Voorkennis + lijst met standaardintegralen
|
|
- Frieda de Vries
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking is een lastig karwei. We laten at het liefst aan e computer over. Echter voor het ontwikkelen van het begrip en het begrijpen van e oplossingsmethoen van ifferentiaalvergelijkingen leren we nog slechts één methoe: Het scheien van variabelen y t = k y y y = k t y y = k t Hierbij komt enige techniek van het herleien, het gebruik van breuken, rekenkregels van machten en logaritmen en integreren bij kijken. Bij e stappen ie tot e oplossing leien wort uitleg gegeven oner e knop met verwijzingen naar rekenregels. Bovenien zijn er vaak meer manieren om e oplossing op te schrijven. Het is an belangrijk at rekenregels snel herken woren ter bevorering van e communicatie tussen ingenieurs onerling. Aan e han van e oplossingsmethoe van het scheien van variabelen zullen we een aantal voorbeelen bekijken. In e voorbeelen is stees sprake van e functie y t tenzij aners vermel. Voorkennis + lijst met stanaarintegralen Q Repeteer nog even e rekenregels voor machten. Q en e rekenregels voor logaritmen. Q Verer moet je goe met het vereenvouigen van breuken en vergelijkingen met
2 breuken kunnen werken. Q Een lijstje met stanaarintegralen is ook aan te bevelen.
3 f x f x x x x 2 2 x n x n C n C sin a x K cos a x a cos a x sin a x a x ln x x 2 C 2 x x 2 C3 e a x arctan x ln x 2 C3 e a x a K Kx 2 arcsin x Kx 2 Karcsin x Cx 2 arctan x x x 2 K Kx2
4 Voorbeel Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. t yt = k yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y = k y t aanwijzing Breng nu alles met y naar e linkerkant van het isgelijkteken en e rest naar rechts. in twee stappen Dat kan ook in twee stappen: Links en rechts t y = k y t Daarna links en rechts elen oor y. y y = k t aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en bereken e integralen. Vergeet aarbij e constante niet. Z je lijstje met stanaarintegralen weer eens op. y = k t y aanwijzing 3 Bij het integreren zoner grenzen komen eigenlijk twee constanten (integratieconstanten). Eentje links en eentje rechts. ln y CA = k tcb Dit is te herleien tot: ln y = k tcbka Noem nu BKA aners, bijvoorbeel C. ln y = k tcc aanwijzing 4
5 Let op e moulusstrepen van y. Er is namelijk niet gegeven at y altij positief moet zijn en omat we hier rekenen in e Reële getallen, kan oner e ln geen negatieve waare komen te staan. We zijn us geekt. aanwijzing 5 Verer gebruiken we e efinitie van e logaritme en e exponentiële functie om y expliciet te maken. ln y = p <==> y =e p y =e k t CC aanwijzing 6 Je gebruikt hier e rekenregel van e machten. a 3 a 4 = a 3 C4 = a 7 aanwijzing 7 y =e C e k t De waare van e C kan alleen positief zijn. (Kennis van exponentiële functies en grafieken.) Geef nu een nieuwe naam aan e constante e C = C en neem aan at eze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen e absoluutstrepen van y. y = C e k t. De constante C wort integratieconstante genoem. Deze ontstaat us bij het integreren. Als er beginvoorwaaren van e functie y t gegeven zijn, kan e integratieconstante geëlimineer woren. (Zie voorbeelen hieroner. ) oplossen met e computer Voorbeel 2 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking t yt = t3 yt
6 De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossen met scheien van variabelen y = t 3 y t aanwijzing Links en rechts met t vermenigvuligen en aarna links en rechts oor y elen. in twee stappen Eerst links en rechts t y = t 3 y t Daarna links en rechts geeel oor y. y y = t3 t aanwijzing 2 Vervolgens links en rechts een integraalteken ervoor en uitrekenen. y y = t3 t aanwijzing 3 Let op e moulusstrepen van y. Er is namelijk niet gegeven at y altij positief moet zijn en omat we hier rekenen in e Reële getallen, kan oner e ln geen negatieve waare komen te staan. We zijn us geekt. aanwijzing 4 Voor een aanwijzing over e constante C zie integratieconstante. Bij voorbeel aanwijzing 3. ln y = t4 4 CC aanwijzing 4 Voor het expliciet maken van y gaan we e rekenregel en e efinitie van e logaritme gebruiken. Zie ook aanwijzing 5 van voorbeel exponentiele functie en logaritme. y = C e aanwijzing 5 Zie voor bovenstaane stap e rekenregel voor machten bij aanwijzing 6 van voorbeel en tevens bij aanwijzing 7 van voorbeel, e behaneling van e moulusstrepen. t 4 4
7 met e computer Voorbeel 3 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =0 als t =. 2 t yt = yt t De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen aanwijzing t y t = y 2 Vermenigvulig links en rechts met t en eel links en rechts oor y 2 en eel ook links en rechts oor t. in rie stappen Vermenigvulig links en rechts met t. Deel links en rechts oor y 2. t y = y 2 t Deel links en rechts oor t. t y y 2 = t y y 2 = t t aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en reken uit. y 2 y = t t aanwijzing 3
8 Met e rekenregels van e machten weet je at y K2 = y 2 en natuurlijk y K = y. aanwijzing 4 Schrijf e linker integraal als y K2 y en kijk of je nu begrijpt at e berekening aarvan oplevert: y K2 y = Ky K CA Zie in een eerere aanwijzing voor e behaneling van e integratieconstante. K y =ln t CC aanwijzing 5 Links en rechts vermenigvuligen met K en vervolgens links en rechts het omgekeere nemen. aanwijzing 6 Het omgekeere van y is y en het omgekeere van ln t CC is ln t CC y = K ln t CC Dit is e algemene oplossing. Vervolgens moeten we e oplossing vinen ie voloet aan e ranvoorwaare y =0. aanwijzing 7 Vul t = in en an moet y =0 zijn. Je kunt an e integratieconstante C berekenen en us elimineren. 0 = K ln CC aanwijzing 8 Ga na at ln =0. 0 = K ==> C = K C 0 De oplossing is us y = K ln t K 0 aanwijzing 9 Liever geen breuken in e breuk us teller en noemer met 0 vermenigvuligen. 0 y = K 0 ln t K
9 oplossing met e computer Voorbeel 4 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =0 als t =0. t yt =eky sin 2 t t De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t =e Ky sin 2 t aanwijzing Scheien van variabelen oor links en rechts met t te vermenigvuligen en aarna links en rechts met e y te vermenigvuligen. Immers e Ky e y =e 0 =. e y y =sin 2 t t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op e link voor informatie over e integratieconstante. e y y = sin 2 t t e y = K cos 2 t CC 2 aanwijzing 3 Als je bij een vergelijking links en rechts e logaritme neemt, moet je van het hele linkerli oen en van het hele rechterli in één keer e logaritme nemen. a = b ln a =ln b ln e y =ln CK cos 2 t 2 aanwijzing 4 Met e bekene rekenregel voor logaritmen weet je at ln e y = y ln e = y.
10 ln x p = p ln x y =ln CK cos 2 t 2 Dit is e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking. Nu e oplossing met e ranvoorwaare y 0 =0 aanwijzing 5 Vul in e algemene oplossing t =0 en y =0 in en an kan C geëlimineer woren. Hierin is cos 0 =. 0 = ln CK 2 aanwijzing 6 Ga na at ln e 0 =0 met e rekenregels van logaritmen. CK 2 =e0 C =e 0 C 2 aanwijzing 7 Deze gevonen waare van C invullen in e algemene oplossing: oplossing is y =ln e 0 C 2 K cos 2 t 2 aanwijzing 8 Eventueel kun je e vorm oner e ln ook nog als één breuk schrijven: y =ln 2 e0 C Kcos 2 t 2 en met e rekenregels voor logaritmen eventueel nog uit elkaar trekken y =ln 2 e 0 C Kcos 2 t Kln 2 aanwijzing 9 Als a en b beie groter zijn an 0 gelt e volgene rekenregel voor logaritmen: ln a b =ln a K ln b met e computer Voorbeel 5 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y = als
11 t =0. t yt = t2 e yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen aanwijzing y t = t 2 e y Eerst links en rechts t en vervolgens links en rechts e Ky. Immers e Ky # e y =. e Ky y = t 2 t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op e link voor informatie over e integratieconstante. e Ky y = t 2 t Ke Ky = t3 3 CC aanwijzing 3 Links en rechts vermenigvuligen met K. aanwijzing 4 e Ky = CK t3 3 Je zou eigenlijk moeten schrijven e Ky = K t3 3 KC. Maar om een overvloe aan mintekens te vermijen, kunnen we e constante KC vervangen oor een anere ie we C noemen. De algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking is hier impliciet geschreven. Eventueel kunnen we e oplossing ook expliciet schrijven. Echter we gaan nu eerst e constante C elimineren oor e ranvoorwaare y 0 = in te vullen. aanwijzing 5
12 We moeten us t =0 en y = invullen en vervolgens C berekenen. Let hierbij op at e K = e De oplossing wort an in impliciete vorm: C = e e y = e K t 3 Vervolgens e oplossing expliciet maken. aanwijzing 6 Maak van het rechterli één breuk. e y = 3 Kt 3 e 3 e aanwijzing 7 Links en rechts e breuken omkeren. e y 3 e = 3 Kt 3 e aanwijzing 8 Links en rechts e logaritme nemen waarbij natuurlijk ln e y = y. y =ln 3 e 3 3 Kt 3 e aanwijzing 9 Met e rekenregels voor logaritmen is it nog uit elkaar te trekken. ln a b c =ln a C ln b K ln c y =ln 3 C Kln 3 Kt 3 e met e computer Voorbeel 6 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t.
13 Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =2 als t =0. t yt = et yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t = et y aanwijzing Eerst links en rechts met t vermenigvuligen en aarna links en rechts y. y y =e t t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en aarna berekenen. Let op e truc met e integratieconstante. y y = e t t y 2 2 =et CC De oplossing staat nu in impliciete vorm. Voorat we verer gaan kun je eerst e integratieconstante elimineren oor e ranvoorwaare y 0 =2 nu in te vullen. aanwijzing 3 Vul us y =2 en t =0 in bovenstaane vorm en bereken C. 4 2 =e0 CC 2=CC C = aanwijzing 4 Links en rechts met 2 vermenigvuligen. De oplossing in impliciete vorm is us
14 y 2 2 =et C y 2 =2 e t C2 aanwijzing 5 y = 2 e t C2 Eigenlijk is het natuurlijk y = 2 e t C2 of y = K 2 e t C2. Echter e negatieve wortelvorm voloet niet aan e ranvoorwaare us is alleen e positieve tak een oplossing van e ifferentiaalvergelijking. met e computer O O restart;v:=iff(y(t),t) = exp(t)/y(t); solve({v,y(0)=2},y(t)); v := t yt = yt = et yt 2 e t C2 Voorbeel 7 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. t yt = ytc2 tk20 De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t = y C2 tk20 aanwijzing Vermenigvulig links en rechts met t en eel vervolgens links en rechts oor y C2. y y C2 = t tk20
15 aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik ope link voor informatie over integratieconstanten y C2 y = tk20 t aanwijzing 3 Ga eventueel nog even je lijstje met stanaarintegralen volleig maken. ln y C2 =ln tk20 Cln C aanwijzing 4 Je zou kunnen zeggen at ln y C2 =ln tk20 CC ook zou kunnen. Maar of je nou C of ln C neemt, it zijn beien willekeurige constanten. De constante aan e rechter kant stel je zo algemeen mogelijk. (Zie ook bij Integratieconstante.) Echter ter voorbereiing van e volgene stap kun je beter e constante ln C noemen, want an kunnen e logaritmen gemakkelijk bij elkaar genomen woren met e volgene rekenregel. ln a C ln b =ln a b aanwijzing 5 Vervolgens us aan beie kanten één logaritme maken. ln y C2 =ln C tk20 aanwijzing 6 Omat nu links en rechts één logaritme staat, kun je eze weghalen. y C2 = C tk20 aanwijzing 7 Als je nu afspreekt at e constante C ook negatief mag zijn, an kunnen e moulusstrepen wel weg. y C2=C tk20 y = C tk20 K2 Dit is e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking. met e computer O O restart; v:=iff(y(t),t) = (y(t)+2)/(t-20); v := yt C2 yt = t t K20 solve(v,y(t)); yt = K2 C t K20 _C
16 Voorbeel 8 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. x y x yx =2 yx 2 K8 De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yx maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van x. oplossen met scheien van variabelen x y y x =2 y2 K8 aanwijzing Links en rechts vermenigvuligen met x. En links en rechts elen oor x. aanwijzing 2 y y = Links en rechts nog elen oor 2 y 2 K8 2 y2 K8 x x y y 2 y 2 = x K8 x aanwijzing 3 Nu links en rechts het integraalteken ervoor. y 2 y 2 y = K8 x x aanwijzing 4 De rechter integraal kun je rechtstreeks uit het lijstje van stanaar-integralen halen De linker integraal is met e logaritme want e graa van e teller is één lager an e graa van e noemer. In ergelijke gevallen kun je vaak e logaritme proberen! aanwijzing 5 ln 2 y 2 K8 4 =ln x Cln C
17 Differentiëer maar eens e logaritme en vergeet e kettingregel niet! Je hoeft an alleen nog maar met een 4 goe te maken! aanwijzing 6 Het is hanig bij het toevoegen van e constante in het rechterli at je werkt met ln C. Immers ln C is toch ook een constante. Het heeft het vooreel at e logaritmen bijelkaar genomen kunnen woren. (Zie rekenregels logaritmen.) ln 2 y 2 K8 =4 ln C x aanwijzing 7 Met e rekenregels van logaritmen kun je e 4 in e logaritme werken. aanwijzing 8 ln 2 y 2 K8 =ln C x 4 Je kunt irect C 4 vervangen oor C an is het wat overzichtelijker. Vervolgens kan links en rechts e logaritme weg. 2 y 2 K8 = C x 4 Deze laatste vorm is e meest simpele afgezien van het feit at je nog iets naar e anere kant van het isgelijkteken kunt brengen. Voorbeel 9 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. x y y' Ky x 2 C=0 De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yx maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van x. Maak y' vrij uit e ifferentiaalvergelijking Soms wil je y' isoleren om bijvoorbeel e richtingscoëfficiënt van een lijnelement te bekijken. De betekenis van y' is x yx.
18 antwoor x y y'ky 2 C=0 aanwijzing Breng eerst wat naar e rechterkant van het isgelijk-teken en eel aarna links en rechts oor x y. x y y' = y 2 K y' = y2 K x y Let op at er geen lijnelement bestaat in het punt waarvoor y' = 0 0. Dat zijn hier us e punten 0, en 0, K. Los e ifferentiaalvergelijking op Het gaat om e algemene oplossing omat er geen ranvoorwaaren gegeven zijn. We gebruiken weer e methoe van het scheien van variabelen. Probeer nu eerst zelf eze som te oen. Als je som 8 kent, moet het lukken. oplossing x y y'ky 2 C=0 x y y x Ky2 C=0 aanwijzing Hoewel je alles met y links wilt houen, breng toch Ky 2 C naar rechts. x y y x = y2 K aanwijzing 2 Vermenigvulig links en rechts met x en eel links en rechts oor x. y y = y2 K x x
19 aanwijzing 3 Deel nu nog links en rechts oor y 2 K. y y y 2 = x K x aanwijzing 4 Nu e variabelen gescheien zijn, kun je links en rechts een integraalteken ervoor zetten. y y 2 y = K x x aanwijzing 5 De rechter integraal is weer makkelijk en e linker integraal staat ongeveer ook in je lijstje. Beie integralen met e logaritme. Bij e linker integraal heb je weer e situatie at e graa van e teller één lager is an e graa van e noemer, us met ln proberen! ln y 2 K 2 =ln x Cln C aanwijzing 6 Het is hanig om e constante ook ln C te noemen omat vervolgens e logaritmen weer bijelkaar genomen kunnen woren. (Rekenregels van e logaritmen.) Tegelijk kan an ook links en rechts met 2 vermenigvulig woren. ln y 2 K =2 ln C x aanwijzing 7 Werk e 2 in e rechter logaritme met e rekenregels en vervang vervolgens C 2 oor C. ln y 2 K =ln C x 2 aanwijzing 8 Nu kunnen links en rechts e logaritmen weggehaal woren.
20 y 2 K=C x 2 De algemene oplossing is nu in impliciete vorm gegeven. Het wort er niet mooier op als je vorm expliciet maakt maar misschien is iets naar e anere kant brengen ook wel elegant. y 2 CC x 2 = Als je e grafiekmanipulaties kent, kun je begrijpen at it een bunel ellipsen is als C groter is an 0 en het is een bunel hyperbolen als C kleiner is an 0. met e computer Voorbeel 0 (uit het hoof leren) Exponentiële groei Het is een eerste ore gestuur systeem Er is nu een aantal eigenschappen na te gaan van e functie ie e oplossing is van e ifferentiaalvergelijking: t yt = k y t CA De oplossing van it soort ifferentiaalvergelijkingen is e functie y t en heeft altij eze vorm. yt = K A k C C ek t berekening Gegeven e ifferentiaalvergelijking t yt = k y tca aanwijzing Scheien van variabelen y k y CA = t
21 aanwijzing 2 Links en rechts integreren k y CA y = t aanwijzing 3 Let op e kettingregel als je e logaritme gebruikt. aanwijzing 4 Links en rechts maal k. ln k y CA k = tcc aanwijzing 5 Links en rechts e e-macht nemen. aanwijzing 6 De e-macht uitelkaar trekken. ln k y CA = k tck C k t Ck C k y CA =e aanwijzing 7 k y CA =e k t k C e Stel e constante ek C = C2. k y = KACC 2 e k t aanwijzing 8 Links en rechts elen oor k. y = K A k C C 2 e k t k aanwijzing 9
22 Stel e constante C 2 k = C. y = K A k CC ek t Leer it stappenplan uit het hoof. Dit moet een ingenieur kennen! Het is een eerste ore gestuur systeem. met e computer Voorbeel (uit het hoof leren) Lineaire groei. Los e volgene ifferentiaalvergelijking op waarbij e ranvoorwaare gegeven is. met ranvoorwaare y 0 = y 0. τ t yt = oplossing τ t yt = t yt = τ Schrijf het ifferentiaalquotiënt als breuk waarbij je in geachten hout at y = y t. : y = t τ Links en rechts vermenigvuligen met t. y = t τ Links en rechts integreren waarbij e ranvoorwaaren overeen moeten komen, at wil zeggen at als t =0 at y = y 0.
23 y y 0 y = 0 t τ t y Ky 0 = t τ yt = y 0 C t τ Voorbeel 2 (uit het hoof leren) Lineaire groei. Los e volgene ifferentiaalvergelijking op waarbij e ranvoorwaare gegeven is. met ranvoorwaare y 0 =5. t yt = 0 oplossing t yt = 0 Schrijf het ifferentiaalquotiënt als breuk waarbij je in geachten hout at y = y t. : y = t 0 Links en rechts vermenigvuligen met t. y = t 0 Links en rechts integreren waarbij e ranvoorwaaren overeen moeten komen, at wil zeggen at als t =0 at y =5. y 5 y = t 0 0 t y K5= t 0
24 yt =5C t 0 Voorbeel 3 (uit het hoof leren) Exponentiële groei. Ongestuur systeem Het is gemakkelijk na te gaan at e ifferentiaalvergelijking van e vorm t yt = k y t een oplossing heeft met een exponentiële functie. Aan e han van e oplossingsmethoe van het scheien van variabelen zullen we it bekijken. y t = k y Breng nu alles met y naar e linkerkant van het isgelijkteken en e rest naar rechts. y y = k t Zet links en rechts een integraalteken ervoor. Int y, y = k t ln y = k tcc y =e k t CC = e C e k t Geef nu een nieuwe naam aan e integratieconstante e C = C en neem aan at eze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen e absoluutstrepen van y. y = C e k t De constante C en C woren integratieconstanten genoem. Deze ontstaan us bij het integreren.
25 Als er beginvoorwaaren van e functie y t gegeven zijn, kan e integratieconstante geëlimineer woren. Voorbeel 4 (uit het hoof leren) Gegeven e ifferentiaalvergelijking t yt = k y tca Los op met A =, k = K2 en y 0 =3 Zie voorbeel 0 De algemene oplossing is y = K A k CC ek t Invullen van e systeemconstanten A en k levert: y = 2 Invullen van e beginvoorwaare y 0 =3 CC ek2 t 3= 2 CC ==> C = 5 2 Oplossing: y = 2 C 5 ek2 t 2 met e computer Los op met A =2, k = K3 en y 0 =6 Zie voorbeel 0 De algemene oplossing is y = K A k CC ek t Invullen van e systeemconstanten A en k levert: y = 2 3 Invullen van e beginvoorwaare y 0 =6 CC ek3 t 6= 2 3 CC ==> C = 6 3 Oplossing:
26 y = 2 3 C 6 ek3 t 3 met e computer
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Zomercursus Wiskune Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (versie 27 juni 2008) Inleiing De afgeleie van een functie f in een punt R is e helling (richtingscoëfficiënt)
Nadere informatieWISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11
VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc / DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tij: 00 minuten Uw naam:...
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieCalculus I, 20/10/2014
Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie
Nadere informatieAfgeleiden berekenen met DERIVE
/09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.
Nadere informatielogaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.
Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatie1.4 Differentiëren van machtsfuncties
. Differentiëren van machtsfuncties De inmiels bekene regel voor het ifferentiëren van machtsfuncties luit: n n [ ] n (n,,, ) Deze regel kun je vrij gemakkelijk herontekken met behulp van e (uitgebreie)
Nadere informatieTentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009
Tentamen Signalen en Systemen : 3BB3, 10 maart 009 Omerkingen ij het tentamen - O het tentamen mag een (grafisch) rekenaaraat geruikt woren - Geruik van aner materiaal zoals oeken, aantekeningen of lato
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatieDe maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10
Universiteit Twente, Werktuigbouwkune Vak : Programmeren en Moelleren Datum : 0 oktober 20 Tij : 08.45-0.5 uur TOETS Deze eeltoets bestaat uit 4 opgaven. Geef niet alleen e antwooren maar toon ook e geane
Nadere informatie4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g.
g. x=2y+1 2y = x - 1 y = 1 2 x- 1 2 Duielijk zal zijn at bij elke x-waare precies één y-waare hoort, ofwel: bij elk origineel hoort precies één beel. Het is us een functie. (N.B.: als het coomein geen
Nadere informatieVoorkennis. Hoekmeting
Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige
Nadere informatiePrimitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)
Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.
Nadere informatieBreuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)
Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieHoofdstuk 12B - Breuken en functies
Hoofstuk B - Breuken en funties Voorkennis V-a g V-a h 0 0 i 9 j 0 0 0 9 0 9 e k 0 f l 9 9 Elk stukje wort : 0 0, meter. a 0 0 0 00 L 0, 0, 0,0 0,0 0,0 De lengte van elk stukje wort an twee keer zo klein.
Nadere informatie1 Functies die aan verandering onderhevig zijn
Veraneringsprocessen in e tij (eerste ore) upate april 2009 copyright WISNET-NHL Lees eerst aanachtig e inleiing 0 Inleiing In eze les, ie niet beslist van begin tot ein oorgewerkt hoeft te woren, vin
Nadere informatieBreuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014
Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieHoofdstuk 7 Exponentiële formules
Opstap Mahten en proenten O-1a 7 4 2401 ( 12) 5 248 832 8 4 4096 10 6 1 000 000 e 1 9 1 f 11 3 1331 g 3 5 243 h ( 3) 5 243 O-2a 620 000 6,2 10 5 43 000 000 4,3 10 7 0,000 12 1,2 10 4 8 000 000 000 8 10
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +
Nadere informatie1.3 De produktregel. Laat zien dat bijvoorbeeld [ x x. ] niet gelijk is aan 2x
.3 De prouktregel Eerer heb je geleer at je e som van twee (of meer) functies kunt ifferentiëren, oor termsgewijs te ifferentiëren. Bijvoorbeel: 3 [ x + x ] = x + 3 x.7 Een ergelijke mooie regel gelt niet
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II
Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e
Nadere informatie1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.
Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =
Nadere informatieOefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen
Oefeningenexamen Projectieve Meetkune: oplossingen 2e bachelor Wiskune acaemiejaar 2011-2012 1 Eerste zittij Oefening 1.1. Een {, m}-boog in PG(2, q) is een verzameling van m 1 punten zoat ieere rechte
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek
Nadere informatieBlok 3 - Vaardigheden
Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1
Wiskune D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les aragraaf. Opgave a et e stelling van thagoras volgt at (, ) ( ) + ( ) ( 3 ) + ( ) + 3 3 b De roosterpunten met afstan 3 tot liggen op e cirkel met als mielpunt
Nadere informatieNotatieafspraken bovenbouw, wiskunde B
Notatieafspraken bovenbouw, wiskune B Bewaar it ocument zorgvulig Het wort slechts éénmaal verstrekt Dit ocument bevat afspraken voor e correcte notatie volgens e gehele sectie wiskune van het Steelijk
Nadere informatieWiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010
Afeling Kwantitatieve Economie Wiskune AEO V Uitwerking tentamen 6 januari 00 Een stelling ( punten) Laat c een ifferentieerbare kromme zijn, ie op een niveauverzameling van een ifferentieerbare functie
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Opstap Veranen O- Grafiek A hoort ij kaars. Grafiek B hoort ij kaars. Grafiek C hoort ij kaars. O-a O-a u in uren Bij u, is l 7 want, 7. Zie opraht O-. Na vier uur ranen zijn e kaarsen even lang. Bij eie
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Verbanden herkennen
V-a V-a Hoofstuk - Veranen herkennen Hoofstuk - Veranen herkennen Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in e tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het
Nadere informatieParagraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
Nadere informatieBlok 2 - Vaardigheden
Blok - Vaarigheen lazije a Het startgetal is en het hellingsgetal is De formule ie ij e lijn ast is y x De lijn k heeft het zelfe hellingsgetal als e lijn l, us De formule is y x+ 7 e Het hellingsgetal
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
Exacte waaren ij sinus en cosinus In enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus exact oplossen. Welke gevallen zijn at? Hieroven zie je grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x. a Hoe
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H26 RECHTE LIJNEN HAVO 1
H6 RECHTE LIJNEN HAVO 6.0 INTRO a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts zou gaan, zou je omhoog
Nadere informatie8 a. x K (in euro s) x K (in euro s)
Hoofstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO b, =, km c k = l a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn 8 naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2017
Correctievoorschrift VWO 07 tijvak wiskune A Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor e beooreling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoorelingsmoel 5 Aanleveren scores Regels voor e beooreling
Nadere informatieAntwoorden Eindtoets 8NC00 12 april 2017
Antwooren Eintoets 8NC 12 april 217 1.1. Onwaar, een fase-contrast microscoop brengt e verschillen in brekingsinex in beel. Er wort geen gepolariseer licht gebruikt us het is niet mogelijk ubbelbrekene
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit
Nadere informatieLogaritmische functie
Logaritmische functie WISNET-HBO update aug 2013 1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a V-a Hoofstuk - Getallen Voorkennis In het ontrekene stuk van e vlaai passen stukken. De hele vlaai eston uit stukken. Twee van e vijf stukken zijn verkoht, us eel van e vlaai is verkoht. Van e reuk
Nadere informatieEenheden en grootheden:
Eeneen en grooteen: Werelij zijn in et verleen zijn iverse eeneetelsel gebruikt. Door eze iversiteit en sos ook tecnisce incorrectei ontston veel verarring. In et zogenaae S.I. stelsel ort aan eze verarring
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a V-a Hoofstuk - Getallen Voorkennis In het ontrekene stuk van e vlaai passen stukken. De hele vlaai eston uit stukken. Twee van e vijf stukken zijn verkoht, us eel van e vlaai is verkoht. Van e reuk
Nadere informatieKrachten binnen het standaardmodel. N.G. Schultheiss
1 Krachten binnen het stanaarmoel N.G. Schltheiss 1 Inleiing Deze mole volgt op e mole Deeltjes binnen het stanaarmoel en wort vervolg met e mole Deeltjes in airshowers. Aan e han van het netron verval
Nadere informatieBasiskennis van machten WISNET-HBO. update juli 2007
Basiskennis van machten WISNET-HBO update juli 007 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a
Nadere informatie15 Financiële reorganisatie
15 Finaniële reorganisatie hoofstuk 15.1 A 15.2 C 15.3 A 15.4 B 15.5 C 15.6 D 15.7 D 15.8 A 15.9 C 15.10 D 15.11 B 3.000.000 + 4.000.000 3.000.000 = 4.000.000 15.12 C 15.13 C ((3.000 + 2.000 4.000) / 3.000)
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatiea x 2 b x c a x p 2 q a x r x s
Kwadraat afsplitsen WISNET-HBO update juli 007 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. Inleiding In sommige gevallen kan het voordeel hebben om een kwadratische uitdrukking
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten
Nadere informatieStatistiek voor de beroepspraktijk
Sttistiek voor e eroepsprktijk Rekenregels In een pr prgrfen stn ter verfrissing vn het geheugen e elngrijkste rekenregels vermel. Deze regels zijn miniml enoig om e formules en e oefeningen in het oek
Nadere informatieZMC is een van de grootste Europese producenten op het gebied van transportkettingen. Het bedrijf is opgericht in 1955.
ZMC Transportketting ZMC is een van e grootste Europese proucenten op het gebie van transportkettingen. Het berijf is opgericht in 1955. ZMC prouceert genormaliseere transportkettingen volgens DIN 8181,
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
4 Voorkennis V-1 a De oörinaten zijn A( 2, 1), B(2, 3) en C(5, 4 Qw ). V-2 a Per stap van 1 naar rehts gaat e lijn Qw omhoog. Vanuit C ga je 7 stappen naar rehts en us 7 Qw = 3 Qw omhoog. Omat 4 Qw + 3
Nadere informatie- II.20 - Johan Baeten
8 8.1 Inleiene principes bieen als vooreel een mechanisch eenvouige constructie en een hoge gevoelighei. Ze vragen echter ook een compleere elektronica om het bekomen uitgangssignaal achteraf lineair te
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Integreren
Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c
Nadere informatieHoofdstuk 11A - Rekenen
Voorkennis V- aantal grammen 000 00 aantal euro s 6,0 0,006, Je moet e, etalen. V-a aantal m 00 aantal euro s 4 000 6 V-a Hij moet e 6.,- etalen. aantal m 00 0,00 aantal euro s 4 000 6 6 Hij krijgt m mortel
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e
Nadere informatieHet dichtsbijliggende tiental is 860. interval
Rekenen Nooro Uitevers v. Aronen Bij et satten van rooteen (lente, ewit, tijsuur, ) eruik je etallen, ie een enaerin zijn van e werkelijke waare en ie ani zijn om te ontouen o om mee te rekenen. Dit zijn
Nadere informatie3.5 t/m 3.7 ΟΣ ΜΟΙ ΠΟΥ ΣΤΩ ΚΑΙ ΚΙΝΩ ΤΗΝ ΓΗΝ 1
3.5 t/m 3.7 ΟΣ ΜΟΙ ΠΟΥ ΣΤΩ ΚΑΙ ΚΙΝΩ ΤΗΝ ΓΗΝ 1 De wetten van Newton verklaren e beweging van een voorwerp aan e an van e kracten ie op at voorwerp werken (zie oofstuk 4): 1 e wet van Newton is constant
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieVergelijkingen met wortelvormen
Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen
Nadere informatieOefentoets uitwerkingen
Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening
Nadere informatieWortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)
Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie12 mnd 18 mnd 24 mnd 30 mnd module M 0,3 0,5 0, snelheid V
Hoofstuk 6, Verbanen combineren 1 Hoofstuk 6 Verbanen en grafieken Kern 1 tabellen en grafieken 1 a Nee, pas vanaf winkracht 9 spreekt men van storm. Bij winkracht 7 is er sprake van hare win. b Nee. Een
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Exponentiële groei
Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b =
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieWiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie
Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)
Nadere informatieBSO Giekerk locatie nieuws
BSO Giekerk locatie nieuws Oktober 2015 Beste ouers/verzorgers, Wij vinen het fijn at we u oor miel van een nieuwsbrief e sfeer kunnen laten proeven van e Kinerwou groep/locatie van uw kin(eren). Leuke
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
12 Extra oefening - Basis B-1a Vul k = 65 in, at geeft e vergelijking 25u + 15 = 65. 25u = 50 us u = 2. Er is 2 uur gewerkt ij mevrouw Groen. c 25u + 15 = 58,75 25u =,75 u =,75 : 25 us u = 1,75. B-2a De
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren. deel 1
Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er
Nadere informatie1. Langere vraag over de theorie
1. Langere vraag over e theorie a) Lei e voorwaaren af voor constructieve en estructieve interferentie bij het twee-spletenexperiment van Young. Druk eze voorwaaren uit zowel in functie van e hoek θ over
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke 191512600
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieDe oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.
Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn m is het hellingsgetal en het startgetal
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Hoofstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Opstap Formule, grafiek en vergelijking O-1a Om uur staat het water 6 6 mm hoog in e regenmeter. aantal uren h... h 6 hoogte water aantal uren v :... v 6 hoogte water
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
lazije a - De inhou van e afgeknotte piramie is 70,% van e inhou van e hele piramie. De inhou van e hele piramie is : I 0 m Inhou afgeknotte piramie: I afgeknot 0, 70 0, 7 m a - - h ELM EJK ELM h h h ELM
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren
Rekenregels voor het differentiëren Wisnet-HBO update febr. 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieuitwendig magnetisch veld F daarvoor een externe elektrische stroom nodig is, wordt een permanente magneet genoemd. Z N
5 Elektromagnetisme 5.1 Magnetisme Tussen twee magneten zijn er krachten aanwezig ie ervoor zorgen at ze elkaar aantrekken of afstoten. Deze krachten zijn het resultaat van magnetische velen ie op atomair
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a 4 Hoofstuk - Ruimtefiguren Voorkennis De verpakking heeft rie vershillene vormen. De ovenkant en e onerkant heen ezelfe vorm. Hetzelfe gelt voor e voorkant en e ahterkant en voor e twee zijkanten.
Nadere informatieBepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert
Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatieVAN DER LOUW GRAFISCH CENTRUM
Op onze Special Projects af - eling woren innovatieve promotieartikelen en verpakkingen ontworpen ie aan al uw wensen voloen. Heeft u zelf een goe iee, an werken wij at verer uit. Heeft u zelf géén iee,
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatie