal knikkers. Er zijn dus 3 witte knikkers nodig. 3a Als x het totaal aantal knikkers is dan moet gelden 3 x =. Hieruit volgt dat x = 7 het antwoord is ja en het aantal rode knikkers is 7 = 49. Er zou moeten gelden 5 3 x =. Dan x = 5 3 = 83. Dat lukt dus niet met een geheel 3 aantal knikkers. 4a P( ww ) = P( X = ) = Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

2 ladzijde 93 5c Vul in N = 5 D= 5 n = 5. d De gevraagde kansverdeling vind je in de middelste kolom hieroven. 6a Laat X het aantal vrouwen ij de prijswinnaars zijn. Neem dan N = = 97 D= 3 n = 5. P( X < 9) = P( X 8) en deze laatste is af te lezen in de ij de hypergeometrische verdeling geleverde tael: 473. Ook uit de tael valt af te lezen: P( X > 9) = P( X ) 37 c Af te lezen is ook: P( X = 5). d Het proleem is dan dat er (veel) te weinig damestassen zijn. 7a Uit de tael die je vond ij opdracht 6 is af te lezen dat P( X > ) = P( X ) > 5 Door de parameter n van de hypergeometrische verdeling te verlagen vind je: n 4 3 P( X ) Dertien tassen verloten is dan dus acceptael. ladzijde 94 8a Een eeldscherm hoeft niet meer dan één keer te worden getest. Zonder teruglegging trekken is informatiever. Stel X is het aantal eeldschermen met fouten. Dan is deze stochast hypergeometrisch verdeeld met parameters N = 45 D= 8 n =. De kans dat de opkoper de partij accepteert is slechts PX ( ) a Op Op = manieren = = manieren. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 39

3 c a 8 45 Er zijn 8 manieren waarop X = kan worden gerealiseerd. Totaal zijn er gelijkwaardige mogelijkheden dus elk met kans 8 En dus is PX ( = ) = 8 8 = PX ( = 3) = 7 PX ( = 4) = 839. a Geruik VU-Statistiek vul in als parameters van de hypergeometrische verdeling N = D= 4 n = en lees af PX ( ) 53. Vul nu in N = D= 4 n = je krijgt PX ( ) 4. a De kansen van opdracht a zouden zijn geweest: PX ( = ) = ( ) ( ) 5 en PX ( = ) = ( ) ( ) Die van opdracht 7a vind je het gemakkelijkst via VU-Statistiek en de inomiale 3 verdeling met n= 5 p= 5736 : PX ( ) = De enaderende kansen ij opdracht 7 zijn voor n = 4 : 88 en voor n = 3 : 39. De kansen van opdracht 7 lijken iets eter te enaderen met de inomiale kansverdeling dan die van opdracht. ladzijde 95 3a Als je ijvooreeld N wat groter neemt ijvooreeld N = 5 maar je laat D en de steekproefgrootte n ongewijzigd dan is een inomiale enadering nog eter. Het maximale verschil voor P( X = k) is dan 65. Zie hieronder. 4 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

4 Als je ijvooreeld N = 58 en D = 9 neemt (eide deelgroepen even groot) dan wordt ij steekproefgrootte de hypergeometrische verdeling enaderd door een Bin( ; ). Het maximale verschil voor P( X = k) is nu 65 een stukje eter dus dan de enadering van het vooreeld in het oek. 4a Bij A en B is het niet mogelijk om via VU-Grafiek en de hypergeometrische verdeling te werken: N en Dmogen daar namelijk niet groter zijn dan. De steekproefgrootte is hier relatief klein ten opzichte van de populatiegrootte. Als X het aantal Nederlanders in de steekproef is dat jonger is dan jaar dan is X ij enadering Bin( 5; ) verdeeld P( X 5) = P( X 5) inomcdf( 5; ; 5 ). Als Y het aantal mensen in de steekproef is die ouder zijn dan 8 jaar dan is Y ij enadering Bin( 5; 4 ) verdeeld en is 69 P( Y < 5) = P( Y 4) inomcdf( 5; 4 ; 4) Deze kansen kunnen ook via VU-Statistiek worden erekend. Het ezwaar is echter dat je en 4 decimaal moeten invoeren. 69 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 4

