Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Transcriptie

1 Zomercursus Wiskune Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (versie 27 juni 2008) Inleiing De afgeleie van een functie f in een punt R is e helling (richtingscoëfficiënt) van e raaklijn aan e grafiek van f in het punt (,f()) Het teken van e afgeleie in een punt geeft aan of e functie stijgen of alen is in e omgeving van De functie ie met een reëel getal e afgeleie van een functie f in het punt associeert, heet e afgeleie functie (of kortweg e afgeleie) van f Deze functie wort meestal genoteer met f of f Het bepalen van e afgeleie van een functie heet ifferentiëren of afleien Het concept van afgeleie van een functie wer in e 7 e eeuw vrijwel tegelijkertij uitgevonen oor Isaac Newton en Gottfrie Leibniz In eze moule wort e (grafische) betekenis van afgeleie samen met e efinitie kort herhaal De naruk ligt echter op e stanaarafgeleien en e rekenregels Deze woren herhaal (zoner bewijs) en verwerkt in een aantal voorbeeloefeningen Diegenen ie vertrouw zijn met e betekenis en efinitie van afgeleie en enkel noo hebben aan een korte opfrissing van e belangrijkste rekenregels, kunnen irect van start gaan met Sectie 2 op p 4 Na eze sectie volgt een hele reeks oefeningen met bijhorene oplossingen Voor een uitgebreiere en meer conceptuele behaneling van afgeleien verwijzen we naar e cursus wiskune uit het eerste jaar Definitie Betekenis van e afgeleie Een rechte heeft e merkwaarige eigenschap at e helling in elk punt ezelfe is Maar bij e meeste grafieken van functies is e helling van punt tot punt verschillen De afgeleie van een functie is een maat voor ie lokale helling van e grafiek in elk punt en levert bijgevolg informatie over het verloop van e functie Beschouw e functie f waarvan e grafiek geteken is in Figuur en s e rechte (koore) oor e punten P

2 2 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien en Q op e grafiek van f De richtingscoëfficiënt van e rechte s is gegeven oor het ifferentiequotiënt rc (s) = f(a + h) f(a) (a + h) a = f(a + h) f(a) () h y f( 0+h) t Q s f f( 0 ) P h Figuur : Raaklijn als limietstan van kooren Afgeleie als limiet van ifferentiequotiënten De raaklijn t aan e grafiek van f in het punt P(a,f(a)) is e limietstan van e koore s voor Q P of nog voor h 0 De richtingscoëfficiënt van t is bijgevolg ook e limiet voor h 0 van het ifferentiequotiënt (): f(a + h) f(a) rc (t) = lim rc (s) = lim h 0 h 0 h De richtingscoëfficiënt van t bepaalt precies e lokale helling van e grafiek van f in het punt P(a,f(a)) en wort aarom als efinitie genomen van e afgeleie f (a) van e functie f in het punt a: f (a) = f ef f(a + h) f(a) (a) = lim h 0 h We komen op eze manier tot onerstaane efinitie van afleibaarhei van een functie en afgeleie van een functie De toename h (tussen e -coörinaat van P en ie van Q) wort soms ook genoteer als en heet e ifferentie van De bijhorene toename van f nl f(a+h) f(a) noteert men an als f(a) en heet e ifferentie van f Het quotiënt f(a) wort an het ifferentiequotiënt of Newtonquotiënt genoem Zomercursus Wiskune

3 Definitie Betekenis van e afgeleie 3 Definitie (Afleibaarhei en afgeleie van een functie) Zij f een functie en a R Inien e limiet f(a + h) f(a) lim h 0 h bestaat en einig is, heet f afleibaar of ifferentieerbaar in het punt a R De waare van eze limiet wort an e afgeleie van f in a genoem en wort genoteer met f f (a) of (a) Dus f (a) ef = f ef f(a + h) f(a) (a) = lim h 0 h De functie ie afbeelt op f () noemt men an e afgeleie functie (of kortweg e afgeleie) van f Ze wort genoteer met f of f of [f()] Opmerkingen 2 Een anere veel gebruikte efinitie voor afgeleie vin je oor substitutie van a + h voor zoat h = a We bekomen an als alternatieve en volleig gelijkwaarige efinitie f (a) ef f() f(a) = lim a a 2 De tweee afgeleie van een functie f is e afgeleie functie van e afgeleie functie, ze wort genoteer met f of 2 f = ( ) f Analoog efiniëren we 2 ook e n e afgeleie (n N 0 ) van een functie f Deze noteren we met f (n) of met n f n Als e afgeleie strikt positief is in een bepaal punt, zal e functie stijgen in e omgeving van at punt Als e afgeleie strikt negatief is in een bepaal punt, zal e functie alen in e omgeving van at punt Als f (a) = 0 voor een zekere a R zal e raaklijn aan e grafiek van f in het punt (a,f(a)) horizontaal zijn We vermelen nog zoner bewijs at wanneer een afleibare functie f een lokaal maimum of een lokaal minimum bereikt in een punt a R, e afgeleie f (a) in at punt stees nul zal zijn Men kan us verwachten at bij het bepalen van het verloop van een functie afgeleien een belangrijke rol spelen De afgeleie kent ook veel toepassingen in e fysica Denk Zomercursus Wiskune

4 4 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien hierbij bijvoorbeel aan e snelhei ie e afgeleie is van e verplaatsing naar e tij De versnelling is an weer e afgeleie van e snelhei naar e tij 2 Stanaarafgeleien en rekenregels Hieroner zien we twee tabellen met e afgeleien van enkele belangrijke functies In e linkerkolom vinen we telkens het functievoorschrift van e oorspronkelijke functie, rechts at van e afgeleie functie In e functievoorschriften stellen a > 0, c en n reële constanten voor, e 2, is e constante van Euler f() [f()] = f () c 0 n e a ln log a sin cos tan n n e a ln a ln a cos sin cos 2 = sec2 = + tan 2 f() cosec sec [f()] = f () cosec cot sec tan cot sin 2 = cosec 2 Bgsin Bgcos Bgtan = cot Zomercursus Wiskune

5 2 Stanaarafgeleien en rekenregels 5 Rekenregels 2 Zij f en g twee functies ie beie afleibaar zijn in R Dan gelt: Afgeleie van een veelvou van een functie Voor elke c R is e functie cf afleibaar in, met afgeleie (cf) () = cf () 2 Afgeleie van som en verschil van functies De som f + g en het verschil f g zijn beie afleibaar in, met als afgeleien (f + g) () = f () + g () (f g) () = f () g () 3 Afgeleie van een prouct van functies Het prouct fg is afleibaar in, met als afgeleie (fg) () = f ()g() + f()g () 4 Afgeleie van het omgekeere van een functie Inien g() 0, an is /g afleibaar in, met als afgeleie ( ) () = g () g g() 2 5 Afgeleie van een quotiënt van functies Inien g() 0, an is het quotiënt f/g afleibaar in, met als afgeleie ( ) f () = f ()g() f()g () g g() 2 6 Afgeleie van een samengestele functie: kettingregel De samengestele functie g f is afleibaar in, met als afgeleie (g f) () = g (f())f () In wooren: e afgeleie van g f in R vin je oor e laatst toegepaste functie g af te leien en te evalueren in f() en vervolgens te vermenigvuligen met e afgeleie van f in 7 Afgeleie van e inverse van een functie Inien f () 0, an is e inverse functie f afleibaar in y = f(), met als afgeleie (f ) (y) = f (f (y)) = f () Zomercursus Wiskune

6 6 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien 3 Voorbeeloefeningen In eze paragraaf woren enkele voorbeelen uitgebrei uitgewerkt om te illustreren hoe bovenstaane rekenregels en stanaarafgeleien toegepast woren Bereken e afgeleie van e functie f() = Het gaat hier om een stanaarafgeleie, nl van e functie f() = n met n = We bekomen f () = [n ] = n n n= = = 0 = = Dus e afgeleie van e functie f() = is e functie f () = Men noteert it ook als [] = 2 Bereken e afgeleie van e functie f() = Het gaat hier om een stanaarafgeleie, nl van e functie f() = n met n = /2 We bekomen us f () = [n n n=/2 ] = n = 2 2 = 2 2 = 2 Dus e afgeleie van e functie f() = is e functie f () = 2 Men noteert it ook als [ ] = 2 3 Bereken e afgeleie van e functie f() = 4 ln Omat het hier om een prouct van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van e prouctregel We bekomen f () = = [f()] [ 4 ln ] = ln [ ] = ln = 3 (4 ln + ) [ln ] Oefen e prouctregel verer in: Sectie 5, oef (a) en (b) 4 Bereken e afgeleie van e functie Zomercursus Wiskune f() = ln sin

7 3 Voorbeeloefeningen 7 Omat het hier om een quotiënt van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van e quotiëntregel We bekomen f () = [f()] = [ ] ln sin = sin [ln ] ln [sin ] sin 2 = = sin ln cos sin 2 ln cos sin sin 2 Soms kunnen we een quotiënt van functies ook afleien zoner e quotiëntregel te gebruiken, zoals blijkt uit volgen voorbeel 5 We berekenen e afgeleie van e functie f() = 2 5 f () = [f()] = [ ] 2 5 = [ 25 ] = 2 [ ] 5 = 2 5 ( ) 2 = Oefen e quotiëntregel verer in: Sectie 5, oef (c), () en (e) 6 Bereken e afgeleie van e functie f() = 3 ( 2 + 3) 4 Om het berekenen van e afgeleie te vereenvouigen, kunnen we het functievoorschrift van f best herschrijven tot f() = ( ) 4/3 De functie f is een samenstelling van twee anere functies Dwz at f() te schrijven is als f() = h(g()) met g() = en h() = 4/3 De afgeleien Zomercursus Wiskune

8 8 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien van g en h zijn gegeven oor respectievelijk g () = 2 en h () = (4/3) /3 Met behulp van e kettingregel voor het afleien van samengestele functies bekomen we an voor f, f () = [f()] = [h (g())] = h (g()) [g()] = 4 3 (2 + 3) /3 = 4 3 (2 + 3) /3 2 = [ ] Bij het afleien van een samengestele functie hoeft men natuurlijk niet stees e samenstellene functies epliciet te benoemen en af te leien, men mag rechtstreeks e afgeleie van e samengestele functie neerschrijven zoals in het voorbeel hieroner 7 Bereken e afgeleie van e functie f() = 5 2 Het gaat hier opnieuw om een samengestele functie De afgeleie vinen we us met behulp van e kettingregel: f () = [f()] = [5 2] [ = 5 2 ln 5 ] 2 = 5 2 ln 5 2 = (2 ln 5)5 2 Oefen e kettingregel verer in: Sectie 5, oef (f) en (g) 8 Bereken e afgeleie van e functie f() = ( ) Zomercursus Wiskune

9 3 Voorbeeloefeningen 9 Gebruikmaken van e kettingregel en e quotiëntregel bekomen we ( ) 3 [f()] = 4 ( + 2) [] [ + 2] + 2 ( + 2) [ 2 ( = ) ] 4 ( ) 3 ( + 2) 2 = ( + 2) 2 ( ) 3 ( ) 4 3 = 4 = ( + 2) 5 9 We berekenen e afgeleie van e functie s(t) = 5 cos 3 (4t 2 7) Als we e factor 5 niet in rekening brengen, hebben we te maken met een samenstelling van rie functies, mn e functies f(t) = 4t 2 7, g(t) = cost en h(t) = t 3 Om s te berekenen, moeten we e kettingregel twee keer toepassen: t [s(t)] = 5 3 cos ( 2 4t 2 7 ) [ ( cos 4t 2 7 )] t = [ ( 5 cos 3 4t 2 7 )] = 3 5 cos ( 2 4t 2 7 ) ( sin ( 4t 2 7 ) [ 4t 2 7 ]) t t = 5 [ ( cos 3 4t 2 7 )] = 3 5 cos ( 2 4t 2 7 ) sin ( 4t 2 7 ) 8t t = 24 5tsin ( 4t 2 7 ) cos ( 2 4t 2 7 ) 0 Bereken e tweee afgeleie van e functie g() = Bgsin + 2 [g()] = [ ( ) ] 2 /2 + 2 [] = 2 [Bgsin + ] = ( ) 2 3/2 [ ] = [ ] [Bgsin + ] = ( 2) 2 ( 2 ) 3 = [ ] + = 2 ( 2 ) 3 Bereken e ere afgeleie van e functie We vinen f() = 2e 2 sin f () = 4e 2 3 cos f () = 8 2 e 2 + 4e sin f () = 6 3 e e cos Zomercursus Wiskune

10 0 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien 2 Stel at g een afleibare functie is Geef e afgeleie van e functie f in termen van e afgeleie van e functie g als f bepaal wort oor het functievoorschrift f() = lng() We vinen f () = [ln g()] = g() [g()] = g () g() 4 Toepassingen 4 Vergelijking van een raaklijn aan e grafiek van een functie De afgeleie van een functie kan gebruikt woren om e vergelijking van e raaklijn aan e grafiek van ie functie in een gegeven punt van e grafiek te bepalen De afgeleie f () van een functie f in een punt R is namelijk niets aners an e richtingscoëfficiënt van e raaklijn aan e grafiek van f in het punt (,f()) op ie grafiek Laten we it illustreren ahv een voorbeel Voorbeel 4 Zij f e functie met voorschrift f() = 3 We zoeken e vergelijking van e raaklijn t aan e grafiek van f in het punt P(, 0) graf f De richtingscoëfficiënt van eze raaklijn is gegeven oor rc (t) = f ( ) = 3 ( ) 2 = 2 Van e gezochte rechte t kennen we us e richtingscoëfficiënt en een punt, nl P(, 0) Dit is voloene om e vergelijking op te stellen: t y y = [rc (t)]( ) y 0 = 2 ( ( )) y = Grafiek en raaklijn zijn geteken in onerstaane figuur Oefening 42 Stel e vergelijking op van e raaklijn t aan e grafiek van e functie f() = in het punt P graf f met -coörinaat (Oplossing: t y = 4 + ) 42 Toepassing uit e fysica: Harmonische oscillator In e cursus fysica zullen we zien at wanneer een massa aan een veer een trillene beweging uitvoert (in het verlenge van e veer), e uitwijking van e massa tov haar rusttoestan, in functie van e tij t, beschreven wort oor (t) = A cos ωt Zomercursus Wiskune

11 5 Oefeningen t y f - P - Figuur 2: Grafiek van f() = 3 met raaklijn in P(, 0) Hierin zijn e amplitue A > 0 en e hoeksnelhei ω > 0 reële constanten De snelhei v waarmee e massa trilt (in functie van e tij) kunnen we bepalen oor e uitwijking af te leien naar e tij t Met e kettingregel vinen we v(t) = (t) t = (A cos ωt) t = A( sin ωt) t (ωt) = ωa sin ωt Op analoge manier wort e versnelling a van e massa in functie van e tij gevonen oor e snelhei v op haar beurt af te leien naar e tij: a(t) = v(t) t = ( ωa sin ωt) t = ω 2 A cos ωt 5 Oefeningen Bereken e afgeleie van volgene functies (a) f(t) = ( + t) lnt (b) f(t) = t 2 cos t (c) f(t) = t 2 () f(t) = sin t cos t Zomercursus Wiskune

12 2 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (e) f(t) = 3t 2t + 2 (f) f() = sin(4 + 5) (g) f(t) = ln 7t 2 2 Stel at g een afleibare functie is Geef e afgeleie van e functie f in termen van e afgeleie van e functie g als f bepaal wort oor het functievoorschrift (a) f() = Bgtang() (b) f() = g(3) + 3g() + (g()) 3 + g() + g(3) + g(3) + g(3 ) + 3 g() 3 Bereken e afgeleie functie van volgene functies (a) f() = (b) f() = tan (c) f() = cos( 8 2 ) () f() = sin 3 3 (e) f() = (f) f(t) = lnt sin t 2 (g) f(t) = ln( t 2 ) 4 Zij a,b,c R Bepaal an e afgeleie van onerstaane functies (a) s(t) = a + b sin(bt c) (b) s(t) = abt + ct 2 (c) s(t) = b ( cos a 2 t) 5 Bereken e tweee afgeleie van elk van volgene functies (a) f() = ln 2 (b) f() = cos (c) f() = sin 4 6 Bepaal r θ als e functie r gegeven wort oor (a) r(θ) = 2θ / θ2/ θ3/4 (b) r(θ) = cos θ (c) r(θ) = 2θ Zomercursus Wiskune

13 5 Oefeningen 3 () r(θ) = a θ met a > 0 (e) r(θ) = Ae aθ met A,a > 0 (f) r(θ) = a cos 2θ met a > 0 7 Bepaal e vergelijking van e raaklijn aan e grafiek van e functie f in het punt P graf f als (a) f() = 4 4 en e coörinaten van P zijn P(, 3) (b) f(t) = cos t en e -coörinaat van P is π/2 (c) f() = 2 en e coörinaten van P zijn P(2, 3) Zomercursus Wiskune