Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel tijd in seonden

2 Bij veranderin van de waarde van shuit de raiek van evenwijdi op. Het punt (, ) lit op de raiek van als ( ), dus ; het andere snijpunt is te vinden door op te lossen: ( )( ) ; eet het andere snijpunt; ( ) ; het andere snijpunt is (, ). d ; hieruit volt ; deze verelijkin heet preies één oplossin als de disriminant D ( ) ( ) ; hieruit volt. e p heet één oplossin als de disriminant van p elijk is aan nul: D ( ) ( p) ; hieruit volt p. V-a Het randpunt is (,. ) Het domein van is, en het ereik van is,. ( ) a ; hieruit volt want a ; ( ) a, dus a. ladzijde V-a Daniëlle heet elijk want lo lo ; de raiek van ( ) lo heet dus no een tak voor neatieve waarden van. ( ) lo ; hieruit volt, dus ; ontrole: ( ) lo want ( ). V-a Op de raiek van lit een willekeuri punt A (, ( )) ; twee eenheden naar links lit op de raiek van het punt B (,( ) ) ; omdat eldt nu ook A B ( ) ( ). h ( ) ( ). k ( ) 9 ( ). d De oördinaten van de top zijn (, ). e Drie naar rehts en twee omhoo.. Standaardunties ladzijde a Kies Y 9 7 en Y en maak een plot op de GRM. 8 O Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel 9

3 Hoodstuk - Transormaties Het nulpunt van de untie is 8, en dat van is. Horizontale raaklijn in de punten (, ) en (, ). d Drie eenheden naar rehts en zes eenheden omhoo. a O De raieken zijn elkaars spieeleeld ij spieelin in de as. h O De raieken zijn elkaars spieeleeld ij spieelin in de as. ladzijde 7 () () () () () domein,,, ereik,,,, snijpunt -as (, ) (, ) (, ) (, ) een snijpunt -as (, ) (, ) (, ) (, ) een randpunt een een een (, ) een asmptoot een een een een -as en -as periode een een een een een stijend/dalend stijend dalend/stijend stijend stijend dalend Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

4 () () sin () os () () lo domein, ereik {} [, ] [, ], snijpunt -as een ( k π, ) ( π k π, ) een (, ) snijpunt -as (, ) (, ) (, ) (, ) een randpunt een een een een een asmptoot een een een as as periode een π π een een stijend/dalend onstant stijend/dalend stijend/dalend stijend stijend a, De eerste raiek is ontstaan uit de raiek van ( ) door vermenivuldien ten opzihte van de -as met ator, spieelen in de as en drie eenheden omhoo shuiven. De tweede raiek is ontstaan uit de raiek van ( ) sin door vermenivuldien ten opzihte van de -as met ator en vermenivuldien ten opzihte van de -as met ator. De derde raiek is ontstaan uit de raiek van ( ) lo door één eenheid naar links shuiven. a Voor is er sprake van een standaarduntie: ( ) sin. sin( π) als is een even etal, ijvooreeld. Hieronder is de raiek etekend van ( ) sin( ). π, π O, π π, π π sin( π ) als π π k π, dit is ijvooreeld het eval als. 8 Hieronder is de raiek etekend van ( ) sin( 8 ).,π π, π O, π π, π π, π Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

5 Hoodstuk - Transormaties a < < o > > () lo met < < domein ereik, snijpunt -as (, ) vertiale asmptoot stijend/dalend -as dalend 7a ; hieruit volt, en dus. Het snijpunt S (, ). ( ) m m Invullen van het punt ( eet, ) n( ), en dit is waar voor elke waarde van n. d De vertiale lijn met verelijkin ehoort niet tot de amilie. 8a. Translaties ladzijde () Voor elke waarde van eldt ( ) ( ). d Door de raiek van twee eenheden naar rehts te shuiven ontstaat de raiek van. e (),,7,,,,8 h(),,7,,,,8 Door de raiek van drie eenheden omhoo te shuiven ontstaat de raiek van h. De raiek van k ontstaat door de raiek van twee eenheden naar rehts en drie eenheden omhoo te shuiven. 9a ( ) ( ) ( ) 8 en ( ) ( ) ( ) () () 8 en ( 7) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) 8 ( ) De raiek van ontstaat door de raiek van vier eenheden naar links te shuiven. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

6 a a a ladzijde 9 v w 8 s O untie s t u v w top raiek (, ) (, ) (, ) (-, 7) (, ) u De raiek van t : twee eenheden naar links. De raiek van u : drie eenheden naar rehts en vij eenheden omhoo. De raiek van v : vier eenheden naar links en zeven eenheden omhoo. De raiek van w : tien eenheden omhoo. ( ) ; drie eenheden naar rehts en twee eenheden omlaa. ( ) 8 O h 8 () () h() randpunt een (, ) een asmptoot -as een De raiek van ontstaat door de raiek van p ( ) twee eenheden naar links te shuiven. De raiek van ontstaat door de raiek van q ( ) twee eenheden naar rehts en één eenheid omhoo te shuiven. De raiek van h ontstaat door de raiek van r ( ) lo drie eenheden naar rehts en één eenheid omhoo te shuiven. Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

7 a a Hoodstuk - Transormaties O De raiek van ontstaat door de raiek van vier eenheden omhoo te shuiven. De raiek van ontstaat door de raiek van aht eenheden naar links te shuiven. ( 8) ( 8) ( ). Vertiale vermenivuldiin ladzijde h. De astand tot de as is ahtereenvolens,, en maal zo root eworden. a : de raiek van is espieeld in de as. a : de raiek van is espieeld in de as en vervolens is de astand van alle punten tot de as met ator twee vermenivuldid. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

8 a nulpunten en t en toppen (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) De astand van de raiek van tot de as is hal zo root als de astand van de raiek van tot de as. a a a nulpunten en en en toppen (, ) (, ) (, ) De raiek van h ontstaat uit de raiek van door vermenivuldien ten opzihte van de as met ator. De raiek van h ontstaat door de raiek van te spieelen in de as. De raiek van h ontstaat door de raiek van te spieelen in de as en vervolens te vermenivuldien ten opzihte van de as met ator. a ( ) ; ator. ( ) lo ; ator. ( ) ; ator want d ( ) ; ator.. 7a a lo, dus a. a lo 7, dus a ; hieruit volt a. Nee want a lo 9, dus a 9 en dat kan niet. d De raiek aat door het punt (, a ). 8a ladzijde O De raiek van ontstaat door de raiek van te spieelen in de as. ( ) lo n ( ) m ( ) Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

9 Hoodstuk - Transormaties 9a De raiek van ontstaat door de raiek van te spieelen in de as en vervolens drie eenheden naar links te shuiven. De raiek van h ontstaat door de raiek van met een ator te vermenivuldien ten opzihte van de as en vervolens vier eenheden naar rehts en drie eenheden omlaa te shuiven. ( ) ( ) h ( ) ( ) a ( ) en h ( ) a O h Graiek van : en Graiek van h : en 8 h De raiek van ontstaat door de raiek van twee eenheden naar rehts te shuiven. ( ) ( ), dus de raiek van kan ontstaan uit de van 9 9 door een vermenivuldiin ten opzihte van de as met ator. 9 k ( ) h ( ) k ( ) h( ) De raiek van kan ontstaan uit de raiek van door een vermenivuldiin ten opzihte van de as met ator en door een vershuivin naar links over eenheden, naar links als > en naar rehts als <. ( ) a ( ) os( ) Ja. Eerst vershuivin en dan vermenivuldiin: ( ) ( os ) os. Eerst vermenivuldiin en dan vershuivin: ( ) os. De untievoorshriten zijn nu vershillend. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

10 a. Horizontale vermenivuldiin ladzijde, π O standaard, π π, π π, π π, π π Punten op de raiek van heen een astand tot de as die drie keer zo root is als de astand tot de as van de ijehorende punten van de standaardraiek ; de periode wordt drie keer zo root. ( 7 π) sin( 7 π) sin( π)., π O standaard, π π, π π De raiek van ontstaat door de standaardraiek ten opzihte van de as met ator te vermenivuldien ; de periode wordt ehalveerd. a ( ) lo( ) lo( 8), dus. ( ) lo( ) ( ), dus als (, ) een punt op de raiek van is, dan is (, ) een punt op de raiek van. Vermenivuldiin ten opzihte van de as met ator drie. d De raieken van en h zijn elkaars spieeleeld ij spieelin in de as. a ladzijde 8 O 8 De raiek van ontstaat door de raiek van ten opzihte van de as met ator Moderne te vermenivuldien. wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel Hoodstuk - Transormaties 7

11 8 Hoodstuk - Transormaties h ( ) ( ) ( ) ( ) h O 8 De raiek van h ontstaat door de raiek van ten opzihte van de as met ator te vermenivuldien. 7a ( ) ( ) ( ), h ( ) ( ) ( ) 8 8 8a ( ) ( ) k( ) lo lo lo ( ) 9 d h( ) 9a Met ator. ( ), dus met ator. Ja, want voor a > en > eldt ( ) a a, dus een vermenivuldiin a ten opzihte van de as met ator eet hetzelde resultaat als een vermenivuldiin ten opzihte van de as met ator a en voor a < en < eldt a ( ) a a, dus een vermenivuldiin ten opzihte van de as met a ator eet hetzelde resultaat als een vermenivuldiin ten opzihte van de a as met ator a. a Als l vier keer zo klein wordt, dan wordt de slinertijd maal zo klein. d t in seonden,,,,,,8 l in meter l T l, T l l l l Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

12 e T in seonden T maan T aarde,,,,8, l in entimeter De raiek van T maan ontstaat door de raiek van T aarde ten opzihte van de as met ator te vermenivuldien. De raiek van T maan ontstaat ook door de raiek van T aarde ten opzihte van de as met ator te vermenivuldien.. Transormaties na elkaar ladzijde a Nee, want ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 8 ( ). ( ) ( ( )) ( )) ( )). Vermenivuldiin met ator ten opzihte van de as evold door een vershuivin over eenheid naar rehts en één eenheid omlaa. ladzijde Punt (, ) lit op de paraool met top (, ) : ( ) a ( ), dus ( ) a ( ) ; hieruit volt a en dus ( ) ( ). 9 9 Vermenivuldiin van de standaardraiek met evold door vermenivuldiin ten opzihte van de as met ator : ( ) sin( π ). π Vermenivuldiin van de standaardraiek met ator a evold door een vershuivin over twee eenheden naar rehts en twee eenheden omhoo eet h ( ) a ; het punt (, ) lit op de raiek: h( ) a a, dus a en h ( ). a De raiek van ontstaat door de raiek van ( ) lo zes eenheden naar rehts en aht eenheden omhoo te shuiven. De raiek van h ontstaat door de raiek van ( ) te vermenivuldien met ator drie ten opzihte van de as en met ator twee ten opzihte van de as. De raiek van k ( ) (( )) ontstaat door de raiek van ( ) te vermenivuldien met ator drie ten opzihte van de as en vervolens twee eenheden naar rehts te shuiven. Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel 9

13 a d Hoodstuk - Transormaties, π O, π π, π π, π π, π π Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as en vermenivuldien met ator ten opzihte van de as. Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as en over π eenheden naar links shuiven. Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as, vermenivuldien met ator ten opzihte van de as en over π eenheden naar rehts shuiven. a Volorde heet een invloed op het resultaat. Bijvooreeld ( ). Volorde heet wel invloed op het resultaat. Bijvooreeld ( ) is niet hetzelde als ( ) ( ). Volorde heet een invloed op het resultaat. Bijvooreeld ( ). d Volorde heet wel invloed op het resultaat. Bijvooreeld ( ) ( ) is niet hetzelde als ( ). e Volorde heet een invloed op het resultaat. Bijvooreeld ( ).. Gemende opdrahten ladzijde a Twee eenheden omhoo shuiven. Een vermenivuldiin met ator ten opzihte van de as want ( ) lo lo lo lo. ( ) lo. d Een vermenivuldiin met ator ten opzihte van de as want ( ) lo lo lo lo. e Een vermenivuldiin met ator ten opzihte van de as want 8 lo lo lo lo. lo 8 7a ( ) Ze heen dezelde vorm ; het spieeleeld van de raiek van ij spieelin in de lijn, de raiek van k, ontstaat ook door de raiek van over eenheden naar oven te shuiven. h ( ) ( ) d Spieelen in de as evold door een vershuivin over tien eenheden naar rehts eet hetzelde resultaat als spieelen in de lijn : als p ( ) ( ) ( ) ( ) dan is k ( ) p ( ) ( ) ( ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

14 8a C ( ), 8 m/liter. 8 C ( 8), 8, 7 m/liter. Oneveer, 7, 7 m/liter. De aname van de onentratie van het eneesmiddel in de tweede injetie verloopt elijk aan de aname van de onentratie van het eneesmiddel in de eerste injetie, t t 8 maar met een vertrain van 8 uur, dusc () t C () t C ( t 8), 8, 8. t t 8 t d C () t 8, 8, 8, e C C 9a C in m/liter C 8 8 t in uren Het ezwaar van het injetieshema is, dat de onentratie van het mediijn diret na elke nieuwe injetie hoer is en dat de aname steeds sneller aat. ladzijde 7 P hoo h in m Er worden pas punten toeekend ij een spron hoer dan 7 m ; voor waarden kleiner dan 7 heet de ormule een etekenis. P t in seonden Er worden pas punten toeekend ij een tijd sneller dan 8 seonden; voor waarden roter dan 8 heet de ormule een etekenis. Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

15 a Hoodstuk - Transormaties De esoorde punten ij een tijd, minuten: P 7 en een spron van, m: P hoo 8 zijn van verelijkare rootte dankzij het eit, dat de vermenivuldiinsatoren in de eide ormules zo vershillend van rootte zijn. Als de injetie wordt toeediend neemt de onentratie van het verdovinsmiddel eerst snel toe tot een maimale waarde en neemt daarna lanzaam a waarij de aname steeds traer verloopt. (t) in % 7 7 t in minuten De maimale onentratie is % na minuten. De onentratie zal op den duur anemen tot % ; de raiek nadert op den duur tot de t-as ; voor rote waarden van t eldt t () t en dit nadert naar. t t d Na oneveer, 7 seonden verliest de patiënt het ewustzijn en na oneveer 79 minuten komt de patiënt weer ij kennis. e ( t ) Voor de tweede injetie eldt: t () (( t ) ) onentratie eldt dus: t () t ( t ) t ( t ) ( t ). ( t ) ; voor de totale ( t ) Plot de raieken van Y ( ) ( ) ( ) en Y en ereken de oördinaten van het snijpunt van eide raieken: (,). De operatie ma maimaal minuten duren. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

16 ICT Standaard raieken vershuiven ladzijde 8 I- Hoodstuk - Transormaties lo sin Domein,,,, Bereik,,,,,, Snijpunt -as (, ) - - (, ) (, ) ( (mod π ), ) (, ) Snijpunt -as (, ) - (, ) - (, ) (, ) (, ) Randpunt (, ) Asmptoten - en Periode Stijen -,, π, π (mod π), Dalen -,, - -, I-a De raiek van ( )ontstaat uit de standaardraiek door te spieelen in de -as. De raiek van ( ) ontstaat uit de standaardraiek door te spieelen in de -as. Als de raieken smmetrish zijn ten opzihte van de -as o -as zie je soms een vershil. I-a Het aantal eenheden dat je naar oven o eneden shuit, tel je op o trek je a van. d I-a ( ) ( )( ) (, ) en (, ) ( ) 9 Toppen (, ) en (, ). d Waarshijnlijk de notatie met de haakjes, omdat je daar makkelijk de top uit a kunt leiden. I- ( ) ladzijde 9 I-a d zort voor een vertiale vershuivin en zort voor een horizontale vershuivin. ( ) ( ) h ( ) d k ( ) sin( ) π, π (mod π) - Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

17 Hoodstuk - Transormaties I-7 ( ) ( ) lo sin( ) I-8a d, naar rehts shuiven, naar eneden shuiven, naar links shuiven lo, naar oven shuiven I-9, de volorde is niet van elan. ICT Standaardraieken vervormen ladzijde I-a I-a Als a > wordt de amplitude a keer zo root. Als a < worden alle uitkomsten teenesteld en a keer zo root. a etekent spieelen in de -as. De astand tot de -as wordt a keer zo root. I-a sin ; d ;,7 ; e ; want lo ; ; I- sin I-a ladzijde Als > wordt de periode kleiner, de astand tot de -as wordt keer zo klein. Als > krimpt de raiek in. De astand tot de -as wordt keer zo klein. I-a ( ) ( ) m( ) ( ) 9 d n( ) I- ( ) lo( ) ( ) ( ) sin( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

18 I-7a Vermenivuldiin ten opzihte van de -as met ator ( ), dus ook een vertiale vermenivuldiin met ator is moelijk. a a (mits a > ), dus horizontaal met ator en vertiaal met ator a. a Test jezel ladzijde T- Links: raiek ontstaat door de standaardraiek twee eenheden naar rehts en drie eenheden omlaa te shuiven. Midden: raiek ontstaat door de standaardraiek twee eenheden naar rehts en één eenheid omlaa te shuiven. Rehts: midden: raiek ontstaat door de standaardraiek één eenheid naar links en twee eenheden omlaa te shuiven. T-a 8 7 O h Graiek van : randpunt (, ). Graiek van : top in ( 7., ) Graiek van h : vertiale asmptoot. De raiek van ontstaat door de standaardraiek twee eenheden naar links en drie eenheden omlaa te shuiven. De raiek van ontstaat door de standaardraiek vier eenheden naar rehts en zeven eenheden omhoo te shuiven. De raiek van h ontstaat door de standaardraiek vij eenheden naar rehts en twee eenheden omhoo te shuiven. T-a Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as. Vermenivuldien met ator, ten opzihte van de as. Vermenivuldien met ator 7 ten opzihte van de as. d Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as. T-a Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as. Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as. 8 Vermenivuldien met ator ten opzihte van de as want.. Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

19 Hoodstuk - Transormaties T-a u sin t u sin( t) u in m O t in seonden T-a Links: vermenivuldien met ator ten opzihte van de as, vermenivuldien met ator ten opzihte van de as en één eenheid naar rehts shuiven. Rehts: vermenivuldien met ator ten opzihte van de as en twee eenheden naar rehts shuiven. Links: ( ) sin ( ). Rehts: ( ) lo( ). T-7a (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) T-8a O d ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) 8 ( ) T-9 De raiek van ontstaat door de standaardraiek drie eenheden naar rehts en twee eenheden omhoo te shuiven want ( ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

20 a d e a d a Blok - Vaardiheden ladzijde 8 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( 8 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 8 ) ( 8 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ladzijde 9 d 8 8 e ( )( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel 7

21 8 Blok - Vaardiheden a ( ) 8 8 d a 9 9 ( ) 9 ladzijde ( ) ( ) ( ) 9 7 ( ) ( ) 9 7 ( ) o o (eide oplossinen voldoen) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o (eide oplossinen voldoen) (eide oplossinen voldoen) d a p p p p p ( ) p ( p ) ( p ) 7a ( ) Het domein wordt eperkt door de in de noemer, die ma een zijn. Dus D,,. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

22 ( )( ) ( ) 8a 9a ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) De oplossin is dus o. ( ) het domein is dan: D,,,. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ladzijde p p p p p p p p p p p p p 9p 9p d a ( p ) ( p ) ( p p ) ( p p ) p p p p p p ( p p p ) p 8p p p Een snijpunt met de -as vind je door op te lossen ( ). Dus Voor deze laatste kwadratishe verelijkin eldt: Disriminant D < De verelijkin heet dus een oplossin. Er zijn dus een snijpunten met de -as. Eén eenheid naar rehts shuiven etekent dat je moet vervanen door. ( ) ( ) Je krijt dan: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eén eenheid naar eneden shuiven etekent dat de untiewaarden kleiner worden. Je krijt dan h ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Blok - Vaardiheden Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel 9

23 Blok - Vaardiheden a De tweede verelijkin: De eerste verelijkin: (tweede verelijkin invullen) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) 8 ( ) 8 ( )( ) o d De oplossinen zijn dus en o en. De eerste verelijkin invullen in de tweede eet ( )( ) o en De oplossinen zijn dus: en o en. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

24 a ICT - Loaritmishe shalen ladzijde Het voordeel van deze raiek is dat je voor kleine waarden van t de oppervlakte oed kunt alezen. Het nadeel is dat dit voor waarden van t die roter dan zijn niet meer lukt. Zet ij assen instellen de vertiale waarde op. Je kunt dan voor waarden roter dan redelijk oed de oppervlakte alezen, maar nu lukt het voor waarden kleiner dan weer niet. a De verdelin op de vertiale as neemt ij elke stap met een ator toe, dus,, enz. met elijke tussenastand, maar ook, enz. Er wordt dus steeds met vermenivuldid. De oppervlakte op t, is oneveer 8 m. Met Trae vind je dat na, daen de oppervlakte m is. Dit is dus na 7, uur. a Kies vertiaal de shaal tot en met.. De uitkomsten diht ij zijn nu niet meer a te lezen. - Voor t, is A, m en voor t, is A, m. d A eldt voor t, en A eldt voor t. e Bij een eponentiële untie wordt er ij elke stap vermenivuldid met een epaal etal, de roeiator. Wanneer op de vertiale as ook ij elke stap met een etal vermenivuldid wordt, dan wordt de raiek dus een rehte lijn. a De raiek is een rehte lijn ij een loaritmishe verdeelde vertiale as, dat eeurt alleen ij een eponentiële untie. De einwaarde is de waarde voor t, die is hier. De roeiator vindt je door de waarde voor ijvooreeld t lees je a. Voor de roeiator eldt dus 9,. t Uit opdraht volt nu dat het untievoorshrit wordt, 9. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

25 a ICT - Loaritmishe shalen Met een ewone lineaire shaalverdelin krij je onderstaande raiek. aantal inwoners t in jaren Wanneer je vertiaal een loaritmishe shaalverdelin neemt krij je onderstaande raiek. aantal inwoners t in jaren In de tweede raiek van opdraht a kun je zien dat de raiek tussen t en t ij enaderin reht is. Dat etekent dus dat er in die periode sprake was van eponentiële roei. Dus van 97 tot De roeiator voor deze periode eldt dan: 7,. De evolkinstoename per jaar was dus oneveer 7%. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

26 a 7a 8a De overeenkomsten van de drie raieken zijn: ze zijn alle drie eponentieel, alle drie stijend en heen alle drie als horizontale asmptoot de -as. De vershillen van de drie raieken zijn: en h zijn steiler en de drie raieken heen vershillende einwaarden. Wanneer je de -as loaritmish kiest ontstaan er drie evenwijdie lijnen. Rehte lijnen want de unties zijn eponentieel. Evenwijdi omdat de unties dezelde roeiator heen. Met ehulp van de einwaarden kun je de vier raieken ondersheiden. Graiek hoort ij untie l, raiek ij untie p, raiek ij untie m en raiek ij untie k. Ook kun je zien dat raiek en evenwijdi lopen, dus die unties heen dezelde roeiator. Hoe roter de roeiator, hoe steiler de lijn. De raieken van de unties en worden nu rehte lijnen. De raieken van de andere twee niet. Wanneer ook de -as loaritmish wordt dan zijn de raieken van de unties h en k rehte lijnen en de twee eponentiële unties zijn niet reht meer. Wanneer eide assen een loaritmishe shaalverdelin heen dan worden de raieken van mahtsunties zoals m ( ) rehte lijnen. Alleen de vertiale as is loaritmish en de raiek is dan een rehte lijn. De untie die ij deze raiek hoort is dus eponentieel. k( ) en k( ). De roeiator is dus 99,. k ( ). d De roeiator voor de untie m is dus. m() m( ). De einwaarde is dus. m ( ) 9a - Wanneer eide assen een loaritmishe shaalverdelin heen worden alle drie de raieken rehte lijnen, want het zijn alle drie mahtsunties. (zie opdraht ). ( ) ; ( ) ; h ( ) a Beide assen, zowel de horizontale als de vertiale, heen een loaritmishe shaalverdelin. De raiek is dan een rehte lijn dus moet het een mahtsuntie zijn. De vorm is dan ( ) a n. () a a Dus ( ) n. De raiek aat door het punt (8, ) n n n ( 8) 8 8 ( ) n n n. De untie is dan ( ). ICT - Loaritmishe shalen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel

27 ICT - Loaritmishe shalen a Wanneer het verand eponentieel zou zijn dan zou een vertiale as met een loaritmishe shaalverdelin een oneveer rehte lijn moeten even. Dat eeurt niet. Dus is er een eponentieel verand tussen de omlooptijd en de astand tot de zon. Wanneer eide assen loaritmish zijn dan komt er wel een rehte lijn, dat etekent dat het verand tussen de omlooptijd en de astand tot de zon een mahtsverand is. Wat proeren met de shuiparameter levert op dat voor p, en q, De lijn redelijk oed enaderd wordt. Een ormule is dan: omlooptijd, astand,., d Omlooptijd van Venus is,7 daen, 7, ast,, 7, ast ast 7 de astand van Venus tot de zon is dus, oneveer 7 miljoen km. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkinen vwo B deel