5 Praktische opdracht: Plinko ladzijde 99 Als het erom gaat de kans op $ 5 zo groot mogelijk te maken dan lijkt plaats 5 het gunstigst om het muntje los te laten. Plaats 5 ligt immers precies tegenover het vakje met $ 5. a Het aantal kortste routes van P naar Q is 5. Zie hieronder. P Q R Het aantal kortste routes van P naar R is 4. Zie hieroven. 3a De rand van het ord gooit in het eerste geval roet in het eten. Bij de rand kan het muntje niet meer uit twee richtingen kiezen maar wordt een epaalde kant op gedrongen. Bij de routes van inworppunt 3 naar C he je daar geen last van. Je komt dan niet ij de rand. Er zijn 4 routes van inworppunt naar akje A en 5 routes van inworppunt naar akje C A B C D E A B C D E c d De aantallen routes van punt naar opvangakjes B D en E epaal je op vergelijkare manier als die naar akjes A en C. Je krijgt in totaal: opvangakje A B C D E aantal routes vanaf punt Uit symmetrieredenen is in te zien dat het aantal routes naar D dezelfde aantallen kent als de aantallen routes vanaf. Dit heeft ermee te maken dat ook D (net als ) als tweede van een kant is gesitueerd. Je krijgt: inworppunt aantal routes naar akje D De meeste routes zijn er dus vanaf inworppunt 4 precies tegenover akje D. 4 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

6 Praktische opdracht: Plinko ladzijde 4a aantal routes van inworppunt prijs A $ B $5 naar opvangakje C D E F G $ $ $5 $ $ H $5 I $ totaal De tael in compleet te maken door symmetrieredeneringen zoals ij opgave 3d. De aantallen ij inworppunt zijn dezelfde als die ij plaats 8 maar dan in omgekeerde volgorde. De aantallen ij inworppunt zijn ook dezelfde als die ij akje B en ook ij H zij het in het laatste geval in omgekeerde volgorde. Enzovoort. De gevonden getallen zijn hieroven rood gekleurd. Het aantal routes vanuit inworppunt 5 naar een akje zonder winst is = 584. c Bij inworppunt is de kans op de hoofdprijs gelijk aan P($ 5) = 58. Bij de andere inworppunten kun je vergelijkare erekeningen maken. Dit resulteert in: kansen op de hoofdprijs van inworppunt Inworppunt 5 heeft dus de grootste kans op de hoofdprijs. Bij inworppunt is de kans op een prijs gelijk aan P($ ) = + 8. Soortgelijke erekeningen ij de andere inworppunten resulteert in: kansen op een prijs van inworppunt Bij inworppunt 5 is de kans op een prijs dus het kleinst. 5a Deze kans vind je als je het aantal routes van inworppunt naar vakje B deelt door het totaal routes dat vanuit inworppunt mogelijk is. Dus Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 43

7 Praktische opdracht: Plinko Je krijgt de volgende tael. A B C D E F G H I kans van inworppunt prijs $ $5 $ $ 58 $5 67 $ 98 $ 3 $5 43 $ 6 De erekeningen en taellen in opdrachten 4 en 5 maken duidelijk dat inworpplaats 5 de grootste kans geeft op de hoofdprijs. Dat is intuïtief ook het voor de hand liggende inworppunt omdat dit punt precies tegenover vakje E met de hoofdprijs ligt. Het feit dat je ij de keuze van inworppunt 5 tegelijkertijd ook kiest voor de grootste kans op geen prijs moet je dan eventueel voor lief nemen. 44 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v