Hoofdstuk 4 - Integreren

Transcriptie

1 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c AD AB BD CD AC AD V-a Een gelijkzijige riehoek heeft rie gelijke zijen CD BC DB, c OppervlakteABC, 9 V-a cosdcb CD BC uscd cos, DB sin us AB sin OppervlakteABC sin cos sin cos, 79 V- Oppervlakte OAB 8 V- Eerste vierhoek: oppervlakte ABCD 8 Tweee vierhoek: hoogte 7sin us oppervlakte ABCD 7sin 7 sin, lazije 99 V-a De hoogte van zo n riehoek is sin, 7 Dus e oppervlakte van zo n riehoek is 9 Eén zo n riehoek heeft als hoogte sin De totale oppervlakte van e riehoeken is 8 c De oppervlakte naert naar e oppervlakte van e cirkel us, V-7a y us y Totale oppervlakte, 9 c Totale oppervlakte, 8 Het gemiele is, 7 e Totale oppervlakte roe rechthoekjes, 9 Totale oppervlakte groene rechthoekjes, 9 Het gemiele is 9 7, 9 9

2 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel f Oppervlakte halve cirkel 9, 7 De enaering is te vereteren oor meer rechthoekjes te nemen Oppervlakten enaeren lazije a Oppervlakte groene vierhoek 8 Je kunt e oppervlakte enaeren oor het aantal hokjes te tellen De oppervlakte zal naar schatting zijn Onersom 8 Bovensom 8 Het gemiele is a of of y 8 7 O Bovensom f f f f Onersom f f f f 8 8 Een enaering voor e oppervlakte is 9 c Bovensom f f f 7 Onersom f f f 7,, 7,,,,,, Een enaering voor e oppervlakte is 9, lazije 7 a De grafiek vertoont afnemene stijging waaroor je ij e onersom meer tekort komt an er ij e ovensom ijkomt De onersom is h h h h 7, De ovensom is h h h7 h9 9,, 9, De oppervlakte is ij enaering 7,

3 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel a y O f f f f f k k a De miens van e intervallen zijn te schrijven als, k met k achtereenvolgens,,, en Verer is e reete van elke rechthoek log log log log log, 8 7 k k 7 8, Integralen lazije 8a Hoe kleiner het eelinterval es te kleiner e afwijking met e grafiek es te nauwkeuriger e oppervlakte enaer wort Dit gelt voor zowel e onersom als e ovensom 9 Casio: RUN-OPTN-CALC- -: ( ),, ) -EXE TI: y / ( ) -GRAPH-CALC- f, - ENTER geeft,7 als oppervlakte a 8,7 c, lazije a ; en 7 op interval De oppervlakte oner e grafiek van f, plus e oppervlakte oner e grafiek op interval, is samen e oppervlakte oner e grafiek op interval, 7

4 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel a, ;, 79 De functiewaare is stees rie keer zo groot waaroor e oppervlakte ook rie keer zo groot is a 8 ; 8, 7 en ( ), 7 a, als us Domein, y 8 O 8 c, 9, 7 a a sin ; sin Omat van tot π e oppervlakte oven e -as net zo groot is als e oppervlakte van π tot π oner e -as, heffen eze elkaar op De oppervlakte van π tot π is maar omat het oner e -as ligt geeft e rekenmachine het antwoor Hoofstelling lazije 7a A ; B ; C 9 7

5 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel f ( ) A g g( ) B h h( ) C h c f ; g ; h A' f e B g ' ; C' h 8a F a h is e oppervlakte oner e grafiek van f van tot a+h F a is e oppervlakte oner e grafiek van f van tot a Trek je eze van elkaar af an hou je us e oppervlakte oner e grafiek van f van a tot a+h over De eoele oppervlakte is groter an een rechthoek met reete h en hoogte f a en kleiner an een rechthoek met reete h en hoogte f a h F a h F a c naert naar F a h ' als h naert naar en aarom gelt F 'a f a lazije 9a F 'a f a a us F a a en F f f f F F c F F a F c K G L 9 ' en F ' en F us F F a F F c f ; f 8 De constante valt oor e ewerking F F ' weg a g f h' 9 f g 9 h c k 9 C is een primitieve functie van f voor elke C 8 usc 8 7

6 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Primitiveren lazije us G C C us H C C a F C g c h ' 8 8 ; H 8 7 a F f G ; K Voor a gelt F C en at estaat niet a F C C 7 g us G C c h us H c C k us K C 7a c C lazije 7 8a 8 c p A p p p 9a g 8 us G C us K C H C c k p 8 geeft p 7 ( ) C us p 7 9 7

7 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel a Ze moet rekening houen met e kettingregel ' ' als 7 7 G a 7 a c G g G C a us a a f Kies F a ' F a a us a 7 7 ' g F C C Kies G a G a 7 a 7 a us a G 7 C c h ' Kies H a H a 8a 8a us a H C C ' k Kies K a K a a a us a 9 K C C 9 9 a p p p p p p of p of p of p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p geeft p us p 7

8 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Integraal en oppervlakte lazije 8 a,,,,, 7,,, De oppervlakte kan natuurlijk niet negatief zijn De oppervlakte is a y O 8 of f,, en f us e snijpunten zijn en c f g g f geie is 7 is stees e afstan van f tot g us e oppervlakte van het gearceere lazije 9 a 8 8 Het eel oner e -as wort op eze manier als een negatieve waare weergegeven c f g g f 7

9 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel en f g a f g Tussen en ligt e grafiek van g hoger an e grafiek van f us e gevraage integraal is c 7a Eerst e snijpunten erekenen of of of of of De totale oppervlakte van e twee vlakelen is f g g f 8 8 f c Het eerste eel van e oppervlakte is e oppervlakte egrens oor e grafieken van f en g tussen e grenzen en Het tweee eel van e oppervlakte is ie van een riehoek egrens oor e lijnen, y en y 8 De oppervlakte is us: f g Alleen op het interval, wort het geie ingesloten oor e grafieken van f en g, kortom het zijn verschillene integralen over verschillene geieen en at kun je niet integreren over één geie 8 f Dus moet gelen a a a a of a a a a a a of a of a a is positief us als a heen e twee geieen ezelfe oppervlakte 9a Kies ijvooreel f en g y f g O

10 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Kies ijvooreel f en g y O g f Gemenge oprachten lazije a 9, 8tt, 9t, m m/s Na seconen is haar snelhei v 9 seconen later is haar snelhei m/s us na het openen van e parachute neemt e valsnelhei af met 9 7, m/s c vt 7, t, 9 9 7, us 8, v t 7, t 8, voor t 7, t 8, t, 7t 8, t 97, 7 8, 7 9 m e De laatste 7 seconen legt ze nog 7 8 m af Ze sprong us van een hoogte van, 9 8, m uit het vliegtuig a Eerst moet je e snijpunten met e -as weten: of Dan geeft us c De raaklijn in, heeft helling f ' De raaklijn in, is us van e vorm y De -coörinaat van punt C is en e ijehorene y-coörinaat is an y De oppervlakte van ABC is AB hoogte De oppervlakte oner e paraool is (zie opracht ) De oppervlakte van e twee geieen verhouen zich an als tot us als staat tot 78

11 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel De riehoek is gelijkzijig als AC BC AB Volgens e stelling van Pythagoras moet gelen: AC of of Als is ABC gelijkzijig lazije a f ' us f ' g, geeft us 8 g F c g f a In één uur ontstaat een ciliner van 7 meter hoogte De inhou van eze ciliner r hoogte, 7, 7 m =7 liter Er stroomt 7 liter water per uur oor eze uis Per secone ontstaat een ciliner van meter hoogte en straal R De inhou van eze ciliner is R R m R liter De stroomsnelhei is R liter/s c Heel icht ij e wan gelt r R us v De snelhei is us ijna nul, rr r, m /s, Door it met te vermenigvuligen krijg je ineraa e 7 liter uit opracht a e v k R r met v, R, en r us k, geeft k R, k R r rr, r r r,,, r r 9, 8, m /sec, liter per secone, R f k R r r r k rr r r k r R R evenreig met e viere macht van e straal van e uis R,, r kr c R us ICT Oppervlakten enaeren lazije I-a Je kunt e oppervlakte splitsen in een rechthoek van ij en een riehoek met asis en hoogte De oppervlakte wort an 79

12 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel c Als je e stapgrootte kiest krijg je als oppervlakte Deze oppervlakte is te groot omat elke rechthoek oven e lijn uitkomt Met e methoe Rechts krijg je, en at is te weinig Wat er ij methoe Links teveel is, kom je ij methoe Rechts tekort I-a Met e methoe Links is e oppervlakte, Met e methoe Rechts is e oppervlakte c Bij een stapgrootte van, krijg je ij methoe Links 8,7 en ij methoe Rechts, 8, 7, Een enaering voor e oppervlakte is an, 9 I- Met stapgrootte krijg je met methoe Links 9, en met methoe Rechts,88 Het gemiele is,887 Dit is natuurlijk e este enaering omat ij methoe Links elke rechthoek te klein is en ij methoe Rechts is elke rechthoek te groot lazije I-a Kies ijvooreel stappen De oppervlakte is an ongeveer,7 De oppervlakte is ongeveer,7 I-a De oppervlakte op het interval, is ongeveer Op elk interval wort een willekeurige hoogte gekozen De enaering wort eter naarmate je e stapgrootte kleiner neemt I-, 89 Neem voor e stapgrootte ijvooreel, I-7 Kijk ijvooreel naar opracht I-a Als je aar f uitrekent komt er een negatief getal uit en at kan us nooit e oppervlakte zijn I-8a 8, 7 ; 9 ; Deze stellen allemaal een oppervlakte voor 9 9, ; 9 8 ; 9 De laatste stelt geen oppervlakte voor omat op interval, e grafiek van f 9 oner e -as ligt ICT Rekenen met integralen lazije I-9a sin 8

13 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel De eacte uitkomst is omat e oppervlakte van het geeelte oner e -as eact gelijk is aan e oppervlakte van het geeelte oven e -as I-,,, omat op interval, 8 e grafiek van 8 f, geheel oven e -as ligt I-a, en, 79 8 De functiewaaren van f en aarom is ook e oppervlakte rie keer zo groot I-a 8 ; 8, 7 ;, 7 zijn rie keer zo groot als ie van g De som van e oppervlakte oner e afzonerlijke grafieken is gelijk aan e oppervlakte oner e somfunctie omat alle functiewaaren op interval, positief zijn I-a, 7, 7,, 7 I-, 7 moet,7 zijn Door proeren is te vinen at p p lazije I-a f - c F I-a f - ; f c F ; f 8 ; f a a ; f a a a a a I-7a a a a a a 8

14 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel a a I-8a a I-9 De oppervlakte op het interval, is gelijk aan e oppervlakte op het interval, min e oppervlakte op het interval, Er gelt vervolgens at F is e oppervlakte op het interval, en F oppervlakte op het interval, is e I- f() F() + Er gelt F ' f I- F ; G us K ; k I- F ' f want e afgeleie van een constante is Test jezelf lazije 8 T-a Onersom 8, 7, 9,, Bovensom 8, 7, 9,, 8 Onersom f f f 9 7, Bovensom f f f 8, f f f f f f f f f f c Het verschil tussen ovensom en onersom wort kleiner omat e reete van e intervallen kleiner is Het mien van het eerste interval ligt ij, en het mien van het volgene interval ligt stees, verer us,, k,, k,, k,, k e, k, k, k, f, f, f 9, 7 f 9, 9, 8, 7, 7 8

15 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel T-a y O y O lazije 9 T-a, 88, 8, T-a F 7 f us F c f us F f us F 8

16 Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel T- A a B a a a a a, a T- 8 8 T-7a c 8 8 of ( vervalt) Dus het snijpunt is het punt (, ) 8 8 Er gelt an a 8 8 a a a a 8 8 a a (alles met a vermenigvuligen) a a a a a a a of a us a 8

17 Blok - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel lazije a 9 geeft 9 us Dus D f, geeft us of Dus D f,, c geeft Dus kan elke waare aannemen D f geeft us of D f,, e geeft us D f, f geeft,, us of D f a voor elke waare van D f en B f, D f en B f, c geeft us of D, f, en B f,, en us en D f, en B f, a D h, De uitkomst van is altij groter of gelijk aan nul us het ereik van h is, c Het ranpunt is, lazije a of voloet niet us e oplossing is of 7 voloet niet us e oplossing is 7 c 9 of of e 9 of voloet niet us e oplossing is f alleen voor alleen voor want a Nee, f g Nee, f g c Ja, f g a omein want voor elke waare van als 8

18 Blok - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel c y 8 O 8 y en y zijn e horizontale asymptoten Het maimum van e functie ligt ij us f e De lijn y gaat oor e top van e grafiek voor lazije 7a e 87 7 c f 8 8a c 9a c 8 of a 8 8

19 Blok - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel c of 9 mits us e mits us f mits us lazije ' a f us f f ' of voloet niet us c g us S, ' us g', g y us y f ' y, us Dus y is ineraa e lijn ie e grafiek van f raakt in A a y 8 O 8 us geen oplossingen De grafieken van f en g heen geen snijpunten c of Uit e grafiek volgt, 87

20 Blok - Vaarigheen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel a 7 8 c 9 of of voloet niet us is e oplossing e f ' a g us g' 8 7 y 7, geeft 8 us y 7 8 ' h us h' 9 9 y 9, 9 geeft us y 9 ' c f us f ' y, geeft us y r ' us r' y, geeft us y a of, en, Eerst e vergelijking oplossen of ( voloet niet) Uit e plot volgt, c f ' f 9 In punt, 8 is e helling nul 88

21 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel lazije a Naarmate je verer inzoomt gaat e grafiek stees meer op een rechte lijn lijken f ' c y, geeft us y ' g', f, y, g, a f us f ' 7 y 9 us g' 9 geeft us y geeft us y a De helling is en e lijn gaat oor (, ) De helling in P p, q is f ' p De lijn y q f ' p( p) gaat oor (p, q) en heeft helling f '( p) c f ( p) q, us y q f ' p( p) is ezelfe lijn als y f ( p) f ' p( p) ' a f us f ' y f p f ' p p wort an y f ' us y c f ' us f ' en f us y is e gevraage raaklijn lazije 7 ' a f us f ' De lineaire enaering in,,,, f,,, c f 99 is y,, De afwijking is %, %, e f, is volgens e lineaire enaering,, f,, De afwijking is,, %, %, Deze afwijking wort groter naarmate e afwijking tot punt, groter is ' 7 f 7 y f f ' 7 97 is e raaklijn in het punt met De eerstegraas enaering van, 7 is, 97, 7,, De afwijking is %, % 7, De eerstegraas enaering van, 7 is, 97, 89

22 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel 7,, De afwijking is %, % 7, De eerstegraas enaering van, 98 7 is, , , 7, 98 De afwijking is 7, 98 7 %, % 7a f: y g: y c 7 s: y p: y 7 Verer gelt t tan 8a y is e linearisering van sin in, sin en cos cos us t tan sin sin voor De afwijking tussen e enaere waare op y en e werkelijke waare op y sin is us sin en is procentueel gezien gelijk aan sin % sin Voor een afwijking van % gelt us sin, sin, sin sin, sin Voer op je rekenmachine in: Y X en Y, * SIN( X) en je vin met CALC/ INTERSECT e oplossing, 8 (zet je rekenmachine op raialen!) Wegens e puntsymmetrie van sin wort het interval, 8;, 8 waar e afwijking maimaal % is De afwijking tussen e enaere waare op y en e werkelijke waare op y sin is tan en is procentueel gezien gelijk aan tan % Voor tan een afwijking van % gelt us tan, tan, tan tan, 9 tan Met e rekenmachine vin je met CALC/INTERSECT e oplossing, 8 Wegens e puntsymmetrie van tan wort het interval, 8;, 8 waar e afwijking maimaal % is lazije 8 9a y O 9 9

23 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel y f f ' want f 7 c geeft f 7 f ' e De eerstegraas enaering voor f oor het punt met 7 n n n n n f ' f n n n ' n f ' f ' n n n ' n en f ' y f f ' 7, 77, 87 Voor gelt 7, 77, 87 us, f De eerstegraas enaering voor f oor het punt met n is y f f n ' n n Voor het snijpunt n met e -as gelt f f ' n n n n f f ' f ' n n n n n f ' f ' f f f f n n waaruit volgt n n n f f ' a Uit e grafiek lijkt at het nulpunt tussen en ligt Neem us Dan gelt: f ( ) 9, en us f '( ) 8 f (, ) 87,,,, en vervolgens f '(, ), 7 f (, ) 9,,,, f '(, ) 8, 79 Het nulpunt is an ij enaering, f ( ) Voor het anere nulpunt start je met Het ere f '( ) nulpunt is an De snijpunten van e raaklijnen met e -as in cominatie met het stijgen of alen van e grafiek leit tot een epaal nulpunt a f, ; f ', Zet in cel B e uitrukking, * A A / en in cel C e uitrukking, / * A / Selecteer B en C en kopieer met e vulgreep e inhou naar e onerste cellen van kolom B en C Voor krijg je oor in C in te vullen De tael wort an: f() f'(),8,97,88,99,,9,9,,9,8,7,8,9e 7,,8,E,,8,,8,,8,,8, is n 9

24 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Een plot van f staat hieroner y,8,,,, 8,,,8 c In e eerste kolom van e tael lees je af at het rechter nulpunt hoort ij, 8 Het linker nulpunt kun je met Newton-Raphson niet vinen want in e uurt van snijt e raaklijn van f e negatieve -as ie uiten het omein van f valt (f is voor niet geefinieer) Ergens tijens e herhaale erekeningen geeft Ecel us een fout Als e raaklijn voorij het minimum ligt snijt eze e -as voor en wort uiteinelijk het rechter nulpunt gevonen ij e herhaale erekeningen Voor eze -waare moet us gelen f ' Oplossing: f ' ; f ', ;,, ;,, 7 us voor, 7 vin je het rechter nulpunt lazije 9 a 9 De uitzettingscoëfficiënt is e relatieve (lengte)veranering per graa Celcius Voor koper gelt us lengte T, waarin lengte e lengteveranering is als lengte gevolg van e uitzetting Bij T C gelt us voor e lengte: lengte T, ; lengte, lengte cm lengte,, cm, us wort e afmeting voor e lengte,, cm Voor e reete gelt: reete,, cm us wort e afmeting voor e reete,, cm Voor e hoogte gelt: hoogte,, 8, cm us wort e afmeting voor e hoogte, 8,, 8 De factor voor e lengtevermeerering ij een temperatuurstijging van C is lengte lengte lengte lengte T,,, lengte lengte lengte Het volume wort met eze factor voor lengte, reete en hoogte: V lengte, reete, hoogte, lengte reete hoogte,,,,, 7 cm

25 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel c Voor e spoorstaaf gelt: lengte = m en T C Met e factor volgens opracht geeft at: lengte ij C T lengte ij C, meter Het volume van m wort met e factor volgens opracht : volume ij C volume ij C T, 8 m Het volume van het koperen staafje is l h, cm V is het nieuwe volume ij het temperatuursverschil g met C De lengteveranering is volgens opracht ij het temperatuursverschil g met C gelijk aan e factor g, Voor het volume V gelt an V l g, g, h g, l h g, g, e Je moet hier een lineaire enaering vinen voor V g g, ron het punt met g Met eze enaering ga je e waare voor g enaeren (want at is het temperatuursverschil ij opracht tussen C en C ) Met e regel y f p f ' p p krijg je voor het lineariseren ron het punt g : V V V' g Met V' g g,,, g,, g, wort at V, g, g Merk op at e factor voor e volumevermeerering us uitzettingscoëfficiënt g wort ij eze enaering De enaere waare voor opracht a wort hiermee us voor g :,, 7 cm (eact) f Er is nauwelijks verschil tussen e antwooren ij en e want e onenaere functie V g g, verloopt tussen g en g ijna lineair Een lineaire enaering hiervoor geeft us heel weinig verschil (maar is eenvouiger om mee te rekenen) a, us R R R R 7 s s R R R R R R R R R R R R R s 7, us R 8, s R R R R c Voor R s stel je een lineaire enaering op ron het punt met R 7 en R Voor e lineaire enaering van R s afhankelijk van R hou je hier R constant op R De formule voor R s wort an R R R R s R afgeleie R ' R s R Met e regel y f p f ' p p krijg je voor het lineariseren ron het punt met R 7 : s s s R 7 7 R R R 7 R ' R ; Als R met % toeneemt wort e weerstan, 7 7 en R s , 97 in e enaering 7 en e 9

26 Blok - Verieping Lineaire enaeringen Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel e De niet-enaere waare van R s is 7 7 8, 79 De procentuele afwijking ie R s us krijgt oor e enaering is 8, 97 8, 79 %, % 8, 79 Voor e lineaire enaering van R s afhankelijk van R hou je hier R constant op 7 R 7 De formule voor R s wort an R R R R s R afgeleie R ' R 7 s 7 R ' Met e regel y f p f p p met R : R R R R ' R 7 7 en e krijg je voor het lineariseren ron het punt 7 s s s R 7 ; Als R met % toeneemt wort e weerstan, en 7 R s 77 8, 8 in e enaering 7 De niet-enaere waare van R s is 7 7 8, 8 De procentuele afwijking ie R s us krijgt oor e enaering is 8, 8 8, 8 %, % 8, 8 Als e veraneringen eie plaatsvinen kun je een optelling maken voor e veranering voor R s : De veranering in R s oor e veranering van R is R ' R R,, s 7 7 De veranering in R s oor e veranering van R is R ' R R 7,, s 99 7 Samen us,, 99, 8 De nieuwe waare van R s wort an 8,, 8 87, De niet-enaere waare is R s 87, 7 7 De afwijking oor e lineaire enaering is hier us verwaarloosaar klein 9