Hoofdstuk 6 - Periodieke functies

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden , radialen V-a y,0 O x,0 f ( x) 0 voor x, x = x, x en x f ( x) voor x en x d f ( x) voor x en x e De periode is. f De grafiek van f is symmetrish in de lijn x, s f ( ) f ( ) V-a y,,0 O x,0, f ( x) 0 voor x en x f ( x) voor x = 0 d f ( x) voor x en x e De periode is f de grafiek is puntsymmetrish in (, ), s f ( ) f ( ) 0 ladzijde V-4a De grafiek van y os x is horizontaal met fator ingekrompen. De amplitude is en de periode is. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v 9

2 Hoofdstuk - Periodieke funties De grafiek van y sin x is horizontaal uitgerekt met fator. De amplitude is en de periode is 0. De grafiek van y os x is horizontaal uitgerekt met fator en gespiegeld in de x-as. De amplitude is en de periode is. d De grafiek van y os x is horizontaal ingekrompen met fator 4 en vertiaal uitgerekt met fator. De amplitude is en de periode is 4. V-a De grafiek van y os x is naar rehts vershoven. De amplitude is, de periode is en de evenwihtsstand is y = 0. De grafiek van y sin x is naar eneden vershoven. De amplitude is, de periode is en de evenwihtsstand is y. De grafiek van y os x is omlaag vershoven. De amplitude is, de periode is en de evenwihtsstand is y =. d De grafiek van y os x is naar rehts en omhoog vershoven. De amplitude is, de periode is en de evenwihtsstand is y =. e De grafiek van y os x is horizontaal met fator ingekrompen en omlaag vershoven. De amplitude is, de periode is 4 en de evenwihtsstand is y =. f De grafiek van y sin x is eerst horizontaal uitgerekt met fator, daarna naar rehts vershoven en tot slot vertiaal uitgerekt met fator. De amplitude is, de periode is 4 en de evenwihtsstand is y = 0. V-a De periode is (, 4 4) 4, dit etekent dat de grafiek van y os x eerst horizontaal met fator is uitgerekt. De evenwihtsstand is y 0 en de top is (is ( 4 ; ) De grafiek is daarna s 4 naar rehts vershoven en vertiaal met fator uitgerekt. De volgende stappen zijn op de grafiek van y os x toegepast: Horizonaal uitgerekt met fator geeft y os x. Vershuiving van 4 naar rehts geeft f ( x) os ( x 4 ). Vertikaal uitrekken met fator geeft f ( x) os ( x 4 ). De grafiek gaat ij x 4 omhoog. Het funtievoorshrift wordt dan g( x) sin ( x ). V-7a Algemene funtievoorshrift is f ( x) d a sin ( x ) ) De evenwihtsstand is y =, s d =. De top is (, ), s a 4. De periode is 0, s en 0. 0 Dus f ( x) 4 sin x De periode is s er is een snijpunt voor x 0 9 De grafiek is symmetrish in x, s er is ook een snijpunt voor x 0 Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

3 Hoofdstuk - Periodieke funties. Harmonishe trilling, frequentie en fasevershil ladzijde 4 a In het hoogste en laagste punt is de vertiale snelheid gelijk aan 0. Aan de irkel zijn de raaklijnen daar horizontaal (helling en s snelheid is 0). In de punten (, 0 ) en (, 0 ). De raaklijnen aan de irkel zijn daar vertiaal. In, seonden draait P over radialen. Na seonde is P over 4 radialen, gedraaid. 4 De y-oördinaat van S is sin, 7. d De algemene formule is h( t) d a sin x. De amplitude is, s a. De periode is,, s 4., 4 De evenwihtsstand is y = s d = 0. Dus h( t) sin t. a Algemeen: y d a sin t. De straal is, s a =. De periode is, s en d = 0. Dus de formule wordt y sin t. Twee keer, want hij gaat zowel omhoog als omlaag passeert hij hoogte. sin t ; sin t ; met de rekenmahine vind je op het interval [ ]. t of t, 80. Dus t, 80 of t,. Als P de irkel lijft doorlopen, dan worden deze waarden van t vermeerderd met veelvouden van. ladzijde a 880, s de periode is seonde seonde vindt er trilling plaats. In seonde dan 440 trillingen. In 440 In de periode p vindt trilling plaats. Dus in p seonden is er trilling. De frequentie f is het aantal trillingen per seonde, s trilling vindt plaats in f seonden. Dus p of f. f p De amplitude wordt op den ur 0. d De amplitude lijft, maar de periode wordt nu p. Dus 00. f 0 De formule wordt u sin 00x 4a De periode p seonde. De frequentie f 0 hertz p seonde en f 0 48 hertz p seonde en f = hertz. 0 Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

4 Hoofdstuk - Periodieke funties Door de grafiek van u met 0 naar rehts te vershuiven krijg je de grafiek van v. De periode van zowel u als v is 0 0. Het fasevershil is De formule voor w is w 8 sin 80 ( t ). Het fasevershil is en de periode is Dit etekent dat s 007 en w 8 sin 80( t 007). Vergelijkingen oplossen ladzijde 7a In het plot kun je zien dat de lijn y = de grafiek van f in vier punten snijdt. Op het gegeven interval zijn er s 4 oplossingen. De periode is en de symmetrieassen zijn x, x = 0 en x. De andere oplossingen zijn x, x en x. 8a De periode is. Met de rekenmahine kun je als oplossing x = 7 vinden. Met ehulp van de symmetrieas x =, vind je de oplossing x, 7, met ehulp van de periode vind je de oplossingen x 7, 7 en x, 7, Voor oplossingen geldt ehter dat sin( x). Voor de oplossingen van de ongelijkheid moet je hier rekening mee houden. De oplossingen zijn, innen het interval, [8;,] en [,8; 7,] 9a Met de periode is Met de symmetrieas: x en de symmetrieas, x vind je de andere oplossingen 4 en x. Met de periode: x, x, x en x. Op het interval [ π] zijn er oplossingen. Op [ 40π] s oplossingen. ladzijde 7 0a De periode van f is, s passen er perioden van f in. De periode van g is, s passen er perioden van f in. Telkens als het patroon, na een periode, weer egint, starten de grafieken van f en g ook in hetzelfde punt. De periode van het patroon moet dan wel een veelvoud zijn van die van f en g. a De periode van f is en die van g is. Je kunt diret zien dat de gemeenshappelijke periode is (vermenigvuldig de periode van f met en die van g met ). De periode van f is 4 en die van g is. De periode van g past preies twee keer in die van f. De gemeenshappelijke periode is s 4. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

5 Hoofdstuk - Periodieke funties De periode van f is en die van g is 4. Het eerstvolgende veelvoud dat eide perioden gemeenshappelijk heen is. d De periode van f is en die van g is. De gemeenshappelijke periode is. a De periode van f is en die van g is. De gemeenshappelijke periode is s. Vul de vermeende oplossingen in de vergelijking in. De 4 (zie plot) oplossingen zijn juist. Bij de gegeven oplossingen krijg je nog de volgende: x ; x ; x. a De periode van g is en de periode van k is. Aangezien de kleine wijzer in uur rond is, hoort de formule k ij de kleine en de formule g ij de grote wijzer. Met de rekenmahine vind je dat tussen t = 0 en t = er twee oplossingen zijn van de vergelijking os t os t die horen ij samenvallende wijzers. De oplossingen zijn t, 0909 of t, 89. Tussen 0.00 uur en.00 uur vallen de wijzers samen om uur, minuten en 7 seonden en om uur, 0 minuten en seonden. Op het interval [ komen de wijzers elkaar keer tegen. Op het interval [ 4 s keer.. De afgeleide ladzijde 8 4a Bij de waarden van x waarvoor f een uiterste waarde heeft, is f ( x) 0. In de toppen is de raaklijn horizontaal. Dit is voor x + alle veelvouden van en x + alle veelvouden van. De grafiek heeft periode, s f ( x) voor x + alle veelvouden van. De grafiek is symmetrish in de lijn x, s f ( x ) voor x + alle veelvouden van. y,,0 O 4 x,0, f ( x) os x Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

6 Hoofdstuk - Periodieke funties a Op het interval π is de helling in elke punt van de grafiek van g ( x ) os x negatief, terwijl f ( x) sin x op dat interval positief is. Door de grafiek van de afgeleide van g( x) os x te plotten zie je dat de afgeleide g( x) sin x zou kunnen zijn. a f ( x) sin x sin x u sin x en y u os x en d y u Dus g( x) os x u os x sin x sin x os x k( x) os x sin x d u x en y os u en d y sin u Dus l( x) sin u sin x ladzijde 9 7a u x en y os u dt en d y sinu k( x) sin u sin x v t en y sin v dv en d y osv dv u( t) os u os( t) u p 78 en y 00 4 sin u dp en d y 4osu m( p) 4os u 8970 os( p 78) d u t en y u os dt en d y sinu v( t) sin u sin t e u sin x en y u ; v os x en z v os x en d y u ; d v sin x en d z v dv s( x) os x u sin x v os x sin x sin x os x 0 Geruik je de rekenregel sin f u os a en y, u 4 x os x, dan volgt diret dat s( x) 0 sin a en d y 0u da q( a) sin a 0u 7os a 0 sin a os a 7os a 4 Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

7 Hoofdstuk - Periodieke funties 8a y 4 O x De exate nulpunten zijn x, x en x g( x) sin x > De rihtingsoëffiiënt van de raaklijnen in de nulpunten zijn: g ( ) sin ; g ( ) en g ( ) De helling is het grootst in het punt (, 0). De helling is daar, s er kan geen punt op de grafiek van g zijn waar de helling groter is. 9a f ( x) os x Los op os x. Met de rekenmahine vind je x, 7 en f (, 7) 98. In het punt (. 7; 98 ) is de helling. De grafiek is symmetrish in de lijn x. De helling is gelijk aan voor x, 7, 77. Dus in het punt (, 77; 98 ). f ( ). De raaklijn heeft dan als vergelijking y x invullen van x en y = 0 geeft 0, s. De vergelijking is y x 0a De periode is en de frequentie f Hz. u( t) os t. De grootste snelheid naar rehts is m/se op t = 0 en alle veelvouden van. De grootste snelheid van m/se naar links is op t + alle veelvouden van. ost 0 voor t + alle veelvouden van. d u( 00), 04 en u ( 00), 7. Op t = 00 heeft de slinger een uitwijking naar links van,04 m en eweegt met een snelheid van,7 m/se naar rehts. a De periode is seonden. Voor een persoon in rust is dit realistish. 4 u 4 t en y 0 sin u dt 4 en d y 0 osu p( t) 4 0 os u 8 os 4t p ( ) 7, 77. De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. De maximale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p( t). Het maximum en minimum van p( t) zijn 8 en 8 s de maximale snelheid waarmee de druk verandert is, luhtdruk/se op de tijdstippen t = 0 en alle veelvouden van. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

8 Hoofdstuk - Periodieke funties.4 Shommeling en trend ladzijde 0 a Het aantal werklozen is ij het laatste meetpunt ongeveer 0 izend. Deze meting was in het eerste kwartaal van 00. De lijn gaat door ( 00) en (, 400). Dus q 00 en het funtievoorshrift wordt A( t) pt 00. Hierin invullen t = en A( t) 400 geeft 400 p 00 en p 00 4, 7. Dus A( t) 4, 7t 00. Als A( t) 0, s als t 00 0 kwartalen na het vierde kwartaal van , 7 Dus in het jaar 04. a De rehte lijn wordt ahtereenvolgens gesneden voor t = 9 en t = 8. De periode is ( 8 9) 8 en. 9 8 Het funtievoorshrift wordt A( t) 4, 7t sin t. 9 De geplotte grafiek is regelmatig in vergelijking met de grafiek uit het oek. De trendlijn is ehter dezelfde. Snijden met de lijn y = 0 geeft het tijdstip waarop het aantal werklozen eneden de is gekomen. Met interset vind je t 8 4, s eind 007. ladzijde 4a De populatie neemt niet gelijkmatig af, maar exponentieel. T is een exponentiële funtie met startwaarde 9000 en groeifator 9. t T( t) De shommeling is jaarlijks, s de periode is en. t B( t) sin( t). d Met de rekenmahine vind je dat B( t) 0 voor het eerst optreedt ij t 7 7, s na 7 jaar. Het is lastig om met interset het snijpunt met de x-as te erekenen. a De grafiek van T gaat door de punten ( 0) n (, ). De helling is 0, s T( t) t 0 S( t) is maximaal als t, s t. De periode is, s op het interval [ ] 4 is S( t) maximaal voor t, t, t, t en t f ( t) T( t) S( t) os t (met de kettingregel). d Voor t heeft S ( t ) een maximum, maar f ( ) 0, s heeft de grafiek van f 4 4 voor t geen maximum. 4 e De helling is, s de grafiek stijgt en het maximum moet dan nog komen. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

9 Hoofdstuk - Periodieke funties. Gemengde opdrahten ladzijde a f ( x) os x en f ( 0). De raaklijn in (0) is y x, s a =. Voor a heeft de lijn één snijpunt met de grafiek van f (voor a = is het een raakpunt). In de grafiek kun je zien dat voor negatieve waarden van a er één kan optreden. Zodra de lijn raaklijn wordt komen er gemeenshappelijke punten ij. Voorwaarden voor raken zijn f ( x) y( x) en f ( x) y( x). Dus sin x ax en os x a. Door os x a in te vullen in de eerste vergelijking krijg je sin x xos x. Plot de grafieken van y sin x en y x os x. Met interset vind je als negatieve oplossing x 4, 494. Dus voor a os( 494) 7 vind je, ehalve ( 0), nog twee raakpunten. Voor a 7 en voor a heeft de lijn y ax één snijpunt met de grafiek van f. De grafiek van f is symmetrish in het punt (0). Als de lijn de grafiek van f, ehalve in (0), nog in een ander punt snijdt, dan snijdt hij ook in het spiegelpunt. Dus twee snijpunten krijg je nooit. d Uit vraag volgt dat het aantal snijpunten altijd oneven is. y,,0 A B 0 O 0 x,0, De raaklijn (vanuit ( 0)) in punt A heeft vijf snijpunten met de grafiek van f en die in punt B negen. De lijnen waarvan de helling kleiner is dan die van de lijn door A en groter dan die door B, heen zeven snijpunten met de grafiek van f. De x-oördinaat van A en die van B zijn ook weer oplossingen van de vergelijking sin x x os x. Met interset vind je (voor positieve x) x A 7, 7 en x B 4, 0. Dus voor de raaklijnen door A en B krijg je a os 7, 7 8 en a os 4, 0 07 Er zijn zeven snijpunten als 07 a 8. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v 7

10 Hoofdstuk - Periodieke funties 7a Voor een niet shrikkeljaar is de periode van zonsopkomst dagen. De periode van O is. Dus t is in dagen. Het meest vroege tijdstip is O,, 4, uur, s om 04.8 uur. Het meest late tijdstip is O,, 8, 7 uur, s om 08.4 uur. Plot de grafiek van O en de lijn O 7. Met interset vind je dat voor t, 9 en t 7, de zonsopgang om 7 uur is. Ook kun je in het plot zien dat tussen deze tijden de zonsopgang vroeger is dan 7 uur. De zonsopgang is in 7 0 dagen vroeger dan 7 uur. d u ( t ) en y, os u, dt dy en, sin u. Dus O( t) u 4, 4, sin sin ( t ) augustus komt overeen met t en oktoer met t 7 O ( ) 04 en O ( 7) 07, s de zonsopkomst neemt op oktoer sneller toe dan op augustus. 8a De gemeenshappelijke periode is y O 4 8 x 0 Met de rekenmahine vind je één van de toppen (,7;,0). De evenwihtsstand is de x-as en de uitwijking is dan,0. Dus a, 0 en d = 0. Bij x gaat de grafiek na de oorsprong weer voor het eerst omhoog, s. De periode lijft, s verandert niet. Het funtievoorshrift wordt s( x), 0 sin ( x ). ladzijde 9a d e 8 De oude standaardtoon heeft periode, s Evenzo vind je voor de nieuwe a dat 880. De perioden van de twee tonen zijn niet gelijk. De resulterende toon die je krijgt als je ze samen laat klinken zal niet steeds dezelfde uitwijking heen. In de plots kun je zien dat de tonen elkaar versterken, maar ook verzwakken. Dus is er zweving. In je laatste plot kun je zien dat op het interval [0; ] het patroon twee keer voorkomt. De periode is dan. Er geldt voor elke a dat a. a 440 Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

11 Hoofdstuk - Periodieke funties f 0 en g Uit vraag d volgt dat de periode vermoedelijk zal zijn. 8 Uit a volgt dat a. Op dezelfde manier vind je = ICT De afgeleide ladzijde 4 I-a Kies op het hoofdmenu voor Extra Hellingen. Voor x krijgt de helling voor x = 0 de waarde 84 en voor x de waarde 998. Neem x 00 x 0, helling 0 0 De hellingsgrafiek hoort ij de funtie f ( x) os x. I- Met x krijgt de helling voor x = 0 de waarde 497 en voor x de waarde 0. Neem x 00, dan wordt de tael: x 0, helling De hellingsgrafiek hoort ij de funtie f ( x) sin x. I-a Bij positieve is er sprake van een vershuiving naar rehts. Bij negatieve krijg je een vershuiving naar links. De helling vershuift mee en is even groot als de helling in het oorspronkelijke punt. Zowel de grafiek als de hellingsgrafiek vershuiven eiden even ver naar links of naar rehts. Dus de afgeleide van f ( x) sin( x ) is dan f ( x) os( x ). I-4a d veroorzaakt een vershuiving omhoog ( d 0 ) of omlaag ( d 0 ). Vertiale vershuivingen heen geen invloed op de helling. Aangezien de helling niet verandert is van zowel f ( x) d sin x als van g( x) sin x de afgeleide funtie f ( x) g( x) os x. I-a A veroorzaakt een vertiale vermenigvuldiging (uitrekken als a, inkrimpen als 0 a en een spiegeling in de x- as als a 0 ) De helling van y sin x moet je met a vermenigvuldigen om de helling van f ( x) a sin x te krijgen. dy f '( x) a a os x. ladzijde I-a veroorzaakt een horizontale vermenigvuldiging (inkrimpen als, uitrekken als 0 en een spiegeling in de y-as als 0 ) Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v 9

12 Hoofdstuk - Periodieke funties De helling in het punt ( x, y ) van y sin x moet je met vermenigvuldigen om de helling in het punt ( x, f ( x )) van f ( x) sin x te krijgen. Bij horizontaal vermenigvuldigen met fator van de grafiek van y sin x wordt de helling keer zo groot en de periode keer zo klein, s f '( x) os x. I-7 u x en y sin u en d y os u, s f ( x) os u os x. dt I-8a f ( x) os x d f ( x) os x f ( x) sin x e f ( x) sin x f ( x) sin x f f ( x) os( x 4) I-9a u 4( x ) en y sin u 4 en d y os u, s f ( x) 4 os u os 4( x ). g( x) sin x I-0a u sin x en y u os x en d y u, s f ( x) os x u sin x os x. u os x en y u sin x en d y u, s f ( x) sin x u sin x os x. I-a f ( x) os x (zie CI-). De helling in het punt P(0) is f ( 0) en in het punt Q(; ) is de helling f ( ) 0. De helling van lijnstuk PQ is y 0 x 0 0., Het gemiddelde van de helling in P en in Q is 0 en is niet gelijk aan de helling van lijnstuk PQ. d De lijn y x lijkt de grafiek te raken voor =. Het raakpunt is dan T( 8; 77) f ( 8), 00. Het punt T( 8; 77 ) voldoet heel goed. e De raaklijn in T aan de grafiek van f heeft als vergelijking y x. Invullen x = 8 en y = 77 geeft 77 8 ; Dus de raaklijn heeft als vergelijking y x. Het vermoeden = uit vraag d is redelijk nauwkeurig. I-a De periode is se. Voor een persoon in rust is dit redelijk. 4 Er is sprake van uitademen als de grafiek daalt, de druk in de longen wordt minder. Als de persoon inademt neemt de druk toe. In de grafiek is dat zihtaar in het stijgende deel. Zowel het in- als uitademen urt, seonden. 0 u 4 t en p 0 sin u dt 4 en d p 0 os u, s p( t) 4 0 os u 8 os 4 t. p ( ) 7, 7, De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

13 Hoofdstuk - Periodieke funties d De maximale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p( t). Het maximum en minimum van p( t) zijn 8 en 8 s de maximale snelheid waarmee de druk verandert is, luhtdruk/se. Test jezelf ladzijde 8 T-a De maximale uitwijking is gelijk aan de amplitude en is mm. De periode is De frequentie is dan 00 hertz. 00 De grafiek van de ander stemvork is 00 naar rehts vershoven tov de grafiek van de eerste stemvork. De periode is s de vershuiving is 0, 00 deel van de 0 periode. Het fasevershil is s. T-a De periode van f is 4 en die van g is. De periode van f is vier keer de periode van g, s de gemeenshappelijke periode is 4π. Het aantal oplossingen op [ 4π] is gelijk aan het aantal snijpunten van de twee grafieken op dit interval. Dat zijn er zeven. Het interval [ 0π] evat, gemeenshappelijke perioden van 4π. Op het interval [ π] zijn er 4 oplossingen, s zijn er totaal oplossingen. T-a u ( x ) x 7 en y sin u en d y os u, s f ( x) os u os ( x ). u sin x en y u os x en d y u,, s g( x) os x, u, os x sin x. u t en y os u dt en d y sin u, s h( t) sin u sin( t). d u sin x en y u ; v os x en z v os x en d y u ; d v sin x en d z v. s k( x) os x u ( sin x) v sin x os x sin x os x 4 sin x os x. ladzijde 9 T-4a De lijn gaat door ( 8) en (8, 0). De helling a 0 8, en De periode is één jaar, s q. De amplitude is ongeveer en de grafiek zal op tijdstip t = 0 onder de trendlijn zijn, s p =. Plot de grafiek van C( t) en de lijn y = 400. Met interset vind je dat voor t 4 de grafieken elkaar snijden. Dus vanaf zal de onentratie hoger zijn dan 400 ppm. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v

14 Hoofdstuk - Periodieke funties T-a De periode is se en de frequentie is hertz. De amplitude is 0 en de evenwihtsstand is 0. De ovendruk is dan = 0 mm kwik en de onderdruk is mm kwik. De evenwihtsstand is De frequentie is De amplitude is , s de periode is 0 Het funtievoorshrift is p( t) 4 0 sin t. en T-a De periode van f is. Als de periode van g gelijk is aan, dan is de gemeenshappelijke periode. Dit geldt ook als de periode van g gelijk aan zou zijn. Is de periode van g gelijk aan, dan is de gemeenshappelijke periode ook. De periode van g zou,, 9 of 8 kunnen zijn. Bij of is de gemeenshappelijke periode weer. Blijft over 9 of 8. Als de amplitude weer is en de periode 9 dan wordt het funtievoorshrift g( x) sin x T-7a Als het fasevershil groter zou zijn dan dan is de vershuiving meer dan een halve periode naar (ijvooreeld) rehts. Dit etekent dat de grafieken minder dan een halve periode (naar links) uit elkaar liggen. Dus is dat het fasevershil. De periode van f is en die van g is. Een gemeenshappelijke periode is niet mogelijk omdat in veelvouden van altijd een veelvoud van zijn. In veelvouden van komt de fator niet voor. Moderne wiskunde 9e editie Havo B deel Noordhoff Uitgevers v