Hoofdstuk 4 - Kegelsneden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 4 - Kegelsneden"

Transcriptie

1 oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden teruggeraht tot de onflitlijn van en m (punt en lijn). Kies een punt T op m, riht in dat punt een loodlijn op en snij die loodlijn met de middelloodlijn van en T. Je krijgt op die manier punt. De andere punten gaan op gelijke wijze. T T 3 T 3 l m -a Er geldt d(, ) = en d(, ) =. ls d(, ) = d(, ) dan is dus = en ligt op de middelloodlijn van. 0

2 De lijn door en snijdt de irkel in punten en. Deze lijn snijden met de middelloodlijnen van en levert de gevraagde punten en op d Kies punten,,, en op de irkel, teken de lijnstukken ,,, en en snijdt deze respetievelijk met de middelloodlijnen van,,, en en je krijgt punten,,, en ekijk ijvooreeld punt 3 in het plaatje hieroven. Er geldt: = = r, deze som heeft dus steeds dezelfde waarde r = r

3 ladzijde 03-3a m Q r R l Neem een willekeurig punt op lijn l (zie oven). ls dit punt wordt afgeeeld op punt Q, dan snijden Q en l elkaar loodreht in een punt dus: = Q R = QR = 90 R QR R = QR R = R Dus ligt op de issetrie van ( l, m ) en dus is r dus de issetrie van deze hoek. -4a W N inds hoofdstuk 3 weet je dat zowel d(, ) als d(, ) moeten worden gemeten langs een lijn die door het middelpunt van ijehorende irkel gaat. Dus d(, ) = en d(, ) = W. U 3 W N d (, ) = U = + = W + = d(, ) + = d(, ) + = N 3 04

4 d e De onflitlijn van een irkel en een punt innen die irkel is een ellips met randpunten en N. 3 N Een lijn door snijdt 3 in U. De middelloodlijn van UN snijdt U in een punt van de onflitlijn. -5a De onflitlijn van de irkel met middelpunt en straal en een lijn l door en zonder gemeenshappelijke punten met is identiek met de onflitlijn van punt en een lijn r die ten opzihte van l over een afstand vershoven is van weg. Een dergelijk irkel-lijn-ominatie heeft als onflitlijn een paraool met rihtlijn r en randpunt. De onflitlijn van een lijnstuk en de irkel is dus minimaal voor een deel gelijk aan deze paraool. Deze afstand is gelijk aan de straal van de irkel, dus. r N d De loodlijn op in snijdt de lijn r in. Het snijpunt van deze loodlijn met de middelloodlijn van is het gezohte punt ( ). oven de loodlijn op in is de afstand van een punt tot gelijk aan de afstand tot. Dat gedeelte van de onflitlijn komt overeen met (een gedeelte van) een hyperooltak. Iets dergelijks geldt voor het gedeelte van de onflitlijn dat eneden de in opgerihte loodlijn op. 05

5 e r U U W Om ijvooreeld een punt te vinden in het hyperoolgedeelte aan de kant van kies je een punt op, trek je de halfrehte en snijd je deze met ijehorende middelloodlijn van. Om het paraoolgedeelte te vinden kies je een punt U op, teken je de loodlijn op in U, die r in een punt U snijdt. Neem dan het snijpunt van de loodlijn in U met de middelloodlijn van U. 4. Kegelsneden ladzijde 04 a Het vlak staat dan loodreht op as a. Het vlak maakt dan preies een hoek α (halve tophoek) met as a. Het vlak maakt dan een hoek met as a die groter is dan α. d De doorsnijdingsfiguur is een punt wanneer de hoek van as en vlak groter is dan 0 α of een tweetal lijnen die elkaar onder een hoek van α ( en 80 α) snijden wanneer de hoek van as en vlak kleiner is dan α. ladzijde 05 a In deze opgave ga je dus de omkaderde stelling ewijzen. Neem een raaklijn uit met de ol, het raakpunt is R. ls het middelpunt van de ol is dan is R = 90 en geldt: sin R = R = onstant. Dus geldt dat alle raaklijnen door aan de ol dezelfde hoek vormen met. R 06

6 R N Ga weer uit van de raaklijn van onderdeel a. Trek nu de andere raaklijn aan de doorsnijdingsirkel ehorend ij het vlak door, R en (zie oven). Uit onderdeel a volgt niet alleen dat de hoeken die de raaklijnen R en met maken gelijk zijn, maar ook dat de afstanden van tot de raakpunten gelijk zijn vanwege R, dus o.a. ook R =. Omdat de driehoeken en RN en N tenslotte N gemeenshappelijk heen, zijn ze ongruent (ZHZ) en is de hoek ij N reht. Neem nu een willekeurige andere raaklijn. Je krijgt dan te maken met een driehoek R N. Omdat RN = R' N ', N = N = 90 0 en R = R is RN R N (HZH) en N = N én dus ook N = N. erder is de afstand tot van R en R tot N steeds gelijk. Omdat de laatste raaklijn willekeurig is gekozen volgt dus dat de afstanden van alle raakpunten tot N gelijk zijn. Omdat alle raakpunten ook in één vlak liggen, namelijk het vlak door N en loodreht op N, liggen alle raakpunten op eenzelfde irkel. Uit de ongruentie van R en R uit onderdeel a volgt dat R = R en dus ook dat de afstand van tot alle raakpunten gelijk is. 3a is natuurlijk raaklijn vanuit aan de grote ol en verder is raaklijn aan de kleine ol. Omdat ook raaklijn aan de kleine ol is, geldt volgens de omkaderde stelling ij opgave dat =. Omdat raaklijn aan de grote ol is, geldt verder dat Omdat en eide op de lijn door en T liggen, is = + en volgt uit onderdeel a verder dat = + Omdat = en en onstant zijn, niet afhangen van de keuze van op de doorsnijdingsfiguur van met de kegel. d De punten op de groene kromme voldoen preies aan de definitie van een ellips: d(, ) + d(, ) = onstant. 4a De doorsnede estaat slehts uit één punt, namelijk de top van de kegel. Je kunt de doorsnijdingsfiguur opvatten als een ellips met = = top en met assen die gelijk zijn aan 0. 5a De doorsnede estaat uit twee lijnen die elkaar snijden in de top van de kegel. De toppen vallen samen in en de randpunten liggen op oneindig. 07

7 4. araolen ladzijde 06 6a R ligt op de paraool dus d( R, l) = d( R, ) dan geldt R = R dus R op de lijn m. Er geldt Q = Q Omdat Q hypothenusa is in de rehthoekige driehoek QQ, geldt dat Q > QQ. d Uit en volgt dat voor willekeurige Q op m anders dan geldt dat d( Q, l) = QQ < Q = Q = d( Q, ) en dus heeft m maar één punt gemeenshappelijk met de paraool en ligt Q steeds aan de dezelfde kant van de onflitlijn (.q. paraool), namelijk in het geied van de rihtlijn. et andere woorden, m raakt aan de paraool. e Laat het snijpunt zijn van m met. Er geldt R R (ZZZ) en dus is R = R. f Elke lijn loodreht op de rihtlijn heeft maar één punt gemeen met de paraool, maar is geen raaklijn. 7a De raaklijn in R maakt gelijke hoeken met R en met een lijn loodreht op de rihtlijn zoals l, eide met grootte α 0. De deellijn verdeelt R in twee hoeken van β 0. Er geldt dat α + β = 80 0, dus is α + β = 90 0 en staat de raaklijn in R loodreht op de deellijn van R. Laat vanuit R een loodlijn neer op de rihtlijn, deze snijdt de rihtlijn in. Construeer vervolgens de middelloodlijn van. Dit is de raaklijn in R. Door geruik te maken de eigenshap die ij onderdeel a wordt genoemd. Teken het lijnstuk R, teken lijn l door R evenwijdig aan de symmetrie-as, onstrueer de deellijn van de hoek die door R en l wordt gemaakt (innen het geied van ), riht in R de lijn op loodreht op de deellijn en je het de gezohte raaklijn. ladzijde 07 8 Construeer een lijn m m door punt R en een loodlijn k op l in R. De lijn k hoort de issetrie te zijn van de hoek tussen m en R. Je vindt dus randpunt door de hoek ij R tussen m en k te verduelen en ijehorende een te snijden met symmetrie-as m. Kies een voetpunt van R op m zodanig dat de afstand van R tot dat voetpunt gelijk is aan R. Er zijn twee mogelijkheden. Loodlijn oprihten in de gevonden voetpunten levert de mogelijke rihtlijnen s en t. m t s k m R l 08

8 9 Laat het voetpunt zijn van op l. De punten en liggen eide op de middelloodlijn van, dus = = = = 90. = 0 0 De raaklijn in staat loodreht op de deellijn van, 3. Omdat 3 = 90 is, = 45 en = 90 = 45. naloog is ook = 45 en is de hoek die de twee raaklijnen met elkaar maken gelijk aan m m 4 3 a Omdat de deellijn van de ingaande en de uitgaande straal loodreht staat op de raaklijn. De undel estaat na terugkaatsing uitsluitend uit stralen die evenwijdig zijn aan de as van de spiegel, want de stralen zijn het omgekeerde van de stralen uit opdraht a. Het vlak door randpunt loodreht op de as van de spiegel snijdt de spiegel in punten die samen een irkel vormen. De evenwijdige stralen die op die irkel aankomen weerkaatsen onder een hoek van ergelijk ook opgave 0. a Omdat zij elkaar op die manier versterken. ls de rihtlijn erij wordt gehaald, dan is het snel duidelijk. + = + = = = + = = alle stralen leggen dezelfde afstand af. 09

9 4.3 Ellipsen ladzijde 08 3a R = R = R + R R = R van. Omdat Q Q ligt op m dus Q, en niet op één lijn liggen is Q + Q >. = Q. en dus ligt R op de middelloodlijn m Dus geldt Q + Q = Q + Q > en ligt zo n punt Q uiten de ellips. d ls een punt Q over m eweegt, ligt het eerst uiten de ellips, in punt R op de ellips en daarna opnieuw uiten de ellips. De lijn m moet dus wel aan de ellips raken. m R 4 3 ewezen moet worden dat R = R 4. R = R R = R R R ( ZZR ) R = R. = = 90 Uit R = R (overstaande hoeken) volgt dan meteen dat R = R a De hoeken die R en R met raaklijn l maken zijn gelijk, zeg α 0. De hoeken die m met R en R maakt zijn natuurlijk ook gelijk, zeg β 0. De hoek tussen l en m is α + β, terwijl α + β = Hieruit volgt dat α + β = 90 0 en l en m staan dus loodreht op elkaar. Teken R en verleng dit lijnstuk met een stukje ter grootte van R. Je vindt dan punt op de rihtirkel met middelpunt. Construeer nu de middelloodlijn van en je het de raaklijn aan R te pakken. R Teken R en R, onstrueer de deellijn van R en riht vervolgens de loodlijn in R op m op en je het de raaklijn aan R te pakken. 0

10 5a Je kunt irkel uit irkel halen door met een fator te vermenigvuldigen vanuit punt. Het middelpunt van wordt afgeeeld op het midden tussen en en de straal van gelijk aan de lange as van de ellips, wordt de helft daarvan. wordt daarij afgeeeld op Q en dus is Q = en ook Q = Q. De raaklijn in R is de middelloodlijn van. Omdat Q = Q is Q het midden van en ligt dus op die middelloodlijn. Omdat R Q RQ (ZZZ) is RQ = RQ. Omdat deze hoeken samen 0 een gestrekte hoek vormen, is RQ = 90. d Uitgaande van en en rihtirkel met middelpunt kun je als volgt te werk gaan: ermenigvuldig ten opzihte van met fator, halveer de straal van en teken irkel. Kies nu een punt op, teken en epaal het snijpunt met en noem dat punt Q. Riht in Q een loodlijn op en snijdt deze lijn met. Dit snijpunt ligt op de ellips. 6a tel lihtstraal l komt vanuit op de spiegel aan in punt. De straal wordt weerkaatst volgens de regel hoek van inval is hoek van uitval. Omdat en voldoen aan die regel, gaat de teruggekaatste straal door. ls de straal vervolgens op de spiegel aankomt in punt Q wordt zij om vergelijkare redenen teruggekaatst rihting, enzovoort. Het punt waar de straal m de spiegel treft, verindt je met en de straal wordt teruggekaatst op aangegeven manier. ladzijde 09 7a Kies ijvooreeld de methode van opgave 4. Je krijgt dan:

11 De invallende straal maakt een kleinere hoek met de raaklijn in dan een straal langs. Dat etekent dat de hoek van uitval ook kleiner zal zijn dan de hoek die maakt met de raaklijn. De teruggekaatste straal gaat dus niet tussen en door, maar gaat uitenom. Dezelfde redenering kun je houden ij de volgende keer dat de straal op de spiegel tereht komt. T T Wanneer de lihtstraal steeds tussen de eide randpunten doorgaat moet de vertrekkende lihtstraal dat ook doen. 8a! Q d piegel in de vouwlijn. Je krijgt dan '. ' snijdt de vouwlijn in. Omdat ' (ZHZ) is = ' en ' =. Omdat + = + ' = ' = straal van een rihtirkel ligt op de ellips. Omdat = ' = Q (overstaande hoek) is de vouwlijn tegelijk raaklijn aan de ellips in. De lengte van de lange as is gelijk aan de straal van een rihtirkel. Dit is dus 0. De lengte van de kleine as vind je ijvooreeld door punt te ekijken. Dit punt ligt op de kleine as van de ellips en op de ellips zelf ( = = 5 en dus + = 0 ). Q = 5 ( 3 ) = 5 en de korte as heeft dus lengte 5. Q

12 9 tel is het snijpunt van met de rihtirkel waarvan het middelpunt is, dan is lijn l de middelloodlijn van en Q dus het midden van. Dan is dus ook =. is het midden van en Q is het midden van dus ( ) = ( + ) Q = = +. 0a G' = ' G = straal eide rihtirkels G' = ' ( op middelloodlijn ' G') G' G ' = G ( op middelloodlijn G) Omdat en R eide op de middelloodlijn van G liggen is = G en R = RG. erder is R = R en dus is R RG (ZZZ) en dus R = GR. Een gevolg van de ongruentie ewezen ij onderdeel a is G ' = G '. Ehter is G' = G ' = GR = R en dus issetrie van QR. G' Q = ' Q; G' Q = ' Q = ' R en GR = R = Q. 4.4 Hyperolen ladzijde 0 a erleng in de rihting van en snijdt deze lijn met de middelloodlijn van. Halflijn snijdt de middelloodlijn van nergens. d 0 ls = 90 lopen en de middelloodlijn van evenwijdig en snijden 0 ze elkaar dus niet. Wanneer < 90 dan snijden de middelloodlijn en elkaar in een punt dat dihter ij de irkel ligt dan ij, dus dat kan ook niet. e Construeer eerst punt midden tussen en. De irkel met als middelpunt door en snijdt de rihtirkel in en T. De lijnen door (tevens symmetriepunt van de hyperool) evenwijdig aan en T vormen de asymptoten van de hyperool. T 3

13 a Je vindt een punt van de hyperool door op de irkel een punt te kiezen. Het snijpunt van en de middelloodlijn van is een punt van fde hyperool. De geonstrueerde punten liggen allemaal op een tak van de hyperool. R 3 4 R Het midden van lijnstuk is natuurlijk symmetriepunt van de hyperool. De asymptoten van de hyperool gaan dus door dit punt. De irkel met middelpunt door snijden de rihtirkel met middelpunt in R en R. De lijnen door evenwijdig aan R en R vormen de asymptoten van de hyperool. 3a Laat r de straal van zijn. Er geldt dan r = d( R, ) d( R, ) De twee driehoeken waarin m de driehoek R verdeelt zijn ongruent (ZZZ) en dus maakt m gelijke hoeken met R en R en dus ook met R en R. Neem een willekeurig punt Q op m anders dan R. Omdat Q op de middelloodlijn m ligt geldt d( Q, ) = d( Q, ). erder is dan d( Q, ) < d( Q, ) + d(, ) = d( Q, ) + r en dus is d( Q, ) d( Q, ) < r. fgezien van R liggen alle punten van m dus aan dezelfde kant van de hyperooltak, dus moet m de raaklijn in R zijn. 4a ij een hyperolishe spiegel worden stralen vanuit een randpunt terugegkaatst alsof ze uit het andere randpunt komen. 4

14 ladzijde 5a R T W as een afstand ter grootte R af op R en ontrueer de rihtirkel met middelpunt. Teken daarna het lijnstuk en epaal het snijpunt W met. De top T ligt nu midden tussen en W. R R Construeer rihtirkel met als middelpunt met de straal die je ij onderdeel a vond. De raaklijnen vanuit staan loodreht op de straal van de irkel naar ijehorend raakpunt. Construeer een irkel die als middellijn heeft en snijdt deze met in R en R. Lijnen vanuit door R en R getrokken staan loodreht op de stralen R en R en zijn dus de gezohte raaklijnen. Een van de asymptoten is de lijn door evenwijdig aan R. De middelloodlijn van R staat evenals R loodreht op R en omdat R = gaat die middelloodlijn ook door. Deze middelloodlijn heeft dezelfde rihting en gaat door hetzelfde punt als de asymptoot. Het moet dus gaan om dezelfde lijn. oor de andere asymptoot geldt iets dergelijks. 6 R piegel in de raaklijn en noem dat punt. erleng lijnstuk R en snijdt ijehorende lijn met de symmetrieas. Het snijpunt is en is de straal van eide rihtirkels. Je hoeft alleen maar deze lengte naar over te rengen om de gevraagde rihtirkel te kunnen onstrueren. 5

15 7a R erleng R en snij de lijn met de symmetrieas. Dit snijpunt is. R as een lijnstuk R op R af ter grootte R gevraagde rihtirkel (onderdeel )., dan is de straal van de Construeer vervolgens de middelloodlijn van en je het de raaklijn in R aan de hyperooltak. 8a unt is 6 = km verder van punt verwijderd dan de punten en C. 3 C N Je kunt het punt epalen met ehulp van twee onflitlijnen. Eén onflitlijn hoort ij zinsnede in en C wordt op exat hetzelfde tijdstip..., dit is de middelloodlijn van C. Een andere onflitlijn die je kunt kiezen hoort ij punt ligt km verder van punt dan punt en resulteert in de getekende hyperooltak. Het snijpunt in noordelijke\ rihting ligt preies 3 km ten noorden van punt. 6

16 N C d Teken irkels om van, 3, 4, 5 km en om en C van 0,,, 3 km en je vind ook op die manier punt. ls punt niet op een geheel aantal kilometers van zowel, als C had gelegen, dan was het op deze manier moeilijker te vinden geweest. N C e ovenstaande figuur laat zien dat de andere mogelijkheid voor punt wat verder weg ligt en wel in zuidoostelijke rihting ten opzihte van, en C. N R C R epaal de raakpunten R en R van punt aan de rihtirkel met middelpunt De middelloodlijn van R is de asymptoot die de hyperooltak in zuidoostelijke rihting het est enadert. Je vindt op deze manier ongeveer hetzelfde punt '. 7

17 4.5 Gemengde opdrahten ladzijde 9a l l T C oor de weerkaatste stralen van en geldt dat ze evenwijdig zijn aan de symmetrie-as. Er geldt verder α = α = ( -hoek ) = CT (overstaande hoek) en β = β = CT ( -hoek ). Dus is γ = CT + CT = α + β. Hoek innen vierhoek C is α β ( α + β) = 360 ( α + β) = 360 γ. Dit implieert dat = γ. 30a D E C r d De raaklijn d in E aan een van de ellipsen staat loodreht op de deellijn van CE. De gevraagde hoek is ε groot. Omdat ε = 90 0 EC geldt ε = 80 0 EC. ia de osinusregel kun je EC vinden: C = E + EC E EC os EC ls = a dan is E = a 5, C = a en EC = a en dus is 0 0 os EC = 5 EC 6, 57 ε 63,

18 D E C De lengte van de lange as voor eide ellipsen gelijk aan CE + E = = , 4. De lengte van de korte as is dan = = , l n m r m Trek door een lijn m' evenwijdig aan de symmetrieas m. Ergens op m' moet een voetpunt liggen. an de andere kant van lijn r ligt het randpunt zodanig dat de lijn r middelloodlijn van zijn. Dat etekent in ieder geval ook dat r deellijn is van. et andere woorden, =. Teken nu de halfrehte n zo dat =. De halfrehte snijdt de symmetrielijn in. Kies nu zo dat = en je vindt de rihtlijn l door een lijn door m' te tekenen. 9

19 3 m e e 3 W l Hieroven zijn de rihtirkels en van de ellipsen e en e getekend. en W liggen in het verlengde van op de rihtirkels. Raaklijn l is de middelloodlijn van en dus ook issetrie van. Raaklijn m is de middelloodlijn van 3 W en dus ook issetrie van W. Dus er geldt: 3 (, l) = ( W, l) (, m) = ( W, m) = (, l) + ( W, l) + ( W, m) + (, m) = ( W, l) + ( W, m) = ( ( W, l) + ( W, m)) = α. ladzijde 3 33 e h e h e h Laat e een rihtirkel zijn van de ellips en h die van één van de hyperooltakken. De volledige hyperool en de ellips snijden elkaar in vier punten, waaronder in. De raaklijn h in aan de hyperooltak is issetrie van en de raaklijn e h in aan de ellips is issetrie van. Omdat, en op één rehte lijn e e h liggen volgt hieruit dat e h. Uit symmetrieoverwegingen valt te egrijpen dat de raaklijnen in de andere snijpunten ook loodreht op elkaar staan. 0

20 34a m k Raaklijn m is issetrie van. Door die eigenshap kun je lijn k vinden. Het snijpunt van k met de symmetrie-as levert randpunt. Door op een stukje ter grootte af te passen, vind je de straat van de rihtirkel met middelpunt. C d e Er is geen snijpunt van en de middelloodlijn van. Dit is het gevolg van het feit dat een rehte hoek is. Er is ook geen snijpunt van C en de middelloodlijn van C. Dit is het gevolg van het feit dat ook C een rehte hoek is. Er is geen snijpunt van en de middelloodlijn van omdat ze evenwijdig zijn. Dit is het gevolg van het feit dat een rehte hoek is. Er is ook geen snijpunt van C en de middelloodlijn van C. Dit is het gevolg van het feit dat ook C een rehte hoek is.

21 35a Q Neem een geluidsgolf Q die de wand ereikt in Q en teruggekaatst wordt naar. is een tweede geluidsgolf die de wand iets later ereikt in. Kies op Q zo dat Q = () Op het moment dat de wand ereikt, is de teruggekaatste straal uit Q in punt. Er geldt + = Q + Q + + = Q + Q + () Omdat natuurlijk ook geldt = Q (3). (), () en (3) geeft: = en dus liggen en op een irkel. Ook de golven van golffront Equation Chapter (Next) etion zijn even lang onderweg als die van '. Dat etekent dat r + r = l r = l r. d Test jezelf ladzijde 6 T-a In opdraht is de stelling ewezen dat wanneer je vanuit een punt uiten een ol raaklijnen tekent aan die ol de afstand tussen dat punt en de raakpunten gelijk is. Dus = C en = D Omdat D en C evenwijdige irkels doorlopen. + = C + D = DC = onstant d De doorsnede is een ellips met randpunten en.

22 T-a E G C C is middelloodlijn van E en C is middelloodlijn van G. is het midden van EG en is het midden van, dus is middenparallel in trapezium EG. Dus dan geldt // E en staat loodreht op EG. EG is middelloodlijn van EG en gaat dus door C. midden van EG d C staat loodreht op EG, dus op de rihtlijn en dus geldt C//as paraool T-3a x x o Q o De raaklijnen in en Q maken gelijke hoeken met en respetievelijk met Q en Q. reng dus de hoek tussen de raaklijn in en over. Het snijpunt van dit alles is punt. Omdat raaklijn l nu middelloodlijn van is voor zekere ligt dus op de rihtirkel met middelpunt. l Q De gespiegelde van in l verinden met en nemen als straal van de rihtirkel. 3

23 ladzijde 7 T-4a Q nijd het verlengde van Q met de middelloodlijn van Q en je vind punt. Q T epaal het midden van. De irkel met middelpunt en straal snijdt in en T. is evenwijdig met de middelloodlijn van en levert net geen punt meer op van de hyperooltak. Iets dergelijks geldt voor punt T. De oog tussen en T is vetgemaakt omdat daar overal voetpunten van de hyperooltak kunnen liggen (exlusief en T zelf dus). De asymptoten zijn de lijnen door die evenwijdig aan resp. T lopen. Zie hieroven. 4

24 T-5a R N Q N N 3 Kies een randpunt R, trek de lijn R en de middelloodlijn van R. Ze snijden elkaar in een punt N, dat als middelpunt kan worden genomen van een irkel die raakt aan en door gaat. Zie hieroven voor drie vooreelden. Het vermoeden rijst dat de meetkundige plaats van de middelpunten van de rakende irkels een ellips is met en als randpunten. ewijs: tel N 3 is het middelpunt van zo n inwendig rakende door gaande irkel. De irkels raken in punt. Dan ligt N 3 op de middelloodlijn van. Dus N = N. 3 3 Dan geldt: N + N = N + N = r Dus N ligt op een ellips met randpunten en. 5

25 T-6a T is deel van de middelloodlijn van dus. Dus is = 90 naloog volgt uit het feit dat middelloodlijn is van T dat ook = 90. eide hoeken ij zijn reht dus = 80 en de stelling is ewezen. is (deel van) de middelloodlijn van, dus is ook issetrie van. naloog is issetrie van T. Dus en delen elk hoeken middendoor die samen 80 zijn en dus is = 90. T-7a k L L Trek een pijl van L naar, onstrueer vervolgens de raaklijn in, de loodlijn k op die raaklijn, spiegel L in k en trek de vervolgpijl van naar L '. ls de lihtron L op de symmetrieas niet samenvalt met is geplaatst, komen de lihtstralen na spiegeling niet door omdat dit slehts geldt voor stralen die parallel aan de symmetrieas naar de spiegel komen. T-8 Er estaat wel een raaklijn die 45 maakt met de hoofdas van de ellips. Een al die evenwijdig aan die hoofdas wordt afgestoten en tereht komt op ijehorende raakpunt, kaatst van de rand van het iljart terug en maakt een hoek van 90, zodat de al loodreht op de hoofdas verder eweegt. Uit symmetrieoverwegingen kan worden ingezien dat de al in een rehthoek rond kan gaan en dus steeds na vier maal kaatsen weer in hetzelfde punt op het iljart komt. 6

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen

Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Voorkennis: eetkundige plaatsen ladzijde 78 V-1a ligt op middelloodlijn van, dus =. Verder ligt op middelloodlijn van, dus is ook =. Hieruit volgt dat = en ligt dus ook op de

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen

Hoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Voorkennis: Sinusoïden ladzijde 6 ( ) en D (,) V-a A,, B,, C, Via Interset vind je de snijpunten van = sin x en = x, 6 x, 5 of x, 67 Bij een vershuiving van eenheden naar

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO B2

UITWERKINGEN VOOR HET VWO B2 UITWERKINGEN VOOR HET VWO HOODTUK 7 : RKLIJNEN KERN CIRKEL EN RKLIJNEN ) Teken M en M. De raaklijnen in staat loodrecht op M. Voor de raaklijn in geldt hetzelfde. M ) Gebruik of de stelling van de omtrekshoek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a d V-2a 102 ladzijde 138 In werkelijkheid zijn er 3 rien evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn die rien ook evenwijdig getekend. In figuur 2 zijn deze rien zo getekend dat ze elkaar alle vier in hetzelfde

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Tekenen en zien

Hoofdstuk 5 - Tekenen en zien avo deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde oofdstuk 5 - ekenen en zien ladzijde 138 V-1a d In werkelijkheid zijn er 3 rien evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn die rien ook evenwijdig getekend. In figuur

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,

Nadere informatie

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m. Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

APPENDIX bij Met en/of zonder coördinaten DICK KLINGENS april 2017

APPENDIX bij Met en/of zonder coördinaten DICK KLINGENS april 2017 APPENDIX ij Met en/of zonder oördinaten DICK KLINGENS (dklingens@gmail.om) april 2017 1. Nóg drie ewijzen van stelling I Stelling I (issetriestelling). Is D het voetpunt van de issetrie van hoek A op de

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden 0 0 4 0

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWERKINGEN VOOR HET VWO EEL HOOFSTUK 5 GRENZEN Kern FSTNEN a) b) Nee. e zijden a en b zijn samen even lang. b a c ) a) Teken diagonaal In geldt ( ) In geldt 0 ( ) us is b) ijv. ) Te bewijzen: ewijs:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Antwoorden De juiste ondersteuning

Antwoorden De juiste ondersteuning ntwoorden De juiste ondersteuning a. De straal van de cirkel waarover het beweegt is 5. De maximale hoogte van het is dus 5. Het moet dus dm omhoog. b. Het van het tweede blok beweegt over een cirkel met

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel t a Van is de oplossing t log t Van 8 is de oplossing t log 8 t Van is de oplossing t log De vergelijking heeft als oplossing log De vergelijking

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 4_1 Afstand tot een gebied

Uitwerkingen bij 4_1 Afstand tot een gebied Uitwerkingen ij 4_ Afstand tot een geied a Stelling: De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bewijs: De cirkels raken elkaar. Noem de gemeenschappelijke raaklijn l. (PR,l)

Nadere informatie

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling = P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.

Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen. Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde

Nadere informatie

Zo n grafiek noem je een dalparabool.

Zo n grafiek noem je een dalparabool. V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel: 13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET VWO

UITWERKINGEN VOOR HET VWO UITWKINGN VOO HT VWO HOOFTUK IHOKN & VIHOKN Kern N IKL O N IHOK a) chets van om a) 6 5 3 mll 0 (,5 3) mll 0 b) iddelpunt in 3 traal is 3 5 c) is het snijpunt van de middenloodlijnen van O en O Om de radius

Nadere informatie

Kegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015

Kegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015 Kegelsneden Aflevering 1 Ellipsen, parabolen en hyperbolen zijn mooie figuren die in de natuur voorkomen. Denk maar aan een steen die door de lucht vliegt, of een komeet die om de zon beweegt. In de techniek

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

( ) wiskunde B pilot vwo 2016-I. Kettinglijn = 1. Hieruit volgt e = 4. Dus x = ln(4) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1. De y-coördinaat van T is 3

( ) wiskunde B pilot vwo 2016-I. Kettinglijn = 1. Hieruit volgt e = 4. Dus x = ln(4) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1. De y-coördinaat van T is 3 wiskunde B pilot vwo 06-I Vraag Antwoord Sores Kettinglijn maimumsore 4 f' ( ) e e = 4 f' ( ) = 0 geeft 4 e = e Hieruit volgt e = 4 Dus = ln(4) ( een gelijkwaardige uitdrukking) maimumsore 6 De y-oördinaat

Nadere informatie

Vl. M. Nadruk verboden 1

Vl. M. Nadruk verboden 1 Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden 9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Hoofdstuk 3 - Differentiëren Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren

Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1 H5 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 5.0 INTRO a een vierkant ; een lijnstuk ; een vierkant Bijvooreeld zo: Het laagste punt is het midden van het grondvlak. Minstens 8; zie. Hoogstens 6; zie hieronder:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw

10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw 28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt

Nadere informatie

DE STELLING VAN NAPOLEON

DE STELLING VAN NAPOLEON www.raves.nl ton@raves.nl DE STELLING VAN NAPOLEON LUIDT: Als men aan de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken legt dan vormen de zwaartepunten van die drie gelijkzijdige

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een offiiële foreign oordinator voor de welekende AHSME-ompetitie (Amerian High Shool Mathematis Examination - USA en Canada)

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn

Nadere informatie

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.)

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) Kegelsneden Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) De verdeling van de Noordzee Het nabuurprincipe: Elk stukje van de zeebodem hoort Bij

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-1a De oppervlakte van ABC is 12 5 : 2 = 0 m 2. zijde kwadraat AB = 12 144 AC = 5 BC = 25 169 d BC = 169 = 1 m De omtrek van ABC is 5 12 1 = 0 m. BD = 12 4 = 8 m De oppervlakte van BCD is 8

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2 Hoeken en bogen 77

2 Hoeken en bogen 77 2 Hoeken en bogen 77 1 De stand van zaken In deze paragraaf wordt je gevraagd wat je weet van de zijden, hoeken en diagonalen van verschillende soorten vierhoeken. En omgekeerd, wat voor speciaal type

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Spiegels en lenzen (22-03-2013) Pagina 1 van 23

Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Spiegels en lenzen (22-03-2013) Pagina 1 van 23 Stevin vwo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Spiegels en lenzen (22-03-2013) Pagina 1 van 23 Opgaven 5.1 Spiegeleelden 1 B en C 2 De ander staat 2 + 5 = 7 m voor de spiegel. Haar spiegeleeld staat 7 m achter

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste

Nadere informatie

Stevin havo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Licht en zicht ( ) Pagina 1 van 19

Stevin havo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Licht en zicht ( ) Pagina 1 van 19 Stevin havo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 5 Liht en ziht (13-10-2011) Pagina 1 van 19 Opgaven 5.1 Beelden ij spiegels en lenzen 1 B en C 2 De ander staat 2 + 5 = 7 m voor de spiegel. Haar spiegeleeld staat

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie