Hoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Voorkennis: Sinusoïden ladzijde 6 ( ) en D (,) V-a A,, B,, C, Via Interset vind je de snijpunten van = sin x en = x, 6 x, 5 of x, 67 Bij een vershuiving van eenheden naar rehts vervang je x door x dus g ( x) = sin ( x ) d De grafiek van f moet + k eenheden naar rehts of links worden geshoven V-a O x 5 6 Het ereik van f is [, ] De periode is en de amplitude is Vervang t door t + en trek vervolgens eenheid van de funtiewaarde af g ( t) = os( t + ) = os( t + ) d = periode = = ladzijde 7 V-a Periode = = 8, amplitude =, evenwihtsstand =, ereik =, Periode = =, amplitude =, evenwihtsstand = 5, ereik = 7, 7 Periode = = 6, amplitude =, evenwihtsstand =,ereik =, V-a Evenwihtsstand = 5 + =, amplitude = = en de periode loopt van x = tot x = en is dus 6 Het eginpunt van een golf ligt ij x = dus = d =, a =, = en = 6 = dus f ( x) = + sin ( x + ) d d, a en lijven hetzelfde Het hoogste punt van een golf ligt ij x = dus = g ( x) = + os ( x + )

2 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen V-5a De periode van f is = en de periode van g is = De gemeenshappelijke periode is want = = Met Interset vind je t =, t, 6, t,, t, 7, t =, t,, t, 87, t 5, 67, t = d Op het interval, zijn er aht oplossingen Het interval evat 8 : = perioden Op het interval, 8 heeft de vergelijking dus 8 = 6 oplossingen, omdat 8 ook een oplossing is op het interval [, 8] dus 7 oplossingen e De periode van h is = 6 en van k = De gemeenshappelijke periode is = = Op interval, zijn 6 oplossingen In het interval, 5 passen 5 gemeenshappelijke perioden dus 5 6 = 6 oplossingen Op interval [ 5, ] vind je via Interset nog oplossingen zodat er in totaal 9 oplossingen zijn = = V-6a f ' t os t os t (met de kettingregel) g '( t) = sin ( t + ) = 6sin ( t + ) (met de kettingregel) h '( t) = sin t (met de kettingregel) d k '( t) = os( t) (met de kettingregel) e l '( t) = 6 os t sin t = 6sin t os t (met de kettingregel) f p' t os t t sin t os t t sin t (met de produtregel) = + ( ) = V-7a sin x = os x = os os sin x = osx = os os = + = ( ) = = ( ) = + os x x sin x = + sin ) + sin( ) ( ) = + = + ( Parametervoorstellingen ladzijde 8 a t = geeft x = + = t = geeft (, ) t = geeft (, ) t = geeft 5, 5 en = + = dus P (, ) O t = t = x t =

3 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen d Er gel = dus t t = t ( t ) = t = of t = of t = Hierij horen ahtereenvolgens de punten,, (, ) en nogmaals (, ) ladzijde 9 a t x t = t = t = t = x O t = Er gel = : t t = t ( t ) = t = of t = t = of t = of t = Voor t =, t = en t = snij de kromme de x-as in,, (, ) en weer (, ) a De grafiek van x = t is een dalparaool met minimum voor t = dus x De grafiek van = t + t + is een ergparaool met maximum 6 voor t = dus 6 t = 5 t =,5 5 O 5 t = 5 5 t = x 5 t = Uit opdraht a volgt dat x = de minimale x-oördinaat is voor t = Als t = gel = dus (, ) d Uit opdraht a volgt dat = 6 de maximale -oördinaat is voor t = Als t = gel x = dus 6,

4 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen e Als = x dan is t + t + = t f t t 5 = t = = of t = = t = geeft, en t = geeft 5 5 (, ) a t x 5 8 8,5,7,7,7,78 6,6 8, x O = t = voor t = minimale x-oördinaat is voor t = t t = e + te (met de produktregel) t e + t = als t = De minimale -oördinaat is = e = voor t = e d t t = t t = ( t ) ( t + ) = t = of t = t = geeft, e en t = geeft (, e ) e Voor grote negatieve waarden van t gaat = te t naar nul en x = t t naar oneindig dus nadert het punt de x-as 5a t,5 x -,5,9, 5,55 -,5,69,,6 5 O x 5

5 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen = t + t ln = ln t + = voor t = e = t e De minimale x-oördinaat is x = ln = dus x e e e e Het minimum van is niet met algera te erekenen dus plot = ( x ) ln x en ereken met de grafishe rekenmahine dat de minimale -oördinaat is voor t = dus = x geeft ( t ) ln t = t ln t t = t of ln t = t = of t = e t = of t = t = geeft (, ) en t = geeft ( ln,ln ) d De krommen K en M vallen samen maar zijn niet identiek want een punt op K dat ij t = a hoort, is ook een punt van kromme M maar dan voor t = a Een punt op kromme M verplaatst zih dus twee keer zo snel als een punt op K Bijzondere punten ladzijde 6a = dus sin t = sin t = t = + k x = + os t is dan telkens + = of + = dus, met de x-as x = + os t = os t = t = + k = sin t is dan telkens dus, 7a t = geeft A( 6, 5) De helling van OA is x = 5 = 6 t = geeft B ( 7, ) 8 De helling van OB is x = = 7 8 t =, geeft C, ;, d is het snijpunt met de -as 5 6 De helling van OC is x =,, De helling van de raaklijn aan kromme K in O zal zijn 5 en (, ) zijn de snijpunten

6 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen 8a t 5 5 x,8,65,99,,5,5,,99,65,8,5 8,5,5,5,5 8,5 8 6,5,5 O,5 x,5 = sin t en d = t t = geeft d = : = : sin, = t dus d sin t = 5, 9 voor t = sin hoort ij t = d P, = geeft geen uitkomst ladzijde 9a = t en d t t t t = te + t e = te t e Voor t = gel d x = = t = geeft (, ) als keerpunt d t =, geeft d x =, en d, 58 dus d 58, =,, 7 De helling in keerpunt, is ongeveer,7 a = sin t + os t sin t = os t ( os t) + sin t sin t = os t os t + sin t In punten waar de raaklijn horizontaal loopt gel d = en d x = os t os t + sin t = erekenen met CALC Zero of G-solve Root geeft t =, t =, t, 9, t, 9, = sin t + os t sin t = geeft t =, t =, t, 5, t 5,, Er is een horizontale raaklijn in (, 75;, ) voor t, 9 en in (, 75;, ) voor t, 9 Er is een vertiale raaklijn in (, 5;, ) voor t, 5, in (, 5;, ) voor t 5, en in, voor t = 5

7 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen t = geeft (, ) en d x = = dus, Voor t =, is d, 5, De helling in het keerpunt zal nul zijn is een keerpunt Lissajousfiguren ladzijde a os t is minimaal = en maximaal = dus x + sin t is minimaal + = en maximaal + = dus De kromme is dan een irkel met straal en middelpunt, In de plot loopt x van tot 5 en van tot 6 d De periode van x = os t is = en de periode van = 5+ sin t is = De gemeenshappelijke periode is want = = De periode van de kromme is dus a De periode van x is = en de periode van is = De gemeenshappelijke periode is en is dus de periode van de kromme Snijpunt met de x-as als = dus os t = os t = geeft t =, 7 of t = 5, 6 (in één periode) t = geeft x = + sin = + dus,, 87; t = geeft x = + = sin dus,, ; ( + ) ( ) Snijpunt met de -as als x = dus + sin t = sin t = geeft t =, 56 en t = 5, 98 (in één periode) t = geeft = os = + dus, + ;, (, ) ;, t = geeft = os = dus (, ) Uit de plot is af te lezen dat de kromme zihzelf snij in 6

8 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen a De kromme ligt op lijn = + x x = os t kun je sustitueren in = + os t Je krijgt dan = + x Omdat os t gel x dus is het een deel van een lijn De kromme ligt op de paraool met funtievoorshrift f ( x) = x d Uit de plot lees je af dat x Dit komt omdat sin x ladzijde a x = dus sin t = sin t = geeft t = + k t = geeft = os = dus (, ) t = geeft = = os dus (, ) (ook ij t = ) t = geeft = os = dus (, ) = = is de periode van de kromme = dus ost = ost = geeft t = + k of t = + k dus t = 6 + k of t = + k Op [, ] gel t =, t = 6 5, t = 6 7, t = of t = 6 Voor t = 6 5 en t = gel (, 6; ) 6 Voor t = en t = gel (, ) Voor t = en t = gel (, 6 ; ) 5a = = is de periode van de kromme Er is een vertiale raaklijn in x = 5 of x = 5 5os t = 5 geeft t = en 5os t = 5 geeft t = of t = Voor t = en t = gel ( 5, ) en t = geeft ( 5, ) Er is een horizontale raaklijn als = of = sin t = dus sin t = voor t = of t = sin t = dus sin t = voor t = of t = t = geeft (, 5; ) ; t = geeft (, 5 ; ) ; t = geeft (, 5 ; ) ; t = geeft (, 5; ) 7

