( Spreek uit:: de kans op A is vijf is één-zesde; P staat voor probabilitas, probability,..= kans)

Transcriptie

1 Kansen en Tellen Kans Als je met een doelsteen ooit en het resultaat is dat de kant met vijf stippen oven lit, weet iedereen dat je zet dat de kans daarop één op zes is. In de wiskunde formuleren we dat als volt heel netjes: Experiment: ooien met een doelsteen Toevalsvariaele: A= het aantal stippen dat oven lit Moelijke waarden van de toevalsvariaele: 1, 2,3,4,5, of 6 We schrijven: P(A =5) = 6 1 ( Spreek uit:: de kans op A is vijf is één-zesde; P staat voor proailitas, proaility,..= kans) De verklarin is dat een (zoenaamde zuivere) doelsteen die eerlijk eooid (aselect) wordt, zes elijkwaardie uitkomsten heeft met alle dezelfde kans om op te treden. De kans op één van die uitkomsten zal dus één op zes zijn. Wat etekent deze kans nou precies? In ieder eval niet dat je ij zes keer ooien met een doelsteen één keer een vijf zal ooien! Wel dat als je héél vaak zou ooien oneveer één-zesde deel ervan een vijf zal opleveren. Wiskundien noemen dit de wet van de rote aantallen. Vaak is systematisch tellen nodi om kansen te epalen Vooreeld: Je ooit nu met twee doelstenen en telt het totale aantal oen. Hoe root is de kans op 8 oen? Antwoord: We doen het weer netjes: Experiment: ooien met twee doelstenen Toevalsvariaele: S = de som van het aantal stippen dat oven lit Moelijke waarden van de toevalsvariaele: 2, 3, 4, 5,.tot en met 12 Gevraad wordt:: P(S = 8 ) Let op: de elf moelijke uitkomsten zijn nu niet meer elijkwaardi. In totaal twee oen is uitzonderlijker dan ijvooreeld in totaal acht oen. We kunnen wel naar alle moelijkheden kijken ij het ooien met twee doelstenen. Voor de duidelijkheid noemen we de ene doelsteen rood en de andere wit. In het schema hieronder zie je alle moelijkheden: 1 van 6 Bosma, ,

2 Één van de moelijkheden die som is acht oplevert is als de witte doelsteen drie stippen oven eeft en de rode vijf. Goed zichtaar in dit schema is dat er in totaal 6 6 = 36 verschillende moelijkheden zijn, die wel alle elijkwaardi zijn en dus een kans van één op 36 heen om op te treden Bijvooreeld: P( wit =3 én rood = 5) =. Maar net zo oed: P( wit =1 én rood = 1) = Nu is het een kwestie van tellen hoeveel moelijkheden som = 8 oplevert: In de fiuur hiernaast tel je vijf moelijkheden. Dus de evraade kans is: 5 P(S = 8 ) = 36 Kansreel van Laplace We eruikten feitelijk de kansreel van Laplace: P( epaalde eeurtenis) = het aantal unstie uitkomsten het totaal aantal moelijke uitkomsten unstie uitkomst etekent hier: een uitkomst die valt onder de edoelde eeurtenis Wel moet elden dat alle uitkomsten elijkwaardi zijn, dat wil zeen dat ze allemaal een even rote kans heen om op te treden (Wiskundien noemen dat een symmetrische kansruimte ). productreel: Als je twee handelinen na elkaar verricht waarij je de eerste handelin op p manieren kunt uitvoeren en de tweede op q manieren dan is het aantal moelijkheden p q Je kunt het vaak zichtaar ma ken met een een oomdiaram of een weendiaram. Je hoeft het diaram niet altijd helemaal af te tekenen. Proleem 1 Hoeveel moelijke uitkomsten zijn er als je na elkaar ooit met a. twee munten? (oomdiaram). zes munten? (weendiaram) c. twee doelstenen? d. een munt en een doelsteen? e. twee munten en drie doelstenen? 2 van 6 Bosma, ,

