Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules

Transcriptie

1 Hoofdstuk B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Voorkennis V-a = = 6 5 = = : = d = + 05 = = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0 = 0 : 6 9 = 5 : 0 = 0 5 = 00 : 0 = 0 e 8 + ( ) = = 8 + ( 6) = = 8 + ( ) = = = ( 8) : = 8 5 = 6 : = 9 : = 08 : = 6 V-a 5 = 5 = 5 = = 00 5 = 00 5 = 500 = = = d 7 = 9 = 9 = 98 e 9 5 = 8 5 = 8 5 = 05 V-a = = = d 5 7 = 5 e 5 7 = 5 7 = 0 f = = 6 0 g ( 5) = 5 5 = 9 5 = 5 V-5a = = 6 = 9 d = 7 0 V-6a y = m m wordt dan y = m = p p 9 wordt dan = p k = a a 5 a wordt dan k = a 9 d q = t t t wordt dan q = t 6 8

2 V-7a y Als met toeneemt neemt y telkens met hetzelfde getal af. y O d Het hellingsgetal is. Als je in de grafiek vanuit een punt naar rehts gaat, moet je omlaag gaan om weer in een punt van de grafiek te komen. e Het startgetal is 0. De grafiek snijdt de y-as ij y = 0. V-8a Lijn l is een stijgende lijn, daar hoort een positief hellingsgetal ij. Bij lijn l hoort dus de formule y =. Bij lijn m hoort de formule y = 9. 9 = 9 = = = : dus = = 7 7 Invullen ij y = geeft y = = Het snijpunt is (, 6 ). 7 7 Het hellingsgetal is 8 = = 0 Het startgetal is 8, want lijn k gaat door (0, 8). De formule is y = + 8. d = + 8 = 8 = Invullen ij y = + 8 geeft y = + 8 = 9. Het snijpunt is (, 9). V-9a = + 0 8( + 7) = = = = 5 = + 5 = : 7 dus = = = : dus = p + 95 = p 60 d 9a + 6(a 5) = (a + 0) 8a 95 = 5p 60 9a + a 0 = 6a + 0 8a 55 = 5p a 0 = a + 0 p = 55 : 5 dus p = 7 5a 0 = 0 5a = 50 a = 50 : 5 dus a = 0 Hoofdstuk B - Rekenen met formules 9

3 a Hoofdstuk B - Rekenen met formules B- Formules herleiden Het ellen heeft Roy 0, ,8 =,58 +,06 =,6 euro gekost. Hij heeft nog 5,6 = 0,6 euro eltegoed over. Hij kan maimaal 5 : 0,06 = 50 minuten ellen naar een vast nummer. 80 minuten ellen met een moiel nummer kost 80 0,8 =,0 euro. Hij heeft dan nog een eltegoed van 5,0 = 0,60 euro. Met 0,60 euro kan hij 0,60 : 0,06 = 0 minuten ellen met een vast nummer. a Vermenigvuldig het aantal minuten dat Roy elt met een vast nummer met 6 ent en het aantal minuten dat hij elt naar een moiel nummer met 8 ent en je krijgt voor de totale elkosten 6v + 8m. Op een kaart zit 5 euro eltegoed, dat is 500 ent. Er geldt dus 6v + 8m = 500. m = 7 geeft v = = + 50 dus v = 9 Als Roy 7 minuten moiel geeld heeft, kan hij nog 9 minuten met een vast nummer ellen. a q 9p = e p q + 8 = 0 q = 9p + p q = 8 q = p + q = p 8 q = p + 6 6q + p = 5 f q 6 + 5p = 0 6q = p + 5 q + 5p = 6 q = p + q = 5p + 6 p q = 9 g 00p 50q = 750 q = p q = 00p q = p q p 5 d p q = 90 h (q ) + 5p = 8 q = p + 90 q 6 + 5p = 8 q = p 0 q +5p = q = 5p + q = p + 7 a Als je w = 0 en n = 0 invult in de formule 8w + 5n = 80 krijg je = 80 en dat klopt. Dus de formule 8w + 5n = 80 hoort ij de lauwe lijn. Als je ij eide formules n in w uitdrukt, kun je ze aan elkaar gelijkstellen om de oördinaten van het snijpunt te erekenen. 8w + 5n = 80 n w = 5n = 8w + 80 n = w + n =,6w + 6 d,6w + 6 = w + 6 =,6w + =,6w w = :,6 dus w 5,8 Invullen in n =,6w + 6 geeft n =,6 5, ,. Invullen in n = w + geeft n = 5,8 + 7,. Het snijpunt is (5,; 7,). 0

4 e w 6n = w + n = 6n = w + n = w n = w n = w w = w w = w 8 7w = 8 7w = 7 w = 7 : 7 dus w = Invullen in n = w geeft n = =. Invullen in n = w geeft n = =. Het snijpunt is (, ). 5a Na weken zijn er 500 = 6500 apparaten verkoht. De kosten edragen dan = 6 00 euro. Na 5 weken zijn er = 500 apparaten verkoht. De kosten edragen dan = euro. Vul t = 5 in ij de formule k = 500t + 800, dat geeft k = = Dat klopt met het antwoord ij opdraht. 6a = 8 7p 65 = 56p 65 = 8 p = 8 + 8p = 6 ( + 8p) = 6 8p = 8 8p d = 7(7 p) + = 9 p + = p a = = 75 = = 80, klopt u t = 5 t = u 5 t = u + 5 sustitueren in t 5u = 0 geeft (u + 5) 5u = 0 6u + 5 5u = 0 u + 5 = 0 u = 5 Invullen in t = u + 5 geeft t = = 5. De oördinaten van het snijpunt zijn u = 5 en t = 5. B- Evenwijdige en samenvallende lijnen 8a Het hellingsgetal is. Ga vanuit een punt op de grafiek één hokje naar rehts en kijk hoeveel hokjes je naar eneden moet om weer op de grafiek te komen. Dat aantal is het hellingsgetal. Vanuit (, 0) op de lijn ga je naar (5, ) op de lijn. Het hellingsgetal is 0 = 5. Hoofdstuk B - Rekenen met formules

5 Hoofdstuk B - Rekenen met formules d Vul = en y = 0 in ij de formule y = +. Dat geeft 0 = + dus 0 = + ofwel =. Een formule van lijn k is y =. e Het hellingsgetal van lijn m is ook. Vul = en y = 9 in ij de formule y = +. Dat geeft 9 = + dus 9 = 6 + ofwel = 5. Een formule voor lijn m is y = + 5. f Het hellingsgetal van lijn n is = 5 =. = en y = 0 invullen ij y = + geeft 0 = + dus =. Een formule voor lijn n is y = +. l en n snijden: 8 = + 8 = + geeft 5 = = 5 : dus = Invullen ij y = geeft y = =. Het snijpunt is (, ). 9a rihtingsoëffiiënt = 0 8 = = = en y = 8 invullen ij y = + geeft 8 = + 8 = 6 + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +. rihtingsoëffiiënt = = 0 = = en y = 9 invullen ij y = + geeft 9 = + 9 = + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +. rihtingsoëffiiënt = 0 7 = = = en y = 7 invullen ij y = + geeft 7 = + 7 = 9 + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +. d rihtingsoëffiiënt = = 6 = Het startgetal is 0, want de grafiek snijdt de y-as in (0, 0). Een vergelijking van de lijn is y = a Lijn k gaat onder andere door het punt (, 0). Vul = en y = 0 in ij y = 6. Dat geeft 0 = 6. Dat klopt, dus de vergelijking y = 6 hoort ij lijn k. y = 6 y = + 6 (van eide kanten afgetrokken) y = (eide kanten gedeeld door ) y = y = y = + 6 d De rihtingsoëffiiënt is.

6 e = + 6 = 6 = 9 Invullen ij y = + 6 geeft y = = 0. Het snijpunt is (9, 0 ). Hoofdstuk B - Rekenen met formules a Van de lijn q kun je de rihtingsoëffiiënt uit de vergelijking aflezen. 5 + ( ) = = = 9 = 9 : dus = Invullen ij y = geeft y = dus y = 9. Het snijpunt is (, 9). Van eide lijnen is de rihtingsoëffiiënt. Omdat het startgetal wel vershillend is, lopen de lijnen evenwijdig en heen dus geen snijpunt. d Voor elke waarde van geldt 0 = 0. e (, ): (, ): 5 + = 5 = klopt 5 + = = klopt y = + = + = klopt y = + = + = klopt (, 6): (0, ): = 5 = klopt = 0 + = klopt y = + = 7 + = 6 klopt y = 0 + = 0 + = f De lijnen p en s vallen samen. l en m: m en k: De lijnen l en m heen vershillende 6 + ( + ) = rihtingsoëffiiënten dus snijden ze elkaar = l en n: 0 = 0 ( + 8) = Er zijn oneindig veel oplossingen. 8 = De lijnen m en k vallen samen. 0 = 5 heeft geen oplossingen. n en k: De lijnen l en n zijn evenwijdig. n: y = ofwel y = + l en k: 6 + ( + ) = 6 + ( + 8) = = = = 5 geeft = = 0 geeft = = De lijnen n en k snijden elkaar. De lijnen l en k snijden elkaar. m en n: ( + ) = + = = geeft = 5 De lijnen m en n snijden elkaar. Noem de twee getallen a en. Dan moet gelden: a = 7 en a + = Dus a (a + ) = 7 a a 6 = 7 0a = Deze vergelijking heeft geen oplossingen, dus het raadsel is niet oplosaar.

7 Hoofdstuk B - Rekenen met formules B- Rekenen met eponenten a t 0 y 0,5 8 y t O 0,5,5,5,5 t 0 y 8 0,5 Zie de grafiek ij opdraht a. t De grafiek van y = 8 ( ) is dalend. In de formule is de groeifator kleiner dan. 5a De groeifator per uur is 00 : 50 =. De groeifator per twee uur is 600 : 50 =. De groeifator per vier uur is 00 : 50 = 6. d Toen waren er 50 : = 75 ateriën. a 6a De groeifator per jaar is. De groeifator per jaar is = 9. De groeifator per jaar is = 8. De groeifator per 6 jaar is 6 = 79. Als je de groeifatoren per jaar en jaar met elkaar vermenigvuldigt, krijg je de groeifator per 6 jaar. d is de groeifator per jaar, is de groeifator per jaar. is de groeifator per 6 jaar, dus gelijk aan 6. 7a Bewering A is juist. Bij vermenigvuldigen van mahten met gelijke grondtallen moet je de eponenten optellen. De overige eweringen zijn onjuist. 5 6 A = a a+ C 5 5 = B = a a+ D 5 5 = 5 8a De groeifator per week is 7 = 8. Eerste manier: de groeifator per weken is 8 = Tweede manier: weken is gelijk aan 8 dagen, dus de groeifator per weken is 8 = Volgens manier is de groeifator per weken ( 7 ). Volgens manier is de groeifator per weken 8. Dus is ( 7 ) = 8.

8 ( ) = = = 5 8 (, ) =, 5, 5 =, 5 =, ( ) = C 0 ( ) = B ( ) = 8 D ( 0 ) = 0 9a A ( ) = = a a ( ) = = 9 ( ) = = y a a a = 5 ( 5 ) 5 = ( ) = ( ) wordt = a a a wordt y = ofwel = 5 8a ofwel y = k 5 wordt k = 0 ofwel k a a y y O 0,5,5,5,5,5 5 5, y De taellen ij de formules zijn gelijk. a a Dat volgt uit de rekenregel g g = g. d Ja, want = 8. a + = 5 + y = 5 d y = 5 + y = 5 y = 5 5 y = y = y = e y = 0 + y = y = 0 0 y = y = y = f + y = 5 y = y = 5 y = 9 y = Hoofdstuk B - Rekenen met formules 5

9 Hoofdstuk B - Rekenen met formules B- Rekenen met wortels a v = 6 0, De auto had een snelheid van ongeveer 0 km per uur. s v 0, 6,6 76,7 88,5 99,0 08, 7, v s Bij v = 50 lees je af: s. De lengte van het remspoor is ongeveer meter. d Bij s = 0 is v. Bij s = 0 is v 6. De snelheid verduelt niet als de lengte van het remspoor verduelt. 5a Bij = wordt het getal onder de wortel negatief en dan estaat de wortel niet. De wortel kun je alleen erekenen van een getal dat niet negatief is. + = 0 = = + 0 geldt voor. d Bij = is y = + + = + 0 =. Het randpunt is (, ). e De lijn y = 6 snijdt de grafiek van y = + + één keer, dus de vergelijking + + = 6 heeft één oplossing. De lijn y = 0 snijdt de grafiek van y = + + niet, dus de vergelijking + + = 0 heeft geen oplossing. 6a uitkomsten als 0 d uitkomsten als dus = 0 geeft y = + 0 = als randpunt (0, ) = geeft y = randpunt (, ) 6

10 uitkomsten als 7 0 dus e uitkomsten als dus als 8 als = 8 geeft y = = 7 = geeft y = randpunt ( 8, 7) randpunt (, ) uitkomsten als + 0 dus f uitkomsten als 0 dus als als 0 = geeft y = 0 = 0 geeft y = 7 randpunt (, 0) randpunt (0, 7) 7a 5 = 55 5 = 0 = = 70 d ( 5 ) = 5 5 = 5 = 00 8a 5 = 5 = 5 = 0 d 8 0 = 6 0 = 5 = 5 = 6 0 = 60 5 = 00 e 7 5 = 9 5 = 9 5 = 75 7 = 9 7 = 9 7 = 6 f 0 7 = 00 7 = 00 7 = 700 9a Omdat 8 = 9 geldt 8 = 9 oftewel 8 =. kun je eenvoudiger shrijven, want =, dus = 6 =. 0a 700 = 00 7 = = 5 = 5 a 600 = 00 6 = 0 6 d 80 = 6 5 = 5 5 = 9 6 = 6 e 98 = 9 = 7 8 = 6 = f 5 = 5 5 = 5 5 a Zowel 8 als 8 kun je nog verder vereenvoudigen. 7 = 6 = 6 a Niet-gelijksoortige wortels kun je niet ij elkaar optellen = = = 5 7 A + 50 = C + 75 = = + 5 = = = 9 B = D = = = = = 5 8 = 7 Hoofdstuk B - Rekenen met formules 7

11 Hoofdstuk B - Rekenen met formules B-5 Gemengde opdrahten a ( 5) = = 8 0 = De vergelijking heeft geen oplossing, dus de lijnen zijn evenwijdig. y = 5 y = 0 + y = 0 y = 0 Voor = 0 valt de lijn y = samen met de lijn y = 0. 5a Elke dag neemt de hoeveelheid mediijn in het lihaam met 0% af. Je kunt dus telkens met 0,8 vermenigvuldigen. Dus is er sprake van eponentiële groei (afname). De groeifator per dag is 0,8. De groeifator per week is 0,8 7 0,. De afname per week is ( 0,) 00% = 79%. Na twee dagen zit er nog 6 0,8 =,8 mediijn in het lihaam. t d Een formule is M = 6 0, 8 met M de hoeveelheid mediijn in en t de tijd in dagen. e t f g M 6,8,8,07,6,97,57,6,0 0,8 0,6 M in t in dagen Lees af ij M =. Na ongeveer dagen zit er nog mediijn in het lihaam. Omdat er per verstreken dag nog 80% van de aanwezige hoeveelheid mediijn in het lihaam ahterlijft, is het mediijn nooit helemaal uit het lihaam verdwenen. 6a y = y 0, 5,0 6 6,7 7,5 y = y 0, 5,0 6 6,7 7,5 De taellen ij de formules zijn gelijk. = 9 = 9 d 7 = 9 = 9 Voor a = 9 zijn de formules hetzelfde. e 8 6 = = 6 = 6 Voor a = 6 zijn de formules hetzelfde. 8

12 7a Op grafiek A ligt ijvooreeld het punt (0, 8). = 0 en y = 8 invullen ij y = geeft 0 8 = en dat klopt niet. = 0 en y = 8 invullen ij y + = geeft = en dat klopt. Grafiek A hoort ij de formule y + =. Grafiek B hoort ij de formule y =. y = y + = y = y = + y = + y = = = = = = : dus = 8 Invullen ij y = + geeft y = 8 + = 6 Invullen ij y = + 8 geeft y = = 6 Het snijpunt is (8, 6). d = 0 en y = invullen geeft = d. Dus d =. 8a y = 0,5 0t 0 y = 0t 0 y = 5 + (t + ) y = 5 + 6t + y = 6t + 7 y = ( t + ) + y = 6t y = 6t + 9a 5 y = wordt y = m = wordt m = 7+ k = wordt k = + d y a 5 a wordt y = oftewel y = a + 5 = ( ) 0a y = y = De twee formules geven dezelfde uitkomsten. a Dat volgt uit de rekenregel g a ( ) = g, immers 9 = ( ) =. Formule A kun je shrijven als y = dus y = Formule B kun je shrijven als y = ( ) dus y = 6 5 Formule E kun je shrijven als y = dus y = ( ) ofwel y = 8 De formules A en C zijn gelijk, de formules B en F zijn gelijk en de formules D en E zijn gelijk. Hoofdstuk B - Rekenen met formules 9

13 Hoofdstuk B - Rekenen met formules a d e y y 6 5 O De grafiek estaat uit twee halve lijnen. Voor heeft Janneke gelijk. Voor heeft Janneke geen gelijk, want voor die waarden van is de grafiek dalend. De grafiek heeft rihtingsoëffiiënt en startgetal, dus een formule voor de grafiek voor is y = +. Test jezelf T-a 8a + = 5 = 8a + 5 = 6a + 5 T-a v = 5 a + v = 0a + + 7a 8 = 0 = 7a + 8 = a v = + 8(0 a) v = + 80 a v = a + 8 5( + ) 5a = a = 5 5 = 5a + 0 = 7a + 6 v = (a + 8) + v = a + + v = a + 7 T-a Rihtingsoëffiiënt = 8 = Vul = 8 en y = in ij y = + = 8 + geeft = 6 + dus = 8 Een vergelijking van lijn l is y = 8. Rihtingsoëffiiënt = = 8 = Vul = en y = 0 in ij y = + 0 = + geeft 0 = + dus = 8 Een vergelijking van lijn k is y = + 8. De lijnen heen dezelfde rihtingsoëffiiënt en vershillende startgetallen, dus zijn het evenwijdige lijnen. d De vergelijking y = kun je herleiden tot y = +, dus tot y = 8. De lijnen l en m vallen samen. e + ( + 8 ) = 6 geeft + + = 6 = 0 dus = 0 : = y = 6 geeft y = dus y = Het snijpunt is ( 0, ). 50

14 T-a A = 6 6 B ( ) = = C a a a a a a ( ) = = a ( ) = = D y = 6 is gelijk aan y = en dus y = + De formules zijn hetzelfde. t E N = + t is gelijk aan N = t en dus N = 8 + t F N = 7 t t is gelijk aan N = 7 7 en dus N = 7 T-5a + 6 = 0 = 6 = = invullen geeft y = 8 Het randpunt is (, 8). 90 = 9 0 = 0 98 = 9 = 7 8 = 6 = = 5 = = 8 8 = = 6 5 = = 9 = = 00 7 = 700 Op volgorde van klein naar groot: 7, 9 8, 0 7, 9 5 d A 8 7 = D 6 5 = 6 9 = 5 8 = 5 = = 5 = 0 B 00 + = E 75 + = = 5 + = 0 + = 5 + = 7 C 5 5 = 75 = F = 5 = = T-6a 6p + 5(p ) = 6p + 0p 0 = 6p = p = : 6 dus p = invullen in q = p geeft q = = 0 De oördinaten van het snijpunt zijn p = en q = 0. ( ) + = = 0 = 8 = 8 : dus = 6 invullen in a = geeft a = 6 = De oördinaten van het snijpunt zijn a = en = = 7 7 Hoofdstuk B - Rekenen met formules 5

15 Hoofdstuk B - Rekenen met formules T-7a y = ( 5) + y = + y = + Voor p = vallen de lijnen samen. Voor elke waarde van p zijn de lijnen evenwijdig. T-8a 85 m geeft l = 0,85 m, 0 0, 85, 85, dus de slingertijd is ongeveer,85 seonden. l T 0,0,8,8,0,9,9 5, 5,69 7 T in seonden l in meters Bij ongeveer 6, meter is de slingertijd 5 seonden. Controle:, 0 6, 5, klopt d Vul l = a en l = a in. l = a geeft T =, 0 a l = a geeft T =, 0 a =, 0 a =, 0 a Je moet de slingertijd met vermenigvuldigen. e, 0 l =, 0 l, 0 l =, 0l dus p,0 5