Blok 3 - Vaardigheden

Transcriptie

1 Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen als het prout gelijk is aan. f ( )( ) + ( )( + ) ; nu kun je e methoe van onereel alsnog toepassen: of + of a ( + 6)( ) ( + 6) ( 6+ ) 6 6 ( 6)( + ) 6 of Als + 6 an is zowel ( + 6)( ) als ( + 6) gelijk aan. De oplossing van + 6 is us ook oplossing van ( + 6)( ) ( + 6). Bart heeft us gelijk. Bij + 6 hoort e oplossing. ( ) 6 a ( p + ) 6 p + p+ 6 p + p ( p )( p+ ) p of p ( p + ) 6 p+ of p+ p of p : ( w + ) w+ of w+ w of w : (, k + ), k+ of, k+, k 9 of, k k of k Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 9

2 Blok - Vaarigheen lazije 7 a A: ( + )(, ) + of, of, of 6 C: ( )( ) of of of of of of D: ( + ) ( + ) + of of of F: (, + ) 6, + of, +, 6 of, of B: ( + ) + + ( ) of + of - E: ( + )( + ) of of - 7 a ( ) ( )( + ) of 6+ ( + ) 7 ( + ) 6 + of + 7 of 9 of ( + )( + ) ( )( + ) + of + of 6 ( ) of of Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

3 Blok - Vaarigheen e ( 9) 7 of 9 7 of 9 of f ( ) ( ) g ( ) of + of + of h ( + ) ( + ) + ( + ) of + ( + ) + + of + of of 6a e f g h a a a+ + a+ + a + a a a ( ) a a a a a a a a a a + a + a + a a a a ( a ) ( a ) 7a Omat e noemer an is. + 6 ( + ) + ( + ) f ( ) ( ) g ( )( teller en noemer elen oor ( + ) ) + ( + ) Voor zijn e funtiewaaren van f en g niet gelijk: g( ), maar f ( ) estaat niet (zie onereel a). Overigens estaan eie funtiewaaren niet voor. a Delen oor is niet geefinieer. De funtie g ( ) is niet geefinieer als e noemer is, us als, ofwel als. Ook g ( ) estaat niet als e noemer van e reuk in e noemer gelijk is aan, us als. De funtiewaare h ( ) estaat niet als, us als. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

4 Blok - Vaarigheen Er gelt g ( ) h ( ), mits : h( ) en g( ) estaat niet. Voor funtievoorshriften wel gelijk: g( ) en h( ) estaan eie niet. zijn e lazije 9a Bij f mag e noemer niet zijn, verer mag alles. Dus is het omein van f estaat uit e intervallen, en,. In het geval van funtie g mag niet zijn en at gelt ook voor, ofwel mag ook niet gelijk zijn aan. Het omein van g estaat uit e intervallen, ;, ;,. Voor h moet gelen en. Los eerst op. - of. Het omein van h estaat uit e intervallen:, ;, ;, ;,. f ( ) ( ) + + ( + ) + als g ( ) als ( ) h ( ) ( ) als a Voor. Aan e rehterkant van e gelijkhei neem je.door kruislings vermenigvuligen krijg je het resultaat van Cor. Het mits geeelte vin je oor te onerzoeken wanneer e noemer is in e oorspronkelijke vergelijking. ( ) mits mits 6 mits en us is e oplossing.. Door kruislings te vermenigvuligen krijg je ( ) ( ) mits en. e ( ) ( ) mits en ; an is 6 + mits en of + mits en. Deze tweeegraasvergelijking heeft oplossingen + ( ) + 7, en 7, 7. Deze waaren voloen. Bijehorene y-waaren vin je oor e gevonen -waaren in het funtievoorshrift van f in te vullen. De oörinaten van e snijpunten van f en g zijn an ongeveer, 7;, 7 en, ;,97 ( ) ( ). Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

5 Blok - Vaarigheen lazije 9 a e f a mits mits 7 7 mits en us mits en ( ) mits en en us 6 ( ) mits 6 ( )( + ) us of + ( + ) ( ) mits + mits 7 en 7 of ( )( + ) ( ) mits 6 mits mits us ( ) + ( ) ( + ) mits + mits mits ; hier geen oplossing De grafiek van f is een hyperool, e grafiek van g een rehte lijn. Er zijn twee snijpunten. Je proeert it proleem algeraïsh op te lossen ( + ) mits 6+ + mits + 6 ( + 6) ( ) en us zijn e -waaren van e snijpunten en 6. De snijpunten zijn ( ; ) en ( 6 ; ). Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

6 Blok - Vaarigheen a Een grafiek van s is: s t + st ( + ) t + s t s Een grafiek van t is: Bij s is s e horizontale en t e vertiale asymptoot. Bij t is t e horizontale en s e vertiale asymptoot. Horizontaal en vertiaal zijn nu verwissel. a p q pq q p p 6 q p( q ) 6 q 6 p q 6 + p q + p q p + 7 q p 7 7 p q ( ) q p q + q qq ( + ) a p q,mits q+, us p q,mits q. q + ( q + ) p q, mits q is gelijkwaarig met p q, mits p 6 ; het antwoor is: q p, mits p 6. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

7 A-Vaarigheen lazije 9 6a De toename over at interval is A( 9) A(). De gemiele toename is 9. A A( ) A( ) ( ) p Het hellingsgetal in (, ) is A A(, ) A( ), 999,. p,, 7a De grafiek van p aalt ij t (hellingsgetal raaklijn, < ) en stijgt ij t (, > ), en moet tussen t en t een top heen, een minimum. Het hellingsgetal veranert in e tael nog eens van teken. Tussen t en t moet e grafiek van p een maimum heen. In t is p immers stijgen en in t alen. Maak geruik van nderiv, vin e tael uit het oek en sroll naar eneen. Op zeker moment zie je an onerstaane tael. Je moet tussen en verer zoeken. Door TlStart te nemen en Tl, lijkt at je vervolgens tussen, en, verer moet zoeken. Met TlStart, en Tl, lijkt voor t, e helling ongeveer te zijn: a f( ) ( )( + ) + ; f'( ) f 67 Er gelt f ( ) 7, us 7 en zoat. De rihtingsoëffiiënt van e raaklijn is f ( ) 7. De vergelijking van eze raaklijn heeft us e vorm y 7 +. (, ) invullen geeft 7 + en us is. De vergelijking van e raaklijn is y 7. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

8 A-Vaarigheen 9a f( ) + 7 f'( ) + 7 Qt () 6t+ t Q'( t) 6+ t pt () t( t ) t + t p'( t) t + Rm ( ) 6 ( m ) ( 6m 6m+ 9) m m + 6 R'( m) m e K( p), p K'( p), f Qw ( ) ( w )( w + w) w w + 6w w Q'( w) w w + w lazije 9 a De amplitue is stees e helft van het vershil tussen e maimale en e minimale waare. De amplitue van f is ( ), ie van g is ( ) en ie van h is ( ). De evenwihtsstanen liggen preies tussen e etreme waaren in: voor f is at y, voor g en his at y. De perioe van f is π (vergelijk f ( ) en f ( π )), ie van g is π (vergelijk g( ) en g( π )) en ie van h is π (vergelijk h( ) en h( π )). f( ) + sin( + a) met perioe π π, us ; verer is f ( π ), us sin ( π+ a ), π+ a π en a zoat f( ) + sin( ). g ( ) sin( + a) met perioe π π, us ; verer is g( π ), us sin( π+ ), π+ πen π zoat g ( ) sin( + π) of g ( ) sin( ) h ( ) sin( + a) met perioe π π, us ; verer is h( ), us sin( ), en π zoat h ( ) sin( + π ) of h ( ) os.. graen raialen π π 79, 6 π π 9, π,, a Hieroner zijn e grafieken van f( ) sin( ) en g ( ), geshetst voor het interval ;. Je lost eerst e vergelijking sin( ), op voor at interval. Met interset:, 96 of, 6 of, of,. De oplossing van e ongelijkhei estaat uit e intervallen:, 96;, 6 en, ;,. 6 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v

9 A-Vaarigheen Hieroner zijn e grafieken van f( ) os( ) en g ( ), geshetst voor het interval π; π 7, ; 9,. Je lost eerst os( ), op voor at interval. De eerste twee oplossingen vin je met interset:, 6 of, 9. De anere oplossingen vin je π of een veelvou aarvan naar rehts: 6, 7 of 9, 9 of 9,. De oplossing van e ongelijkhei estaat uit e intervallen:, 6;, 9 ; 6, 7; 9, 9 ; 9, ; 9,. a De amplitue van f( ) asin is en e perioe π. Dat etekent at a ± en e perioe van f is π π us is en is f ( ) sin ( π ) of f( ) sin ( π ). De toppen van e sinusoïe f( ) + asin + π en ( π, ), us is ( ) zijn (, ) e evenwihtsstan y + ( ) en e amplitue ( ). Dat etekent at en a. Er ligt een halve perioe tussen opeenvolgene toppen, us is e perioe ( ) π π π. Dit is gelijk aan π ( ) ( π ), us. Je het nu f ( ) sin + met f ( π ) en sin π+ en π+ π zoat π en f( ) sin ( ) of ook f( ) sin( ). f( ) sin : amplitue en perioe π g ( ), os : amplitue, en perioe π π h ( ), sin π : amplitue, en perioe π π π Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel Noorhoff Uitgevers v 7