3 Trekken met en zonder terulein Veel kans en telvraen kunnen vertaald worden naar een trekkin óf met terulein óf zonder terulein. Bij eide kun je een oomdiaram eruiken om de situatie te verduidelijken: Trekken met terulein: De oom hieronder staat voor een situatie waarin 5 keer etrokken wordt uit een vaas met twee knikkers met terulein. Neem ijvooreeld aan dat er een rode en een lauwe knikker in de vaas zit. r Dit eindpunt staat voor de route : r,, r,, r; de volorde van trekkin is hier dus: Rood, lauw, rood, lauw en tenslotte weer rood Dit eindpunt staat voor de route :,, r,, r Er zijn 2 5 = 32 eindpunten en dus ook 32 routes. We noemen deze oom een machtsoom. Trekken zonder terulein: De oom hieronder staat voor een situatie waarin 4 keer etrokken wordt uit een vaas met vier knikkers zonder terulein. Neem ijvooreeld aan dat er een rode, een lauwe, een ele en een witte knikker in de vaas zit. 3 van 6 Bosma, ,

4 r w Dit eindpunt staat voor de route : r, w,, ; de volorde van trekkin is hier dus: Rood, wit, eel en tenslotte lauw w Er zijn = 24 = 4! eindpunten en dus ook 24 routes. We noemen deze oom een faculteitsoom. Proleem 2 Op hoeveel manieren kun je de letters A, B, C en D ranschikken? Antwoord: Dat kan op ; we heen een korte schrijfwijze hiervoor: 4! ( spreek uit: 4-faculteit) In het alemeen: n! = het aantal manieren waarop je n verschillende dinen kunt ranschikken. Er zijn n! volordes. Proleem 2 Je ma elke letter van het alfaet eruiken en de woorden hoeven een etekenis te heen. a. Op hoeveel manieren kun je een woord van 2 verschillende letters maken? Antwoord: twee factoren. Op hoeveel manieren kun je een woord van 3 verschillende letters maken? Antwoord: drie factoren c. Op hoeveel manieren kun je een woord van 4 verschillende letters maken? Antwoord: In het alemeen: vier factoren 4 van 6 Bosma, ,

5 n (n 1) (n 2) L (n k + 1) : k factoren het aantal manieren waarop je k verschillende dinen kunt ranschikken als je kiest uit n. We zeen:het aantal "permutaties" van k uit n 1. Uitrekenen: Vaak zit er op een rekenmachine een knop: Het zit onder de npk knop Proleem 3 Nu doet de volorde niet ter zake. a. Op hoeveel manieren kun je 2 letters kiezen uit het alfaet? Antwoord: is nu te veel ; want elke cominatie van twee letters wordt duel 12 twee factoren eteld (ijvooreeld de twee letters a en z komen voor als de woorden az en za). We moeten delen door dus: 2 1. Op hoeveel manieren kun je 3 letters kiezen uit het alfaet? Antwoord: Nu komt elk drietal letters voor als woorden, dus in 6 verschillende permutaties dus: c. Op hoeveel manieren kun je 4 letters kiezen uit het alfaet? Antwoord: n (n 1) (n 2) L (n k + 1) = het aantal manieren waarop je een roep van k dinen k (k 1) (k 2) L 1 kunt kiezen uit n verschillende dinen. De ranschikkin is niet meer van elan. n Hiervoor wordt de notatie eruikt: "n oven k" = k We zeen: het aantal "cominaties" van k uit n. Het zit onder de nck knop. n n! Er eldt ook: = k k!( n k)! 1 Dit wordt ook wel het aantal variaties van k uit n enoemd. 5 van 6 Bosma, ,

6 Roosterwandelinen en de driehoek van Pascal De driehoek van Pascal in drie edaantes: som = 1 som = 2 som = 4 som = 8 som = 16 som = 32 Er zijn 56 verschillende roosterwandelinen van startpunt S naar punt P (zonder omween). S P Maar ook (als vooreeld): 1. Als je acht keer met een munt ooit zijn er 56 ranschikkinen met 5 keer munt en 3 keer kop 2. Er zijn in een ezin van acht kinderen 56 verschillende moelijkheden met 5 jonens en 3 meisjes 6 van 6 Bosma, ,