Noordhoff Uitgevers bv

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Noordhoff Uitgevers bv"

Transcriptie

1 a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met dezelfde fator vergroot Omdat Q is R 5 en is 7 7 QR a e lijnen en lopen evenwijdig aan elkaar aaruit volgt: (F-hoeken) en (F-hoeken) Ook is us de overeenkomstige hoeken van zijn even groot als de hoeken van waaruit volgt dat Verhoudingstael: 9 Hieruit volgt: a ladzijde riehoek maar ook r zijn dus twee manieren om de lengte van te vinden Manier : geruik 8 n dus: Manier : geruik n dus: en is Met de tael van manier van a: Met de tael van manier van a: 8 8 r geldt en dus 8 8 Zo dat : Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

2 Met de tael van het vooreeld: M M M 5 Met ythagoras: M M M 5 7 Omdat F M geldt de verhoudingstael: 5a F 8 F F M M 7 M Hieruit volgt: F F M 7 7 M 7 5 x x Hieruit volgt: x x 5 n dus is x ( x) x + 50 Hershrijven tot 5x 50 geeft x : 5 dus de verhouding tussen de overeenkomstige zijden van en is 5 us de verhouding tussen zijde en zijde is 5 In andere woorden: voor elk stuk van lengte van is er een stuk van lengte 5 van In nog andere woorden: v oor elk stuk van 5 hoort 5 ij en ij ls je de in stukjes van 5 verdeelt en vermenigvuldigt met 5 dan krijg je de gezohte lengte: x Uit F volgt: 5 0 F F F us geldt n is Omdat F is F 8 Verder invullen van de tael geeft: F F F 8 an volgt: a ( 0 ) ( 08 ) en G( 08 ) H F G 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 5

3 Zijaanziht voor het afknotten: H is de lijn waar de piramide is afgeknot unt K ligt reht onder punt en punt L is de top van de niet afgeknotte piramide In het vooraanziht geldt K L it geeft als verhoudingstael: L L L K K K e verhouding tussen de zijden van eide driehoeken is an volgt: L L K 8 K e oorspronkelijke piramide was hoog d Om F op shaal te kunnen tekenen moeten je de lengte van de zijde of de zijde F weten ereken in driehoek K de lengte van K + K en dus 0 e F want F (Z-hoeken) F F (Z-hoeken) en F (overstaande hoeken) f F F F Stel x dan geldt F F x Uit de tael volgt dat de verhouding tussen de zijden van eide driehoeken is an volgt: x F F x it geeft: x ( F x) x+ F Hershrijf tot x F en dus is x F Met ythagoras vind je F + F + en dus F us x F 77 osinusregel ladzijde 7a tanα tanα 8 tan 0 7 osα osα 8 os0 Uit sinα en osα volgt (sin ) (os ) α α Volgens ythagoras geldt: + elen door geeft: + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel L H F K

4 omineer de resultaten van en tot sin α+ os α (sin α) + (os α) + 8a sin( ) sin( ) sin( 80 ) 985 os os os ythagoras: en dus 5 9a In geldt sinα sinα In geldt osα osα n dus is osα ls je in de formule + de ij a gevonden formules met a invult krijg je: a ( sin α) + ( os α) sin α+ os α osα + Omdat os α+ sin α geldt: a sin α+ os α os α+ (sin α+ os α) osα+ + osα ladzijde 5 a e osinusregel: a os 9 0 us a 9 osinusregel: QR os us QR 77 osinusregel KM KL + LM KL LM os L us is KL LM os L KL + LM KM n is os L KL + LM KM KL LM 58 L os Nogmaals de osinusregel: KL KM + ML KM ML os M Hershrijven: os M KM + ML KL KM ML 8 us M os ( 0 089) a e shaal is : dus elke kilometer krijgt in de 00 tekening lengte 00 m m us W krijgt lengte m en K krijgt lengte 7 9 m osinusregel: WK W + K K os os 55 us WK 5 km r is afgerond op deimalen omdat het tweede getal ahter de komma de tientallen meters aangeeft : Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel W K 7

5 8 a osinusregel a + a os γ hershrijven: os γ a a 5 us γ os 0 90 en rehthoekige driehoek ls γ 90 dan geldt os γ0 e osinusregel versimpelt dan tot a + a 0 a + de stelling van ythagoras! a In geldt sinα sinα In geldt osα osα Ook is + en dus osα In + voor en de ij a gevonden formules samen met a invullen geeft: a ( sin α) + ( os α ) a ( sin α) + ( os α ) a sin α+ os α osα + (sin α + os α) osα+ + osα it is de osinusregel! Hoek tussen twee lijnen ladzijde a is een rehthoekige driehoek dus en dus 5 8 Omdat een rehthoek is geldt is een rehthoekige driehoek dus en dus 5 5 Omdat een rehthoek is geldt 8 In geldt en dus en zijn evenwijdig dus (Z-hoeken) en (Z-hoeken) us de driehoeken zijn gelijkvormig Uit opdraht a volgt S + S en S + S 5 Stel S x en S y Omdat S S geldt: S 8 S x S 5 y S 5 S x S y Uit x x 8 volgt 5x 8 ( x) 8x us is 5x 80 en is S x 7 5 Uit de verhoudingstael volgt ook : 5 y 8 y 5 it geeft: 8y 5 ( 5 y) 5y us is 5y 5 en is S y 55 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

6 5a a d osinusregel: S + S S S os( S) Hershrijven tot: S S os( S) S + S os( ) + + S S S S S 7 55 us S os ( 05 ) e S S (overstaande hoeken) Ook is S S (overstaande hoeken) Omdat S+ S 80 S 80 S 7 en is S 7 eide lijnen liggen in het vlak F Omdat tan( ) is tan tan 5 eide lijnen liggen in het vlak G e drie zijden van G zijn allen even lang dus G is een gelijkzijdige driehoek en elke hoek is 0 eide lijnen liggen in het vlak H d Gegeven is H Met ythagoras krijg je + 7 en dus 7 89 e is een rehthoekige driehoek dus tan 89 tan tan 5 8 is een gelijkenige driehoek dus geldt 5 8 en eide lijnen liggen in vlak F tan F F dus F tan ( ) 5 F ligt in het midden van dus eide lijnen liggen in het vlak Met ythagoras volgt dus 0 7 is gelijkenig en dus 0 7 osinusregel: + os( ) os( ) + os( ) + + S us S os F 0 00 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel H 9

7 7a 8a e lijnen en liggen in het vlak Met ythagoras volgt F + F + dus 5 Omdat gelijkenig is is 5 osinusregel: + os os + en dus is e lijnen en F liggen in vlak F Met ythagoras volgt F + F + dus F 5 ij opdraht is erekend dat 0 7 Omdat F gelijkenig is is F 0 7 osinusregel: F + F F os F os F + F F F ladzijde 7 en F 78 e lijnen en H lopen zijn evenwijdig aan elkaar Lijn H snijdt deze lijnen daarom onder dezelfde hoek (Z-hoeken) tan 8 8 tan ( ) 5 en H liggen niet in eenzelfde vlak dus zijn het kruisende lijnen d en H lopen evenwijdig aan elkaar e hoek waaronder en elkaar snijden is daarom gelijk aan de hoek waaronder en H elkaar kruisen e Net als in opdraht d is de hoek waaronder en H elkaar kruisen gelijk aan de hoek waaronder en elkaar snijden tan tan ( ) 7 us en dus kruisen de lijnen en H elkaar ook onder 9 lle gevraagde hoeken liggen in het vlak GH ythagoras: G + G + 89 en Q delen G in drie gelijke stukken dus Q QG 89 8 Met ehulp van de tekening is te zien dat: tan GHQ GQ 8 tan 07 GHQ GH tan GH G 89 tan GH HG ereken eerst GH want HQ GH GHQ tan GH 8 tan 09 GH 0 9 GH us HQ GH GHQ 5 8 ythagoras: H + H ; ; H HG + G + ( 8 ) 8 5 H HG GH 90 7 d e lijnen liggen niet in één vlak dus ze kruisen elkaar Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel H G Q

8 e Je kunt HF erekenen HF is een gelijkzijdige driehoek dus HF 0 us kruisen HF en G elkaar ook onder 0 9a Het grondvlak is een regelmatig zeshoek dus zijn alle hoeken 0 F is gelijkenig F F us F ( 80 0 ) 0 F F osinusregel: 0a F + F F os F + os0 8 ythagoras: F F F Op analoge wijze kun je de andere diagonalen erekenen eide lijnen liggen in het vlak T Merk op dat de diagonalen elkaar middendoor snijden in S e hoek tussen en T is T tan T ST T tan 59 0 S dus de lijnen snijden elkaar onder een hoek van 59 0 ythagoras: T S + ST + 7 d T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T T is een gelijkenige driehoek want T T osinusregel: T + T T T os T os T T + T T T T os e T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T T TS tan 9 f T en T liggen eiden in vlak T de hoek tussen eiden is T erst erekenen met de osinusregel: + os + os 0 8 Nu de osinusregel in T : T + T T T os T os T T + T T T e dakgoten liggen 5 meter oven de grond en de nok 9 meter dus de nok ligt meter oven de dakgoten F is meter het hele dak is meter us Q heeft een lengte van ( ) meter en vooraanziht van het dak is: F Q ythagoras: F Q + (hoogte) + 5 dus F 5m ythagoras: F F dus F 58 m ythagoras: F FQ + Q dus FQ F Q 5 m 0 F T S T os Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

9 F d Uit de symmetrie van het dak volgt F m en m osinusregel: + os d e Loodreht ladzijde 8 ls de geodriehoek een hoek van 90 maakt met het tafellad e geodriehoek staat loodreht op het tafelvlak Ja de geodriehoek staat loodreht op de randen van de tafel ij het zijaanziht waarij je de geodriehoek alleen als een lijnstuk ziet lle lijnen die loodreht staan op het lijnstuk waarmee de geodriehoek het tafellad raakt a en G maken een hoek van 90 a en ; en alsmede en F snijden elkaar onder 90 en F kruisen elkaar loodreht d maakt met elke lijn in vlak GF een hoek van 90 d e os + ladzijde os staat loodreht op en staat loodreht op G e lijnen en G snijden elkaar dus staat loodreht op twee snijdende lijnen in vlak G en daarmee loodreht op vlak G zelf snijdt lijn loodreht en kruist lijn F loodreht e lijnen en F snijden elkaar dus staat loodreht op twee snijdende lijnen in vlak F en daarmee loodreht op vlak F zelf Lijn F ligt in vlak F maar F en GF staan niet loodreht op elkaar us GF staat niet loodreht op elke lijn in vlak F en daarmee niet loodreht op vlak F zelf MN loopt evenwijdig aan G Lijn HF staat loodreht op G en daarmee ook loodreht op elke lijn die evenwijdig loopt aan G dus loodreht op MN Nee lijn HF ligt in vlak HF en staat dus niet loodreht op vlak HF Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

10 a T is een gelijkzijdige driehoek met zijde zie de linkertekening T is een gelijkenige driehoek met twee zijden van en zijde T T ; punt M is het midden van T dus M TM en ook is M M us M TM Hieruit volgt dat M MT maar ook is M+ MT 80 us M MT M staat loodreht op T Ook T is een gelijkzijdige driehoek us staat ook M loodreht op T d Zowel M als M liggen in vlak M en ze snijden elkaar dus M is het loodvlak van T dat door punt gaat e 5a U T S M S ligt op de lijn en ligt dus in vlak M lle lijnen in M snijden T loodreht dus de lijn vanuit S naar T die door vlak M gaat snijdt T loodreht it is de lijn SM maakt een hoek van 90 met en de lengte van is ls we de lengte van weten dan kunnen je erekenen Lijn ligt in het vlak en staat loodreht op T T In driehoek T geldt T T Omdat T + geldt 8 8 In driehoek is en omdat T staat ook loodreht op en is 90 an is tan 5 8 T Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

11 a staat loodreht op het vlak T dus is driehoek T een rehthoekige driehoek met T + 8 en an is T T + + T F n geldt T F T F 0 5 Vanwege de symmetrie in het vlak T geldt F F 5 5 osinusregel: F + F F F os F dus os F F + F F F F enk een assenstelsel langs en F in het vlakdeel GF met als oorsprong F M G S K Het hellingsgetal van K is dan en het hellingsgetal van M is dan Omdat snijden K en M elkaar loodreht M staat loodreht op K Ook kruisen en K elkaar loodreht us staat K loodreht twee snijdende lijnen in het vlak M en daarmee is M een loodvlak van K erekenen eerst de lengtes van de zijden van M : M G + GM + 5 M MF + F ( ) 7 en + + ( ) 9 Omdat M + M is M 90 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

12 5 Hoek tussen lijn en vlak ladzijde 0 7a tan tan 5 is groter dan it komt omdat langer is dan maar de paal dezelfde lengte houdt moet daarom een grotere helling heen dan en dus is groter dan 8a 9a e lijn tan T T T tan 9 staat loodreht op omdat eiden diagonalen zijn van een vierkant ligt in vlak T Tevens wordt loodreht gekruist door T Lijn T ligt in vlak T en snijdt us staat loodreht op twee elkaar snijdende lijnen van vlak T en staat dus loodreht op T zelf d Noem het snijpunt van lijn met punt Q e projetie van T op T is dan QT T Q e e hoek tussen rie T en vlak T is TQ an is T + T + 5 en Q + Hieruit volgt sin TQ Q TQ sin T 5 ladzijde 5 e projetie van is K; de projetie van F is KL; de projetie van is K; de projetie van is L F staat loodreht op het vlak e loodrehte projetie van F op is punt e loodrehte projetie van F op het vlak KL is L e hoek tussen F en L is FL F en FL dus sin FL FL FL sin 9 F Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 5

13 d 0a d e f Noem het punt halverwege punt de loodrehte projetie van op het vlak is e hoek tussen en is In geldt In geldt tan 8 8 Voorvlak: F; linkervlak: H; ahtervlak: G; rehtervlak: G; ovenvlak: G; grondvlak: e hoeken in een kuus zijn alleen afhankelijk van de verhouding van de rien e verhoudingen tussen de rien van een kuus zijn altijd hetzelfde ongeaht de grootte van de kuus n daarmee zijn de hoeken ook altijd hetzelfde e loodrehte projetie van G op GF is G e hoek tussen G en G is G G + 5 an is tan G G tan 5 5 G 5 e ij opdraht a gevonden projeties zijn allen even groot evenals de rien van de kuus e hoek tussen G en de projeties is daarmee ook even groot Laat S het midden zijn van HF en T het midden van dan is ST de projetie van G op HF Merk op dat ST evenwijdig loopt aan G de hoek tussen G en ST is dus gelijk aan de hoek tussen G en G zijnde G Zijde G 5 tan G 5 5 G tan 55 G e loodrehte projetie van Q op vlak F is lijn Hieronder is vlakdeel H getekend het snijpunt van Q en is punt en punt R ligt halverwege Q R H Je gaat erekenen door eerst en Q RQ te erekenen tan 5 en RQ tan us 80 RQ 7 a e loodrehte projetie van R op is R e hoek tussen R en R is R Merk op dat een regelmatig viervlak is dus alle zijvlakken zijn gelijk Hieruit volgt dat R R R Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

14 a Omdat het midden is van R is Ook is R R us R en R heen paarsgewijs gelijke zijden en dus is ook R R n ook is R+ R 80 dus is R riehoek R is dus een rehthoekig driehoek ythagoras: R R us sin R R sin 5 R Noem het midden van punt S e loodrehte projetie van Q op vlak is QS e hoek tussen Q en QS is QS Merk op dat QS en gelijkvormig zijn met vergrotingsfator us QS Omdat een gelijkzijdige driehoek is is QS 0 Noem net als ij opdraht het midden van punt S e loodrehte projetie van op is S e hoek tussen en S is S e loodrehte projetie van op is S e hoek tussen en S is S Omdat alle zijden uit gelijke driehoeken estaan Q geldt dat S S dus S is een gelijkenig driehoek S S e loodrehte projetie van F op is e hoek tussen F en is F tan F F F tan 8 Omdat evenwijdig is aan is F de gevraagde hoek ereken eerst met ythagoras de zijden van F 5 ; 0 ; osinusregel: os us en kruisen elkaar onder Hoek tussen twee vlakken ladzijde 90 en zijaanziht dat loodreht staat op F us zie je F als één punt d is groter dan 90 lk een wordt op een vlakdeel gezet ls de zwaaihaak op deze wijze wordt neergezet staan de eide enen van de zwaaihaak loodreht op de snijlijn van de eide vlakdelen e hoek die ze enen van de zwaaihaak dan maken is de hoek tussen de eide vlakken Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel R S 7

15 5a d a d e 8 ladzijde e snijlijn van T met het grondvlak is Het vlak T staat loodreht op T en dus is T een standvlak an is T een standhoek r geldt dat tan T T T tan ( ) 8 dus de hoek tussen de vlakken T en het grondvlak is ongeveer 8 e snijlijn van T met het grondvlak is Trek vanuit een lijn loodreht op en noem het snijpunt van deze lijn met punt S T S Het vlak ST staat loodreht op en dus is ST een standvlak an is ST een standhoek In driehoek geldt S en ook is + 8 us 8 S S 80 5 tan ST S 5 ST us de hoek tussen de vlakken T en het grondvlak is ongeveer e snijlijn van T en T is lijn T Het vlak staat loodreht op T en dus is een standvlak an is een standhoek r geldt dat tan tan lk vlak dat door de lijn T gaat (met andere woorden: elk vlak waar de lijn T geheel in ligt) staat loodreht op vlak lle rien van de piramide zijn even lang dus T is een gelijkzijdige driehoek an is S een hoogtelijn in deze driehoek en dus staat S loodreht op T Met een analoge redenering vind je dat S loodreht staat op T S en S snijden elkaar en liggen eide in vlak S dus T staat loodreht op S e vlakken T en T Het vlak S is het standvlak en S is de standhoek Om S met de osinusregel moet je eerst de lengtes van S en S erekenen + 8 ; S S S 8 8 osinusregel: S + S S S os S os S S + S S os ( ) 9 S S 8 8 Lijn T staat loodreht op vlak S en vlak T gaat door lijn T dus vlak T staat loodreht op vlak S 90 want staat loodreht op het vlak T dus kruist of snijdt elke lijn in dat vlak loodreht Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 8

16 7a Het ovenvlak is 5 gedraaid ten opzihte van het grondvlak Het ovenvlak en het grondvlak zijn vierkanten met zijden van m Het vierkant van het ovenvlak is 5 gedraaid ten opzihte van het grondvlak Je krijgt dan als ovenaanziht (waarij elk hokje m is): e gelijkzijdige driehoeken heen zijden van m en hoogtelijn heeft dan lengte 7 7 m d Twee tegenoverliggende hoekpunten in het ovenvlak zijn + 98 m van elkaar verwijderd e onderzijde van de doorsnede heeft lengte m e zijden van de doorsnede zijn de ij opdraht erekende hoogtelijnen Je krijgt als mogelijke doorsnede: e f F Met de doorsnede die hieroven staat kun je de hoogte erekenen e ovenkant van de doorsnede is m reed de onderkant m an geldt F m us de hoogte F F 7 ( 7 7) 8 m Geruiken weer de doorsnede voor de erekening van de hoek e lijn door loodreht de doorsnede is een snijlijn van een zijvlak met het grondvlak Het zijvlak waarvan de hoogtelijn is staat loodreht op deze lijn dus het zijvlak waarin ligt is een standvlak is een standhoek In is 7 os ( ) 8 us is de gezohte sherpe hoek 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 9

17 8a 0 7 Gemengde opdrahten ladzijde 5 R 5 Q e hoek tussen het noordoosten en het zuiden is 5 dus QR 5 osinusregel: QR R + QR R QR os QR os 5 57 us is QR km osinusregel: R Q + RQ Q QR os QR Q + QR R us os QR Q QR n dus RQ 80 QR QR QR 7 9a e vloeistofspiegel van een laag water is altijd vlak én van de randen van de vloeistofspiegel is de rand waarover de vaas wordt leeggegoten Omdat de vaas een alk is vormt een vlak dat die rand evat altijd een rehthoek ls de vaas reht overeind staat (en dus nog helemaal vol is) dan x 0 ls de vaas op zijn zijde ligt (dus geheel gekanteld is en leeg is) dan x 90 us 0 x 90 e vaas is een alk met rien van dm en dm In de middelste figuur vormt de vloeistofspiegel een diagonaal van het zijaanziht us tanx x tan Omdat de vloeistofspiegel evenwijdig loopt met het oppervlak is x gelijk aan de draaihoek (Z-hoeken) 0a ekijk de hoek tussen en K dit is K e hoeken die de andere opstaande rien maken zijn hetzelfde en K liggen eiden in vlak dit vlakdeel teken je K Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel

18 d e Hierij is het punt reht onder K dus ligt in het midden van an geldt in K: tan K K K 5 K eze hoeken zijn gelijk aan de hoeken die KL KM en LM maken met F en F Omdat K L en M de middens zijn geldt: KM // F KL // F en ML // K e hoeken die de rien van het ovenvlak maken met de rien van het ondervlak zijn of 0 of 0 Het ondervlak en ovenvlak lopen evenwijdig dus de hoek die vlak LM maakt met het ovenvlak is gelijk aan de hoek die LM maakt met het ondervlak (in feite Z-hoeken in ) e snijlijn van LM met het ovenvlak is LM Vlak F staat loodreht op LM dus dit is het standvlak e standhoek is dan LF tan LF FL LF tan 5 F us het ovenvlak en LF snijden elkaar onder 5 Het grondvlak en LF snijden elkaar onder 5 KL loopt evenwijdig met M dus de hoek waaronder KL en M elkaar kruisen is gelijk aan de hoek waaronder M en M elkaar snijden it is MF MF LF 5 dus KL en M snijden elkaar onder 5 e lijnen M en L liggen eiden in vlak LM en zijn niet evenwijdig dus ze snijden elkaar Noem de hoek waaronder ze elkaar snijden α het snijpunt noem je Q Om α vinden erekenen je eerst L en M omdat geldt: α 80 L M Om L te vinden kijk je naar L ereken je alle zijden van deze driehoek en geruik de osinusregel en in L is L + 5 L ligt in de rehthoekige driehoek L us is L + L + 5 osinusregel: L + L L os L os L + L L + 5 L 5 L os 70 5 Uit de symmetrie volgt dat Q een gelijkenige driehoek is dus M L 70 5 us α 80 L M ladzijde 5 a Het aantal meter uis vind je door het aantal stukken uis te tellen: 8 stukken dus 8 meter Ja QG en zijn evenwijdig F is evenwijdig aan T en SH d FQ Q 90 want de driehoeken Q en FQ zijn ongruent e hoek tussen F en FG is gelijk aan de hoek tussen F en FG eze lijnen snijden elkaar in FG lke driehoek estaande uit drie stukken uis heeft drie gelijke zijden is dus een gelijkzijdige driehoek en heeft dan hoeken van 0 an is FG FQ + QFG 0 0 en dus is FG 0 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel M L F

19 e erst de hoek die de lijn T met het grondvlak maakt eze lijn ligt in de gelijkenige TR en daarvan is zijde R en de zijden RT T T an geldt TR os 5 7 an de hoek die de lijn T met het grondvlak maakt eze lijn ligt in de gelijkenige T In is + + en is T T an is T is een gelijkenige rehthoekige driehoek en dus is T 5 Het kind dat vanaf reht omhoog klimt gaat dus over een lijn die steiler is a M is een rehthoekige driehoek met zijdem 0 Hieruit volgt: sin xm sin x en M os xm os x (Rekenmahine op radialen) us sin( π ) 5 en M os( π ) 8 e omtrek is ( + ) + ( M + M + ) + M 5+ 8 x ( ) + M 0sinx+ 0 os x ls 0 x π dan heeft x ( ) etekenis ls x namelijk iets groter is dan π dan is os( x ) < 0 it zou etekenen dat de oven- en onderkant van de rehthoek een negatieve lengte heen en dat kan niet d e (x) ls de omtrek maximaal is dan is de afgeleide gelijk aan nul ( x) 0osx 0sin x 0 sin x tan x 0 os x 0 x tan ( ) 0 Voor x 0 is x ( ) maximaal ( 0 ) 0sin os 0 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel x

20 Test jezelf ladzijde 8 T-a Omdat 8 an geldt de verhoudingstael: 8 Hieruit volgt: 8 en dus 8 F F Met ehulp van de verhoudingstael van opdraht a ereken je eerst : 8 5 Noem F x dan is F 99 x en geldt de verhoudingstael: F 5 F x F F 5 F 99 x F e verhouding tussen eide driehoeken is 5 5 us moet gelden: F x F 99 x x ( 99 x) x + 99 us is x 99 en is x 99 7 T-a osinusregel: + os os e piloot vloog op met een hoek γ ten opzihte van het noorden ij punt aangekomen moet hij met hoek δ van het noorden af draaien om een hoek van 7 ten opzihte van het noorden te krijgen us γ 7 δ an moet δ 80 osinusregel: + os os us δ en γ 7 δ T-a en ovenaanziht van dit ojet estaat uit een gelijkzijdige driehoek met zijden waarij de middens van de zijdens met elkaar zijn veronden e middens van de zijden vormen QR lle uizen van driehoek QR heen lengte Q ligt evenwijdig aan dus de hoek waaronder en Q elkaar kruisen is gelijk aan de hoek waaronder en elkaar snijden en snijden elkaar in is een gelijkzijdige driehoek dus 0 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel R F Q 7

21 d e Q en snijden elkaar in Q en liggen eiden in vlak Q dus teken je dit vlakdeel Trek vanuit en Q loodlijnen it geeft de punten K en L op Q ligt in het midden oven dus K L ( ) an is os K K os 75 5 K K L oor de symmetrie van de figuur geldt ook LQ Q 75 5 Vanwege de symmetrie van Q geldt ook: Q Q ovendien zijn de hoeken van een vierhoek samen 0 Hieruit volgt 0 Q+ Q dus Q ( ) 5 Q en snijden elkaar onder 755 Noem het punt waar en Q elkaar snijden punt M dan snijden de lijnen met M en Q liggen eiden in het vlak Q ij opdraht d van deze opgave he je gevonden dat M 75 5 en Q M 75 5 us M 80 M M 9 T-a ls een rie loodreht op een vlak staat dan moeten alle lijnen in het vlak loodreht op de rie staan T ligt in vlak T maar staat niet loodreht op Immers: de hoek tussen eiden is T 0 want T is een gelijkzijdige driehoek us er is een lijn in het vlak T die niet loodreht op staat en dus staat vlak T niet loodreht op ls T loodreht staat op het vlak S dan geldt S 90 Omdat T een gelijkzijdige driehoek is moet S het midden zijn van T T staat loodreht op het vlak S us alle lijnen in het vlak S snijden of kruisen T loodreht ligt in het vlak S en kruist T dus onder een hoek van 90 T-5a ladzijde 9 Laat Q het snijpunt van vlak V met zijn H Q V F G Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel Q

22 d e T-a e loodrehte projetie van de lijn H op V is de lijn door QG e hoek tussen H en vlak V is daarom gelijk aan de hoek tussen de lijnen H en QG Omdat H evenwijdig loopt aan G is deze hoek ook gelijk aan de hoek tussen G en QG tan QG QG tan 5 G us de hoek tussen H en vlak V is 5 e loodrehte projetie van de lijn H op V is H G eveneens de lijn QG e hoek tussen H en vlak V is daarom gelijk aan de hoek tussen de lijnen H en QG Noem het snijpunt van H en QG punt S dan moet je SG erekenen H en QG liggen eiden in vlak HG S Uit opdraht a is ekend dat QG 5 Geruik dat GH een rehthoekige driehoek is dan is tan GH Q GH tan 5 G us SG 80 QG GH 80 SG GS us de lijn H en het vlak V snijden elkaar onder 89 H is de projetie van HF op H H Q F G e projetie van HF op H is H dus de hoek tussen HF en HH is de hoek tussen HF en H an is HF HG + FG + 5 en tan HF F HF 0 HF 5 e vlakken T en H snijden elkaar in lijn en vlak waarin je de hoek tussen T en H op ware grootte kunt zien moet loodreht staan op Kies hiervoor HG met de projeties van vlak T (lijn S) en vlak H (lijn H) waarij S het midden van GH is e hoek tussen eide vlakken is de hoek tussen H en S is HS tan HS HS HS H eide vlakken snijden elkaar onder H Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel F S G Q G 5

23 T-7a e vlakken T en T snijden elkaar in een lijn die evenwijdig loopt aan F en door T gaat en vlak waarin je de hoek tussen T en T op ware grootte kunt zien moet loodreht staan op deze lijn en vlak dat hieraan voldoet is GF In het vlakdeel GF zijn de projeties van T (lijn Q) en T (lijn Q) te zien waarij Q het midden van FG is tan QF F QF tan ( ) QF oor de symmetrie van het vierkant geldt ook QG tan ( ) us is Q 80 QG QF 5 eide vlakken snijden elkaar dus onder 5 Kies een snijlijn tussen twee vlakken en kies vervolgens een vlak loodreht op deze lijn lle rien zijn m dus dit vlak is een regelmatig ahthoek: elke stompe hoek is even groot Verdelen in driehoeken geeft zes driehoeken met totaal en dus is elke stompe hoek Kies een snijlijn tussen een vierkant en een driehoek en vervolgens een vlak loodreht op deze lijn Je krijgt dan de eerste figuur hiernaast Nu zijn ehter niet alle zijden even lang r zijn twee zijden van m twee zijden van + m en vier zijden van 8 m Met ehulp van opdraht a ereken je de hoogte van de lantaarn lle zijden in de tekening zijn m en alle shuine zijden staan onder een hoek van 5 e hoogte van een shuine zijde is sin( 5 ) e hoogte van de lantaarn wordt daarmee + + In de tekening is en is 8 an is sin n dus is (stompe) hoek tussen een driehoekig en een vierkant vlakdeel Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel F

24 T-8a Teken een aanziht van de eide vlakken in de rihting van de snijlijn an krijg je de volgende figuur waarij de vette lijnen de vlakken zijn en de dunne lijnen de loodlijnen e letters zijn alleen om onderstaande uitleg te verduidelijken Merk op dat het snijpunt van de projeties van de loodlijnen is en de projetie van de snijlijn van de vlakken en e derde hoek van is gelijk aan de derde hoek van dus us de hoek waaronder de vlakken elkaar snijden is gelijk aan de hoek waaronder de loodlijnen elkaar snijden ls een lijn twee vlakken V en W loodreht snijdt dan staan V en W evenwijdig Nee dit klopt niet ls de twee lijnen in het vlak evenwijdig zijn dan ligt een loodreht snijdende lijn ook in dat vlak Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo deel 7

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden lok - Vaardigheden Extra oefening - asis -a Het hellingsgetal is 60 = = 0,065. -a De hellingshoek is tan (0,065),6. c De hellingshoek van Raymond is tan ( 60 c 960 tan = geeft tan 6 = 600 = 600 tan 6 9

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Blok 3 - Vaardigheden

Blok 3 - Vaardigheden Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Blok - Vaardigheden ladzijde a AB + AB AB PQ + PQ PQ PQ is diagonaal van een vierkant met zijde en AB is diagonaal in een vierkant met zijde. Dus is PQ vier keer

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-1a De oppervlakte van ABC is 12 5 : 2 = 0 m 2. zijde kwadraat AB = 12 144 AC = 5 BC = 25 169 d BC = 169 = 1 m De omtrek van ABC is 5 12 1 = 0 m. BD = 12 4 = 8 m De oppervlakte van BCD is 8

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = 44 25 + 69 BC = 69 = cm De omtrek van ABC is 5 + 2 + = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: , 12 Lengte schuine zijde is. 13 Bovenlangs: 14 a

7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: , 12 Lengte schuine zijde is. 13 Bovenlangs: 14 a H7 WORTELS VWO 7.0 INTRO a Zijden grotere vierkant zijn. a Lengte kniplijn is. De oppervlakte van het grote vierkant is = 80, dus de zijden zijn 80. d ;,9 ; 7 ; 7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt:......9..0.00

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: , 12 Lengte schuine zijde is. 13 Bovenlangs: 14 a

7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: , 12 Lengte schuine zijde is. 13 Bovenlangs: 14 a H7 WORTELS VWO 7.0 INTRO a Zijden grotere vierkant zijn. a Lengte kniplijn is. De oppervlakte van het grote vierkant is = 80, dus de zijden zijn 80. d ;,9 ; 7 ; 7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt:......9..0.00

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B- Van ABC is de asis BC = en de hoogte AD =. De oppervlakte van ABC is : = 9. Van KLM is de asis KM = 5 + 9 = en de hoogte NL. B-a KN = 5 NL = KL = 5 + 69 NL = = De oppervlakte

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Gelijkvormigheid Voorkennis V-1a /A = 74, /B 1 = 18 en /D 1 = 88 /A + /B 1 + /D 1 = 74 + 18 + 88 = 180 c /B = 104, /C = 55 en /D = 1 d /B = /B 1 + /B = 18 + 104 = 1 en /D = /D 1 + /D = 88 +

Nadere informatie

H27 WORTELS VWO ; 1,96 ; 7 ; INTRO. 7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: Dan krijg je op het eind een 9.

H27 WORTELS VWO ; 1,96 ; 7 ; INTRO. 7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt: Dan krijg je op het eind een 9. H7 WORTELS VWO 7.0 INTRO a a Zijden grotere vierkant zijn. Lengte kniplijn is. De oppervlakte van het grote vierkant is = 80, dus de zijden zijn 80. d ;,9 ; 7 ; 7 a Als je onder elkaar zet en vermenigvuldigt:......9..0.00

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Piramides - uitwerkingen

Hoofdstuk 3 - Piramides - uitwerkingen Wiskunde Leerjaar 1 - periode Ruimtemeetkunde Hoofdstuk - iramides - uitwerkingen 1. iramide Hiernaast staat een regelma/ge vierzijdige piramide met (dus) een vierkant grondvlak. e hoogte van deze piramide

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 72 Voorkennis V-a Driehoek is een rehthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 5 38,5 m 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 5 30 m 2.

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 Goniometrie

Hoofdstuk 7 Goniometrie V-1a 4 Voorkennis 5 C A 5 m B C = 10 5 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-2a 76 14 K m L d M = 10 14 76 = 90 L 0 De rehthoeksn zijn de n LM en KM. De langste is KL. d LM = 0 KM = 16 KL = 900 256 +

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Oppervlakte en inhoud

Hoofdstuk 6 - Oppervlakte en inhoud Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk - Oppervlakte en inhoud ladzijde 0 V-a Er passen vierkanten in de puzzel dus één vierkant neemt -deel in eslag. De oppervlakte van de puzzel is = 44

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen Kern Vlakke figuren a Rechthoek, parallellogram, driehoek Oppervlakte rechthoek = lengte reedte = d Oppervlakte parallellogram = lengte hoogte = d Oppervlakte driehoek = asis hoogte = d a Knip de parallellogram

Nadere informatie

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv -a 34 d e -2-3a -4a //d Extra oefening - asis De ruimtefiguur heeft 8 driehoeken en 5 rehthoeken als grensvlakken. De ruimtefiguur heeft 2 rien en 2 hoekpunten. Sommige rien zijn gestippeld omdat je deze

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Ruimtemeekunde. Hoofdstuk 7

Ruimtemeekunde. Hoofdstuk 7 Ruimtemeekunde Hoofdstuk 7 a,,9 m,9 9, 9, 0 m a prisma: 0 0 m piramide: 0 : 80 m e inhoud van het prisma is keer zo groot als de inhoud van de piramide. a ilinder: 90 080 m kegel: 90 : 60 m e inhoud van

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a - Als je gedeelten van hokjes ij elkaar telt tot hele hokjes, dan passen op eiland A ongeveer 12 roosterhokjes. Op eiland B passen ijna 14 roosterhokjes. V-2a - Eiland A: ongeveer 22 m

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1 H5 Ruimtelijke figuren in het plat VWO 5.0 INTRO a een vierkant ; een lijnstuk ; een vierkant Bijvooreeld zo: Het laagste punt is het midden van het grondvlak. Snij van een kurk aan weerszijden een stuk

Nadere informatie

Goniometrische verhoudingen

Goniometrische verhoudingen Samenvatting 7.1 en 7.2 e onderstaande driehoek heeft een rechte hoek in punt. kan berekend worden als 2 zijden gegeven zijn: r geldt: o (overstaande zijde) tan = overstaande zijde aanliggende zijde =

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - asis -1a Van trap 1 is de hellingshoek 17. Van trap is de hellingshoek 14. Van trap 1 is het hellingsgetal 60 = 0,. 00 Van trap is het hellingsgetal 0 = 0,. 10 c De tekening hiernaast

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden 6.1 Kijkhoeken[1] Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; De twee rode lijnen zijn kijklijnen; De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon

Nadere informatie

H6 ROOSTERDAM 25.0 INTRO. 5 a. b,c minstens 8: hoogstens 16

H6 ROOSTERDAM 25.0 INTRO. 5 a. b,c minstens 8: hoogstens 16 H ROOTERDAM 5.0 INTRO 5 a, minstens 8: hoogstens a Meestal niet Nee Een asketal en een voetal wel; de rugyal en de andere twee niet d Nee e Ja (eide perfet rond) f Ja (nauwkeurig op shaal nagemaakt) g

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Goniometrie Opstap Tangens O-1a EF!1044 32,3 m zije kwaraat zije kwaraat KL 30 m 900 ST 20 m 400 LM 15 m 225 TW? 225 KM? 1125 SW 25 m 625 KM!1125 33,5 m TW!225 15 m O-2a Driehoek PQR is een rehthoekige riehoek omat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / 52 V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P m l Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

Praktische Opdracht HAVO 4 Wiskunde B Voorjaar 2011. Objecten

Praktische Opdracht HAVO 4 Wiskunde B Voorjaar 2011. Objecten Praktische Opdracht HAVO 4 Wiskunde B Voorjaar 2011 Ojecten Ojecten; Het gaat erom erekeningen te verrichten en tekeningen te maken van een oject (geouw of kunstoject) uit de Zaanstreek of wijde omgeving.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) Met twee latten die je

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Voorkennis: eetkundige plaatsen ladzijde 78 V-1a ligt op middelloodlijn van, dus =. Verder ligt op middelloodlijn van, dus is ook =. Hieruit volgt dat = en ligt dus ook op de

Nadere informatie

5 ab. 6 a. 22,9 25,95 cm

5 ab. 6 a. 22,9 25,95 cm Hoofdstuk 5 GELIJKVORMIGHEID VWO 5 Vergroten en verkleinen a d 5 a 9 driehoekjes, zie plaatje: a 0,5 :,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m d 6,9 0,7 m 9 e a Die van ij Die van 0 ij 0, die van

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a - Als je gedeelten van hokjes ij elkaar telt tot hele hokjes, dan passen op eiland A ongeveer roosterhokjes. Op eiland B passen ijna 4 roosterhokjes. Eiland A is dus ongeveer km groot. Eiland

Nadere informatie

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni uur

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni uur wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN c 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) c Met twee latten die

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Goniometrische verhoudingen.

Goniometrische verhoudingen. www.betales.nl Samenvatting 7.1 en 7.2 e onderstaande driehoek heeft een rechte hoek in punt. kan berekend worden als 2 zijden gegeven zijn: r geldt: o (overstaande zijde) tan = overstaande zijde aanliggende

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a d e 128 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rehthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 5 28 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 58 Voorkennis V-1a /A 5 74, /B 1 5 18 en /D 1 5 88 /A 1 /B 1 1 /D 1 5 74 1 18 1 88 5 180 c /B 2 5 104, /C 5 55 en /D 2 5 21 d /B 5 /B 1 1 /B 2 5 18 1 104 5 122 en /D 5 /D 1 1 /D 2 5 88 1 21 5 109, dus

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

vlieger rechthoek ruit parallellogram vierkant

vlieger rechthoek ruit parallellogram vierkant 4-1 Vlakke figuren 1a 6 5 4 3 2 A D C 1 B O 1 2 3 4 5 6 d Figuur ABCD is een vlieger. 2a B(5, 1) C(5, 6) D(2, 6) AD BC DC BC AD // BC AD AB 3a 4a d e A B C D E vlieger rehthoek ruit parallellogram vierkant

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 4 Hoofstuk - Ruimtefiguren Voorkennis De verpakking heeft rie vershillene vormen. De ovenkant en e onerkant heen ezelfe vorm. Hetzelfe gelt voor e voorkant en e ahterkant en voor e twee zijkanten.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 wiskunde B1, Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. it examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder?

1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder? H1 Vlakke figuren 2 BBL 1.1 Eigenschappen van vlakke figuren 1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder?

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Het edrijf rekent 35 euro voorrijkosten. 3t+ 35 = k Als de monteur 7 uur ezig is kost het 3 7 + 35 = 75 euro. d 3t + 35 = 7 3t = 3 t = 5, De monteur is,5 uur of uur en kwartier ezig geweest.

Nadere informatie

Zo n grafiek noem je een dalparabool.

Zo n grafiek noem je een dalparabool. V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) 6 5 3 mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras De stelling van Pythagoras Inhoud Inhoud... 1 Inleiding... 3 De stelling van Pythagoras... 3.1 De stelling van Pythagoras... 3. De omgekeerde stelling van Pythagoras... 3.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras...

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk Mahtsfunties ladzijde 9 Va Voor elke 0 geldt: > 0. Dus de grafiek van f ligt oven de as. 9 of De yas is symmetrieas. d Het punt (0 0). Va y 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of De oördinaten van de snijpunten

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

G&R havo B deel 3 10 Aanzichten en doorsneden C. von Schwartzenberg 1/16. 1a Het bovenaanzicht van het voorwerp is een cirkel. 3

G&R havo B deel 3 10 Aanzichten en doorsneden C. von Schwartzenberg 1/16. 1a Het bovenaanzicht van het voorwerp is een cirkel. 3 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a et van het voorwerp is een cirkel. b Je moet tegen het (rechter of linker) zijaanzicht aankijken. rechterzijaanzicht I (opg. ) vooraanzicht

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel t a Van is de oplossing t log t Van 8 is de oplossing t log 8 t Van is de oplossing t log De vergelijking heeft als oplossing log De vergelijking

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie