Hoofdstuk 6 Matrices toepassen
|
|
- Adriaan Sanders
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, 8 in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er 8 in de leeftijdsgroep - jaar tijdstip t t t t t t t - jaar jaar - jaar 8 8 totaal ladijde a L, Dit geeft L,,,,,,, L L L,,,, en ls voor t de aantallen in de vershillende leeftijdsgroepen ekend ijn, kun je met L de aantallen voor t erekenen, met L de aantallen voor t en met L de aantallen voor t De ontwikkeling van de populatie is periodiek met een periode van drie jaar, dat wil eggen na drie jaar ijn de vershillende leeftijdsgroepen net o groot als de groepen op t, a L,, Noordhoff Uitgevers v
2 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel, t :,,, t :,,, t :,, tijdstip t t t t t t t t 7 t 8 t - jaar jaar jaar totaal In de loop van de tijd is de afname van het aantal dieren groter dan de toename Uiteindelijk al de populatie dieren uitsterven a g, h 7 h 7, g g g, 8, 7,,, 8,,, L,, h h, 7 h h, 7 h Noordhoff Uitgevers v 7
3 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel,, 8,, 7 7, 7 88 maart :, 7, 8,, 8,, 7 77, 88 8 maart :, 7, 8 jaar aantal fator 7,77 8,78,7 88,77 Conlusie: de groei is eponentieel met groeifator,8 a Het getal linksoven etekent dat er in de leeftijdsklasse van - jaar gemiddeld, nakomeling per dier is In de derde leeftijdsklasse is de overlevingskans De derde leeftijdsklasse gaat om dieren van jaar en ouder d De kans dat een pasgeoren dier in de derde leeftijdsklasse komt is Populatiegrootte voorspellen ladijde a g, en g 78 8, 8 g : Van t tot t eslaat een periode van tien jaar De vierde leeftijdsklasse (van jaar en ouder) eslaat een periode van meer dan tien jaar Het is dus onekend hoe de aantallen in de vierde leeftijdsklasse in een periode van tien jaar veranderen Daardoor kun je g niet erekenen g : Het is onekend welk deel van de struiken elke tien jaar door rand verdwijnt Daardoor kun je g niet erekenen De Chaparral-vegetatie al estaan uit: % vegetatie van - jaar, % vegetatie van - jaar, 8% vegetatie van - jaar en % vegetatie van jaar en ouder d Leeftijdsklasse Perentage Oppervlakte in km - jaar % - jaar % - jaar 8% jaar en ouder % 8 km² 8 km² 8 km² 88 km² 8 Noordhoff Uitgevers v
4 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 7a,, Na jaar: 7,,,, Na jaar: 7,, Op de lange duur al de populatie uitsterven ladijde, 8a L, 8, 7,, 7 L 7, 7, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar 7% overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven,,,, L, dit geeft L, 8,,, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar % overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven d Reken voor vershillende waarden van het geoorteijfer (groter dan,) L uit Bij het geoorteijfer,8 ie je dat, 8, 8 L Het geoorteijfer moet dus minstens,8 ijn, 8, 8 opdat de totale populatie niet uitsterft a L L L De getallen in de matries shuiven ij elke volgende matri naar linksonder en komen rehtsoven weer terug De laatste matri heeft alleen getallen op de diagonaal staan Noordhoff Uitgevers v
5 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel t : 8 t : t : t : t : In elke leeftijdsklasse is sprake van een golfeweging: toename wordt gevolgd door afname en afname wordt weer gevolgd door toename d tijdstip t t t t t t totaal e 8 88,, 88, 8, Na jaar is het totaal aantal salamanders gelijk aan 88,, 88, 8, 7, Invullen van de formule 7, 7 levert hetelfde aantal salamanders a Op de diagonaal van de matri staan de perentages klanten die ij hun eigen supermarkt lijven Voor elke supermarkt geldt dat minder dan % van hun klanten van supermarkt is veranderd Voor het totaal aantal klanten geldt dan ook dat minder dan % van supermarkt is veranderd Er ijn geen aantallen ekend, dus het preiee perentage kun je niet erekenen, 8,,, 7,, 88,, 7, Noordhoff Uitgevers v
6 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Eén maand later heeft supermarkt I klanten, supermarkt II 88 klanten en supermarkt III 887 klanten Op de lange duur (vul ijvooreeld jaar maanden in) ontstaat er een staiele verhouding in het aantal klanten: supermarkt I heeft dan 7 klanten, supermarkt II klanten en supermarkt III 7 klanten Lineaire stelsels ladijde a ( ) ( ) 7 en dus ( ) ( ) Uit opdraht a volgt Invullen in het resultaat van opdraht geeft ( ) Hieruit volgt d De tweede vergelijking geeft e () 7 klopt () klopt () klopt a ( ) ( ) 7 geeft Uit opdraht a volgt Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) Hieruit volgt Invullen in de derde vergelijking geeft en dus Controle: () 7 klopt () klopt () klopt Noordhoff Uitgevers v
7 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel ladijde a ( ) ( 7) Hieruit volgt met de eerste vergelijking 7, 7 en dus Uit de tweede vergelijking volgt Lineair omineren geeft ( ) ( ) 8 Hieruit volgt met de eerste vergelijking 8, 8 en dus ( ) ( ) d e Hieruit volgt met de eerste vergelijking, en dus Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) 8 Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, en dus Comineren van de eerste en tweede vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v
8 Hoofdstuk - Matries toepassen Invullen van () in () geeft ( ) Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, a geeft,,,, dus en 8 geeft 8,,,, dus en geeft 8,,,,,,,,, 8 dus, en d p q r s 7 geeft p q r s 7,,, 8 8 7,,,,,,,,,, 8 7,,, dus p, q, r en s Het stelsel vergelijkingen a a is te shrijven als 8 a 8 8 Hieruit volgt a dus roer eit 87 euro, roer B eit euro en roer C eit 7 euro Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
9 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Bijondere stelsels ladijde a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri () klopt () klopt () 7 klopt d De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking en dus 7a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri ( ) ( ) 7 7 geeft, dit is strijdig met de derde vergelijking Conlusie: dit stelsel vergelijkingen heeft geen oplossing 8a De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () Noordhoff Uitgevers v
10 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel De derde vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) Dit geeft met () 7 en met de derde vergelijking 7 en dus 7 Conlusie: dit stelsel heeft preies één oplossing De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking, en dus Conlusie: dit stelsel is afhankelijk en ovenstaande oplossing is één van de mogelijke oplossing De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de tweede vergelijking geeft Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing Noordhoff Uitgevers v
11 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel ladijde 7 a d Bij de matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen 8 7 De derde vergelijking geeft 7 () De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing 8 klopt 8 8 klopt 88 klopt 7 λ λ λ λ Invullen in de matrivergelijking van opdraht geeft λ λ ( λ) ( λ) λ λ λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ 8 λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ λ a Bij dee matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen a Er is een oplossing als het stelsel de vergelijkingen niet afhankelijk of strijdig is Dit is het geval als de de ijehorende lijnen niet evenwijdig ijn of samenvallen De normaalvetoren a en moeten dus vershillende rihtingen heen, dit is het geval als a Voor a en heeft het stelsel geen oplossingen ls a is de linkerkant van de eerste vergelijking gelijk aan anderhalf keer de linkerkant van de tweede vergelijking ls je er dan voor orgt dat ongelijk is aan, heeft het stelsel geen oplossingen Voor a en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen De eerste vergelijking is dan namelijk gelijk aan anderhalf keer de tweede vergelijking Noordhoff Uitgevers v
12 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a a en geeft het stelsel vergelijkingen De vlakken U en V ijn gelijk aan elkaar en vlak W is de spiegeling van vlak U in het -vlak De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft De vlakken U en W snijden elkaar dus in de lijn a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) Hiermee volgt met de eerste vergelijking De oplossingen van het stelsel vormen een lijn in R en heen de vetorvoorstelling a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft ( ) ( ) () De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) ( ) Invullen van () en () in de eerste vergelijking geeft en dus Conlusie: de drie vlakken snijden elkaar in het punt (,, ) d ls a ijn de drie vlakken hetelfde Noordhoff Uitgevers v 7
13 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a De eerste vergelijking geeft () De tweede vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De derde vergelijking geeft met ehulp van () en () Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De vierde vergelijking geeft met () en () Dee vergelijking geldt voor alle waarden van Ehter de vijfde vergelijking geeft met () en () 7 7 Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing feeldingen ladijde 8 a (,, ) B (,, ) C (,, ) d X (,, ) a Spiegelen in de -as Spiegelen in het punt (,, ) Vermenigvuldiging met fator ten opihte van de oorsprong d Translatie in over de vetor 8 Noordhoff Uitgevers v
14 Hoofdstuk - Matries toepassen a d ladijde a P dus P (,, ) Q dus Q (,, ) R dus R (,, ) d S a a a dus S a a (,, ) 7a Roteren om de -as over een hoek van waarij de -as de -as als eeld heeft Meetkundige etekenis: loodreht projeteren op het vlak 8a Het eeld van (,, ) is 7 Het eeld van (,, ) is 7 Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
15 Hoofdstuk - Matries toepassen Het eeld van (,, ) is 7 7 Het eeld van (,, ) is 7 De eeldvetoren van de vetoren (,, ), (,, ) en (,, ) vormen respetievelijk de eerste, tweede en derde kolom van de afeeldingsmatri De eeldvetor van de vetor (,, ) is ihelf a Omdat vlak V niet door de oorsprong gaat wordt het eeld van de nulvetor niet, dus kun je geen afeeldingsmatri op stellen, want voor elke matri geldt W : Nu geldt wel dat (,, ) op (,, ) wordt afgeeeld d Om de afeeldingsmatri S w op te stellen he je de eelden van de eenheidsvetoren nodig (,, ) spiegelen in W: l : λ snijden met W geeft: ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt krijg je dus voor λ, het eeldpunt dan voor λ Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 (,, ) spiegelen in W: m : m snijden met W geeft: m m m m m m m m ( ) Het snijpunt krijg je dus voor m, het eeldpunt dan voor m Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 7 (,, ) spiegelen in W: n : ν snijden met W geeft: ν ν ν ν ν ν ν ν ( ) Het snijpunt krijg je dus voor ν, het eeldpunt dan voor ν Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 De afeeldingsmatri wordt dus: S w Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
16 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lineaire afeeldingen ladijde Lv w L v w ( ) L v v w w v w v w v w ( v w ) ( v w ) ( v w ) ( v w ) v w v w v v w w v v w v w v v w w w v w L v v L w Lv () w Lw ( ) v λ L( λv) L λ L v v λv λv λv λv λv λv λv λ( v v ) v v λ λ( v v ) v v λ v λ L v v v λ Lv () a L L L L L L 8 L L L L 8 d L L L 8 a De normaalvetor van het vlak V is (,, ) De punten P, Q en R worden in dee rihting op het vlak V geprojeteerd Dus de eelden van P, Q en R ijn de snijpunten van elk van de lijnen (,, ) λ (,, ), (,, ) λ (,, ) en (,, ) λ (,, ) met het vlak V (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft ( λ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ( λ) λ λ λ λ λ λ λ Noordhoff Uitgevers v
17 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 8 Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ λ ( λ) λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) 8 De eelden van opdraht a vormen samen de afeeldingsmatri De lijn door (,, ) loodreht op V is λ Vul ( λ, λ, λ ) in ij de vergelijking van V: ( λ) ( λ) ( λ) dus λ λ λ λ waaruit volgt λ λ Het eeldpunt is dus (,, ) Omdat L een lineaire afeelding is mag je ook geruiken dat het eeldpunt van (,, ) de optelling van de eelden van (,, ), (,, ) en (,, ) is 8 Controle: 8 klopt ladijde a a Neem de punten (, ) en (, ) op de lijn l De eeldpunten worden dan os π sin π sin π os π en ls je dee punten in een assenstelsel et, kun je een lijn a formuleren Hier wordt dat Dit geeft voor de lijn l de vergelijking De lijn l kun je in een assenstelsel weergeven Het resultaat van de rotatie kun je, aan hand van de omshrijving draaien over een hoek van π om O tegen de wijers van de klok in, eveneens in het assenstelsel weergeven Dee lijn voldoet aan de vergelijking a waarij je a en aan de hand van de tekening uit kunt rekenen Met ehulp van een tegenvooreeld Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) ls de afeelding lineair is, moet gelden R((, ) (, )) R(, ) R(, ) dat wil eggen R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) (, ) en dat is ongelijk aan R(, ) R(, ) (, ) (, ) (, 7) Dus roteren om het punt P(, ) over een hoek van π is geen lineaire afeelding De afeeldingsmatri van (waarij voor π is ingevuld) is os π sin π sin π os π Noordhoff Uitgevers v
18 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel a t t t t 8 t t 8t t t t t t t t t t Een lijn die evenwijdig is met de lijn l heeft deelfde rihting als de lijn l, maar gaat niet door het punt (,, ) In plaats van door (,, ) gaat dee lijn door een ander punt (dat niet op de lijn l ligt), eg het punt ( a,, ) Dee lijn heeft dan de a t vetorvoorstelling t lle punten op dee lijn worden op het punt t 8 a t (a t) 8( t) ( t) a t 8 8t t t a t ( t) ( t) a t t t t a t t t a a 8 a afgeeeld a In woorden: de lineaire afeelding T heeft deelfde werking op een lijn die evenwijdig is aan de lijn l, dus het eeld van dee evenwijdige lijn is ook één punt 8 λ ( λ) 8( λ) ( λ) λ 8λ λ λ λ ( λ) ( λ) λ λλ λ λ λλ d Punten in het vlak ijn van de vorm (,, ) Het eeld van dit punt onder de 8 8 afeelding T is Bij dit eeld hoort een lijn met de vetorvoorstelling ( ) λ 7 feeldingen samenstellen ladijde a Het eeldpunt van Pa (, ) heeft oördinaten ( a, ) Je shuift de spiegellijn en ook het punt Pa (, ) vier eenheden naar eneden De nieuwe spiegellijn heeft dan de vergelijking en het nieuwe punt noemen we even R Dit punt heeft oördinaten ( a, ) Het spiegeleeld van R ij spiegeling in de lijn heeft de oördinaten (, a) Nu shuiven we het spiegeleeld van R weer vier eenheden omhoog en dit geeft Q(, a ) Het eeldpunt van Pa (, ) is Q(, a ) Het eeldpunt van Q(, a ) is Ra (, ) d Een translatie naar rehts en naar eneden Noordhoff Uitgevers v
19 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel 7a De afeelding S m is spiegelen in de lijn m: S m (, ) (, ) en S m (, ) (, ) leveren samen de afeeldingsmatri B Een lijn die loodreht op de lijn staat, heeft rihtingsoëffiiënt Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Dee kentallen kloppen met de afeeldingsmatri S S (, ) S (, ) n m n d S S (, ) S (, ) n m n De afeeldingsmatri C is dus klopt e S S (, ) S (, ) (, ) m n m S S (, ) S (, ) (, ) m n m De afeeldingsmatri ij S S is dus m n, dee is niet hetelfde als de afeeldingsmatri van S S, dus de afeeldingen ijn niet hetelfde n m ladijde 8a os sin sin os Eerst over radialen draaien en daarna over a radialen draaien is hetelfde als in een keer over een hoek van a draaien Dit levert de afeeldingsmatri os( a ) sin( a ) sin( a ) os( a ) Noordhoff Uitgevers v
20 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel osa R S sina sin a os osa sin sin a a a a os os os sin sin sin os sin os sinaos sinosa sinasin osaos d De matries van opdraht en ijn gelijk aan elkaar Dus de uitdrukkingen links ovenin elk van dee matries is gelijk aan elkaar: os( a ) osaos sin asin e De andere goniometrishe formules ijn sin( a ) sinosa sin aos en sin( a ) sin aos sinosa f De afeelding S R etekent dat je eerst over a radialen draait en daarna over draait Dit is hetelfde als eerst over radialen draaien en daarna over a draaien Dus S R is deelfde afeelding als R S a De afeeldingsmatri van V is De meetkundige etekenis hiervan is spiegelen in het vlak a S(,, ) (,, ), S(,, ) (,, ) en S(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri R(,, ) (,, ), R(,, ) (,, ) en R(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri De afeeldingsmatri van W is Neem het punt als eginpunt van de lijn l Dee lijn heeft de rihting λ Dit geeft voor de lijn l de vetorvoorstelling l λ λ λ Voor de eeldlijn l levert dit de vetorvoorstelling λ λ λ λ λ λ λ Noordhoff Uitgevers v
21 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Test jeelf ladijde, T- a L, an dee matri valt op dat er alleen op de diagonaal getallen, ongelijk aan nul staan Voor een aantal tijdstippen de eeldvetor uitrekenen:, t :, t :, en t :, 7, Conlusie: De populatie al op den duur uitsterven T-a, is de overlevingskans in de leeftijdsgroep volwassenen,,, 7, 8, 7 In vijf jaar ijn de aantallen in elke klasse sterk afgenomen, dus al dee diersoort op de lange duur uitsterven T-a ( ) ( ) 8 () ( ) ( ) ( ) Vergelijking () geeft 8 en dus () Invullen in () levert ( ) d levert met () e () klopt () klopt () klopt en met de tweede vergelijking T-a De eerste en tweede vergelijking omineren geeft ( 8) ( ) 7 7 () Noordhoff Uitgevers v
22 Hoofdstuk - Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel De eerste en derde vergelijking omineren en invullen van () geeft ( 8) ( 8) ( ) ( ) Met ehulp van () geeft dit Met de derde vergelijking volgt 8, hieruit volgt 8 en dus Uit de eerste vergelijking volgt en dus 8 Invullen in de tweede vergelijking geeft ( 8 ) en dus 8 T-a De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen van () in de tweede vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de derde vergelijking geeft ( 8 ) 8 8 en dus 8 8 De derde vergelijking geeft 7 7 () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) 7 7 Conlusie: dit stelsel is strijdig Noordhoff Uitgevers v 7
23 8 Hoofdstuk - Matries toepassen De derde vergelijking geeft () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) 8 7 ( ) Dee vergelijking geldt voor alle waarden van, dus dit is een afhankelijk stelsel ladijde 7 T-a Dee vetoren ijn gelijk aan hun eeldvetor Bijvooreeld:, of V : T-7a 7, dus 7 dus Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
24 Hoofdstuk - Matries toepassen Uit de eeldpunten van opdraht a volgt de afeeldingsmatri De tweede vetor min de eerste vetor levert de derde vetor: Dit etekent dat de drie gegeven vetoren samen een vlak vormen Met lineaire ominaties van dee vetoren kun je dus alleen vetoren uit dit vlak krijgen Je het meer informatie over de lineaire transformatie B nodig om over de eelden van alle vetoren uit de ruimte iets te kunnen eggen T-8a Het linkerlid van de tweede vergelijking moet dan een lineaire ominatie van de eerste en de derde vergelijking ijn: 8 a p q ( ) ( ) Hieruit volgt p q en p dus q Maar dan moet gelden 8 8 a a Nu moet ook worden aangetoond dat dit ook geldt voor het rehterlid van de vergelijkingen: 8 8 a en dit klopt dus er ijn oneindig veel oplossingen Uit het gegeven dat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft, is af te leiden dat de drie vlakken een snijlijn heen (in plaats van een snijpunt) T-a De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft en dus De tweede vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft en dus De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) en dus Conlusie: de punten die op de oorsprong worden afgeeeld liggen op de lijn l : Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
25 Hoofdstuk - Matries toepassen L Conlusie: L L L ( ) wordt afgeeeld op, wordt afgeeeld op en wordt afgeeeld op Met dee eeldvetoren kunnen twee rihtingsvetoren van het vlak W epaald worden rv rv Met dee rihtingsvetoren kan een normaalvetor van het vlak W epaald worden n W, want en De vergelijking van het vlak W is dus Invullen van het punt geeft Dus de vergelijking van het vlak W is ( ) L L Moderne wiskunde e editie vwo D deel Noordhoff Uitgevers v
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Het edrijf rekent 35 euro voorrijkosten. 3t+ 35 = k Als de monteur 7 uur ezig is kost het 3 7 + 35 = 75 euro. d 3t + 35 = 7 3t = 3 t = 5, De monteur is,5 uur of uur en kwartier ezig geweest.
Nadere informatieHoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde
oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a 8 V-a Hoodstuk - Transormaties Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde loninhoud in liter,,,,,,,,,, Van t tot t, dus seonden. loninhoud in liter O tijd in seonden 7 Moderne wiskunde 9e editie
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
ladzijde 54 a Uitvoeren van de matrixvermenigvuldiging voor de eerste rij geeft v = dus v =. Uitvoeren van de matrixvermenigvuldiging voor de tweede rij geeft s = dus s = 5, van j j 3j j v v v 3 j j 4
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Periodieke functies
Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden 0 0 4 0
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieHoofdstuk 11B - Rekenen met formules
Hoofdstuk B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0
Nadere informatieHoofdstuk 9 - Rekenen met functies
5 Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0 = 0 : 6 9 = 5 : 0 = 0 5 = 00 : 0 = 0 e 8 + ( ) = 7 + + = 8 + ( 6) =
Nadere informatie9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos
9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
4 Voorkennis V-a k = 8t+ 4 Het edrijf rekent 4 euro voorrijkosten. De shoorsteenveger werkt 4 minuten en dat zijn kwartieren. Als de shoorsteenveger 4 minuten ezig is geweest, kost het 8 + 4= 99 euro.
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
lazije 48 a x+ y= x+ y p(x+ y ) x y= x y+ qx ( y + Optellen van e vergelijkingen geeft an p( x+ y ) + q( x y+ ). 4 4 O 4 4 Kies q =. Dit geeft e vergelijking x+ y ( x y+ ). x+ y x+ 9y. Herleien geeft y
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9
Nadere informatieKeuzemenu - Wiskunde en economie
1a a Keuzemenu - Wiskunde en eonomie ladzijde 6 TK( 00) GTK( 00) = = 300 = 71 euro per ezoeker 00 00 TK( 600) 800 = = 71, 33 euro per ezoeker 600 600 TK( 800) 9 00 GTK( 800) = = = 7 euro per ezoeker 800
Nadere informatie5. Lineaire verbanden.
Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 versie 15 5. Lineaire veranden. Opgave 5.1 Recht evenredig lineair verand F (N) 1 9 8 Uitrekking van een veer a = F 9 k = 37,5 x 4 = 7 6 5 4 F 9 N N k = = = 37,5 x 4 cm
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Differentiëren
Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a
Nadere informatieVaardigheden. bladzijde 52. deel van 240 = 96 en 3 deel = 144. deel = ( 11 : 25 ) 2110 = 928, 40 euro en. deel = ( 14 : 25 ) 2110 = 1181,60 euro
Vaardigheden ladzijde 5 a 7 f 8 0 g 8 0,96 h 9 d 9 i 0 e 8 j a 7,5 e 8 5 6 f 6 g 5, 0, = 0, 3 3 9 d 9 h = = =, 5 3a 8, = 3, 88 euro a 6, 365 = 58 dagen 6 3, = 3568, gram Drie dagen is 7 uur, dus 0, 7 =
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Periodieke functies
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a De formules a = en s= t 8 zijn lineaire formules. Bij tael A hoort een lineair verand omdat de toename in de onderste rij steeds + is. Bij tael B hoort geen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Meer variaelen ladzijde V-a Omdat het water met onstante snelheid uit de ak stroomt en de ak ilindervormig is, is de afname van de hoogte van de waterstand per tijdseenheid onstant. De hoogte
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Transformaties
Hoodstuk - Transormaties Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Graieken en untievoorshriten ladzijde V-a, loninhoud in liter,,,,,,,,, tijd in seonden Van t tot t, dus seonden. loninhoud in
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen
Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Voorkennis: Sinusoïden ladzijde 6 ( ) en D (,) V-a A,, B,, C, Via Interset vind je de snijpunten van = sin x en = x, 6 x, 5 of x, 67 Bij een vershuiving van eenheden naar
Nadere informatieHoofdstuk 2 - De kettingregel
Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) 0 0 + 0 0 + 0 60 W + + + a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Tabellen, grafieken, formules
Hoofdstuk 5 - Taellen, grafieken, formules ladzijde 130 V-1a d De grafieken van de grond en de luht vertonen veel grotere temperatuurshommelingen dan de grafiek van het water. De grafiek van de grond omdat
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a d V-2a 102 ladzijde 138 In werkelijkheid zijn er 3 rien evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn die rien ook evenwijdig getekend. In figuur 2 zijn deze rien zo getekend dat ze elkaar alle vier in hetzelfde
Nadere informatieVaardigheden - Blok 4
ladzijde 0 a Uit de stelling van Pythagoras volgt AB = + = AB = P = 4 + 4 = + + P = P is vier keer de afstand AB, dus = 4 = 4 = 4 = a 7 = = = 4 = 9 = 9 = 00 = 00 = 00 = 0 d 7 = = = e 9 = 49 = 49 = 7 f
Nadere informatieHoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen
Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Machtsfuncties
Hoofdstuk Mahtsfunties ladzijde 9 Va Voor elke 0 geldt: > 0. Dus de grafiek van f ligt oven de as. 9 of De yas is symmetrieas. d Het punt (0 0). Va y 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of De oördinaten van de snijpunten
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Werken met algebra
Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Tekenen en zien
avo deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde oofdstuk 5 - ekenen en zien ladzijde 138 V-1a d In werkelijkheid zijn er 3 rien evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn die rien ook evenwijdig getekend. In figuur
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,
Nadere informatieHoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
Nadere informatieHoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren
Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olmpiade 985-986: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij
Nadere informatieBlok 2 - Vaardigheden
Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Vaardigheden ladzijde 0 a 6 f g h d, p, p p 0 5 p i e 6q 6q q q q 5 0 5a a 0a a 6 5 5 5 t t t t t t a Per weken is de groeifator 7,, 9 Een kwartaal heeft 5
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ
Nadere informatieHoofdstuk 7 Exponentiële formules
Opstap Mahten en proenten O-a 3 5 3 3 3 3 3 43 3 78 ( 5) 4 5 5 5 5 65 d 6 ( ) 5 6 9 O- Jak heeft het goede antwoord, want de 6 staat niet tussen haakjes. O-3a 7 4 4 g 7 3 5 7 ( ) 5 48 83 h 3 4 3 9 8 4
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Extra oefening hoofdstuk a Voor punten op lijn l geldt: heen coördinaten x + λ en y + λ. Invullen in de vergelijking x + y 5 van cirkel c geeft ( + λ) + ( + λ) + 6λ+ 9λ + + λ+ λ 5 λ + λ λ + λ ( λ+ )( λ
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Machtsfuncties
Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor
Nadere informatieZo n grafiek noem je een dalparabool.
V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d
Nadere informatieLineaire algebra en analytische meetkunde
Lineaire algera en analytische meetkunde John Val Octoer 5, Inhoud Inleiding coördinaten in R coördinaten in R en hoger Transformaties: ewerkingen op vectoren 6 Lineaire transformaties en matrices 6 Eigenschappen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen
Nadere informatieVoorbeeld theorie examen
Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht
Nadere informatieStevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (31-08-2012) Pagina 1 van 20. b 12 3 5 7 c
Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (31-08-01) Pagina 1 van 0 0 a Opgaven 1.1 Meten van tijden en afstanden x = 1,66.. = 1,7 45 7,5 y = = 73,3.. = 73 4,6 6,3 π z = = 0,515.. = 0,5 38,4 1,7
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieCorrecties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.
Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de
Nadere informatieBlok 2 - Vaardigheden
Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a Ja, Afwasplus heeft de laagste prijs, namelijk e,9. B-a De prijs per liter is ij Washing e,89 : 0,7 = e,, ij Afwasplus e,9 : 0, = e,8 en ij Greenlean e,9
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels
Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oëffiiënten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft
Nadere informatieHoofdstuk 11 Verbanden
Opstap Remweg O- De rie remwegen zullen vershillen zijn. Algemeen gelt at ij e hoogste snelhei e langste remweg hoort. O- De remparahute geeft nog meer remkraht. O- De remweg wort langer op een sleht of
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Hoeken en afstanden
Hoofstuk - Hoek fstn Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Kegelsneden
oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H23 VERBANDEN HAVO 1
H23 VERBANDEN HAVO 230 INTRO f a - De oven- en ondergrens van de aeroe zone 2 Op plaats 503 23 VERBANDEN IN DE PRAKTIJK 3 a km d k = 30 t + 0 e k = 30 t + 20 g Het uurtarief epaalt de helling van de grafiek
Nadere informatieHoofdstuk 8 - Complexe functies
Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan,
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
ladzijde a Het startgetal is en het hellingsgetal is De formule die ij de lijn ast is y De lijn k heeft het zelfde hellingsgetal als de lijn l, dus d De formule is y + 7 e Het hellingsgetal van m is gelijk
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de
Nadere informatieHet opstellen van een lineaire formule.
Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire
Nadere informatie6 a 121 meter ; 25 meter b v = - 501. h 2 + h c v = 0 als - 501. e v = 41 als - 501. [MAAL 7] [OMG] [PLUS 7] y =
Hoofdstuk 30 FUNCTIES 30.0 INTRO 1 a 1, 4 en 6 kunnen niet de grafiek van en autorit zijn, want dan zou de auto op één moment op vershillende plaatsen moeten zijn! 2 De auto is ergens naar toe gereden
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a Om het edrag in euro s te erekenen vermenigvuldig je het aantal kwh met 0,08 en tel je er vervolgens 14 ij op. De formule is dus verruik 0,08 + 14 = edrag. De formule ij tarief A kun je
Nadere informatieICT - De hypergeometrische verdeling
ladzijde 9 a P( X = ) = 5 3 5 35 3 ( ) ( ) = 3 7 387 5 5 c De steekproefgrootte is 5 dus n = 5. De fractie witte allen is 5 = 3 dus p = 3. 5 Met VU-Statistiek krijg je: De volledige verdeling van X vind
Nadere informatieF3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3
F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =
Nadere informatieWiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes
Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Rekenen
ladzijde 2 a 7 Marel vindt 32,7 326 werknemers en Cas vindt 329 werknemers. Het antwoord van Cas is het nauwkeurigst. deel van 987 =, dus er komen werknemers lopend of met de fiets. Met de auto komen 987
Nadere informatieH23 VERBANDEN havo de Wageningse Methode 1
H23 VERBANDEN havo 23.0 INTRO a - de oven- en ondergrens van de aeroe zone. 2 Op plaats 503 23. VERBANDEN IN DE PRAKTIJK 3 a km t 0 6 2 5 8 36 a 0 2 5 6 2 d k = 30 t + 0 e k = 30 t + 20 f Zie assenstelsel
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus is os os us is 8
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a d e 128 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rehthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 5 28 roostervierkantjes.
Nadere informatieLineaire formules.
www.betales.nl In de wiskunde horen bij grafieken bepaalde formules waarmee deze grafiek getekend kan worden. Lineaire formules zijn formules die in een grafiek een reeks van punten oplevert die op een
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen
oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door
Nadere informatieDe stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras Inhoud Inhoud... 1 Inleiding... 3 De stelling van Pythagoras... 3.1 De stelling van Pythagoras... 3. De omgekeerde stelling van Pythagoras... 3.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras...
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).
Nadere informatieHoofdstuk 7 Exponentiële formules
Opstap Mahten en proenten O-1a 7 4 2401 ( 12) 5 248 832 8 4 4096 10 6 1 000 000 e 1 9 1 f 11 3 1331 g 3 5 243 h ( 3) 5 243 O-2a 620 000 6,2 10 5 43 000 000 4,3 10 7 0,000 12 1,2 10 4 8 000 000 000 8 10
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieAPPENDIX bij Met en/of zonder coördinaten DICK KLINGENS april 2017
APPENDIX ij Met en/of zonder oördinaten DICK KLINGENS (dklingens@gmail.om) april 2017 1. Nóg drie ewijzen van stelling I Stelling I (issetriestelling). Is D het voetpunt van de issetrie van hoek A op de
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Definities en stellingen
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan, ; = = 0 arg( z ) ; = 0 arg( z
Nadere informatieBij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.
Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van
Nadere informatieVIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN
VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook
Nadere informatie