Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren"

Transcriptie

1 Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Voorwaardelijke kans Rekenregels Onafhankelijkheid Voorwaardelijke Onafhankelijkheid Voorbeelden Hfdstk 2: / 42 Hfdstk 2: Inleiding 2 / 42 Voorbeeld: Probabilistisch redeneren Voorwaardelijke kans Een patiënt heeft mogelijk last van griep, verkoudheid of beide. Een verkouden patiënt heeft met kans 60% last van hoestbuien Een verkouden patiënt heeft kans 0% op hoofdpijnklachten. Een patiënt met griep heeft kans 20% op hoestbuien. Een patiënt met griep heeft kans 70% op hoofdpijn. Vragen De patiënt verteld dat hij last heeft van hoestbuien. Hoe groot is de kans dat hij griep heeft? Hij zegt dat hij ook last heeft van hoofdpijn. Hoe groot is de kans nu dat hij griep heeft? Voorbeeld Zuivere dobbelsteen D uitslag van worp met dobbelsteen P(D i) 6, voor i,..., 6, P(D even) P(D oneven) 2. Wat is de kans op (D 4) als gegeven is (D even)? Antwoord # uitkomsten (D even) 3 # uitkomsten (D 4) binnen gebeurtenis (D even) Kans ( (D 4) gegeven (D even) ) 3 Hfdstk 2: Inleiding 3 / 42 Hfdstk 2: Inleiding 4 / 42

2 Voorwaardelijke kans Voorbeeld 2 In een klinische studie zijn 0000 mannen boven de 40 jaar onderzocht op hypertensie en obesitas. hypertensie geen hypertensie obesitas geen obesitas Wat is de kans dat een patient obesitas heeft als je weet dat hij hypertensie heeft? Antwoord Aantal mannen met hypertensie 2002 Aantal obesitas binnen groep hypertensie 498 Kans (obesitas gegeven hypertensie) is Hfdstk 2: Inleiding 5 / 42 Voorwaardelijke Kans Een voorwaardelijke kans is een kans op een gebeurtenis, zeg A, waarbij bekend is dat gebeurtenis B optreedt. We noteren dit als P(A B). Het is de kans dat A optreedt, als we de uitkomsten beperken tot B. In een symmetrische kansruimte kunnen de voorwaardelijke kans uitrekenen door aantallen te delen: P(A B) #(AB) #(B) Notatie: AB betekent A B! Als we teller en noemen delen door het aantal elementen van de uitkomstenruimte S, dan krijgen we: P(A B) P(AB) P(B) Hfdstk 2: Inleiding Definitie 6 / 42 Venn diagram Definitie (Voorwaardelijke kans)) Als A en B twee mogelijke gebeurtenissen zijn met P(B) > 0, dan is de voorwaardelijke (of conditionele) kans op A gegeven B gedefiniëerd als P(A B) P(A B) P(B) P(AB) P(B) Als P(B) 0, dan is P(A B) niet gedefinieerd. In een Venn diagram zijn de onvoorwaardelijke kansen: S A B AB en de voorwaardelijke kansen gegeven B: B AB Hfdstk 2: Inleiding Definitie 7 / 42 Hfdstk 2: Inleiding Definitie 8 / 42

3 Speciaal geval De gewone kans die we al eerder gedefiniëerd hadden, is eigenlijk een speciaal geval van een voorwaardelijke kans, n.l. P(A) P(A S) P(A S) P(S) P(A S) Eigenschappen Voor voorwaardelijke kansen gelden de kansaxioma s. Als P(B) > 0, dan geldt namelijk: P(A B) 0; P(S B) ; ( ) P A i B i P(A i B) voor disjuncte A i ; i De voorwaardelijke kans gegeven B is dus ook weer een kansmaat. Eigenschappen Voor voorwaardelijke kansen gelden dezelfde soort eigenschappen als voor gewone kansen. P( B) 0 P(A C B) P(A B) P(A C B) P(A B) + P(C B) P(A C B) mits P(B) > 0. Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen 9 / 42 Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen 0 / 42 Voorbeeld Rekenregel : Vermenigvuldigingsregel Er geldt P(A B) P(AB) P(B) en dus ook Vraag: Wat is de kans op P(A\B)? Vraag: Wat is de kans op P ( (A\B) B )? P(AB) P(A B)P(B) Er geldt natuurlijk ook P(B A) P(AB) P(A) en dus P(AB) P(B A)P(A) Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 2 / 42

4 Voorbeeld 3 Vaas met r rode ballen en b blauwe ballen: trek twee willekeurige ballen zonder terugleggen. Wat is de kans dat de eerste bal rood is en de tweede blauw? Oplossing: noem gebeurtenis R (eerste bal is rood) noem gebeurtenis B2 (tweede bal is blauw) r P(R ) r + b P(B 2 R ) P(R B 2 ) b r + b r r + b b r + b Vermenigvuldigingsregel (vervolg) Er geldt P(AB) P(B A)P(A) en dus ook P(ABC) P ( (AB)C ) P(C AB)P(AB) P(C AB)P(B A)P(A) Rekenregel : Vermenigvuldigingsregel (Algemeen) Als A, B,..., Z gebeurtenissen zijn waarvoor geldt P(ABC Z) > 0, dan is P(ABC Z) P(Z AB Y) P(C AB)P(B A)P(A) Voorbeeld 3 (vervolg) Vraag: Wat is P(eerste bal rood, tweede bal blauw en derde bal rood)? Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 3 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 4 / 42 Voorbeeld 3 (vervolg) Vaas met r rode ballen, b blauwe ballen. Wat is de kans dat de tweede bal blauw is? Oplossing noem gebeurtenis R (eerste bal is rood) noem gebeurtenis B 2 (tweede bal is blauw) (R P(B 2 ) P( R C ) ) B2 P(R B 2 ) + P(R C B 2) P(R )P(B 2 R ) + P(R C )P(B 2 R C ) Rekenregel 2: Regel van Totale Kans (Conditionering) Als de uitkomsten A, A 2,..., A N elkaar uitsluiten, P(A i ) > 0, voor elke i,..., N, en N i P(A i), dan geldt voor elke gebeurtenis B: P(B) N P(B A i )P(A i ) i b r + b Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 5 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 6 / 42

5 Voorbeeld 4 Voorbeeld 4 (vervolg) Drie machines M, M 2, M 3 produceren items: M M 2 M 3 percentage productie percentage defect 2 3 We kiezen willekeurig item uit de totale productie. Wat is de kans dat dit item kapot is? Benoem de uitkomsten: M i (het geselecteerde item komt uit machine M i ). D (het geselecteerde item is defect). We kennen P(D M ), P(D M 2 ), P(D M 3 ). Vraag: Hoe berekenen we P(D)? Drie machines M, M 2, M 3 produceren items: M M 2 M 3 percentage productie percentage defect 2 3 We kiezen willekeurig item uit de totale productie, en dit blijkt kapot te zijn. Wat is de kans dat dit item door M 2 gemaakt is? Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 7 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 8 / 42 Voorbeeld 4 (Uitwerking) Rekenregel 3 (Regel van Bayes) Bekijk een gemiddelde productierun van 000 items: M M 2 M 3 totaal goed 0,98 0,294 0,485 0,977 defect totaal De gevraagde kans is P(M 2 D) P(M 2D) P(D) P(D M 2)P(M 2 ) P(D) P(D M 2 )P(M 2 ) P(D M )P(M ) + P(D M 2 )P(M 2 ) + P(D M 3 )P(M 3 ) De Regel van Bayes Als P(B) > 0 en de uitkomsten A, A 2,..., A N elkaar uitsluiten, P(A i ) > 0, voor elke i,..., N, en N i P(A i), dan geldt voor elke i: P(A i B) P(B A i )P(A i ) N j P(B A j)p(a j ) Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 9 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 20 / 42

6 A priori en a posteriori kans De kansen uit de stelling van Bayes hebben een naam: De kansen P(A i ) zijn gegeven voor het uitvoeren van het experiment (voordat een item geselecteerd is, en voordat bekend is of het defect is) en heten a priori kansen. De kans P(A i B) is een kans op de gebeurtenis A i (item gemaakt door machine i) als gegeven is dat gebeurtenis B optreedt (item defect). Dit heet een a posteriori kans. Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 22 / 42 Voorbeeld 5 Uit bestanden met medische gegevens blijkt dat in een bepaalde groep patiënten tussen 35 en 40 jaar % kans hebben om longontsteking te krijgen. Longontsteking kan gedetecteerd worden op röntgenfoto s. We beschouwen een willekeurige patiënt uit de groep tussen 35 en 40 jaar. Benoem nu: K: de gebeurtenis dat deze patiënt longontsteking heeft R: de gebeurtenis dat een röntgenfoto een ontsteking aantoont. Uit de medische gegevens weten we: P(K) 0.0, Uit gegevens over de röntgenapparatuur weten we P(R K) 0.9, P( R K) Er wordt een röntgenfoto gemaakt en op die foto wordt een ontsteking waargenomen. Hoe groot is de kans dat de patiënt longontstekling heeft? Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 23 / 42 Antwoord P(K R) P(K R) P(R) P(R K)P(K) P(R K)P(K) + P(R K)P( K) Voorbeeld 5 Als je een willekeurige kaart trekt uit een kaartspel van 52 kaarten, wat is de kans dat je een aas trekt? Wat is de kans dat je een aas trekt, als je weet dat de kaart rood is? Voorbeeld 6 Als je tweemaal met een dobbelsteen gooit, wat is de kans dat de tweede worp 6 is? Wat is die kans als je weet dat je de eerste keer een 6 geworpen hebt? Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 24 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid 25 / 42

7 Soms heeft het optreden van gebeurtenis B geen invloed op het optreden van gebeurtenis A. Dan geldt P(A B) P(A). Als dit geldt dan spreken we van de onafhankelijkheid van de twee gebeurtenissen A en B. Er geldt dan oftewel P(A) P(A B) én P(A B) P(AB) P(B) P(AB) P(A)P(B) In het algemeen gebruiken we de laatste formulering als definitie van onafhankelijkheid. Definitie (Onafhankelijkheid) Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk (ook wel: onderling onafhankelijk, afgekort tot o.o.) als P(AB) P(A)P(B) We kunnen onafhankelijkheid ook definiëren met behulp van voorwaardelijk kansen: Definitie (Onafhankelijkheid) Twee gebeurtenissen A en B met P(A) > 0 en P(B) > 0 heten o.o. als P(A B) P(A) en P(B A) P(B). Hfdstk 2: Onafhankelijkheid 26 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 27 / 42 Voorbeeld Definitie (Paarsgewijze onafhankelijkheid) De gebeurtenissen A, A 2,..., A n, heten paarsgewijs onafhankelijk als elk tweetal gebeurtenissen onafhankelijk is. Definitie (Onafhankelijkheid van verzameling gebeurtenissen) Een verzameling van gebeurtenissen A, A 2,..., A n, heet onafhankelijk als voor elke deelverzameling van gebeurtenissen A i, A i2,..., A ik, (k n), geldt P(A i A i2 A ik ) P(A i )P(A i2 ) P(A ik ) Drie gebeurtenissen A, B en C zijn o.o. als P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C) Bij 20 keer werpen met een dobbelsteen zijn de uitkomsten van afzonderlijke worpen onafhankelijk. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 28 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 29 / 42

8 Voorbeeld 7 2 Definitie (Conditionele onafhankelijkheid) Voor een gebeurtenis B met P(B) > 0 heten 3 4 als A en A 2 onafhankelijk gegeven B, A {, 2}, B {, 3}, C {, 4} A, B en C paarsgewijs onafhankelijk, immers: P(AB) 4 P(A)P(B) P(AC) 4 P(A)P(C) P(BC) 4 P(B)P(C) A, B, C niet onafhankelijk, want: P(ABC) 4 P(A)P(B)P(C) 8 Een equivalente definitie is: P(A A 2 B) P(A B)P(A 2 B) Voor drie gebeurtenissen A, A 2 en B met P(A B) > 0 en P(A 2 B) > 0 noemen we A en A 2 onafhankelijk gegeven B als P(A A 2 B) P(A B) en P(A 2 A B) P(A 2 B). Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 30 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 3 / 42 Interpretatie Conditionele onafhankelijkheid (equivalente definitie) P(A A 2 B) P(A B) en P(A 2 A B) P(A 2 B) Als A en A 2 onafhankelijk zijn gegeven B, dan kunnen we dit interpreteren als: en Als we weten dat gebeurtenis B optreedt, dan is alle informatie over het eventuele optreden van A 2 irrelevant met betrekking tot het eventuele optreden van A. Als we weten dat gebeurtenis B optreedt, dan is alle informatie over het eventuele optreden van A irrelevant met betrekking tot het eventuele optreden van A 2. Voorbeeld 8 We hebben twee flippo s, waarvan flippo no. een rode en een blauwe kant heeft, en flippo no. 2 een groene en een gele kant. We nemen willekeurig één van de flippo s en werpen twee keer met deze flippo. We noemen de gebeurtenissen: Vraag F 2 flippo no. 2 is gekozen; G de eerste worp is geel; G 2 de tweede worp is geel; Zijn G en G 2 onafhankelijk? Zijn G en G 2 onafhankelijk gegeven F 2? Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 32 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 33 / 42

9 Voorbeeld 9 Een onderzoek bij 000 patiënten levert de volgende data op griep verkoudheid hoofdpijn aantal x x x x 0 x x - x 20 x x - 40 x x x Vraag: Is verkoudheid onafhankelijk van hoofdpijn? Vraag: Is verkoudheid onafhankelijk van hoofdpijn, gegeven griep? Voorbeeld 0 We hebben twee munten: een zuivere munt A met Kop en Munt, en een zuivere munt B met tweemaal Kop. We trekken aselect één munt en gooien hiermee Benoem de gebeurtenissen: A : munt A getrokken B : munt B getrokken K : eerste worp is Kop : eerste worp is Munt M De eerste worp blijkt Kop. Wat is de kans dat we munt A getrokken hebben? P(K A)P(A) P(A K ) P(K A)P(A) + P(K B)P(B) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 34 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 35 / 42 Voorbeeld 0 (Vervolg) We werpen dezelfde munt voor de tweede keer en weer krijgen we Kop. Wat is nu de kans dat we munt A getrokken hebben? Manier : P(A K K 2 ) P(K K 2 A)P(A) P(K K 2 A)P(A) + P(K K 2 B)P(B) P(K A)P(K 2 A)P(A) P(K A)P(K 2 A)P(A) + P(K B)P(K 2 B)P(B) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 36 / 42 Voorbeeld 0 (Vervolg) Manier 2: Gebruik een conditionele versie van de Regel van Bayes: P(A K 2 ) P(A K K 2 ) P(K 2 A)P(A) P(K 2 A)P(A) + P(K 2 B)P(B) P(K 2 AK )P(A K ) P(K 2 AK )P(A K ) + P(K 2 BK )P(B K ) P(K 2 A)P(A K ) P(K 2 A)P(A K ) + P(K 2 B)P(B K ) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 37 / 42

10 Toepassing: Spamfiltering Een spamfilter besluit op grond van het voorkomen van bepaalde woorden in een bericht of het spam of ham. Een Bayesian spamfilter gebruikt hiervoor voorwaardelijke kansen en de regel van Bayes. Het werkt als volgt: Geef de verschillende woorden in een bericht aan met w, w 2,..., w n. Het filter berekent en P(SPAM w w 2... w n ) P(HAM w w 2... w n ). Als de verhouding P(SPAM w w 2... w n ) voldoende groot is, P(HAM w w 2... w n ) dan besluit het filter dat het bericht SPAM is. Hoe berekenen we P(SPAM ) en P(HAM )? Met de Regel van Bayes! P(SPAM w... w n ) P(w... w n SPAM)P(SPAM) P(w... w n ) P(HAM w... w n ) P(w... w n HAM)P(HAM) P(w... w n ) en dus ook P(SPAM w... w n ) P(HAM w... w n ) P(w... w n SPAM)P(SPAM) P(w... w n HAM)P(HAM) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 38 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 39 / 42 Bij benadering geldt en P(w... w n SPAM) P(w... w n HAM) De verhouding P(SPAM ) P(HAM ) n P(w i SPAM) i n P(w i HAM). i wordt nu gelijk aan P(SPAM w... w n ) P(HAM w... w n ) P(SPAM) n i P(w i SPAM) P(HAM) n i P(w i HAM) De kansen P(SPAM) P(HAM) P(SPAM) P(w i SPAM) P(w i HAM) worden bepaald door te leren uit data. Dit gebeurt initiëel met een trainingsset van berichten; adaptief aan de hand van nieuwe berichten. Deze methode van filtering waarbij de benadering P(w... w n SPAM) P(w i SPAM), i gebruikt wordt, heet naïef Bayes filtering. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 40 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 4 / 42

11 Met de stof van Hoofdstuk 2 moet je kunnen Voorwaardelijke kansen herkennen ( als gegeven is..., als je weet dat... ) én uitrekenen. De rekenregels voor voorwaardelijke kansen toepassen om kansen uit te rekenen die rechtstreeks in de probleemomschrijving staan. (On)afhankelijkheid van gebeurtenissen afleiden Voorwaardelijke (on)afhankelijkheid afleiden Begrijpen hoe een Bayes spamfilter werkt. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 42 / 42

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de derde graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de derde graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg Deze tekst sluit aan op de tekst: Kansrekening voor de tweede

Nadere informatie

Inleiding Kansrekening en Statistiek

Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek S.J. de Lange VSSD 4 VSSD Eerste druk 1989 Tweede druk 1991-2007 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan

Nadere informatie

1 Beginselen kansrekening

1 Beginselen kansrekening 1 Beginselen kansrekening Drs. J.M. Buhrman Inhoudsopgave 1.1 Experimenten en uitkomstenruimtes 1.2 Gebeurtenissen als verzamelingen 1.3 Kansregels 1.4 Voorwaardelijke kansen, onafhankelijkheid, nog meer

Nadere informatie

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip 27 januari 2014 Deze les Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intuïtie Kanstheorie volgens Laplace (1749-1827) De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2006 Les 9 Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Sommige vragen uit de kanstheorie hebben een antwoord dat niet met de intuïtie van iedereen

Nadere informatie

Forensische Statistiek

Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Forensische Statistiek Dit jaar is forensische statistiek het thema van de middagwedstrijd Sum of Us van het Wiskundetoernooi. In dit boekje vind je het voorbereidend

Nadere informatie

2 Kansen optellen en aftrekken

2 Kansen optellen en aftrekken 2 Kansen optellen en aftrekken Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/ VWO wi-a Kansrekening Optellen/aftrekken Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Kansrekening

Hoofdstuk 4 Kansrekening Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek voor informatici

Kansrekening en Statistiek voor informatici Leidraad bij het college Kansrekening en Statistiek voor informatici Esdert Edens februari 2006 Edens 060214-1610 i Kansrekening en statistiek (Inf.) 1. Inleiding......................................................................

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg 1. Kans als relatieve frequentie...1 1.1. Van realiteit naar

Nadere informatie

Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu.

Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu. Huishoudelijke zaken Werkcollege Docent: dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu.nl Website: Overzicht hoorcolleges (en handouts) Opgaven werkcolleges Oude tentamens Literatuur:

Nadere informatie

Overzicht voor deze voormiddag. Inleiding Kansrekening en Statistiek: een eigen discipline. Lesmateriaal en ICT ondersteuning: korte info

Overzicht voor deze voormiddag. Inleiding Kansrekening en Statistiek: een eigen discipline. Lesmateriaal en ICT ondersteuning: korte info Kansrekening Nascholing voor leerkrachten Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg http://www.uhasselt.be/lesmateriaal-statistiek Overzicht voor deze voormiddag

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Combinatoriek en kansrekening

Combinatoriek en kansrekening Combinatoriek en kansrekening (SV 2.1) P.J. den Brok MA 26 september 2013 Inhoudsopgave 1 De kansrekening 4 1.1 Belangrijke combinatorische functies.................... 4 1.2 Rangschikkingen..............................

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Kansrekening en Statistiek p.1 Overzicht Kansrekening en Statistiek - Geschiedenis - Loterij - Toetsen

Nadere informatie

Logisch denken over kansen

Logisch denken over kansen Logisch denken over kansen In zee met wiskunde D TU Eindhoven, 29 januari 2007 Mirte Dekkers en Klaas Landsman mdekkers@math.ru.nl landsman@math.ru.nl Radboud Universiteit Nijmegen Genootschap voor Meetkunde

Nadere informatie

combinaties te berekenen.

combinaties te berekenen. Een roosterdiagram is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit twee mogelijkheden (uit-thuis, wel-niet) moet kiezen. Een kortste route bestaatuit een aantal stappen : n. Daarvan worden

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Inleiding Kansrekening

Inleiding Kansrekening Inleiding Kansrekening voor het 1e jaar wiskunde, 2e jaar natuurkunde en informatica docent: Hans Maassen November 2007 Onderwijsinstituut voor Wiskunde, Natuurkunde en Sterrenkunde Radboud Universiteit

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c.

a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c. Opgaven hoofdstuk 3 I Learning the Mechanics 3.1 De uitkomstenruimte van een experiment bevat vijf uitkomsten met kansen zoals in de tabel staan gegeven. Bereken de kans op elk van de volgende gebeurtenissen:

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2 Hoofdstuk III Kansrekening Les Combinatoriek Als we het over de kans hebben dat iets gebeurt, hebben we daar wel intuïtief een idee over, wat we hiermee bedoelen. Bijvoorbeeld zeggen we, dat bij het werpen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: kansrekening. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: kansrekening. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: kansrekening 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Statistiek in de rechtszaal: Wiskundige modellen achter de zaak Lucia de B. (Engelse

Nadere informatie

Gokautomaten (voor iedereen)

Gokautomaten (voor iedereen) Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen?

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen? 1. Iemand heeft thuis 12 CD s in een rekje waar er precies 12 inpassen. a. Op hoeveel manieren kan hij ze in het rekje leggen. b. Hij wil er 2 weggeven aan zijn vriendin, hoeveel mogelijkheden? c. Hij

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Robert Fitzner Tim Hulshof 7 Oktober 202 v.3 Voorwoord Deze tekst geeft een overzicht van de stof die behandeld wordt in de meeste cursussen inleiding

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Jan heeft 4 pennen, 1 daarvan is paars met gele stippen. Jan doet zijn ogen dicht en probeert de paarse met gele stippen te pakken.

Jan heeft 4 pennen, 1 daarvan is paars met gele stippen. Jan doet zijn ogen dicht en probeert de paarse met gele stippen te pakken. VMBO Wiskunde Periodetoets kansrekening 17/12/2010 Deze toets bestaat uit 17 opgaven plus een bonusvraag. Er zijn maximaal 58 punten te behalen. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening,

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Syllabus Verzamelingen en Kansrekening

Syllabus Verzamelingen en Kansrekening Syllabus Verzamelingen en Kansrekening cursus 2010/2011 W. Kager en M. van de Vel Inhoudsopgave 1 Basisbegrippen 1 1.1 Basisbegrippen van de verzamelingenleer 1 1.2 Rol van verzamelingen in de kansrekening

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1 Paragraaf De kansdefinitie Opgave a) Als de kikker verspringt, gaat hij van zwart naar wit, of andersom Hij zit dus afwisselend op een zwart en een wit veld Op een willekeurig moment is de kans even groot

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

COMBINATORIEK. Vb2. Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kan je vormen? Gebruik een boomdiagram.

COMBINATORIEK. Vb2. Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kan je vormen? Gebruik een boomdiagram. 1. Eenvoudige telproblemen COMBINATORIEK In het 4 de jaar hebben we kennis gemaakt met eenvoudige telproblemen. Om deze telproblemen op te lossen leerden we het aantal tellen met behulp van o.a. boomdiagrammen.

Nadere informatie

Overzicht Theorie Kansrekening

Overzicht Theorie Kansrekening Overzicht Theorie Kansrekening 7N5p 2013 GGHM Inhoud 1 Kansrekening... 3 1.1 Uitkomst en uitkomstenruimte... 3 1.1.1 Complement... 3 1.1.2 Doorsnede... 4 1.1.3 Vereniging... 4 1.2 Kans en kansexperiment...

Nadere informatie

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van

Nadere informatie

( Spreek uit:: de kans op A is vijf is één-zesde; P staat voor probabilitas, probability,..= kans)

( Spreek uit:: de kans op A is vijf is één-zesde; P staat voor probabilitas, probability,..= kans) Kansen en Tellen Kans Als je met een doelsteen ooit en het resultaat is dat de kant met vijf stippen oven lit, weet iedereen dat je zet dat de kans daarop één op zes is. In de wiskunde formuleren we dat

Nadere informatie

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-2 H10: Kansverdelingen..3-4 H11: Allerlei functies.5- Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve formule

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 5 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp Kansrekening doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat

Nadere informatie

van de verwachtingswaarde groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen te verkiezen boven rood?..

van de verwachtingswaarde groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen te verkiezen boven rood?.. Verwacht winst altijd Prof. dr. Herman Callaert Een verrassende toepassing van de verwachtingswaarde bij kansmodellen. groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen

Nadere informatie

Durft u het risico aan?

Durft u het risico aan? Durft u het risico aan? Hoe het uitkeringspercentage van de vernieuwde Nederlandse Lotto te schatten? Ton Dieker en Henk Tijms De Lotto is in Nederland een grote speler op de kansspelmarkt. Met onderdelen

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit HOOFDSTUK : Kansrekening. De productregel Opgave : van de knikkers zijn rood rood uit II ) d. 0, e. 0, Opgave : 0 twee wit 0, ) 0 0 ) 0 0 ) 0 0 blauw en rood 0, wit en groen 0, d. geen blauw 7 0, ) 0 0

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

KANSREKENING EN STATISTIEK

KANSREKENING EN STATISTIEK KANSREKENING EN STATISTIEK Jan van de Craats 68.3% 95.4% µ σ µ + σ µ 2σ µ + 2σ 99.7% µ 3σ µ + 3σ Collegedictaat augustus 22 Inhoudsopgave Kansen en kansmodellen. Introductie.................................2

Nadere informatie

o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend!

o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend! Examentoets 2 6VWO-A Statistiek woensdag 20 januari 2010 o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend! o Geef bij gebruik

Nadere informatie

De uitkomstenverzameling of het universum is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment : { }

De uitkomstenverzameling of het universum is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment : { } Hoofdstuk 3 Kansrekening en simulatie 3.1 Basisbegrippen We introduceren de basisbegrippen uit de kansrekening met het experiment het gooien van een dobbelsteen. Dit experiment is vaak herhaalbaar en de

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Logische functies. Negatie

Logische functies. Negatie Pa ELO/ICT Logische functies inaire elementen slechts twee mogelijkheden voorbeeld : het regent slechts twee toestanden : waar of niet waar Voorstellen met LETTERSYMOOL = het regent overeenkomst :» als

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Lesbrief Hypergeometrische verdeling

Lesbrief Hypergeometrische verdeling Lesbrief Hypergeometrische verdeling 010 Willem van Ravenstein If I am given a formula, and I am ignorant of its meaning, it cannot teach me anything, but if I already know it what does the formula teach

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Wisnet-hbo Verwachtingswaarde update maart 200 De verwachtingswaarde van een kansvariabele is een soort gemiddelde waarde. Deze wordt aangeduid met E(k)

Nadere informatie

werkcollege 4 ch6 Peck & Devore - probability

werkcollege 4 ch6 Peck & Devore - probability cursus 2 mei 2012 werkcollege 4 ch6 Peck & Devore - probability huiswerk bespreken P&D opgaven Ch.3: 16, 30 opgaven Ch.4: 12, 14, 15, 24, 31, 38, 39, 60, 61, 62 1 intuïties over kans er is 15% kans dat

Nadere informatie

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Het significantieniveau (meestal aangegeven met de letter α) stelt de kans voor, dat H 0 gelijk heeft, maar H 1 gelijk krijgt. Je trekt dus een foute

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Hoe groot is de kans?

Hoe groot is de kans? Hoe groot is de kans? 1 Met een witte en een grijze dobbelsteen gooien en het product maken Wat denk jij spontaan? Noteer je antwoord in de denkballon Welke producten zijn er allemaal mogelijk als je met

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B.

Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B. Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B. Peter Grünwald Centrum voor Wiskunde en Informatica Kruislaan 413, 1098 XJ Amsterdam homepages.cwi.nl/~pdg 1.1 Kansloze Situaties Uitspraken van de vorm deze gebeurtenis

Nadere informatie

Inleiding Kansrekening en Statistiek

Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek S.J. de Lange VSSD 4 VSSD Eerste druk 1989 Tweede druk 1991-2007 Uitgegeven door de VSSD Poortlandplein 6, 2628 BM Delft, The Netherlands

Nadere informatie

Overzicht. Help! Statistiek! Stelling van Bayes. Hoe goed is leverscan ( test T ) voor het diagnostiseren van leverpathologie ( ziekte Z )?

Overzicht. Help! Statistiek! Stelling van Bayes. Hoe goed is leverscan ( test T ) voor het diagnostiseren van leverpathologie ( ziekte Z )? Help! Statistiek! Overzicht Doel: Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd: Doorlopende serie laagdrempelige lezingen, voor iedereen vrij toegankelijk. Derde woensdag in de maand, 12-13 uur

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

HOVO statistiek November 2011 1

HOVO statistiek November 2011 1 Principale Componentenanalyse en hockeystick-short centring Principale Componentenanalyse bedacht door Karl Pearson in 1901 Peter Grünwald HOVO 31-10 2011 Stel we hebben een grote hoeveelheid data. Elk

Nadere informatie

BEWIJZEN EN REDENEREN

BEWIJZEN EN REDENEREN BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

extra sommen Statistiek en Kans

extra sommen Statistiek en Kans extra sommen Statistiek en Kans 1. Bepaal bij de volgende rijen de modus, de mediaan en het gemiddelde a. 1, 4, 2, 3, 5, 3, 6, 3 b. 12, 11, 13, 11, 12, 11, 12, 13, 11, 14, 75, 15 c. 1, 43, 12, 32, 43,

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE mag in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Radboud Universiteit

Radboud Universiteit Radboud Universiteit Voorbereidend materiaal Winkunde - Geluk of Strategie? Zie voor meer informatie onze Facebookpagina Wiskundetoernooi Nijmegen, de website www.ru.nl/wiskundetoernooi en onze Wiskundetoernooi-app.

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Discrete distributies

Hoofdstuk 6 Discrete distributies Hoofdstuk 6 Discrete distributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Discrete distributies p 1/33 Discrete distributies binomiale verdeling

Nadere informatie

Vertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically

Nadere informatie

Schoolagenda klas 6aMTWi-6bEcWi-6dWWi6

Schoolagenda klas 6aMTWi-6bEcWi-6dWWi6 Schoolagenda klas 6aMTWi-6bEcWi-6dWWi6 Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2014-2015 Eerste trimester Toetsen 4 repetities en enkele kleine, aangekondigde toetsen (80% TTE) dag

Nadere informatie

Kennis toepassen, en beslissingen nemen. Hoe denkt de arts? 2. Wat doet de arts? Hoe wordt kennis toegepast? Wat is differentiaal diagnose?

Kennis toepassen, en beslissingen nemen. Hoe denkt de arts? 2. Wat doet de arts? Hoe wordt kennis toegepast? Wat is differentiaal diagnose? Hoe denkt de arts? 2 Kennis toepassen, en beslissingen nemen Dr. Peter Moorman Medische Informatica ErasmusMC 1 Hoe weet je of een ziektebeeld waarschijnlijk is? de differentiaal diagnose Hoe wordt een

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

In 5 dagen was je totale reistijd naar school 175 minuten, je gemiddelde reistijd is dan 175: 5 = 35 min per dag.

In 5 dagen was je totale reistijd naar school 175 minuten, je gemiddelde reistijd is dan 175: 5 = 35 min per dag. Kans en Statistiek Voorbeeld 1 Je moet tijdens een spel met een dobbelsteen gooien. Alles hoger dan 5 is goed. Hoeveel % kans heb je om hoger dan 5 te gooien? Rond je antwoord af op een heel getal. Van

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel B Kansrekening Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Murray R. Spiegel, John J. Schiller, R. A. Srinivasan: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Probability and

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Populatie: verzameling van alle objecten of experimentele eenheden waarover men uiteindelijk uitspraken wil doen. De omvang van populatie = N

Populatie: verzameling van alle objecten of experimentele eenheden waarover men uiteindelijk uitspraken wil doen. De omvang van populatie = N Statistiek: inductieve statistiek 1. Conceptueel kader Gegevens hebben altijd betrekking op een beperkt aantal objecten of experimentele eenheden. Vaak wil men vanuit gegevens afleidingen maken over een

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie