Voorkennis. Hoekmeting

Transcriptie

1 Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige rongang telt 6 graen, oftewel raialen. ok raaiingshoeken kunnen we in graen of in raialen meten. De raaiingsrichting is an wel van belang: volgens afspraak geven we raaiingen in het vlak tegen e klok in met een plusteken aan, en raaiingen met e klok mee met een minteken. 5 o 8 o o 9 o 6 o o o 6 o Bij raaiingen kan e raaiingshoek natuurlijk ook groter an 6 zijn. Voor het resultaat maakt het niets uit of je er gehele veelvouen van 6 (of raialen) bij optelt of van aftrekt. o 4 o 7 o o o De term raiaal komt van raius, hetgeen straal betekent. Wanneer je op een cirkel met straal r een boog tekent ie vanuit het mielpunt oner een hoek van α raialen wort gezien, is e lengte van ie boog α r. De hoekmaat in raialen geeft us e verhouing tussen e booglengte en e straal, vanaar e naam raiaal. Een hoek van raiaal is iets kleiner an 6 graen, namelijk, in acht ecimalen nauwkeurig, graen. De eacte waare is 6/(). r α raialen r α r Bij een cirkel met straal r = is e booglengte precies gelijk aan e mielpuntshoek α in raialen. Bij een volleige rongang langs een cirkel hoort een raaiingshoek van raialen. De omtrek van e eenheiscirkel is us ook gelijk aan. De omtrek van een cirkel met een straal r is r. 65 bron:

2 De sinus, e cosinus en e tangens Bij elke raaiingshoek α hoort een raaiing in het vlak om e oorsprong over ie hoek. Een positieve raaiingshoek corresponeert met een raaiing tegen e klok in, een negatieve hoek hoort bij een raaiing met e klok mee. We kunnen zo n raaiing aangeven via een boog van e eenheiscirkel ie in (, ) begint en mielpuntshoek α heeft. De coörinaten (, ) van het einpunt zijn an respectievelijk e cosinus en e sinus van α, us = cos α en = sin α. sin α α (cos α, sin α) cos α (,) mat (, ) op e eenheiscirkel ligt, gelt + =, us cos α + sin α = Let hierbij op e notatie: cos α betekent (cos α) en sin α betekent (sin α). Deze notatievormen zijn algemeen gebruikelijk. De tangens van α is het quotiënt van e sinus en e cosinus, in formule: tan α = sin α cos α Er zijn enige hoeken α met bijzonere waaren voor e sinus, e cosinus en e tangens. Voor α (in raialen) geven we ze in e vorm van een tabel. Uit e beie tekeningen kun je ie waaren afleien. Beenk aarbij at e linkerriehoek e vorm heeft van een georiehoek met een schuine zije van lengte en rechthoekszijen van lengte (stelling van Pthagoras). De rechterriehoek is gelijkzijig met zijen van lengte. De verticale lijn vanuit e top eelt e basis mienoor, en volgens Pthagoras is e lengte ervan us gelijk aan ( ) = 4 =. α 6 4 sin α 4 cos α tan α 66 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D

3 Grafieken van goniometrische functies - sin tan cos Hierboven zijn e grafieken geteken van e functies sin, cos en tan, met in raialen. Die functies zijn perioiek: e sinus en e cosinus met perioe, e tangens met perioe. De tangens heeft verticale asmptoten voor = + k met k geheel, want voor ie waaren van is e cosinus nul, en an is tan = (sin )/(cos ) us niet geefinieer. Uit e efinitie van e sinus, e cosinus en e tangens met behulp van e eenheiscirkel (zie blazije 66) volgen irect e volgene eigenschappen, ie je ook in e grafieken terugziet: sin() = sin, cos() = cos, tan() = tan ptelformules en ubbele-hoekformules Naast e basisformule sin α + cos α = en e smmetrieformules van hierboven zijn er nog twee belangrijke gonioformules: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Als je in eze optelformules β vervangt oor β krijg je cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Als je in e optelformules α = β neemt, krijg je e ubbele-hoekformules: cos α = cos α sin α sin α = sin α cos α Met behulp van cos α + sin α = kun je e formule voor cos α uitbreien tot cos α = cos α sin α = cos α = sin α 67 bron:

4 Eponentiële functies en e e-macht Functies van e vorm f() = a voor a > heten eponentiële functies. Hieroner is voor enige waaren van a e grafiek van a geteken. Al ie grafieken gaan oor het punt (, ) want voor elke a gelt a =. Zo n grafiek is stijgen als a >, en alen als < a <. Voor a = is e grafiek e horizontale lijn = want = voor elke waare van. De grafieken van a en (/a) zijn elkaars spiegelbeel in e -as. Er gelt namelijk ( (/a) = a ) = a = (/) = (5/6) = (/) - - = (/4) 4 - = 4 = = (/) = (6/5) = De belangrijkste eigenschappen van eponentiële functies zijn a a = a + a : a = a (a ) = a (a b) = a b (a : b) = a : b De grafieken van e eponentiële functies van e vorm f() = a met a > snijen e -as allemaal in het punt (, ). Alle grafieken hebben in at punt een raaklijn. Al ie raaklijnen zijn verschillen, en allemaal hebben ze een vergelijking van e vorm = + m voor een zekere m. Er is precies één waare van a waarvoor gelt m =, at wil zeggen = e at e lijn = + e raaklijn is aan e grafiek van f() = a 4 in (, ). Dat getal wort e genoem, en e bijbehorene functie f() = = + e speelt een belangrijke rol in e ifferentiaal- en integraalrekening. 45 o = Hiernaast is e grafiek ervan geteken. Men kan bewijzen at het getal e, net als het getal of het getal - - -, een irrationaal getal is. Er gelt e = Voor kleine waaren van vallen e grafiek van f() = e en e raaklijn = + vrijwel samen, us voor kleine gelt e +. Zelfs gelt at e voor, of, nog preciezer uitgerukt met behulp van een limiet e lim = 68 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D

5 Raaklijn en afgeleie (De voorkennis in eze paragraaf wort alleen in hoofstuk 5 gebruikt.) De grafieken van veel functies hebben in alle of bijna alle punten een gla verloop: als je stees sterker op zo n punt inzoomt, gaat e grafiek stees meer op een rechte lijn lijken. Die lijn is e raaklijn aan e grafiek in at punt. Hiernaast is e grafiek van zo n functie f() geteken, met aarbij ook e raaklijn in het punt (a, f(a)). Vlak in e buurt van at punt zijn grafiek en raaklijn ineraa nauwelijks van elkaar te onerscheien. Als e raaklijn niet verticaal is, kan e vergelijking ervan geschreven woren als = f(a) + m( a) voor een zekere m, e richtingscoëfficiënt van e raaklijn. f(a) = f(a) + m( - a) a = f() Die richtingscoëfficiënt m kan an oor miel van een limiet in termen van e functie f() en het punt a woren uitgerukt: m = lim a f() f(a) a Men noemt m e afgeleie van f() in a, en gebruikt aarvoor e notatie f (a). Als eze limiet bestaat (als einig getal), heet e functie f() ifferentieerbaar in a. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, is e afgeleie us in elk punt van at interval geefinieer, en aarmee is e afgeleie op at interval zelf een functie geworen, e afgeleie functie. Veel gebruikte notaties voor e afgeleie functie van f() zijn f () en f(). De afgeleie functies van enige veel gebruikte functies zijn: (p ) = p p voor elke p (e ) = e (cos ) = sin (sin ) = cos De e-machtfunctie is us gelijk aan zijn eigen afgeleie! Let ook op e tekens bij e afgeleien van e sinus en e cosinus. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, kan e afgeleie functie ook weer een ifferentieerbare functie zijn. De afgeleie van e afgeleie heet an e tweee afgeleie. Notatie: f () of f(). Zo kun je oorgaan en e n-e afgeleie efiniëren voor elke n >. Gebruikelijke notaties zijn in at geval f (n) () (let op n e haakjes om e n) of n f(). 69 bron:

6 Gonio gemakkelijk gemaakt Eulers gemakkelijk te onthouen formule e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ maakt het makkelijk alle gonioformules te onthouen, of snel af te leien als je ze vergeten bent. Bijvoorbeel e somformules van blazije 67: Beenk hiervoor at e i (α+β) = e i α e i β us cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) + i sin(α + β) = e i (α+β) = e i α e i β = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = (cos α cos β sin α sin β) + i (sin α cos β + cos α sin β) Gelijkstellen van e reële elen levert e somformule voor e cosinus, en gelijkstellen van e imaginaire elen e somformule voor e sinus. Deze formules gelen overigens niet alleen maar voor e reële cosinus- en sinusfuncties, maar net zo goe voor e op blazije geefinieere complee uitbreiingen van eze functies: cos(z + z ) = cos z cos z sin z sin z sin(z + z ) = sin z cos z + cos z sin z Probeer zelf maar eens een bewijs te geven! ok e formules voor e afgeleien van e sinus- en cosinusfuncties zijn gemakkelijk snel af te leien via e complee e-machtfunctie, ie, net als e reële e-machtfunctie, gelijk is aan zijn eigen afgeleie. Beenk aarvoor at op gron van e kettingregel gelt at e i = i e i, en us is (cos + i sin ) = e i = i e i = i (cos + i sin ) = sin + i cos Gelijkstellen van reële elen geeft elen geeft sin = cos. cos = sin en gelijkstellen van e imaginaire 7 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D