Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a = = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt: het hoogtepunt V-a e zwaartelijnen gaan door één punt en ook de hoogtelijnen gaan door een punt, maar het hoogtepunt ligt nu uiten de driehoek. 83

2 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e zwaartelijnen gaan weer door één punt. Ook de hoogtelijnen gaan door één punt, namelijk punt. V-3a, 5 d 8 Nee want de figuur is niet symmetrish in of 5 5 Ja want een ruit is symmetrish in de diagonalen 84

3 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e 5 8 Nee want de figuur is niet symmetrish in of ladzijde 3 V-4a Ruit, vlieger, vierkant Ruit, parallellogram, rehthoek, vierkant eide diagonalen delen de hoeken middendoor: Ruit, vierkant én diagonaal deelt de hoeken middendoor: Vlieger V-5a, R Q 5 5 P d PQR is een rehthoek, want: P // en RQ // dus P // RQ PQ // en R // dus PQ // R Omdat geldt P PQ en dus is QP = 90 Ook de overige hoeken van PQR zijn reht. R 7 Q 70 P 5 PQR is een parallellogram, want: P // en RQ // dus P // RQ PQ // en R // dus PQ // R 85

4 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen V-6a, Parallellogram, parallellogram, ruit en vlieger K M K M L K L K L M Rehthoek KLK M, vlieger KLK M V-7a d e Ja want in een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig. Ja want alle hoeken zijn reht (rehthoek) en alle zijden zijn even lang (ruit). Ja, spiegelen in de diagonalen laat zien dat alle zijden even lang zijn. Ja want een ruit is symmetrish in eide diagonalen. Nee, zie ovenstaande tekening met en dus is vierhoek geen vlieger. 5. Gelijkvormigheid 86 ladzijde 3 a 3 = 38 = = = 4

5 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Overstaande hoeken zijn gelijk. en gestrekte hoek is 80. F-hoeken zijn gelijk. Z-hoeken zijn gelijk. a Overstaande hoeken zijn gelijk. en gestrekte hoek is 80. = = 80 4 = 38 3 = = 4 4 = = = = = = = = 80 7 = ladzijde 33 3a Fator 4 want = 3 = = 8 = en = met als gevolg // 4a = = ~ en dus Fator 4 = en dus is = 8 = 7 en is = 5: = 0 6 F F d e F F = = 0 5 = 3 87

6 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5a = = en = dus ~ = 7 5 = 8 en 7 = 8 5 (via oppervlakte van) dus is = 8 5 = = 5 ( 7 ) = 3 en = 7 3 = 3 d = = = en 90 dus is ~ tellingen en definities ladzijde 34 6a Z-hoeken = = + + = 80 3 d e drie hoeken van een driehoek zijn 80 ladzijde 35 7a Teken vanuit één hoekpunt de eide diagonalen. r ontstaan dan drie driehoeken. e hoekensom van een vijfhoek is dus 3 80 = 540 Teken vanuit één hoekpunt de vier diagonalen. r ontstaan dan vijf driehoeken. us is de hoekensom van een zevenhoek 5 80 = 900 Voor een n-hoek is de hoekensom ( n ) 80 8a + = 80 (gestrekte hoek) = 80 = ( + + ) = + 9 = + (stelling van de uitenhoek ij) = + = + = + ( + ) = + + 0a = + = + = α+ γ = 360 = 360 β ( α+ γ) ( α+ γ) = 360 β α γ = en + = = α (uitenhoek) dus = = α = en + = = β (uitenhoek) dus = = β = α+ γ + β ongruente driehoeken ladzijde 36 a Nee, 3+ 7< 88

7 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5 m 7 m 9 m Ja 3a m = 00 ; is ongeveer 3,9 m en is ongeveer,5 m F 4 m 60 5 m ladzijde 37 4a M M 4 m 4 m K 30 6 m L Nee, alleen de volgende figuur is mogelijk. M 8 K 6 L 89

8 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen lleen de volgende figuur is mogelijk M 57 K L 5a 5 m 83 7 m ZHZ 6 = en = en = us ( ZZZ) = is issetrie. 7 M = = = dus is een ruit en delen de diagonalen elkaar loodreht middendoor. aarmee is de rode lijn de middelloodlijn van lijnstuk. 90

9 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.4 en ewijs aanpakken ladzijde 38 8a - Met = en de gegevens vind je dat RP TQ ( ZHH) e hoeken van de driehoeken zijn gelijk dus moet er nog een tweetal gelijke zijden zijn. d Uit RP TQ volgt dat T = R Omdat P = Q moet gelden PT = RQ want PT = P T en RQ = Q R e ewijs: T = R ( = 90 ) P = Q ( = 90 ) PT PT = QR ( opdraht d) QR ( HZH) us P = Q ladzijde 39 9 Gegeven: met = en punt P op issetrie van Te ewijzen: R = Q ewijs: = ( gegeven) P = P ( P op issetrie) P P ( ZHZ)...( ) P = P P = P ( overstaande hoeken) P = P () RP QP ( HZH) R = Q P = P () 0 R T P Q Gegeven: PQR met hoogtelijnen P = QT Te ewijzen: PQR is gelijkenig 9

10 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen ewijs: P = QT ( gegeven) = T ( = 90 ) PR QTR ( ZHH) R= R us PR = QR en is PQR gelijkenig a - Gegeven: Trapezium met // en = Te ewijzen: = ewijs: Teken // dan is een parallellogram en = an is = = en dus = 80 = 80 = = ( gegeven) = ( ZHZ) = = ( ewezen) a Vermenigvuldigen vanuit met fator geeft dat het eeld van samenvalt met en dat het eeld van samenvalt met. us is ~ en // an is = en = waarmee ~ Omdat : = : is : = : = : Omdat = = = is gelijkenig en is 3 3 = = ( gegeven) = ( ewezen) ( ZHZ) = = us geldt = = = en daarmee is gelijkenig. 9

11 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.5 Gelijkwaardige definities ladzijde 40 3a en ; en ; en komt in eide driehoeken voor = en = (Z-hoeken) us (HZH) geldt = en = d Gegeven: Vierhoek met = en = Te ewijzen: evenwijdig en evenwijdig ewijs: Uit het gegeven volgt (ZZZ) us is = en dus is // (Z-hoeken) Ook is = en dus is // (Z-hoeken) ladzijde 4 4 Gegeven: Vierhoek met vier hoeken van 90 en vier gelijke zijden Te ewijzen: In zijn de diagonalen even lang, delen elkaar middendoor en staan loodreht op elkaar. ewijs: Vier gelijke zijden dus is een ruit. In een ruit delen de diagonalen elkaar loodreht middendoor. Omdat ( ZHZ)geldt = Gegeven vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn, elkaar middendoor delen en loodreht op elkaar staan. Te ewijzen: e vier hoeken zijn 90 en de zijden zijn even lang. ewijs: 93

12 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e diagonalen zijn even lang en delen elkaar loodreht middendoor. us zijn de hoeken ij allemaal 90 en geldt = = = an is ( ZHZ Hieruit volgt dat = = =, dus alle zijden van vierhoek zijn even lang. Omdat = is = = 45 naloog is = 45 en dus is = 90 naloog = = = 90 us eide definities zijn equivalent. 5a - In een ruit snijden de diagonalen elkaar loodreht, dus wanneer de issetries niet loodreht op elkaar staan kan PQR zeker geen ruit worden. Noem het snijpunt van de diagonalen T. an geldt PT RT en QT T ( HZH en ruit is een vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn d Te ewijzen: PQR is een ruit ewijs: Uit PT RTvolgt PT = RT Uit QT T volgt T = QT Verder is T = 90 us is PT RT PTQ RTQ( ZHZ us zijn alle zijden van PQR even lang is dus is PQR een ruit 6a P R Q Gegeven: is een parallellogram Te ewijzen: e vier issetries sluiten een rehthoek in. ewijs: // + = 80 us α+ δ = 90 en moet = 90 naloog ewijs je dat de overige hoeken van PQR elk ook 90 zijn en daarmee is PQR een rehthoek. Gegeven: en vierhoek waarvan de issetries een rehthoek insluiten Te ewijzen: Vierhoek is een parallellogram ewijs: Omdat = 90 geldt α+ δ = 90 en dus + = 80 zodat // naloog geldt ook dat en evenwijdig zijn us is een parallellogram 94

13 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 7a Via de hoekensom ( 360 ) in een vierhoek ewijzen dat = = = 90 dus moet + = 80 Ook is + = 80 us geldt = ewijs: = ( gegeven) = ( gegeven) ( ZHZ ) = ( ewezen) us = 5.6 Vermoeden en ewijzen ladzijde 4 8a - 8d Het vermoeden is: = ladzijde 43 9a Trapezium want // - r zijn twee mogelijkheden. d an geldt = en = omdat een parallellogram is Omdat en op de irkel liggen geldt ook = us zijn alle zijden even lang en is een ruit 95

14 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 30a, R Q P Parallellogram - d ewijs: Teken de diagonalen en an geldt PQ// en R// dus PQ//R, want P en Q zijn middens. Ook geldt P// en QR// dus P//QR In vierhoek PQR zijn de overstaande zijden evenwijdig en dus is PQR een parallellogram e an moeten de diagonalen van vierhoek loodreht op elkaar staan want de zijden van een rehthoek staan loodreht op elkaar f an moeten de diagonalen van vierhoek even lang zijn want P en RQ zijn elke de helft van en PQ en R zijn elk de helft van 3a HPQ = HQP FQen P heen gelijke hoeken want eide heen een hoek van 90 en een hoek gelijk aan dus heen ze ook de derde hoek gelijk ewijs: HPQ = P = 90 = FQ = HQP us is driehoek PHQ gelijkenig met PH = HQ 3 ewijs: = ( Z hoeken) = ( = 90 ) ( HZH ) = ( gegeven) us is = en daarmee is gelijkenig met = 5.7 Met de omputer ladzijde 44 33a, m l 96

15 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen d 34a- e issetries snijden elkaar loodreht ewijs: + = 80 want l // m,, Gegeven is dat = en = us + = 90 en daarmee is = 90 F 3 G d - e Het vermoeden is : FG = G f Gegeven: = = en = 3 Te ewijzen: FG = G ewijs: Volgens de stelling van de uitenhoek geldt FG = + Ook is GF = + = + = + 3 us FG = GF en dus is FG gelijkenig met FG = G 35a, - = d Te ewijzen: = ewijs: = ( is symmetrieas) en = ( Z hoeken ) us = en dus is gelijkenig met = 97

16 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen ladzijde 45 36a - e issetries zijn evenwijdig d F Te ewijzen: F // ewijs: Met de hoekensom in een vierhoek vind je + = 80 us + = 90 Ook geldt + = 90 Uit het voorafgaande volgt = en dus (Z-hoeken) is // F 37a - r zijn nog vershillende mogelijkheden: is de tophoek en = = 65 In dit geval is = 90 is de tophoek en = = 50 In dit geval is = 75 is de tophoek en = = 50 In dit geval is = 05 e onstrutie voltooi je door voor elk van deze gevallen een lijn door met de juiste hoek te tekenen en deze lijn te snijden met de enen van

17 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 38a Vermoeden: e sherpe hoeken ij en zijn even groot, dus is gelijkenig, dus = ewijs: = 90 en = 90 dus = = = ewijs: = 80 = 80 Omdat = volgt uit ovenstaande dat = = = d ewijs: = 80 = 80 Omdat = volgt uit ovenstaande dat = = = 99

18 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.8 Gemengde opdrahten ladzijde ewijs: Vierhoek R is een parallellogram want de diagonalen R en delen elkaar middendoor. us R// Ook vierhoek is een parallellogram (diagonalen en delen elkaar middendoor) dus // us is R een gestrekte hoek en liggen, en R op één lijn 40a Gegeven: < 90, < 90, Q Q en P P Te ewijzen: = ewijs: = 90 = 90 = Ze zijn gelijk (opdraht a) of samen 80 zoals in de volgende figuur T Geruik de hoekensom van een vierhoek + = 360 T = = 80 00

19 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 4a Q P e driehoeken en heen zijde gemeenshappelijk. Omdat de oppervlakten van eide driehoeken gelijk is moet gelden P = Q an geldt = ( overstaande hoeken ) P = Q ( ewezen) P Q ( ZHH) P = Q ( = 90 ) us geldt = en is het midden van Zowel voor als voor is Q de hoogte op respetievelijk. ls de eide driehoeken dezelfde oppervlakte heen dan moet ook de asis dezelfde lengte heen. us = In opdraht a is ewezen dat het midden is van, nu is ewezen dat het midden is van. us delen de diagonalen van vierhoek elkaar middendoor en daarmee is een parallellogram 4a, a K Omdat = is = = Ook is = us ~ an geldt = = Gegeven is dat = dus = : = : K d sinα = K = sin α e Oppervlakte = K = sinα = sin α e hoogte van eide driehoeken is gelijk, namelijk de afstand van tot zijde, dus K us verhouden de oppervlakten zih als de lengten van en 0

20 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen f Oppervlakte = sin en Oppervlakte = a sin Geruik makend van het resultaat van opdraht e vind je: Opp. sin = = Opp. a = : = : sin a ladzijde 47 43a R y ky x P kx Q R y ky x Q kx P In eide gevallen toon je gelijkvormigheid aan door driehoek vanuit met fator k te vermenigvuldigen waardoor driehoek ontstaat an zijn driehoek en driehoek PQR twee ongruente driehoeken (geval ZHZ of ZZR) en dus zijn de driehoeken en PQR gelijkvormig Q P P = Q = 90 en Q : = P : = : dus volgens het tweede kenmerk zijn de driehoeken Q en P gelijkvormig 0

21 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 44a ewijs: M = M ( straal) TM = TM ( = 90 ) TM TM ( ZZR) TM = TM TM = TM T = T = M ( gegeven) T = MT ( = 90 ) T TM ( ZHZ) T = TM Uit ovenstaande volgt T = T 3 Leg het apparaat zoals in de figuur in een hoek neer en teken een eerste punt Noem dit punt Keer het apparaat om en leg het op dezelfde manier neer en teken weer een punt Noem dit punt Teken T en T, de trisetries van T 0 y y y x 0 x x Verdeel eerst, de stompe hoek in drie gelijke delen zoals ij opdraht e gezohte driedeling van de overstrekte hoek geeft x+ y=0 onstrueer zoals aangegeven linksom en rehtsom twee hoeken van 0 om de trisetries van de overstrekte hoek te vinden 45a 60 F Het vermoeden is : = = Mogelijk en 03

22 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen d = = + 60 = ( in gelijkzijdige driehoek) = ( in gelijkzijdige driehoek) ( ZHZ ) = ( ewezen) Uit deze ongruentie volgt dat = e Via de ongruentie van en F = ( in gelijkzijdigedriehoek) = F ( in gelijkzijdigedriehoek) F ( ZHZ ) = F ( = + 60 ) Uit deze ongruentie volgt dat = F f = en = F dus = F g Vermoeden: de hoeken zijn 60 h ij een rotatie van 60 om gaat over in en in. us gaat over in. ij deze rotatie gaat lijnstuk over in lijnstuk dus maken deze twee lijnstukken een hoek van 60 met elkaar. Op dezelfde wijze kun je ewijzen dat de andere hoeken 60 zijn. Test jezelf ladzijde 50 T-a ewijs: H = H ( overstaande hoeken) = ( = ) H 90 ~ H ( hh) Omdat de driehoeken en gelijkvormig zijn ( gemeenshappelijk en eide heen een hoek van 90 ) geldt: = en dus geldt ook = T- Gegeven: met middelloodlijn m van en issetrie van Te ewijzen: = + 90 ewijs: = + (stelling uitenhoek) dus = = 90 = 90 ( 80 ) = + 90 T-3a

23 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, ongruentiegeval ZHH F e driehoek ligt niet eenduidig vast, want F en F voldoen eide aan alle gegevens. ZZH is geen ongruentie geval. T-4a - Nee, ongruentie is geen optie want je weet niets over zijden. Overstaande hoeken zijn gelijk. F = H en GF = GH d Te ewijzen: F = GF ewijs: F = H = 80 H = 80 HG = GH = GF ladzijde 5 T-5 Noem de definities van links naar rehts X, Y en Z ( X Y) tel heeft vier rehte hoeken Omdat = = 90 geldt // Omdat = = 90 geldt // us is een parallellogram met een rehte hoek ( Y Z) tel is een parallellogram met een rehte hoek Veronderstel dat = 90 Omdat // is ook = 90 = ( gemeenshappelijk) = ( is parallellogram) ( ZHZ ) = ( = 90 ) n dus geldt = en daarmee zijn de diagonalen even lang. ( Z X) tel is een parallellogram met = an ( ZZZ) en dus = Omdat // geldt + = 80 us = = 90 naloog = = 90 ewezen is nu dat X Y Z X en daarmee de equivalentie van de drie definities 05

24 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen T-6a Twee lijnen zijn evenwijdig als er geen gemeenshappelijk punt is s l Q m P Gegeven: Twee lijnen l en m worden gesneden door een derde lijn s waarij er gelijke Z-hoeken zijn, dus Q = QP Te ewijzen: e lijnen l en m zijn evenwijdig ewijs: Veronderstel dat l en m snijpunt heen. Volgens de stelling van de uitenhoek geldt dan: Q = QP + dus geldt Q > QP it is in tegenspraak met het gegeven Q = QP onlusie: l en m heen geen snijpunt en dus zijn l en m evenwijdige lijnen T-7a - Vierhoek KLMN lijkt een parallellogram Je lijft steeds een parallellogram zien d Gegeven: Vierhoek KLMN volgens de opgave met KL//MP Te ewijzen: KLMN is een parallellogram ewijs: Neem MPQ = α Omdat NP = NK ( stralen ) is NPK gelijkenig en dus NPK = NKP = α Omdat MP = MQ ( stralen ) is MPQ gelijkenig en dus MPQ = MQP = α Uit het voorafgaande volgt: NKP = MQP en dus (F-hoeken) is MQ//NK Tenslotte is gegeven dat KL//MN us zijn in vierhoek KLMN de overstaande zijden evenwijdig en daarmee is KLMN een parallellogram T-8 Q R P Gegeven: Parallellogram met middens P en Q op respetievelijk 06

25 Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen a d e Te ewijzen: PQ is een parallellogram ewijs: PQ is een parallellogram als de overstaande zijden even lang zijn = ( overstaande zijden in parm.) Q = P ( helftoverstaande zijden in parm. ) Q P ( ZHZ) Q = P ( overstaande hoekeninparm. ) us Q = P Ook geldt P = = = Q us zijn in vierhoek PQ de overstaande zijden even lang en daarmee is PQ een parallellogram Te ewijzen: PQ is een parallellogram ewijs: P = Q P = P P QP ( ZHZ) = PQ P = QP ( Z-hoeken) Ook geldt P = Q en dus zijn in PQ de overstaande zijden gelijk en daarmee is PQ een parallellogram Te ewijzen: PR is een parallellogram ewijs: naloog aan opdraht a is PQ een parallellogram dus zijn R en P evenwijdig en even lang. an is PR RP ( ZHZ) en dus PR = RP en (Z-hoeken) daarmee P//R onlusie: in vierhoek PR zijn de overstaande zijden evenwijdig en dus is PR een parallellogram Te ewijzen: PRQ is een parallellogram ewijs: Uit opdraht a volgt dat PR//Q naloog aan opdraht a kan aangetoond worden dat PQ een parallellogram is en dus dat P//QR us is PRQ een parallellogram Gegeven: PRQ is een ruit Te ewijzen: is een rehthoek ewijs: ls PQR een ruit is dan staan PQ en R loodreht op elkaar Omdat PQ//// en R//// staan ook en loodreht op elkaar aarmee is een rehthoek T-9a an is een rehthoek. an is een ruit. 07

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Voorkennis: eetkundige plaatsen ladzijde 78 V-1a ligt op middelloodlijn van, dus =. Verder ligt op middelloodlijn van, dus is ook =. Hieruit volgt dat = en ligt dus ook op de

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) 6 5 3 mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

2 Hoeken en bogen 77

2 Hoeken en bogen 77 2 Hoeken en bogen 77 1 De stand van zaken In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type

Nadere informatie

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12 Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt

Nadere informatie

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden 7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas;

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel t a Van is de oplossing t log t Van 8 is de oplossing t log 8 t Van is de oplossing t log De vergelijking heeft als oplossing log De vergelijking

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / 52 V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P m l Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

5 ab. 6 a. 22,9 25,95 cm

5 ab. 6 a. 22,9 25,95 cm Hoofdstuk 5 GELIJKVORMIGHEID VWO 5 Vergroten en verkleinen a d 5 a 9 driehoekjes, zie plaatje: a 0,5 :,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m d 6,9 0,7 m 9 e a Die van ij Die van 0 ij 0, die van

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWERKINGEN VOOR HET VWO EEL HOOFSTUK 5 GRENZEN Kern FSTNEN a) b) Nee. e zijden a en b zijn samen even lang. b a c ) a) Teken diagonaal In geldt ( ) In geldt 0 ( ) us is b) ijv. ) Te bewijzen: ewijs:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B- Van ABC is de asis BC = en de hoogte AD =. De oppervlakte van ABC is : = 9. Van KLM is de asis KM = 5 + 9 = en de hoogte NL. B-a KN = 5 NL = KL = 5 + 69 NL = = De oppervlakte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Verdieping - Bewijs uit et ongerijmde ladzijde 78 A D B A = D want A = D D = A + B (stelling vande uitenoek) A = A + B A + A = A + B A > B, De aanpak met punt D op B werkt nu niet omdat je er dan vanuit

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden 4 ongruentie it kun je al 1 een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing 3 de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Blok 3 - Vaardigheden

Blok 3 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden ladzijde 7 a x+ x+ 6 6x x 6 7 k ( k+ ) 7 k k+ k k c c 9 6c+ c c d ( r 7) 6r 6r r 9 e t + + t??? Geen oplossing. f ( ) 8( + ) 8 7 8 g ( x ) x+ ( x ) x+ x+ x 9x 8 x h x+ ( 6x+ ) 6 x+

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Gelijkvormigheid Voorkennis V-1a /A = 74, /B 1 = 18 en /D 1 = 88 /A + /B 1 + /D 1 = 74 + 18 + 88 = 180 c /B = 104, /C = 55 en /D = 1 d /B = /B 1 + /B = 18 + 104 = 1 en /D = /D 1 + /D = 88 +

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen Kern Vlakke figuren a Rechthoek, parallellogram, driehoek Oppervlakte rechthoek = lengte reedte = d Oppervlakte parallellogram = lengte hoogte = d Oppervlakte driehoek = asis hoogte = d a Knip de parallellogram

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d.

Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 17 Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 18 Vermoeden: De drie hoogtelijnen gaan door 1 punt 34. a. De drie middelloodlijnen van een

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

VWO Wiskunde D 2015 4a Hoeken en bogen

VWO Wiskunde D 2015 4a Hoeken en bogen VWO Wiskunde 2015 4a Hoeken en bogen 4a Hoeken en bogen Inhoudsopgave 1 Over hoeken 1 2 oor één punt 5 3 Redeneren 11 4 Stand van zaken 17 5 Hoeken en bogen 23 6 Koordenvierhoeken 30 7 Iso-hoeklijnen 34

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 58 Voorkennis V-1a /A 5 74, /B 1 5 18 en /D 1 5 88 /A 1 /B 1 1 /D 1 5 74 1 18 1 88 5 180 c /B 2 5 104, /C 5 55 en /D 2 5 21 d /B 5 /B 1 1 /B 2 5 18 1 104 5 122 en /D 5 /D 1 1 /D 2 5 88 1 21 5 109, dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a d e 128 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rehthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 5 28 roostervierkantjes.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Uitgevers. Noordhoff. Hoofdstuk 2 Hoeken en symmetrie. Opstap Hoeken. c /D is een rechte hoek. Zo n driehoek heet een gelijkzijdige driehoek.

Uitgevers. Noordhoff. Hoofdstuk 2 Hoeken en symmetrie. Opstap Hoeken. c /D is een rechte hoek. Zo n driehoek heet een gelijkzijdige driehoek. Hoofdstuk 2 Hoeken en symmetrie Opstap Hoeken O-1a /A en G zijn sherpe hoeken. /F en /J zijn stompe hoeken. /D is een rehte hoek. d /A 42 en /F 131 O-2 v a 30 85 Uitgevers 110 K L M d e f 168 90 180 N

Nadere informatie

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017 BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. De Wageningse Methode. Vlakke meetkunde. Wiskunde D-online (2016)

Vlakke Meetkunde. De Wageningse Methode. Vlakke meetkunde. Wiskunde D-online (2016) Vlakke Meetkunde De Wageningse Methode Vlakke meetkunde Wiskunde D-online (2016) VWO 5 Wiskunde D-online 1 olofon De tekst is een bewerking van de delen Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. 2011

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur.

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 1 Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 2 Duid in de onderstaande figuur de overeenkomstige zijden en hoeken van de congruente driehoeken aan met eenzelfde

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie