Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 6 Matrices toepassen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, 8 in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er 8 in de leeftijdsgroep - jaar tijdstip t t t t t t t - jaar jaar - jaar 8 8 totaal ladijde a L, Dit geeft L,,,,,,, L L L,,,, en ls voor t de aantallen in de vershillende leeftijdsgroepen ekend ijn, kun je met L de aantallen voor t erekenen, met L de aantallen voor t en met L de aantallen voor t De ontwikkeling van de populatie is periodiek met een periode van drie jaar, dat wil eggen na drie jaar ijn de vershillende leeftijdsgroepen net o groot als de groepen op t, a L,, Noordhoff Uitgevers v

2 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel, t :,,, t :,,, t :,, tijdstip t t t t t t t t 7 t 8 t - jaar jaar jaar totaal In de loop van de tijd is de afname van het aantal dieren groter dan de toename Uiteindelijk al de populatie dieren uitsterven a g, h 7 h 7, g g g, 8, 7,,, 8,,, L,, h h, 7 h h, 7 h Noordhoff Uitgevers v 7

3 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel,, 8,, 7 7, 7 88 maart :, 7, 8,, 8,, 7 77, 88 8 maart :, 7, 8 jaar aantal fator 7,77 8,78,7 88,77 Conlusie: de groei is eponentieel met groeifator,8 a Het getal linksoven etekent dat er in de leeftijdsklasse van - jaar gemiddeld, nakomeling per dier is In de derde leeftijdsklasse is de overlevingskans De derde leeftijdsklasse gaat om dieren van jaar en ouder d De kans dat een pasgeoren dier in de derde leeftijdsklasse komt is Populatiegrootte voorspellen ladijde a g, en g 78 8, 8 g : Van t tot t eslaat een periode van tien jaar De vierde leeftijdsklasse (van jaar en ouder) eslaat een periode van meer dan tien jaar Het is dus onekend hoe de aantallen in de vierde leeftijdsklasse in een periode van tien jaar veranderen Daardoor kun je g niet erekenen g : Het is onekend welk deel van de struiken elke tien jaar door rand verdwijnt Daardoor kun je g niet erekenen De Chaparral-vegetatie al estaan uit: % vegetatie van - jaar, % vegetatie van - jaar, 8% vegetatie van - jaar en % vegetatie van jaar en ouder d Leeftijdsklasse Perentage Oppervlakte in km - jaar % - jaar % - jaar 8% jaar en ouder % 8 km² 8 km² 8 km² 88 km² 8 Noordhoff Uitgevers v

4 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 7a,, Na jaar: 7,,,, Na jaar: 7,, Op de lange duur al de populatie uitsterven ladijde, 8a L, 8, 7,, 7 L 7, 7, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar 7% overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven,,,, L, dit geeft L, 8,,, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar % overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven d Reken voor vershillende waarden van het geoorteijfer (groter dan,) L uit Bij het geoorteijfer,8 ie je dat, 8, 8 L Het geoorteijfer moet dus minstens,8 ijn, 8, 8 opdat de totale populatie niet uitsterft a L L L De getallen in de matries shuiven ij elke volgende matri naar linksonder en komen rehtsoven weer terug De laatste matri heeft alleen getallen op de diagonaal staan Noordhoff Uitgevers v

5 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel t : 8 t : t : t : t : In elke leeftijdsklasse is sprake van een golfeweging: toename wordt gevolgd door afname en afname wordt weer gevolgd door toename d tijdstip t t t t t t totaal e 8 88,, 88, 8, Na jaar is het totaal aantal salamanders gelijk aan 88,, 88, 8, 7, Invullen van de formule 7, 7 levert hetelfde aantal salamanders a Op de diagonaal van de matri staan de perentages klanten die ij hun eigen supermarkt lijven Voor elke supermarkt geldt dat minder dan % van hun klanten van supermarkt is veranderd Voor het totaal aantal klanten geldt dan ook dat minder dan % van supermarkt is veranderd Er ijn geen aantallen ekend, dus het preiee perentage kun je niet erekenen, 8,,, 7,, 88,, 7, Noordhoff Uitgevers v

6 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Eén maand later heeft supermarkt I klanten, supermarkt II 88 klanten en supermarkt III 887 klanten Op de lange duur (vul ijvooreeld jaar maanden in) ontstaat er een staiele verhouding in het aantal klanten: supermarkt I heeft dan 7 klanten, supermarkt II klanten en supermarkt III 7 klanten Lineaire stelsels ladijde a ( ) ( ) 7 en dus ( ) ( ) Uit opdraht a volgt Invullen in het resultaat van opdraht geeft ( ) Hieruit volgt d De tweede vergelijking geeft e () 7 klopt () klopt () klopt a ( ) ( ) 7 geeft Uit opdraht a volgt Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) Hieruit volgt Invullen in de derde vergelijking geeft en dus Controle: () 7 klopt () klopt () klopt Noordhoff Uitgevers v

7 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel ladijde a ( ) ( 7) Hieruit volgt met de eerste vergelijking 7, 7 en dus Uit de tweede vergelijking volgt Lineair omineren geeft ( ) ( ) 8 Hieruit volgt met de eerste vergelijking 8, 8 en dus ( ) ( ) d e Hieruit volgt met de eerste vergelijking, en dus Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) 8 Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, en dus Comineren van de eerste en tweede vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v

8 Hoofdstuk - Matries toepassen Invullen van () in () geeft ( ) Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, a geeft,,,, dus en 8 geeft 8,,,, dus en geeft 8,,,,,,,,, 8 dus, en d p q r s 7 geeft p q r s 7,,, 8 8 7,,,,,,,,,, 8 7,,, dus p, q, r en s Het stelsel vergelijkingen a a is te shrijven als 8 a 8 8 Hieruit volgt a dus roer eit 87 euro, roer B eit euro en roer C eit 7 euro Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

9 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Bijondere stelsels ladijde a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri () klopt () klopt () 7 klopt d De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking en dus 7a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri ( ) ( ) 7 7 geeft, dit is strijdig met de derde vergelijking Conlusie: dit stelsel vergelijkingen heeft geen oplossing 8a De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () Noordhoff Uitgevers v

10 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel De derde vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) Dit geeft met () 7 en met de derde vergelijking 7 en dus 7 Conlusie: dit stelsel heeft preies één oplossing De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking, en dus Conlusie: dit stelsel is afhankelijk en ovenstaande oplossing is één van de mogelijke oplossing De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de tweede vergelijking geeft Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing Noordhoff Uitgevers v

11 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel ladijde 7 a d Bij de matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen 8 7 De derde vergelijking geeft 7 () De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing 8 klopt 8 8 klopt 88 klopt 7 λ λ λ λ Invullen in de matrivergelijking van opdraht geeft λ λ ( λ) ( λ) λ λ λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ 8 λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ λ a Bij dee matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen a Er is een oplossing als het stelsel de vergelijkingen niet afhankelijk of strijdig is Dit is het geval als de de ijehorende lijnen niet evenwijdig ijn of samenvallen De normaalvetoren a en moeten dus vershillende rihtingen heen, dit is het geval als a Voor a en heeft het stelsel geen oplossingen ls a is de linkerkant van de eerste vergelijking gelijk aan anderhalf keer de linkerkant van de tweede vergelijking ls je er dan voor orgt dat ongelijk is aan, heeft het stelsel geen oplossingen Voor a en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen De eerste vergelijking is dan namelijk gelijk aan anderhalf keer de tweede vergelijking Noordhoff Uitgevers v

12 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a a en geeft het stelsel vergelijkingen De vlakken U en V ijn gelijk aan elkaar en vlak W is de spiegeling van vlak U in het -vlak De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft De vlakken U en W snijden elkaar dus in de lijn a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) Hiermee volgt met de eerste vergelijking De oplossingen van het stelsel vormen een lijn in R en heen de vetorvoorstelling a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft ( ) ( ) () De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) ( ) Invullen van () en () in de eerste vergelijking geeft en dus Conlusie: de drie vlakken snijden elkaar in het punt (,, ) d ls a ijn de drie vlakken hetelfde Noordhoff Uitgevers v 7

13 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a De eerste vergelijking geeft () De tweede vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De derde vergelijking geeft met ehulp van () en () Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De vierde vergelijking geeft met () en () Dee vergelijking geldt voor alle waarden van Ehter de vijfde vergelijking geeft met () en () 7 7 Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing feeldingen ladijde 8 a (,, ) B (,, ) C (,, ) d X (,, ) a Spiegelen in de -as Spiegelen in het punt (,, ) Vermenigvuldiging met fator ten opihte van de oorsprong d Translatie in over de vetor 8 Noordhoff Uitgevers v

14 Hoofdstuk - Matries toepassen a d ladijde a P dus P (,, ) Q dus Q (,, ) R dus R (,, ) d S a a a dus S a a (,, ) 7a Roteren om de -as over een hoek van waarij de -as de -as als eeld heeft Meetkundige etekenis: loodreht projeteren op het vlak 8a Het eeld van (,, ) is 7 Het eeld van (,, ) is 7 Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

15 Hoofdstuk - Matries toepassen Het eeld van (,, ) is 7 7 Het eeld van (,, ) is 7 De eeldvetoren van de vetoren (,, ), (,, ) en (,, ) vormen respetievelijk de eerste, tweede en derde kolom van de afeeldingsmatri De eeldvetor van de vetor (,, ) is ihelf a Omdat vlak V niet door de oorsprong gaat wordt het eeld van de nulvetor niet, dus kun je geen afeeldingsmatri op stellen, want voor elke matri geldt W : Nu geldt wel dat (,, ) op (,, ) wordt afgeeeld d Om de afeeldingsmatri S w op te stellen he je de eelden van de eenheidsvetoren nodig (,, ) spiegelen in W: l : λ snijden met W geeft: ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt krijg je dus voor λ, het eeldpunt dan voor λ Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 (,, ) spiegelen in W: m : m snijden met W geeft: m m m m m m m m ( ) Het snijpunt krijg je dus voor m, het eeldpunt dan voor m Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 7 (,, ) spiegelen in W: n : ν snijden met W geeft: ν ν ν ν ν ν ν ν ( ) Het snijpunt krijg je dus voor ν, het eeldpunt dan voor ν Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 De afeeldingsmatri wordt dus: S w Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

16 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lineaire afeeldingen ladijde Lv w L v w ( ) L v v w w v w v w v w ( v w ) ( v w ) ( v w ) ( v w ) v w v w v v w w v v w v w v v w w w v w L v v L w Lv () w Lw ( ) v λ L( λv) L λ L v v λv λv λv λv λv λv λv λ( v v ) v v λ λ( v v ) v v λ v λ L v v v λ Lv () a L L L L L L 8 L L L L 8 d L L L 8 a De normaalvetor van het vlak V is (,, ) De punten P, Q en R worden in dee rihting op het vlak V geprojeteerd Dus de eelden van P, Q en R ijn de snijpunten van elk van de lijnen (,, ) λ (,, ), (,, ) λ (,, ) en (,, ) λ (,, ) met het vlak V (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft ( λ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ( λ) λ λ λ λ λ λ λ Noordhoff Uitgevers v

17 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 8 Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ λ ( λ) λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) 8 De eelden van opdraht a vormen samen de afeeldingsmatri De lijn door (,, ) loodreht op V is λ Vul ( λ, λ, λ ) in ij de vergelijking van V: ( λ) ( λ) ( λ) dus λ λ λ λ waaruit volgt λ λ Het eeldpunt is dus (,, ) Omdat L een lineaire afeelding is mag je ook geruiken dat het eeldpunt van (,, ) de optelling van de eelden van (,, ), (,, ) en (,, ) is 8 Controle: 8 klopt ladijde a a Neem de punten (, ) en (, ) op de lijn l De eeldpunten worden dan os π sin π sin π os π en ls je dee punten in een assenstelsel et, kun je een lijn a formuleren Hier wordt dat Dit geeft voor de lijn l de vergelijking De lijn l kun je in een assenstelsel weergeven Het resultaat van de rotatie kun je, aan hand van de omshrijving draaien over een hoek van π om O tegen de wijers van de klok in, eveneens in het assenstelsel weergeven Dee lijn voldoet aan de vergelijking a waarij je a en aan de hand van de tekening uit kunt rekenen Met ehulp van een tegenvooreeld Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) ls de afeelding lineair is, moet gelden R((, ) (, )) R(, ) R(, ) dat wil eggen R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) (, ) en dat is ongelijk aan R(, ) R(, ) (, ) (, ) (, 7) Dus roteren om het punt P(, ) over een hoek van π is geen lineaire afeelding De afeeldingsmatri van (waarij voor π is ingevuld) is os π sin π sin π os π Noordhoff Uitgevers v

18 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a t t t t 8 t t 8t t t t t t t t t t Een lijn die evenwijdig is met de lijn l heeft deelfde rihting als de lijn l, maar gaat niet door het punt (,, ) In plaats van door (,, ) gaat dee lijn door een ander punt (dat niet op de lijn l ligt), eg het punt ( a,, ) Dee lijn heeft dan de a t vetorvoorstelling t lle punten op dee lijn worden op het punt t 8 a t (a t) 8( t) ( t) a t 8 8t t t a t ( t) ( t) a t t t t a t t t a a 8 a afgeeeld a In woorden: de lineaire afeelding T heeft deelfde werking op een lijn die evenwijdig is aan de lijn l, dus het eeld van dee evenwijdige lijn is ook één punt 8 λ ( λ) 8( λ) ( λ) λ 8λ λ λ λ ( λ) ( λ) λ λλ λ λ λλ d Punten in het vlak ijn van de vorm (,, ) Het eeld van dit punt onder de 8 8 afeelding T is Bij dit eeld hoort een lijn met de vetorvoorstelling ( ) λ 7 feeldingen samenstellen ladijde a Het eeldpunt van Pa (, ) heeft oördinaten ( a, ) Je shuift de spiegellijn en ook het punt Pa (, ) vier eenheden naar eneden De nieuwe spiegellijn heeft dan de vergelijking en het nieuwe punt noemen we even R Dit punt heeft oördinaten ( a, ) Het spiegeleeld van R ij spiegeling in de lijn heeft de oördinaten (, a) Nu shuiven we het spiegeleeld van R weer vier eenheden omhoog en dit geeft Q(, a ) Het eeldpunt van Pa (, ) is Q(, a ) Het eeldpunt van Q(, a ) is Ra (, ) d Een translatie naar rehts en naar eneden Noordhoff Uitgevers v

19 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 7a De afeelding S m is spiegelen in de lijn m: S m (, ) (, ) en S m (, ) (, ) leveren samen de afeeldingsmatri B Een lijn die loodreht op de lijn staat, heeft rihtingsoëffiiënt Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Dee kentallen kloppen met de afeeldingsmatri S S (, ) S (, ) n m n d S S (, ) S (, ) n m n De afeeldingsmatri C is dus klopt e S S (, ) S (, ) (, ) m n m S S (, ) S (, ) (, ) m n m De afeeldingsmatri ij S S is dus m n, dee is niet hetelfde als de afeeldingsmatri van S S, dus de afeeldingen ijn niet hetelfde n m ladijde 8a os sin sin os Eerst over radialen draaien en daarna over a radialen draaien is hetelfde als in een keer over een hoek van a draaien Dit levert de afeeldingsmatri os( a ) sin( a ) sin( a ) os( a ) Noordhoff Uitgevers v

20 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel osa R S sina sin a os osa sin sin a a a a os os os sin sin sin os sin os sinaos sinosa sinasin osaos d De matries van opdraht en ijn gelijk aan elkaar Dus de uitdrukkingen links ovenin elk van dee matries is gelijk aan elkaar: os( a ) osaos sin asin e De andere goniometrishe formules ijn sin( a ) sinosa sin aos en sin( a ) sin aos sinosa f De afeelding S R etekent dat je eerst over a radialen draait en daarna over draait Dit is hetelfde als eerst over radialen draaien en daarna over a draaien Dus S R is deelfde afeelding als R S a De afeeldingsmatri van V is De meetkundige etekenis hiervan is spiegelen in het vlak a S(,, ) (,, ), S(,, ) (,, ) en S(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri R(,, ) (,, ), R(,, ) (,, ) en R(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri De afeeldingsmatri van W is Neem het punt als eginpunt van de lijn l Dee lijn heeft de rihting λ Dit geeft voor de lijn l de vetorvoorstelling l λ λ λ Voor de eeldlijn l levert dit de vetorvoorstelling λ λ λ λ λ λ λ Noordhoff Uitgevers v

21 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Test jeelf ladijde, T- a L, an dee matri valt op dat er alleen op de diagonaal getallen, ongelijk aan nul staan Voor een aantal tijdstippen de eeldvetor uitrekenen:, t :, t :, en t :, 7, Conlusie: De populatie al op den duur uitsterven T-a, is de overlevingskans in de leeftijdsgroep volwassenen,,, 7, 8, 7 In vijf jaar ijn de aantallen in elke klasse sterk afgenomen, dus al dee diersoort op de lange duur uitsterven T-a ( ) ( ) 8 () ( ) ( ) ( ) Vergelijking () geeft 8 en dus () Invullen in () levert ( ) d levert met () e () klopt () klopt () klopt en met de tweede vergelijking T-a De eerste en tweede vergelijking omineren geeft ( 8) ( ) 7 7 () Noordhoff Uitgevers v

22 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel De eerste en derde vergelijking omineren en invullen van () geeft ( 8) ( 8) ( ) ( ) Met ehulp van () geeft dit Met de derde vergelijking volgt 8, hieruit volgt 8 en dus Uit de eerste vergelijking volgt en dus 8 Invullen in de tweede vergelijking geeft ( 8 ) en dus 8 T-a De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen van () in de tweede vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de derde vergelijking geeft ( 8 ) 8 8 en dus 8 8 De derde vergelijking geeft 7 7 () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) 7 7 Conlusie: dit stelsel is strijdig Noordhoff Uitgevers v 7

23 8 Hoofdstuk - Matries toepassen De derde vergelijking geeft () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) 8 7 ( ) Dee vergelijking geldt voor alle waarden van, dus dit is een afhankelijk stelsel ladijde 7 T-a Dee vetoren ijn gelijk aan hun eeldvetor Bijvooreeld:, of V : T-7a 7, dus 7 dus Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

24 Hoofdstuk - Matries toepassen Uit de eeldpunten van opdraht a volgt de afeeldingsmatri De tweede vetor min de eerste vetor levert de derde vetor: Dit etekent dat de drie gegeven vetoren samen een vlak vormen Met lineaire ominaties van dee vetoren kun je dus alleen vetoren uit dit vlak krijgen Je het meer informatie over de lineaire transformatie B nodig om over de eelden van alle vetoren uit de ruimte iets te kunnen eggen T-8a Het linkerlid van de tweede vergelijking moet dan een lineaire ominatie van de eerste en de derde vergelijking ijn: 8 a p q ( ) ( ) Hieruit volgt p q en p dus q Maar dan moet gelden 8 8 a a Nu moet ook worden aangetoond dat dit ook geldt voor het rehterlid van de vergelijkingen: 8 8 a en dit klopt dus er ijn oneindig veel oplossingen Uit het gegeven dat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft, is af te leiden dat de drie vlakken een snijlijn heen (in plaats van een snijpunt) T-a De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft en dus De tweede vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft en dus De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) en dus Conlusie: de punten die op de oorsprong worden afgeeeld liggen op de lijn l : Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

25 Hoofdstuk - Matries toepassen L Conlusie: L L L ( ) wordt afgeeeld op, wordt afgeeeld op en wordt afgeeeld op Met dee eeldvetoren kunnen twee rihtingsvetoren van het vlak W epaald worden rv rv Met dee rihtingsvetoren kan een normaalvetor van het vlak W epaald worden n W, want en De vergelijking van het vlak W is dus Invullen van het punt geeft Dus de vergelijking van het vlak W is ( ) L L Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Het edrijf rekent 35 euro voorrijkosten. 3t+ 35 = k Als de monteur 7 uur ezig is kost het 3 7 + 35 = 75 euro. d 3t + 35 = 7 3t = 3 t = 5, De monteur is,5 uur of uur en kwartier ezig geweest.

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden 0 0 4 0

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Rekenen met functies

Hoofdstuk 9 - Rekenen met functies 5 Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0 = 0 : 6 9 = 5 : 0 = 0 5 = 00 : 0 = 0 e 8 + ( ) = 7 + + = 8 + ( 6) =

Nadere informatie

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos 9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 4 Voorkennis V-a k = 8t+ 4 Het edrijf rekent 4 euro voorrijkosten. De shoorsteenveger werkt 4 minuten en dat zijn kwartieren. Als de shoorsteenveger 4 minuten ezig is geweest, kost het 8 + 4= 99 euro.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Keuzemenu - Wiskunde en economie

Keuzemenu - Wiskunde en economie 1a a Keuzemenu - Wiskunde en eonomie ladzijde 6 TK( 00) GTK( 00) = = 300 = 71 euro per ezoeker 00 00 TK( 600) 800 = = 71, 33 euro per ezoeker 600 600 TK( 800) 9 00 GTK( 800) = = = 7 euro per ezoeker 800

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Hoofdstuk 3 - Differentiëren Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a

Nadere informatie

Vaardigheden. bladzijde 52. deel van 240 = 96 en 3 deel = 144. deel = ( 11 : 25 ) 2110 = 928, 40 euro en. deel = ( 14 : 25 ) 2110 = 1181,60 euro

Vaardigheden. bladzijde 52. deel van 240 = 96 en 3 deel = 144. deel = ( 11 : 25 ) 2110 = 928, 40 euro en. deel = ( 14 : 25 ) 2110 = 1181,60 euro Vaardigheden ladzijde 5 a 7 f 8 0 g 8 0,96 h 9 d 9 i 0 e 8 j a 7,5 e 8 5 6 f 6 g 5, 0, = 0, 3 3 9 d 9 h = = =, 5 3a 8, = 3, 88 euro a 6, 365 = 58 dagen 6 3, = 3568, gram Drie dagen is 7 uur, dus 0, 7 =

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a De formules a = en s= t 8 zijn lineaire formules. Bij tael A hoort een lineair verand omdat de toename in de onderste rij steeds + is. Bij tael B hoort geen

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Transformaties

Hoofdstuk 2 - Transformaties Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde V-a, loninhoud in liter,,,,,,,,, tijd in seonden Van t tot t, dus seonden. loninhoud in

Nadere informatie

5. Lineaire verbanden.

5. Lineaire verbanden. Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 versie 15 5. Lineaire veranden. Opgave 5.1 Recht evenredig lineair verand F (N) 1 9 8 Uitrekking van een veer a = F 9 k = 37,5 x 4 = 7 6 5 4 F 9 N N k = = = 37,5 x 4 cm

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - De kettingregel

Hoofdstuk 2 - De kettingregel Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) 0 0 + 0 0 + 0 60 W + + + a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Vaardigheden - Blok 4

Vaardigheden - Blok 4 ladzijde 0 a Uit de stelling van Pythagoras volgt AB = + = AB = P = 4 + 4 = + + P = P is vier keer de afstand AB, dus = 4 = 4 = 4 = a 7 = = = 4 = 9 = 9 = 00 = 00 = 00 = 0 d 7 = = = e 9 = 49 = 49 = 7 f

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Meer variaelen ladzijde V-a Omdat het water met onstante snelheid uit de ak stroomt en de ak ilindervormig is, is de afname van de hoogte van de waterstand per tijdseenheid onstant. De hoogte

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Tabellen, grafieken, formules

Hoofdstuk 5 - Tabellen, grafieken, formules Hoofdstuk 5 - Taellen, grafieken, formules ladzijde 130 V-1a d De grafieken van de grond en de luht vertonen veel grotere temperatuurshommelingen dan de grafiek van het water. De grafiek van de grond omdat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Blok 2 - Vaardigheden

Blok 2 - Vaardigheden Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Vaardigheden ladzijde 0 a 6 f g h d, p, p p 0 5 p i e 6q 6q q q q 5 0 5a a 0a a 6 5 5 5 t t t t t t a Per weken is de groeifator 7,, 9 Een kwartaal heeft 5

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening hoofdstuk a Voor punten op lijn l geldt: heen coördinaten x + λ en y + λ. Invullen in de vergelijking x + y 5 van cirkel c geeft ( + λ) + ( + λ) + 6λ+ 9λ + + λ+ λ 5 λ + λ λ + λ ( λ+ )( λ

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk Mahtsfunties ladzijde 9 Va Voor elke 0 geldt: > 0. Dus de grafiek van f ligt oven de as. 9 of De yas is symmetrieas. d Het punt (0 0). Va y 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of De oördinaten van de snijpunten

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olmpiade 985-986: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e

Nadere informatie

Zo n grafiek noem je een dalparabool.

Zo n grafiek noem je een dalparabool. V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 Exponentiële formules

Hoofdstuk 7 Exponentiële formules Opstap Mahten en proenten O-a 3 5 3 3 3 3 3 43 3 78 ( 5) 4 5 5 5 5 65 d 6 ( ) 5 6 9 O- Jak heeft het goede antwoord, want de 6 staat niet tussen haakjes. O-3a 7 4 4 g 7 3 5 7 ( ) 5 48 83 h 3 4 3 9 8 4

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden

Nadere informatie

Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (31-08-2012) Pagina 1 van 20. b 12 3 5 7 c

Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (31-08-2012) Pagina 1 van 20. b 12 3 5 7 c Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (31-08-01) Pagina 1 van 0 0 a Opgaven 1.1 Meten van tijden en afstanden x = 1,66.. = 1,7 45 7,5 y = = 73,3.. = 73 4,6 6,3 π z = = 0,515.. = 0,5 38,4 1,7

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Complexe functies

Hoofdstuk 8 - Complexe functies Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan,

Nadere informatie

ICT - De hypergeometrische verdeling

ICT - De hypergeometrische verdeling ladzijde 9 a P( X = ) = 5 3 5 35 3 ( ) ( ) = 3 7 387 5 5 c De steekproefgrootte is 5 dus n = 5. De fractie witte allen is 5 = 3 dus p = 3. 5 Met VU-Statistiek krijg je: De volledige verdeling van X vind

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

H23 VERBANDEN havo de Wageningse Methode 1

H23 VERBANDEN havo de Wageningse Methode 1 H23 VERBANDEN havo 23.0 INTRO a - de oven- en ondergrens van de aeroe zone. 2 Op plaats 503 23. VERBANDEN IN DE PRAKTIJK 3 a km t 0 6 2 5 8 36 a 0 2 5 6 2 d k = 30 t + 0 e k = 30 t + 20 f Zie assenstelsel

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a d e 128 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rehthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 5 28 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 3 - Hoeken en afstanden Hoofstuk - Hoek fstn Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betales.nl In de wiskunde horen bij grafieken bepaalde formules waarmee deze grafiek getekend kan worden. Lineaire formules zijn formules die in een grafiek een reeks van punten oplevert die op een

Nadere informatie

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras De stelling van Pythagoras Inhoud Inhoud... 1 Inleiding... 3 De stelling van Pythagoras... 3.1 De stelling van Pythagoras... 3. De omgekeerde stelling van Pythagoras... 3.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras...

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

6 a 121 meter ; 25 meter b v = - 501. h 2 + h c v = 0 als - 501. e v = 41 als - 501. [MAAL 7] [OMG] [PLUS 7] y =

6 a 121 meter ; 25 meter b v = - 501. h 2 + h c v = 0 als - 501. e v = 41 als - 501. [MAAL 7] [OMG] [PLUS 7] y = Hoofdstuk 30 FUNCTIES 30.0 INTRO 1 a 1, 4 en 6 kunnen niet de grafiek van en autorit zijn, want dan zou de auto op één moment op vershillende plaatsen moeten zijn! 2 De auto is ergens naar toe gereden

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Om het edrag in euro s te erekenen vermenigvuldig je het aantal kwh met 0,08 en tel je er vervolgens 14 ij op. De formule is dus verruik 0,08 + 14 = edrag. De formule ij tarief A kun je

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra 5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 Exponentiële formules

Hoofdstuk 7 Exponentiële formules Opstap Mahten en proenten O-1a 7 4 2401 ( 12) 5 248 832 8 4 4096 10 6 1 000 000 e 1 9 1 f 11 3 1331 g 3 5 243 h ( 3) 5 243 O-2a 620 000 6,2 10 5 43 000 000 4,3 10 7 0,000 12 1,2 10 4 8 000 000 000 8 10

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen

Hoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Opstap Veranen O- Grafiek A hoort ij kaars. Grafiek B hoort ij kaars. Grafiek C hoort ij kaars. O-a O-a u in uren Bij u, is l 7 want, 7. Zie opraht O-. Na vier uur ranen zijn e kaarsen even lang. Bij eie

Nadere informatie

Polynomen. De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a 0. + a 1. 0, n N. x +... + a n 1. x n 1 + a n. x n. met a n

Polynomen. De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a 0. + a 1. 0, n N. x +... + a n 1. x n 1 + a n. x n. met a n Polnomen Polnomen Funties als 4 en + 1 zijn vooreelden van een grote klasse van veelvoorkomende funties: de polnomen of veeltermfunties. Wij zullen steeds de term polnomen geruiken. Een van de redenen

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Blok 2 - Vaardigheden

Blok 2 - Vaardigheden B-1a Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis De getallen 16 en 16 6 ijn asolute aantallen. De percentages ijn relatieve aantallen. c aantal mensen 16 6 000 16 60 9 686 percentage

Nadere informatie

Blok 3. 3-1 Afronden. 175 : 15 11 rest 10 Ze moet minimaal 12 maanden sparen. b 175 : 6 29 rest 1. Ze moet dan 30,- per maand gaan sparen.

Blok 3. 3-1 Afronden. 175 : 15 11 rest 10 Ze moet minimaal 12 maanden sparen. b 175 : 6 29 rest 1. Ze moet dan 30,- per maand gaan sparen. 3-1 Afronden 1a 3 (7,6 8,2) 6,6 9,2 3 15,8 6,6 9,2 47,4 6,6 9,2 63,2 63,2 : 8 7,9 Isa staat gemiddeld 7,9 voor wiskunde. Ze krijgt een 8 op haar rapport. 2a 6,139 wordt 6,14 d 8,4311 wordt 8,43 4,097 wordt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen.

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Hoofdstuk Functies en de GRM Kern Functies met de GRM a H (dm) 5 Na ongeveer 6 dagen. 6 8 0 t a De functie heeft geen functiewaarde voor X < 0.

Nadere informatie

Khaqani Academy, versie 1.0 rev. mei 2016 Uitgave Khaqani Academy 2016

Khaqani Academy, versie 1.0 rev. mei 2016 Uitgave Khaqani Academy 2016 Khaqani Aademy, versie.0 rev. mei 206 Uitgave Khaqani Aademy 206 Niets uit deze uitgave mag worden overgenomen in welke vorm dan ook zonder toestemming van de rehtheenden. Voor informatie kunt u zih wenden

Nadere informatie

H23 VERBANDEN vwo de Wageningse Methode 1

H23 VERBANDEN vwo de Wageningse Methode 1 H23 VERBANDEN vwo f 23.0 INTRO 1 a - De oven- en ondergrens van de aeroe zone. 2 2 iggen en 44 hanen of 7 iggen en 15 hanen 23.1 VERBANDEN IN DE PRAKTIJK 3 a 4 km t 0 6 12 15 18 36 a 0 2 4 5 6 12 6 a 25

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007 MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie