Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II

Transcriptie

1 Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e richting van naar. Zie figuur 1. Tijens e reis van e boot van naar en terug is e stroomsnelhei van e rivier constant. We noemen e stroomsnelhei v (in km/u). Een voorbeel: als v = 5, an vaart e boot op e heenreis met een snelhei van 25 km/u ten opzichte van e oever en op e terugreis met een snelhei van 15 km/u ten opzichte van e oever. De totale reistij T van een retourtocht wort gegeven oor: T = 20v 20v Hierbij is T in uren en v in km/u met 0 < v < 20. 3p 1 Toon aan at eze formule juist is. 3p 2 ereken bij welke waare van v e totale reistij van een retourtocht 2 uur is. Geef je antwoor in twee ecimalen nauwkeurig. ls e stroomsnelhei van e rivier groter wort, neemt e totale reistij van een retourtocht toe. 6p 3 Toon it aan met behulp van e formule van e afgeleie functie van T. Veronerstel at v varieert tussen 0 en 10 km/u en at alle waaren van 0 tot en met 10 even vaak voorkomen. De gemiele reistij kun je an benaeren oor T uit te rekenen voor v 0, v, v, v, enzovoort tot en met v = 10 en van e reistijen het gemiele te nemen. 5p 4 ereken e gemiele reistij met eze benaeringswijze; geef je antwoor in minuten nauwkeurig. Je kunt e gemiele reistij ook uitrekenen met een integraal. 6p 5 Toon langs algebraïsche weg aan at e gemiele reistij gelijk is aan ln 3 uur. www

2 Maximumsnelhei De snelheismeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat e werkelijke snelhei is waarmee e auto rijt. Voor een bepaal type snelheismeter gelt het volgene: als e snelheismeter een snelhei van v km/u aangeeft, is e waare van e werkelijke snelhei normaal vereel, waarbij het gemiele gelijk is aan v en e stanaarafwijking gelijk is aan 1,5% van at gemiele. ij snelheiscontroles wort een marge aangehouen van 3%. Dus bijvoorbeel bij een maximumsnelhei van 100 km/u wort er beboet bij snelheen van 103 km/u en hoger. Van een auto is e snelheismeter van bovenstaan type. De bestuurer rijt volgens e meter stees met precies e toegestane maximumsnelhei. Stel at e toegestane maximumsnelhei 70 km/u is. De kans at e werkelijke snelhei van e bestuurer zo groot is at hij voor een boete in aanmerking komt, is an, afgeron op rie ecimalen, gelijk aan 0,023. 4p 6 Toon it aan. De kans at hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane maximumsnelhei even groot. 4p 7 Toon it aan. De bestuurer passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bor at waarschuwt wanneer men te har rijt, at wil zeggen wanneer men e boetegrens overschrijt. De kans at e bestuurer voor een boete in aanmerking komt, is telkens 0,023. 4p 8 ereken e kans at e bestuurer van ie 200 keer meer an 2 keer gewaarschuw wort. www

3 chtervolging Op tijstip t = 0 beginnen e punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging. De bewegingsvergelijkingen zijn 11 xt () 5cos t 10 2 xt () 5cost 3 voor P : en voor Q : 11 2 yt () 5sin t 10 yt () 5sin t 3 Hierbij is t in seconen. In figuur 2 staat e beginsituatie geteken. figuur 2 Q y 1 O 1 P x Tijens e beweging wort Q telkens oor P ingehaal. 4p 9 ereken na hoeveel seconen Q voor het eerst oor P wort ingehaal. x x y y Het punt M is het mien van lijnstuk PQ. De coörinaten van M zijn, 2 2 xt () () t cos( atb) De bewegingsvergelijkingen van M zijn van e vorm yt () () t sin( atb) 5p 10 Geef een formule voor uitgerukt in t. Licht je antwoor toe. P Q P Q. www

4 Snijpunten met een ellips In figuur 3 en op e uitwerkbijlage is een cirkel c geteken met mielpunt M en een miellijn. Punt F is een punt binnen e cirkel c. De conflictlijn van cirkel c en punt F is een ellips e. figuur 3 c M F 4p 11 Teken in e figuur op e uitwerkbijlage e snijpunten van eze ellips e en lijn. Licht je werkwijze toe. In figuur 4 en op e uitwerkbijlage is cirkel c nogmaals geteken met M en F en ellips e. Verer is een willekeurige miellijn XY geteken. De snijpunten van e ellips e en e lijn XY zijn P en Q. figuur 4 X c P M F e Q PFQ noemen we en XFY noemen we. Tussen en bestaat het volgene verban: = 1 2 5p 12 ewijs it. Y www

5 Exponentiële functie Gegeven is e functie f(x) = e x. Op e grafiek van f liggen e punten en met x-coörinaten x = 0 en x = 1. Op e grafiek van f ligt een punt C waarin e raaklijn aan e grafiek van f evenwijig is aan het lijnstuk. 5p 13 ereken e x-coörinaat van C. Ron af op twee ecimalen. De lijn x = a snijt e x-as in P en e grafiek van f in S, e lijn x = a + 1 snijt e x-as in Q en e grafiek van f in R. Het gebie begrens oor e grafiek van f en e lijnstukken PS, PQ en QR noemen we V. Het trapezium PQRS noemen we W. Zie figuur 5. figuur 5 f S R P a Q a+1 x 7p 14 Toon aan at e verhouing oppervlakte van W oppervlakte van V onafhankelijk is van a. www

6 Vijf punten op een cirkel Gegeven zijn e cirkels c 1 en c 2 met mielpunten M 1 en M 2 en stralen r 1 en r 2. Cirkel c 1 is groter an cirkel c 2. Cirkel c 2 ligt geheel buiten cirkel c 1. Het verbiningslijnstuk M 1 M 2 snijt c 1 in punt en c 2 in punt. Zie figuur 6. De lengte van lijnstuk is gelijk aan. In figuur 6 is ook nog een ere cirkel c 3 geteken, met mielpunt D en straal. figuur 6 c 3 c 1 D c 2 M 1 M 2 We plaatsen c 3 zo, at hij c 1 en c 2 raakt. De raakpunten noemen we E en C. Dan ligt het punt E op M 1 D en het punt C op M 2 D. Zie figuur 7. Deze figuur staat ook vergroot op e uitwerkbijlage. figuur 7 c 3 c 1 D E C c 2 M 1 M 2 Vierhoek DE is een koorenvierhoek. 6p 15 Toon it aan. 4p 16 ewijs at e vijf punten,, C, D en E op één cirkel liggen. www

7 Perioieke rijen Een rij u 0, u 1, u 2, noemen we perioiek met perioe p als p het kleinste positieve gehele getal is waarbij voor alle waaren van n gelt at u n+p = u n. Een voorbeel van een perioieke rij met perioe 4 is e rij 1, 5, 16, 12, 1, 5, 16, 12, 1, 5, 16, 12,. Gegeven is een rij u 0, u 1, u 2, waarvoor gelt: u0 3 u1 7 5 un2 ( n 0, 1, 2, 3, ) unun 1 5p 17 ereken u We nemen in e bovengenoeme rij in plaats van 3 en 7 e startwaaren a en b. Dus u 0 = a en u 1 = b. 4p 18 ereken exact voor welke waare van a en welke waare van b e rij perioe 1 heeft. We kiezen weer u 0 = 3 en u 1 = 7. We efiniëren een bij e rij u 0, u 1, u 2, horene prouctrij P 0, P 1, P 2, als volgt: P0 u0 P1 u0u1 P2 u0u1u2 Pn u0u1 un ( n 3, 4, 5, ) 4p 19 Toon aan at P 3k+1 = 21 5 k, voor elke positieve gehele waare van k. www

8 Uitwerkbijlage bij e vragen 11, 12, 15 en 16 wiskune 1,2 Vraag 11 c M F Vraag 12 X c P e M F Q Y www

9 Uitwerkbijlage bij e vragen 11, 12, 15 en 16 Vraag 15 c 3 c 1 D E C c 2 M 1 M2 Vraag 16 c 3 c 1 D E C c 2 M 1 M2 www