Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren"

Transcriptie

1 Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Voorwaardelijke kans Rekenregels Onafhankelijkheid Voorwaardelijke Onafhankelijkheid Voorbeelden Hfdstk 2: / 42 Hfdstk 2: Inleiding 2 / 42 Voorbeeld: Probabilistisch redeneren Voorwaardelijke kans Een patiënt heeft mogelijk last van griep, verkoudheid of beide. Een verkouden patiënt heeft met kans 60% last van hoestbuien Een verkouden patiënt heeft kans 0% op hoofdpijnklachten. Een patiënt met griep heeft kans 20% op hoestbuien. Een patiënt met griep heeft kans 70% op hoofdpijn. Vragen De patiënt verteld dat hij last heeft van hoestbuien. Hoe groot is de kans dat hij griep heeft? Hij zegt dat hij ook last heeft van hoofdpijn. Hoe groot is de kans nu dat hij griep heeft? Voorbeeld Zuivere dobbelsteen D uitslag van worp met dobbelsteen P(D i) 6, voor i,..., 6, P(D even) P(D oneven) 2. Wat is de kans op (D 4) als gegeven is (D even)? Antwoord # uitkomsten (D even) 3 # uitkomsten (D 4) binnen gebeurtenis (D even) Kans ( (D 4) gegeven (D even) ) 3 Hfdstk 2: Inleiding 3 / 42 Hfdstk 2: Inleiding 4 / 42

2 Voorwaardelijke kans Voorbeeld 2 In een klinische studie zijn 0000 mannen boven de 40 jaar onderzocht op hypertensie en obesitas. hypertensie geen hypertensie obesitas geen obesitas Wat is de kans dat een patient obesitas heeft als je weet dat hij hypertensie heeft? Antwoord Aantal mannen met hypertensie 2002 Aantal obesitas binnen groep hypertensie 498 Kans (obesitas gegeven hypertensie) is Hfdstk 2: Inleiding 5 / 42 Voorwaardelijke Kans Een voorwaardelijke kans is een kans op een gebeurtenis, zeg A, waarbij bekend is dat gebeurtenis B optreedt. We noteren dit als P(A B). Het is de kans dat A optreedt, als we de uitkomsten beperken tot B. In een symmetrische kansruimte kunnen de voorwaardelijke kans uitrekenen door aantallen te delen: P(A B) #(AB) #(B) Notatie: AB betekent A B! Als we teller en noemen delen door het aantal elementen van de uitkomstenruimte S, dan krijgen we: P(A B) P(AB) P(B) Hfdstk 2: Inleiding Definitie 6 / 42 Venn diagram Definitie (Voorwaardelijke kans)) Als A en B twee mogelijke gebeurtenissen zijn met P(B) > 0, dan is de voorwaardelijke (of conditionele) kans op A gegeven B gedefiniëerd als P(A B) P(A B) P(B) P(AB) P(B) Als P(B) 0, dan is P(A B) niet gedefinieerd. In een Venn diagram zijn de onvoorwaardelijke kansen: S A B AB en de voorwaardelijke kansen gegeven B: B AB Hfdstk 2: Inleiding Definitie 7 / 42 Hfdstk 2: Inleiding Definitie 8 / 42

3 Speciaal geval De gewone kans die we al eerder gedefiniëerd hadden, is eigenlijk een speciaal geval van een voorwaardelijke kans, n.l. P(A) P(A S) P(A S) P(S) P(A S) Eigenschappen Voor voorwaardelijke kansen gelden de kansaxioma s. Als P(B) > 0, dan geldt namelijk: P(A B) 0; P(S B) ; ( ) P A i B i P(A i B) voor disjuncte A i ; i De voorwaardelijke kans gegeven B is dus ook weer een kansmaat. Eigenschappen Voor voorwaardelijke kansen gelden dezelfde soort eigenschappen als voor gewone kansen. P( B) 0 P(A C B) P(A B) P(A C B) P(A B) + P(C B) P(A C B) mits P(B) > 0. Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen 9 / 42 Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen 0 / 42 Voorbeeld Rekenregel : Vermenigvuldigingsregel Er geldt P(A B) P(AB) P(B) en dus ook Vraag: Wat is de kans op P(A\B)? Vraag: Wat is de kans op P ( (A\B) B )? P(AB) P(A B)P(B) Er geldt natuurlijk ook P(B A) P(AB) P(A) en dus P(AB) P(B A)P(A) Hfdstk 2: Inleiding Eigenschappen / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 2 / 42

4 Voorbeeld 3 Vaas met r rode ballen en b blauwe ballen: trek twee willekeurige ballen zonder terugleggen. Wat is de kans dat de eerste bal rood is en de tweede blauw? Oplossing: noem gebeurtenis R (eerste bal is rood) noem gebeurtenis B2 (tweede bal is blauw) r P(R ) r + b P(B 2 R ) P(R B 2 ) b r + b r r + b b r + b Vermenigvuldigingsregel (vervolg) Er geldt P(AB) P(B A)P(A) en dus ook P(ABC) P ( (AB)C ) P(C AB)P(AB) P(C AB)P(B A)P(A) Rekenregel : Vermenigvuldigingsregel (Algemeen) Als A, B,..., Z gebeurtenissen zijn waarvoor geldt P(ABC Z) > 0, dan is P(ABC Z) P(Z AB Y) P(C AB)P(B A)P(A) Voorbeeld 3 (vervolg) Vraag: Wat is P(eerste bal rood, tweede bal blauw en derde bal rood)? Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 3 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Vermenigvuldigingsregel 4 / 42 Voorbeeld 3 (vervolg) Vaas met r rode ballen, b blauwe ballen. Wat is de kans dat de tweede bal blauw is? Oplossing noem gebeurtenis R (eerste bal is rood) noem gebeurtenis B 2 (tweede bal is blauw) (R P(B 2 ) P( R C ) ) B2 P(R B 2 ) + P(R C B 2) P(R )P(B 2 R ) + P(R C )P(B 2 R C ) Rekenregel 2: Regel van Totale Kans (Conditionering) Als de uitkomsten A, A 2,..., A N elkaar uitsluiten, P(A i ) > 0, voor elke i,..., N, en N i P(A i), dan geldt voor elke gebeurtenis B: P(B) N P(B A i )P(A i ) i b r + b Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 5 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 6 / 42

5 Voorbeeld 4 Voorbeeld 4 (vervolg) Drie machines M, M 2, M 3 produceren items: M M 2 M 3 percentage productie percentage defect 2 3 We kiezen willekeurig item uit de totale productie. Wat is de kans dat dit item kapot is? Benoem de uitkomsten: M i (het geselecteerde item komt uit machine M i ). D (het geselecteerde item is defect). We kennen P(D M ), P(D M 2 ), P(D M 3 ). Vraag: Hoe berekenen we P(D)? Drie machines M, M 2, M 3 produceren items: M M 2 M 3 percentage productie percentage defect 2 3 We kiezen willekeurig item uit de totale productie, en dit blijkt kapot te zijn. Wat is de kans dat dit item door M 2 gemaakt is? Hfdstk 2: Rekenregels Totale kans 7 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 8 / 42 Voorbeeld 4 (Uitwerking) Rekenregel 3 (Regel van Bayes) Bekijk een gemiddelde productierun van 000 items: M M 2 M 3 totaal goed 0,98 0,294 0,485 0,977 defect totaal De gevraagde kans is P(M 2 D) P(M 2D) P(D) P(D M 2)P(M 2 ) P(D) P(D M 2 )P(M 2 ) P(D M )P(M ) + P(D M 2 )P(M 2 ) + P(D M 3 )P(M 3 ) De Regel van Bayes Als P(B) > 0 en de uitkomsten A, A 2,..., A N elkaar uitsluiten, P(A i ) > 0, voor elke i,..., N, en N i P(A i), dan geldt voor elke i: P(A i B) P(B A i )P(A i ) N j P(B A j)p(a j ) Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 9 / 42 Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 20 / 42

6 A priori en a posteriori kans De kansen uit de stelling van Bayes hebben een naam: De kansen P(A i ) zijn gegeven voor het uitvoeren van het experiment (voordat een item geselecteerd is, en voordat bekend is of het defect is) en heten a priori kansen. De kans P(A i B) is een kans op de gebeurtenis A i (item gemaakt door machine i) als gegeven is dat gebeurtenis B optreedt (item defect). Dit heet een a posteriori kans. Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 22 / 42 Voorbeeld 5 Uit bestanden met medische gegevens blijkt dat in een bepaalde groep patiënten tussen 35 en 40 jaar % kans hebben om longontsteking te krijgen. Longontsteking kan gedetecteerd worden op röntgenfoto s. We beschouwen een willekeurige patiënt uit de groep tussen 35 en 40 jaar. Benoem nu: K: de gebeurtenis dat deze patiënt longontsteking heeft R: de gebeurtenis dat een röntgenfoto een ontsteking aantoont. Uit de medische gegevens weten we: P(K) 0.0, Uit gegevens over de röntgenapparatuur weten we P(R K) 0.9, P( R K) Er wordt een röntgenfoto gemaakt en op die foto wordt een ontsteking waargenomen. Hoe groot is de kans dat de patiënt longontstekling heeft? Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 23 / 42 Antwoord P(K R) P(K R) P(R) P(R K)P(K) P(R K)P(K) + P(R K)P( K) Voorbeeld 5 Als je een willekeurige kaart trekt uit een kaartspel van 52 kaarten, wat is de kans dat je een aas trekt? Wat is de kans dat je een aas trekt, als je weet dat de kaart rood is? Voorbeeld 6 Als je tweemaal met een dobbelsteen gooit, wat is de kans dat de tweede worp 6 is? Wat is die kans als je weet dat je de eerste keer een 6 geworpen hebt? Hfdstk 2: Rekenregels Regel van Bayes 24 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid 25 / 42

7 Soms heeft het optreden van gebeurtenis B geen invloed op het optreden van gebeurtenis A. Dan geldt P(A B) P(A). Als dit geldt dan spreken we van de onafhankelijkheid van de twee gebeurtenissen A en B. Er geldt dan oftewel P(A) P(A B) én P(A B) P(AB) P(B) P(AB) P(A)P(B) In het algemeen gebruiken we de laatste formulering als definitie van onafhankelijkheid. Definitie (Onafhankelijkheid) Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk (ook wel: onderling onafhankelijk, afgekort tot o.o.) als P(AB) P(A)P(B) We kunnen onafhankelijkheid ook definiëren met behulp van voorwaardelijk kansen: Definitie (Onafhankelijkheid) Twee gebeurtenissen A en B met P(A) > 0 en P(B) > 0 heten o.o. als P(A B) P(A) en P(B A) P(B). Hfdstk 2: Onafhankelijkheid 26 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 27 / 42 Voorbeeld Definitie (Paarsgewijze onafhankelijkheid) De gebeurtenissen A, A 2,..., A n, heten paarsgewijs onafhankelijk als elk tweetal gebeurtenissen onafhankelijk is. Definitie (Onafhankelijkheid van verzameling gebeurtenissen) Een verzameling van gebeurtenissen A, A 2,..., A n, heet onafhankelijk als voor elke deelverzameling van gebeurtenissen A i, A i2,..., A ik, (k n), geldt P(A i A i2 A ik ) P(A i )P(A i2 ) P(A ik ) Drie gebeurtenissen A, B en C zijn o.o. als P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C) Bij 20 keer werpen met een dobbelsteen zijn de uitkomsten van afzonderlijke worpen onafhankelijk. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 28 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 29 / 42

8 Voorbeeld 7 2 Definitie (Conditionele onafhankelijkheid) Voor een gebeurtenis B met P(B) > 0 heten 3 4 als A en A 2 onafhankelijk gegeven B, A {, 2}, B {, 3}, C {, 4} A, B en C paarsgewijs onafhankelijk, immers: P(AB) 4 P(A)P(B) P(AC) 4 P(A)P(C) P(BC) 4 P(B)P(C) A, B, C niet onafhankelijk, want: P(ABC) 4 P(A)P(B)P(C) 8 Een equivalente definitie is: P(A A 2 B) P(A B)P(A 2 B) Voor drie gebeurtenissen A, A 2 en B met P(A B) > 0 en P(A 2 B) > 0 noemen we A en A 2 onafhankelijk gegeven B als P(A A 2 B) P(A B) en P(A 2 A B) P(A 2 B). Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Definities 30 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 3 / 42 Interpretatie Conditionele onafhankelijkheid (equivalente definitie) P(A A 2 B) P(A B) en P(A 2 A B) P(A 2 B) Als A en A 2 onafhankelijk zijn gegeven B, dan kunnen we dit interpreteren als: en Als we weten dat gebeurtenis B optreedt, dan is alle informatie over het eventuele optreden van A 2 irrelevant met betrekking tot het eventuele optreden van A. Als we weten dat gebeurtenis B optreedt, dan is alle informatie over het eventuele optreden van A irrelevant met betrekking tot het eventuele optreden van A 2. Voorbeeld 8 We hebben twee flippo s, waarvan flippo no. een rode en een blauwe kant heeft, en flippo no. 2 een groene en een gele kant. We nemen willekeurig één van de flippo s en werpen twee keer met deze flippo. We noemen de gebeurtenissen: Vraag F 2 flippo no. 2 is gekozen; G de eerste worp is geel; G 2 de tweede worp is geel; Zijn G en G 2 onafhankelijk? Zijn G en G 2 onafhankelijk gegeven F 2? Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 32 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 33 / 42

9 Voorbeeld 9 Een onderzoek bij 000 patiënten levert de volgende data op griep verkoudheid hoofdpijn aantal x x x x 0 x x - x 20 x x - 40 x x x Vraag: Is verkoudheid onafhankelijk van hoofdpijn? Vraag: Is verkoudheid onafhankelijk van hoofdpijn, gegeven griep? Voorbeeld 0 We hebben twee munten: een zuivere munt A met Kop en Munt, en een zuivere munt B met tweemaal Kop. We trekken aselect één munt en gooien hiermee Benoem de gebeurtenissen: A : munt A getrokken B : munt B getrokken K : eerste worp is Kop : eerste worp is Munt M De eerste worp blijkt Kop. Wat is de kans dat we munt A getrokken hebben? P(K A)P(A) P(A K ) P(K A)P(A) + P(K B)P(B) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Conditionele onafhankelijkheid 34 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 35 / 42 Voorbeeld 0 (Vervolg) We werpen dezelfde munt voor de tweede keer en weer krijgen we Kop. Wat is nu de kans dat we munt A getrokken hebben? Manier : P(A K K 2 ) P(K K 2 A)P(A) P(K K 2 A)P(A) + P(K K 2 B)P(B) P(K A)P(K 2 A)P(A) P(K A)P(K 2 A)P(A) + P(K B)P(K 2 B)P(B) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 36 / 42 Voorbeeld 0 (Vervolg) Manier 2: Gebruik een conditionele versie van de Regel van Bayes: P(A K 2 ) P(A K K 2 ) P(K 2 A)P(A) P(K 2 A)P(A) + P(K 2 B)P(B) P(K 2 AK )P(A K ) P(K 2 AK )P(A K ) + P(K 2 BK )P(B K ) P(K 2 A)P(A K ) P(K 2 A)P(A K ) + P(K 2 B)P(B K ) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Recursieve berekening 37 / 42

10 Toepassing: Spamfiltering Een spamfilter besluit op grond van het voorkomen van bepaalde woorden in een bericht of het spam of ham. Een Bayesian spamfilter gebruikt hiervoor voorwaardelijke kansen en de regel van Bayes. Het werkt als volgt: Geef de verschillende woorden in een bericht aan met w, w 2,..., w n. Het filter berekent en P(SPAM w w 2... w n ) P(HAM w w 2... w n ). Als de verhouding P(SPAM w w 2... w n ) voldoende groot is, P(HAM w w 2... w n ) dan besluit het filter dat het bericht SPAM is. Hoe berekenen we P(SPAM ) en P(HAM )? Met de Regel van Bayes! P(SPAM w... w n ) P(w... w n SPAM)P(SPAM) P(w... w n ) P(HAM w... w n ) P(w... w n HAM)P(HAM) P(w... w n ) en dus ook P(SPAM w... w n ) P(HAM w... w n ) P(w... w n SPAM)P(SPAM) P(w... w n HAM)P(HAM) Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 38 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 39 / 42 Bij benadering geldt en P(w... w n SPAM) P(w... w n HAM) De verhouding P(SPAM ) P(HAM ) n P(w i SPAM) i n P(w i HAM). i wordt nu gelijk aan P(SPAM w... w n ) P(HAM w... w n ) P(SPAM) n i P(w i SPAM) P(HAM) n i P(w i HAM) De kansen P(SPAM) P(HAM) P(SPAM) P(w i SPAM) P(w i HAM) worden bepaald door te leren uit data. Dit gebeurt initiëel met een trainingsset van berichten; adaptief aan de hand van nieuwe berichten. Deze methode van filtering waarbij de benadering P(w... w n SPAM) P(w i SPAM), i gebruikt wordt, heet naïef Bayes filtering. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 40 / 42 Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 4 / 42

11 Met de stof van Hoofdstuk 2 moet je kunnen Voorwaardelijke kansen herkennen ( als gegeven is..., als je weet dat... ) én uitrekenen. De rekenregels voor voorwaardelijke kansen toepassen om kansen uit te rekenen die rechtstreeks in de probleemomschrijving staan. (On)afhankelijkheid van gebeurtenissen afleiden Voorwaardelijke (on)afhankelijkheid afleiden Begrijpen hoe een Bayes spamfilter werkt. Hfdstk 2: Onafhankelijkheid Toepassing Spamfiltering 42 / 42

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012 Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober Statistiek voor A.I. College 7 Dinsdag 2 Oktober 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft is de kans op een positieve

Nadere informatie

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg) Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.1 Waarschijnlijkheidsrekening 1 Beschouw een toevallig experiment (de resultaten zijn aan het toeval te danken) Noem V de verzameling van alle mogelijke uitkomsten

Nadere informatie

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof [PW] appendix D.1 kansrekening kansen: 1. Je gooit met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft

Nadere informatie

college 4: Kansrekening

college 4: Kansrekening college 4: Kansrekening Deelgebied van de statistiek Doel: Kansen berekenen voor het waarnemen van bepaalde uitkomsten Kansrekening 1. Volgordeproblemen Permutaties Variaties Combinaties 2. Kans 3. Voorwaardelijke

Nadere informatie

Inleiding Kansrekening en Statistiek

Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek S.J. de Lange VSSD 4 VSSD Eerste druk 1989 Tweede druk 1991-2007 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de derde graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de derde graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg Deze tekst sluit aan op de tekst: Kansrekening voor de tweede

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

1 Beginselen kansrekening

1 Beginselen kansrekening 1 Beginselen kansrekening Drs. J.M. Buhrman Inhoudsopgave 1.1 Experimenten en uitkomstenruimtes 1.2 Gebeurtenissen als verzamelingen 1.3 Kansregels 1.4 Voorwaardelijke kansen, onafhankelijkheid, nog meer

Nadere informatie

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip 27 januari 2014 Deze les Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intuïtie Kanstheorie volgens Laplace (1749-1827) De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17 1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17 De Kolmogorov

Nadere informatie

2 Kansen optellen en aftrekken

2 Kansen optellen en aftrekken 2 Kansen optellen en aftrekken Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/ VWO wi-a Kansrekening Optellen/aftrekken Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl

Nadere informatie

Forensische Statistiek

Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Forensische Statistiek Dit jaar is forensische statistiek het thema van de middagwedstrijd Sum of Us van het Wiskundetoernooi. In dit boekje vind je het voorbereidend

Nadere informatie

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2006 Les 9 Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Sommige vragen uit de kanstheorie hebben een antwoord dat niet met de intuïtie van iedereen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Kansrekening

Hoofdstuk 4 Kansrekening Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu.

Werkcollege. Huishoudelijke zaken. Voorbeeld 1: Data-analyse. Deel I. Inleiding. dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu. Huishoudelijke zaken Werkcollege Docent: dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu.nl Website: Overzicht hoorcolleges (en handouts) Opgaven werkcolleges Oude tentamens Literatuur:

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek voor informatici

Kansrekening en Statistiek voor informatici Leidraad bij het college Kansrekening en Statistiek voor informatici Esdert Edens februari 2006 Edens 060214-1610 i Kansrekening en statistiek (Inf.) 1. Inleiding......................................................................

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 13 September 1 / 47 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg 1. Kans als relatieve frequentie...1 1.1. Van realiteit naar

Nadere informatie

Overzicht voor deze voormiddag. Inleiding Kansrekening en Statistiek: een eigen discipline. Lesmateriaal en ICT ondersteuning: korte info

Overzicht voor deze voormiddag. Inleiding Kansrekening en Statistiek: een eigen discipline. Lesmateriaal en ICT ondersteuning: korte info Kansrekening Nascholing voor leerkrachten Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg http://www.uhasselt.be/lesmateriaal-statistiek Overzicht voor deze voormiddag

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Combinatoriek en kansrekening

Combinatoriek en kansrekening Combinatoriek en kansrekening (SV 2.1) P.J. den Brok MA 26 september 2013 Inhoudsopgave 1 De kansrekening 4 1.1 Belangrijke combinatorische functies.................... 4 1.2 Rangschikkingen..............................

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 22 februari 2013 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

Inleiding Kansrekening

Inleiding Kansrekening Inleiding Kansrekening voor het 1e jaar wiskunde, 2e jaar natuurkunde en informatica docent: Hans Maassen November 2007 Onderwijsinstituut voor Wiskunde, Natuurkunde en Sterrenkunde Radboud Universiteit

Nadere informatie

combinaties te berekenen.

combinaties te berekenen. Een roosterdiagram is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit twee mogelijkheden (uit-thuis, wel-niet) moet kiezen. Een kortste route bestaatuit een aantal stappen : n. Daarvan worden

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Opgaven hoofdstuk 3. I Basistechnieken

Opgaven hoofdstuk 3. I Basistechnieken Opgaven hoofdstuk 3 I Basistechnieken 3.1 De uitkomstenruimte van een experiment bevat vijf uitkomsten met kansen zoals in de tabel staan gegeven. Bereken de kans op elk van de volgende gebeurtenissen:

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 13 en 14 van Russell/Norvig = [RN] Bayesiaanse netwerken. voorjaar 2016 College 12, 10 mei 2016

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 13 en 14 van Russell/Norvig = [RN] Bayesiaanse netwerken. voorjaar 2016 College 12, 10 mei 2016 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 13 en 14 van Russell/Norvig = [RN] Bayesiaanse netwerken voorjaar 2016 College 12, 10 mei 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie We gaan nu

Nadere informatie

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) =

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) = 2.1 Kansen [1] Voorbeeld 1: Als je gooit met twee dobbelstenen zijn er in totaal 6 6 = 36 mogelijke uitkomsten. Deze staan in het rooster hiernaast. De gebeurtenis som is 6 komt vijf keer voor. Het aantal

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Statistiek in de rechtszaal: Wiskundige modellen achter de zaak Lucia de B. (Engelse

Nadere informatie

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Kansrekening en Statistiek p.1 Overzicht Kansrekening en Statistiek - Geschiedenis - Loterij - Toetsen

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Verzamelingen. Hoofdstuk 5

Verzamelingen. Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.

Nadere informatie

Logisch denken over kansen

Logisch denken over kansen Logisch denken over kansen In zee met wiskunde D TU Eindhoven, 29 januari 2007 Mirte Dekkers en Klaas Landsman mdekkers@math.ru.nl landsman@math.ru.nl Radboud Universiteit Nijmegen Genootschap voor Meetkunde

Nadere informatie

3 Kansen vermenigvuldigen

3 Kansen vermenigvuldigen 3 Kansen vermenigvuldigen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Vermenigvuldigen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl

Nadere informatie

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht. Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic

Nadere informatie

a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c.

a. Identificeer de uitkomsten in de gebeurtenissen A, B, A B, A B, en A c. Opgaven hoofdstuk 3 I Learning the Mechanics 3.1 De uitkomstenruimte van een experiment bevat vijf uitkomsten met kansen zoals in de tabel staan gegeven. Bereken de kans op elk van de volgende gebeurtenissen:

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 28 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen Voor software R: van http://sourceforge.net

Nadere informatie

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode

Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Het schatten van de Duitse oorlogsproductie: maximum likelihood versus de momentenmethode Rik Lopuhaä TU Delft 30 januari, 2015 Rik Lopuhaä (TU Delft) Schatten van de Duitse oorlogsproductie 30 januari,

Nadere informatie

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1 Juno KOEKELKOREN D.1.3. OEFENINGENREEKS 3 OEFENING 1 In onderstaande tabel vind je zes waarnemingen van twee variabelen (ratio meetniveau). Eén van de waarden van y is onbekend. Waarde x y 1 1 2 2 9 2

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2 Hoofdstuk III Kansrekening Les 1 Combinatoriek Als we het over de kans hebben dat iets gebeurt, hebben we daar wel intuïtief een idee over, wat we hiermee bedoelen. Bijvoorbeeld zeggen we, dat bij het

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Syllabus Verzamelingen en Kansrekening

Syllabus Verzamelingen en Kansrekening Syllabus Verzamelingen en Kansrekening cursus 2010/2011 W. Kager en M. van de Vel Inhoudsopgave 1 Basisbegrippen 1 1.1 Basisbegrippen van de verzamelingenleer 1 1.2 Rol van verzamelingen in de kansrekening

Nadere informatie

Gokautomaten (voor iedereen)

Gokautomaten (voor iedereen) Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke

Nadere informatie

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen?

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen? 1. Iemand heeft thuis 12 CD s in een rekje waar er precies 12 inpassen. a. Op hoeveel manieren kan hij ze in het rekje leggen. b. Hij wil er 2 weggeven aan zijn vriendin, hoeveel mogelijkheden? c. Hij

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: kansrekening. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: kansrekening. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: kansrekening 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Theorie Bayes. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/44470

Theorie Bayes. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/44470 Auteurs Laatst gewijzigd Licentie Webadres Its Academy 16 november 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/44470 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2 Hoofdstuk III Kansrekening Les Combinatoriek Als we het over de kans hebben dat iets gebeurt, hebben we daar wel intuïtief een idee over, wat we hiermee bedoelen. Bijvoorbeeld zeggen we, dat bij het werpen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek

Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Algemeen overzicht inleiding kansrekening en statistiek Robert Fitzner Tim Hulshof 7 Oktober 202 v.3 Voorwoord Deze tekst geeft een overzicht van de stof die behandeld wordt in de meeste cursussen inleiding

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen:

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen: 4.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Een bestuur bestaat uit 6 personen. Uit deze 6 personen wordt eerst een voorzitter, dan een secretaris en tot slot een penningmeester gekozen. Bereken het aantal manieren om

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Hoofdstuk 7 Kansrekening (V4 Wis A) Pagina 1 van 8 Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Les 1 : Kansen Herhalen kansen berekenen Hoe bereken je de kans als je een aantal keren achter elkaar een experiment uitvoert?

Nadere informatie

1ste ba PSW. Statistiek 1. Prof. Thyssen - 2ste semester. uickprinter Koningstraat Antwerpen B00 4,30

1ste ba PSW. Statistiek 1. Prof. Thyssen - 2ste semester. uickprinter Koningstraat Antwerpen  B00 4,30 1ste ba PSW Statistiek 1 Prof. Thyssen - 2ste semester Q uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen www.quickprinter.be R B00 4,30 Online samenvattingen kopen via www.quickprintershop.be Statistiek I semester

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. 9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment

Nadere informatie

COMBINATORIEK. Vb2. Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kan je vormen? Gebruik een boomdiagram.

COMBINATORIEK. Vb2. Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kan je vormen? Gebruik een boomdiagram. 1. Eenvoudige telproblemen COMBINATORIEK In het 4 de jaar hebben we kennis gemaakt met eenvoudige telproblemen. Om deze telproblemen op te lossen leerden we het aantal tellen met behulp van o.a. boomdiagrammen.

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en

Nadere informatie

Jan heeft 4 pennen, 1 daarvan is paars met gele stippen. Jan doet zijn ogen dicht en probeert de paarse met gele stippen te pakken.

Jan heeft 4 pennen, 1 daarvan is paars met gele stippen. Jan doet zijn ogen dicht en probeert de paarse met gele stippen te pakken. VMBO Wiskunde Periodetoets kansrekening 17/12/2010 Deze toets bestaat uit 17 opgaven plus een bonusvraag. Er zijn maximaal 58 punten te behalen. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening,

Nadere informatie

Inleiding tot Medische Beslissingsondersteuning

Inleiding tot Medische Beslissingsondersteuning Onzekerheid Inleiding tot Medische Beslissingsondersteuning (deel 4) Bij de behandeling van een patiënt heeft een arts te maken met onzekerheden: de gegevens van de anamnese en het lichamelijk onderzoek

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie