DE STELLING VAN NAPOLEON
|
|
- Tania Verhoeven
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 DE STELLING VAN NAPOLEON LUIDT: Als men aan de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken legt dan vormen de zwaartepunten van die drie gelijkzijdige driehoeken wéér een gelijkzijdige driehoek. De gelijkzijdige driehoeken mag men naar uiten leggen, of alle drie naar innen! Er ontstaat aldus een uitwendige en een inwendige gelijkzijdige driehoek, waarvan het verschil in oppervlakte precies de oppervlakte van driehoek ABC is. IDEE VAN HET BEWIJS We kiezen een assenstelsel zo dat het eerste punt van driehoek ABC de oorsprong A(0,0) is en punt B(6,0) op de x-as ligt. Voor het derde punt kunnen de coördinaten dan nog variael gekozen worden. Wij kiezen C(a,), zodat het midden van lijnstuk AB mooi (en simpel) uitvalt: D(a,). Dan zijn de andere middens (van BC:) E(a+,) en van AB (uiteraard:) L(,0). Aanname is dat a en positief zijn. Nu gaan we die gelijkzijdige driehoeken eens maken. Met name de cirkel rond A met straal AC en die snijden met die rond C met dezelfde straal c1 : x + y = 4a +4 (1) c : (x a) + (y ) = 4a +4 () Dit stelsel vergelijkingen wordt gewoon (algeraïsch) opgelost en lijkt tamelijk eenvoudige coördinaten van snijpunten op te leveren; zo eenvoudig dat voor de volgende snijpunten (van de cirkels rond B en C met straal BC) een glashelder vermoeden voor de hand ligt (dat uiteraard raaf ewezen wordt!) De coördinaten van de zwaartepunten van (de gelijkzijdige) driehoeken ACI; BCL liggen daarmee vast (wel te onderscheiden: inwendige en uitwendige driehoeken!...) Van driehoek ABF lag dit al vast: (uitwendig:) M1(, ) of (inwendig:) M1(,+ ). Van de uitwendige en inwendige driehoek M1MM ekijken we vervolgens (met ehulp van de Stelling van Pythagoras) de lengten van de zijden M1M ; MM en tot slot M1M. Alle expressies zijn dan uitgedrukt in a en (en lijken gelijk te zijn!!) Na OPMERKINGEN laten we eerst een tekening zien van het geheel en daarna een van de uitwendige variant. OPMERKINGEN In plaats van (6,0) kan men ervoor kiezen om daar (1,0) of (,0) of zo voor te nemen. Mocht men alles zelf eens willen tekenen dan is de tekening met (6,0) op nette wijze te doen en wordt het geen gepriegel! De in dat punt M1 komt tevoorschijn uit de eigenschap dat elke gelijkzijdige driehoek een hoogtelijn heeft die lijnstukken met lengten in de verhouding 1: : oplevert (Ook te zien met Pythagoras.). Die lijkt ook een factor te zijn waar men a dan wel mee moet vermenigvuldigen en met de ander optellen voor de epaling van de coördinaten! Zie de tekening gemaakt met Geogera
2 TEKENING In deze figuur zijn omwille van de duidelijkheid veel hulplijntjes en letters uitgegumd. Geogera genereert zelf allerlei letters en geruikt A t/m Z en daarna A1; B1, enzovoorts In ovenstaande tekening is W ijvooreeld het zwaartepunt van de uitwendige gelijkzijdige driehoek aan zijde BC. Duidelijk te zien is dat de coördinaten van het derde hoekpunt van de gelijkzijdige driehoek aan zijde AB zijn: (uitwendig:) H(, ) en (inwendig:) G(,+ ). Ga maar na! UITWENDIG In deze nieuwe figuur zijn andere letters geruikt dan in de tekening en ziet men alleen de uitwendige driehoek hier: PQR.