9 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen t = en t = geven, = 5sin t en d = os t (met de kettingregel) Voor t = gel d x = 5 en d = dus d = 5 Voor t = gel d x = 5 en d = dus d = 5 De vergelijkingen van de raaklijnen zijn dus = 5 x en = 5 x d x en zijn verwisseld dus spiegeling in de lijn = x 6 x O 6 6a = = is de periode van de kromme = os t is maximaal als os t = dus als t = + k (, ) en (, ) zijn de keerpunten d t = geeft, = sin t en d = sin t x Voor t = +, gel d, en d, dus d De helling in (, ) is Uit de smmetrie volgt dat de helling in, is 7a 8 = = 8 is de periode dus elk domein met lengte 8 plot preies één periode = os t en d = sin t Voor t = gel d x, 77 en d = dus d = =, 77 8

10 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen d Er is een horizontale raaklijn als d = en d x = sin t = als sin t = dus t = + k t = (of of 8 ) geeft (, ) t = (of ) geeft (, 7; ) t = 5 (of 7 ) geeft, 7; Voor t = of t = 6 gel d x = dus de keerpunten zijn,, voor t = 6 voor t = en Vervormen ladzijde 8a = dus os6t = os6t = geeft 6t = + k ofwel t = + k 6 De zes nulpunten zijn (, 78; ), (, 78; ),, ; (, 9; ) x = dus sin t = sin t = dus t = + k Voor elk van deze t-waarden hoort, = = voor t = en t = t = geeft keerpunt (, ) t = geeft keerpunt (, ), ( ) en, ;,, 9; De periode van K, K en K is d Als is even heen de krommen keerpunten e Er gel voor elke dat x en dus de afmeting van de rehthoek is 6 ij 9a = = is de periode voor elke waarde van a De krommen vallen samen maar ij dezelfde waarde voor t horen vershillende punten op de krommen De krommen zijn elkaars spiegeleeld in de -as omdat os t = os ( t + ) d De vorm is hetzelfde alleen de x-oördinaten vershillen steeds een fratie van elkaar omdat, 57 9

11 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen ladzijde 5 a De periode van x = sin t is = 6 en van = os t is de periode 6 = 9 = 6 is de periode van de kromme = = is de maximale waarde van dus krijg je raakpunten met de lijn = = geeft ost = dus ost = Hieruit volgt t = + k ofwel t = + k dus t =, t =, t =, t =, t =, t =, t =, t =, t = 5 of t = 6 Invullen in x = sin t geeft voor t = en t = 6 dezelfde uitkomst terwijl de overige t-waarden vershillende uitkomsten geven Er zijn dus negen punten op de kromme waar = geraakt wor Voor = volgt uit os t = dat t = + k dus t = + k ofwel t =, t =, t =, t =, t =, t = 5 of t = 6 t =, t = en t = 6 geven dezelfde x-waarde, ook t = en t = geven dezelfde x-waarde en dat gel ook voor t = en t = 5 Er zijn dus drie raakpunten met = De linker figuur lijkt op de kromme voor = en de rehter figuur op de kromme voor = Door te plotten vind je = 5 voor de linker figuur en = voor de rehter figuur a De periode van x = sin t + a is en van = os t is de periode De periode van de kromme is dus Uit een plot volgt dat de kromme zihzelf snij op de x-as dus als = os t = geeft t = en t = Invullen in x = sin ( t + ) geeft in eide gevallen (, 8; ) = os ( t + a) en d = t sin = voor t = + k geeft t = + k dus t =, t = of t = In een keerpunt gel d x = én d = t = geeft d x = os( + a) = os a = dus a = + k t = geeft d x = os( + a) = dus a = + k t = geeft d x = os( + a) = dus a = + k Voor a = + k zijn er twee keerpunten a De kromme snij zihzelf in, x = geeft ( os t) sin t = dus os t = of sin t = os t = geeft t = of t = sin t = geeft t =, t = of t = Invullen in = ( + os t) os t geeft voor t = of t = of t = steeds =

12 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen = sin t sin t + ( os t) os t = sin t + os t os t = sin t os t + ( + os t) sin t = sin t os t sin t Kies t = +,, 95, en d, 8 De helling voor t = is d, 8, 58, Voor grote waarden van a is os t te verwaarlozen dus x a sin t en a os t De krommen zijn dus vrijwel irkels met straal a en middelpunt (, ) a Voor n is even gel x en Voor n is oneven kunnen x en ook negatieve waarden aannemen Hoe groter n des te dihter de kromme ij de oorsprong komt te liggen maar elke kromme gaat wel door (, ) en (, ) Een waarde tussen en tot een hogere maht ligt dihter ij nul 5 Baansnelheid a d e ladzijde 6 = os t = als t = + k De kromme heeft dan een vertiale raaklijn als d of een keerpunt als ook gel = sin t = als t = + k dus t = + k, dus in de punten,,,,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) De snelheid is de lengte van pijl v en die is te erekenen met de stelling van Pthagoras = os = en d = sin = v ( ) = + = In een keerpunt gel d x = = dus v = =

13 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen 5a v = x t = os d = is de snelheid in horizontale rihting en v = d t = sin d + sin = is de snelheid in vertiale rihting = = os en d = sin + sin = dus v ( ) = ( ) + = 6a ladzijde 7 = os t + os t = geeft met de grafishe rekenmahine t, 5, t = en t 5, = sin t + sin t = geeft met de grafishe rekenmahine t =, t, 5, t =, t 5, en t = De keerpunten zijn ij t, 5 (, 6;, 5), ij t = (, ) en ij t 5, (, 6;, 5) Punt P is dus (, 6;, 5) Zie onderdeel a Voor t =, 5 gel d 97, en d, De helling in P is d,, 58, 97 Voor t = gel d x = en d = dus de aansnelheid is ( ) = ( ) + ( ) = 8 v 7a d x = geeft sin t = dus t =, t = of t = t = en t = geven, ;, = geeft os t = en t = geeft (, ) ;, dus t = of t = en t = geeft ( ) t = geeft,, ;,, ; = os t = voor t = of t = Vertiale raaklijn in (, ) ( ;, ) en (, ) ( ;, ) = sin ( t ) = voor t = of t = Horizontale raaklijn in (, ) en (, ) Je kunt de kromme in omgekeerde rihting laten lopen door t te vervangen door t Je krijgt dan x = sin ( t) en = os( ( t) t ) Voor t = gel d x 8, en d, 875 dus de aansnelheid is v, 8, 875, 5 + ( )

14 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen 8a Er zijn vier punten met een horizontale raaklijn en twee punten met een vertiale raaklijn = sin t ( os t + ) + ( os t ) sin t = sin t os t + sin t = sin t ( os t + ) = als sin t = of os t = dus t = of t = of t = of t, of t, 97 t = en t = geeft (, ) t = geeft (, ) t, geeft (, 9;, 5) t, 97 geeft (, 9;, 5) = os t = voor t = of t = Voor t = gel v = + = en voor t = gel v = ( + ) = = + d = os t os t als os t = of os t = dus t = of t = of t = of t = Voor t = of t = gel d x = en d = dus v = + = Voor t = gel d x = en d, 6 dus v ( ) + ( 6 ),, Voor t = gel d x = en d 6, dus v ( ) + ( 6 ),, 6 Gemengde opdrahten ladzijde 8 9a x en De periode is want = = sin t = voor t =, t = of t = Vertiale raaklijn voor t = en t = in, en voor t = in ( ) = os t = voor t =, t =, t = of t = Horizontale raaklijn voor t = in, ( ) in, en voor t = in, d Voor t = en t = gel,, voor t = in ( ),,, voor t = t = geeft d x = en d = dus d = = waaruit volgt dat = x de vergelijking van de raaklijn is t = geeft d x = en d = dus d = vergelijking van de raaklijn is = waaruit volgt dat = x de

15 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen e Voor t = en t = gel d x t = geeft keerpunt, en t = = a x = os t + voor t = of t = 6 6 Beide waarden geven, = sin ( t + ) = en d = os t = ( ) ofwel ;, 87 geeft keerpunt, = sin t = geeft t =, t =, t =, t = of t = t = en t = geven, t = geeft ( ) t = geeft, t = geeft,, ofwel, 7; ofwel, 7; Voor t = gel d x = ( + sin ) = en d = ( os ) = dus v = 5 + ( ) = ladzijde 9 en straal a x = os t en = sin t is een irkel met middelpunt, Om middelpunt (, ) te krijgen gel dus = sin t + Op t = start de kromme in (, ) Om de kromme in P ( 8, 8) te laten starten moet gelden x = os ( + a) = 8 waaruit volgt dat a, 785 De ewegingsrihting van A is linksom dus B draait met de klok mee De omtrek van de kleine irkel is en de periode is dus de aansnelheid is = m/s x = + 5os ( t + a) en = 5 5sin ( t + a) x = 8 geeft os a =, 8 dus a, 6 = 8 geeft sin a =, 6 dus a, 6 of a, 785 Als a, 6 start in P ( 8, 8) en gel x = + 5os ( t, 6) en = 5 5sin ( t, 6) d = 5 5sin ( t, 6) = geeft sin ( t, 6) = dus t, 6 = ofwel t, 7 e = sin (, 7, 6 ) = Zie ook opdraht De snelheid waarmee C over de x-as eweegt is gelijk aan de snelheid van in punt Q dus m/s

16 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen ICT Families van Lissajousfiguren ladzijde 5 I-a L is een deel van een paraool en K is een irkel als de shaalverdeling op eide assen hetzelfde is - K: de periode van zowel x als is dus de gemeenshappelijke periode is L: de periode van x is en van is de periode dus de gemeenshappelijke periode is I-a De periode van x is = en van is = de periode De periode van K is want = = x = os t = voor t =, t =, t = en t = De snijpunten met de -as zijn, (, ) ofwel ;, ofwel ;, voor t = en t = voor t = en t = en = sin t = voor t =, t =, t =, t =, t =, t = en t = De snijpunten met de x-as zijn, t =, t =, t = en t = S, voor t =, t = en t = en ( ), voor I-a x = os t dus os t = x Sustitutie in = + os t geeft = + ( x) dus = x + 7 De x-waarden lopen van = tot en met + = x = sin t dus sin t = x + Sustitutie in = sin t geeft = ( x + ) = x + x + d De x-waarden lopen van = tot en met = dus domein [, ] e Een mogelijk domein is [, ] ladzijde 5 I-a = 6 os t = voor t = + k Vertiale raaklijn voor t = in ;, ( ;, ) en voor t = in ( ;, ) = 6sin t = voor t = + k Horizontale raaklijn voor t = en t = in, t = in ( 6 ), ;, voor t = in, in, 6;, voor t = in ( ) ;,, voor t = in, voor t = in (, 6 ; ), voor, voor t = in (, 6 ; ) en voor t = 5

17 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen = dus ost = ost = geeft t = + k of t = + k dus t = 6 + k of t = + k Op [, ] gel t =, t = 6 5, t = 6 7, t = of t = 6 Voor t = 6 5 en t = gel (, 6; ) 6 Voor t = en t = gel (, ) Voor t = en t = gel (, 6 ; ) Voor t = gel d x = 6 en d = 6 dus helling d = = 6 6 Voor t = gel d x = 6 en d = 6 dus helling d = = 6 6 I-5a Snijpunten met x-as als = os 6t = dus 6t = + k waaruit volgt t = + k 6 t = geeft (, 78 ; ), t = geeft (, 78; ), t = geeft, ; geeft (, ; ), t = 5 geeft (, 9 ; ) en t = 5 geeft (, 9; ) Snijpunt met -as als x = sin t = dus t = + k Elk van deze t-waarden geeft,, t = = os t = en d = sin 6t = voor t = en t = die de keerpunten,, opleveren en ( ) K : Periode x is, periode is, periode K is K : Periode x is, periode is, periode K is K : Periode x is, periode is, periode K is d x loopt van tot en met en van tot en met dus de rehthoek is 6 ij e Als a is even dan heeft de kromme keerpunten, als a oneven is is de kromme gesloten f Als a is even zijn er a toppen K heeft dus = 99 toppen I-6a De kromme heeft periode want = = De krommen vallen samen maar ij dezelfde t-waarden horen vershillende punten op de krommen De krommen zijn elkaars spiegeleeld in de -as d De vorm is hetzelfde alleen de x-oördinaten vershillen steeds een fratie van elkaar omdat, 57 I-7a Hoe groter a des te meer golven Keerpunten krijg je als d x en d = = Voor K 5 gel: = os t = t = + k t = + k = 69 sin 5t, vul t = + k in, geeft: = 69 sin 5 ( + k = ) sin( 5k), dus geen keerpunten Alleen als a is even zijn er keerpunten 6

18 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen = geeft ost = dus ost = waaruit volgt t = + k t = en t = 6 geven dezelfde uitkomst voor x en t =, t =, t =, t =, t =, t =, t = en t = 5 geven nog aht andere uitkomsten voor x d Er zijn geen keerpunten dus a is oneven Voor a = 5 krijg je dezelfde kromme Test jezelf ladzijde 5 = T-a = t t = t t als t = of t = of t = x = 5, x = 9 en x ( ) = 7 dus de snijpunten met de x-as zijn ( 5, ), 9, en ( 7, ) x = t t 5 = ( t 5) ( t + ) = als t = 5 of t = ( 5) = 5 en ( ) = dus de snijpunten met de -as zijn (, ) en (, 5) Het minimum van x is 9 dus x 9 d Uit de plot van = t t volgt dat alle waarden uit R kan aannemen e O x 8 T-a = sin t = 8, 5 én d voor t = en ( 8, 5) voor t = = 5os t = als t = of t = De keerpunten zijn De ewering is niet volledig want er moet ook gelden dat d x In dit keerpunt is t =, 7 Voor t =, 7 gel d x, 9789 en d, 75 De helling in ( 8, 5) is d, 75, 9789, 5 T-a x ( ) = ( ) =, dus (, ) op de kromme voor t = = os t os t en d = sin t + sin t Voor t = gel d x = en d = dus d = = x = sin t sin t = levert met de rekenmahine t = of t, 5 of t = of t 5, of t = t, 5 en t 5, geven alleei punt, 7

19 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Snijpunten met de -as voor t = of t, 5 of t = of t 5, of t = De ijehorende punten zijn (, ), (, ) en (, ) Snijpunten met de x-as als = os t os t = Met de rekenmahine vind je t = of t, 9 of t, 9 of t = De ijehorende punten zijn,, ;, 7;, ( 7 ) en ( ) d Horizontale snelheid = = os t os t Vertiale snelheid = = sin t + sin t e Voor t = gel d x = en d = dus de aansnelheid is v = + ( ) = 5 ladzijde 55 T-a Voor a = gel x = os t en = os t dus = x Voor a = gel x = os t en = os( t ) = os t dus = x Voor a = gel x t = os en t sin t dus is de kromme een irkel = T-5a x en dus de kromme past in een rehthoek van 8 ij d = sin t = voor t = + k = 6 os( t a) moet ook nul zijn voor t = dus 6 os t a a = + k ofwel a = 6 + k Er moet gelden dat a tussen en ligt dus a =, a = 6 of a = 6 5 = sin t en d = 6 os ( t, 7) Voor t = 5 gel d x, en d 5, 6696 De aansnelheid is v = (, 85697) + ( 5, 6696) 6, 85 Voor t = en t = gel d x = sin t en d Voor t =, gel d, 8,, 5 Voor t = +, gel d, 8,, 5 De helling in de keerpunten is dus,5 = 6 os t = Hieruit volgt T-6a Snijpunten met -as als x = os t = dus als t = of t = t = geeft (, ) en t = geeft (, ) Snijpunten met x-as als = sin t sin t = Met de rekenmahine vind je t =, t, 5, t, 6, t =, t, 67, t 5, 76 of t = Dit geeft als snijpunten met de x-as:,, ;, 7; en,, ( 7 ), ( ) 8

20 Hoofdstuk - Periodieke ewegingen x = geeft os t = dus t = of t = De -waarde moet nul zijn: sin ( ) a sin ( ) = waaruit volgt dat sin ( ) ( sin ( ) a ) = geeft a = dus a = x = geeft os t = dus t = of t = De -waarde moet nul zijn: sin ( ) a sin ( ) = waaruit volgt dat sin ( sin ) ( ( ) a ) = geeft a = dus a = Dus voor a = gaat de kromme door (, ) en door (, ) x = geeft t = of t = (zie onderdeel a) = etekent sin ( ) a sin ( ) = geeft a = en sin ( ) a sin ( ) = geeft a = Uit een plot lijkt dat voor a = de kromme raakt in de oorsprong d = : sin t a sin t = sin t ( sin t a) = sin t = of sin t = a sin t = geeft t =, t = of t = dus (, ) en (, ) sin t = a heeft geen oplossingen voor a > Dus als a > zijn er twee snijpunten met de x-as e Als a = gel sin t = dus t = of t = Deze t-waarden geven alleei punt (, ) Er zijn dus drie snijpunten met de x-as als a = Voor < a < heeft sin t = a vier oplossingen die twee vershillende snijpunten met de x-as geven anders dan (, ) en (, ) Dus als < a < zijn er vier snijpunten met de x-as 9