3 De punten B en C zijn in Geogera lauw gekleurd en kan men elk verschuiven (naar links; naar rechts; naar oven etc.) waarmee de hele figuur transformeert, echter steeds met een rode gelijkzijdige driehoek PQR tot gevolg. Voor de TEKENING met zowel de uitwendige als de inwendige driehoeken geldt hetzelfde en dit schuif/sleep-spel is spectaculair om te zien! Hieronder egint dan het Cartesisch Bewijs:
4 LINKS (PUNT I) We hadden c1 : en c : x + y = 4a +4 (x a) + (y ) = 4a +4 (1) () Maar () is te vereenvoudigen tot: x 4ax+4a +y 4y+4 = 4a +4 kortom tot: x + y = 4ax +4y () Dit () comineren ( gelijkstellen ) met (1) geeft: 4ax +4y = 4a +4 (alles delen door 4:) ax + y = a + Nu hier de y in vrijmaken: y = a + ax En onder voorwaarde (zie aanname met >0) geldt: En dit weer invullen in (1) geeft: š„ + š + ( ) š¦= š + ( š + š š„ š š ) š„ + š„ = 4š + 4 Vermenigvuldig nu alles met en je krijgt š„ + š4 + š + 4 (š + ) šš„ + š š„ = 4š (š + )š„ (š + ) šš„ + š4 š 4 = 0 š„ šš„ + š4 š 4 š + = 0 š 4 š 4 )= š + 4 1š +1 1 (š + ) = š + (š + ) Hiervan is de discriminant: 4š 4 ( = 4š4 +4š 4š4 +8š +14 š + = Dus de oplossingen zijn: š„ = š 1 v š„= = 1 š+ 1 š„ = š v š„ = š + Wel heel erg eenvoudig! Het enige dat we erij heen gekregen is die factor! Die x=a kun je in (1) invullen, maar dan krijg je y = a + a + en dan herken je misschien niet goed dat die expressie het kwadraat is van: a + Geruik je (: ) x + y = 4ax +4y dan geeft invullen van x= a : 4a +4 = 4a 4a +4y 4y= 4 +4a (en weer onder de voorwaarde dat 0.) y= + a..... (I) En op dezelfde manier: ij x= a + hoort: y= a (II), reken maar na! Het wordt tijd om nog eens terug te kijken naar de tekening! Die factor keer het (halve) etreffende lijnstuk erij/eraf (inderdaad volgens de verhouding: 1 : : )
5 INZICHT! In de figuur hieroven is punt D(a,) het midden van AC en als je goed kijkt lijken: AS=a; SD=WZ=; TD=EZ= ; Met enig meetkundig inzicht merkt men dat je vanuit het midden van E(a+, ) precies naar rechts moet gaan om de x-coördinaat van het rechterpunt van de gelijkzijdige driehoek te krijgen (voor het gemak even punt G genoemd!), net zoals je vanuit het midden van AC (punt D) naar links moet gaan om het derde punt van de gelijkzijdige driehoek aan zijde AC te vinden. Met meer meetkundig inzicht (hulplijntjes o.a. langs punt E- het midden van lijnstuk BC) ziet men van alles, maar daar gaat het ons (hier) nu niet om! Wij stellen vast dat om de y-coördinaat van het linker punt te vinden men gewoon a ij de y-coördinaat () van het midden van lijnstuk AC (punt K) moet optellen. Het zwaartepunt M van de linker driehoek ACI ligt nu vast: x M = 1 x A + 1 x C + 1 (a ) = a + 1 a 1 = a 1 en y M = ( + a ) = + 1 a Ook al zo eenvoudig! Kwestie van ontinden in componenten in de x- en y-richting. Op die wijze vindt men ook het zwaartepunt M(a++ 1, +1 ( a) ) M(a++ 1, 1 a + ) is het zwaartepunt van (de rechter) uitwendige driehoek BCG met G(a++, a + )
6 Wie puur algeraïsch die punten zoekt is wel even ezig! De cirkels rond B en C met straat BC heen vergelijkingen: (x 6) + y = (6 a) + 4 x + y = 1x + 4a + 4 4a (4) (x a) + (y ) = (6 a) + 4 x + y = 6 + 4ax + 4y 4a (5) en na gelijkstellen vindt men: 6 + 4ax + 4y 4a = 1x + 4a + 4 4a (na alles delen door 4:) 9 + ax + y = x + a + y = ( a)x + a + 9 a y = En dit is nota ene de (vergelijking van de) middelloodlijn van lijnstuk BC! We laten meteen zien dat M en punt G hier netjes op liggen: x=a++ 1 en y= 1 a + invullen geeft: 1 a a + = (a ) + a + 9 x + a + 9 Vermenigvuldigen met en de haakjes wegwerken.en alles valt weg! Het klopt! Je kunt de coördinaten van G ook in (6) invullen en zult met verwondering zien hoe alles wegvalt/klopt: a + = a (a + + ) + a + 9 a + = a a a a + a + 9 Punt G met x=a++ invullen in (4) geeft: (a + + ) + ( a + ) = 4a + 4 1a = 1(a + + ) + 4a + 4 4a En weer valt alles weg!.klopt weer als een us (6) (invullen in (5):) (a + + ) + ( a + ) = 6 + 4a(a + + ) + 4( a + ) 4a a + 6a + a a + a 18a = 6 + 4a + 1a + 4a + 4 4a + 1 4a 4a + 4 1a = 6 + 4a + 1a a En ook hier valt alles geheel weg! De oplossingen zoeken van het stelsel (4) en (5) hoeft dus niet meer; ze zijn: x = a + + x = a + { ( uitwendig ) en inwendig :) { y = a + y = + a Hiermee heen we uitwendig : { M 1 (, ) M (a + + 1, 1 a + ) M (a 1, + 1 a ) M 1 M = (x M x M1 ) + (y M y M1 ) = (a + 1 ) + ( 1 a + ) = a + a a + 1 a 4a = 4 a a + 1
7 M 1 M = (x M x M1 ) + (y M y M1 ) = (a 1 ) + ( + 1 a + ) = a a a a + 1 a + + a + = 4 a a + 1 =M 1 M En M M = (x M x M ) + (y M y M ) = (a 1 a 1 ) + ( + 1 a + 1 a ) = ( + ) + ( a ) (let op de extra min in de eerste term (die gekwadrateerd is!) = a 4a + = 4 a a + 1 =M 1 M =M 1 M Conclusie: driehoek M1MM is een gelijkzijdige driehoek Inwendig heen we { M 1 (, + ) M (a + 1, + 1 a ) M (a + 1, 1 a ) M 1 M = (x M x M1 ) + (y M y M1 ) = (a 1 ) + ( + 1 a ) = a a a + 1 a 4a = 4 a a + 1 M 1 M = (x M x M1 ) + (y M y M1 ) = (a + 1 ) + ( 1 a ) = a + a a a + 1 a + a + = 4 a a + 1 =M 1 M en tot slot: M M = (x M x M ) + (y M y M ) = (a 1 a + 1 ) + ( + 1 a + 1 a ) = ( ) + ( a ) = a 4a + = 4 a a + 1 =M 1 M =M 1 M Conclusie: Ook inwendig is driehoek M1MM een gelijkzijdige driehoek. Het opmerkelijke is dat het zwaartepunt van deze eide driehoeken wéér het punt ( a +, ) is! En dit is gewoon het zwaartepunt van driehoek ABC zelf! Kijk maar naar de coördinaten!...
8 Als toegift iets over de oppervlakten van de driehoeken! In een gelijkzijdige driehoek is de hoogte (vanwege weer die verhouding 1: :) -zie ook een Opmerking in het egin- gelijk aan de asis keer 1 Dus is dan de oppervlakte van de (uitwendige) driehoek M1MM gelijk aan: 1 1 M 1M = 1 4 (4 a a + 1) En die van de inwendige driehoek M1MM gelijk aan: 1 1 M 1M = 1 4 (4 a a + 1) Het verschil van die twee oppervlakten is:. + = 6 en dat is precies de oppervlakte van driehoek ABC!!! Van driehoek ABC was de hoogte en 6 de asis (die hadden wij immers zo gekozen)! Valkenisse, mei 017
9
DE DEELLIJNENSTELLING IN EEN DRIEHOEK
DE DEELLIJNENSTELLING IN EEN DRIEHOEK LUIDT: www.raves.nl In een willekeurige driehoek (ABC) snijden de issectrices ( deelijnen ) van de hoeken elkaar precies in Ć©Ć©n punt. IDEE VAN HET (CARTESISCH) BEWIJS:
Nadere informatieDE STELLING VAN WALLACE/SIMSON
DE STELLING VAN WALLACE/SIMSON www.raves.nl LUIDT: Als de hoekpunten van een driehoek ABC op een cirkel liggen dan zullen de projecties van een willekeurig vierde punt (op dezelfde cirkel) op de drie zijden
Nadere informatieEEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE
www.raves.nl ton@raves.nl EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE LUIDT: Als drie cirkels elkaar onderling snijden, dan zullen de drie koorden (*) ofwel precies in e e n punt snijden, ofwel evenwijdig zijn
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2Ā½ cm In het kort: (M, 2Ā½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2Ā½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding EĆ©n van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriƫnteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriƫnteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )Ā² + ( y Ā²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coƶrdinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen
oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door
Nadere informatie1 Coƶrdinaten in het vlak
Coƶrdinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coƶrdinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Werken met algebra
Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies Ć©Ć©n punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen
Nadere informatieDe stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras Inhoud Inhoud... 1 Inleiding... 3 De stelling van Pythagoras... 3.1 De stelling van Pythagoras... 3. De omgekeerde stelling van Pythagoras... 3.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras...
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieDriehoeken vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/74268
Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 24 May 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/74268 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door Ć©Ć©n punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door Ć©Ć©n
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriƫnteerde lengtes en voor
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ĪABC met c = 1, Ī± = 54 en Ī² = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatie1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaĆÆek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoƫfficiƫnt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op Ć©Ć©n lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Extra oefening - Basis B- Van ABC is de asis BC = en de hoogte AD =. De oppervlakte van ABC is : = 9. Van KLM is de asis KM = 5 + 9 = en de hoogte NL. B-a KN = 5 NL = KL = 5 + 69 NL = = De oppervlakte
Nadere informatieCabri-werkblad. Apollonius-cirkels
Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices
Nadere informatieCijfers en letters 1 niveau 1 en 2
Cijfers en letters 1 niveau 1 en 2 Los de twaalf vergelijkingen op. Het antwoord stelt een letter in het alfaet voor. X = 3 is een C, de derde letter. X = -5 is een V, de vijfde letter van achter. De oplossing
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door Ļ. Kies in het vlak Ļ een vast
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
Nadere informatie1 Cartesische coƶrdinaten
Cartesische coƶrdinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coƶrdinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieEen bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.
Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij Ć©Ć©n waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieHoofdstuk 8 - Ruimtefiguren
Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = 44 25 + 69 BC = 69 = cm De omtrek van ABC is 5 + 2 + = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coƶrdinaten Definitie van trilineaire coƶrdinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatie11 De hoed van Napoleon
11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carriĆØre als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste
Nadere informatieParagraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken
Nadere informatieHoofdstuk 2 Vlakke meetkunde
Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60Āŗ R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door Ć©Ć©n punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatie1 Analytische meetkunde
Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coƶrdinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie
Nadere informatiehƩƶƩƤƫƄƩƧƩƄ=~Ƥƫ=Ć£Ć©Ć©ĆĆ¢Ć¬Ć„Ć§Ć”Ć¶Ć©=ƩƤ~~ĆĆ«Ć©Ć„=Ć£Ć©Ć=`~ƤĆŖĆ”= = hƧƩƄ=pĆƬƤƩƄƫ= = = = = = = =
hƩƶƩƤƫƄƩƧƩƄ~Ć¤Ć«Ć£Ć©Ć©ĆĆ¢Ć¬Ć„Ć§Ć”Ć¶Ć©Ć©Ć¤~~ĆĆ«Ć©Ć„Ć£Ć©Ć`~ƤĆŖĆ” hƧƩƄpĆƬƤƩƄƫ De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieBlok 6B - Vaardigheden
B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Definities en stellingen
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door Ć©Ć©n punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door Ć©Ć©n punt:
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatie4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8
Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieAppendix MeetMini Twee meetkunde-miniaturen DICK KLINGENS ( adres: maart 2018
1 Appendix MeetMini Twee meetkunde-miniaturen DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@gmail.com) maart 018 1. De omgekeerde stelling van Reim [1] figuur a1 Gegeven in figuur a1: - de cirkels Ī en Ī' ; -
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandriƫ (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieNeem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieOpgave 3 - Uitwerking
Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieOAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieHierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels
Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oƫffiiƫnten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft
Nadere informatieHoofdstuk 8 - Ruimtefiguren
Voorkennis V-1a De oppervlakte van ABC is 12 5 : 2 = 0 m 2. zijde kwadraat AB = 12 144 AC = 5 BC = 25 169 d BC = 169 = 1 m De omtrek van ABC is 5 12 1 = 0 m. BD = 12 4 = 8 m De oppervlakte van BCD is 8
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coƶrdinaat van een vector In het vlak Ļ 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieAPPENDIX bij Met en/of zonder coƶrdinaten DICK KLINGENS april 2017
APPENDIX ij Met en/of zonder oƶrdinaten DICK KLINGENS (dklingens@gmail.om) april 2017 1. NĆ³g drie ewijzen van stelling I Stelling I (issetriestelling). Is D het voetpunt van de issetrie van hoek A op de
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatieStelling van Pythagoras vmbo-kgt12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.
Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 25 May 2016 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/57160 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van
Nadere informatiePROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a Ļ 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8Ļ De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm Ļ r h 000 geeft h 000 000 r 8, r Ļ r Ļ c Als de straal heel klein
Nadere informatieDE STELLING VAN ADRIAAN VAN ROOMEN
DE STELLING VAN ADRIAAN VAN ROOMEN LUIDT: www.raves.nl Als twee cirkels elkaar raken, dan zullen de punten met gelijke afstanden tot elk van de cirkels liggen op een hyperbool, waarvan de vergelijking
Nadere informatieHoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen
Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieRECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want
ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieHoofdstuk 21 OPPERVLAKTE 4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: INTRO
Hoofdstuk OPPERVLAKTE A: +6=0 B: C: 8 D: 8.0 INTRO. DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0. Daar gaan twee halve rechthoeken
Nadere informatie