( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

Transcriptie

1 C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c f ( ) f '( ) g( ) 5 8 g '( ) Onthou: y y '( ) h h'( ) k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 ) + 8 4( 1) + 8 a b c a b 1 A A + t t t + t t A'( t ) t t t t t P 5q + 6q 5 P '( q) 10q 6 10 q + 6q 5 6q 5 6 p + p R R p + + p + + p R '( p) 1 p p p p p y f (1,9) f (1,5) De gemiele snelhei op het interval [1,9;1,5] is 0, 1,9 1,5 c k: y a + b met a f '(1) 4 ( ) f '( ) ( ) 4 ( ) k: y + b 0 1 b b Dus f '() 4 ( ) 59 ya f (1) 0 A(1, 0) + De snelhei waarmee f ( ) afneemt voor is 59 Dus k: y 4a 4b 4 1 g( ) 4 g '( ) g '() > 0, us g( ) neemt toe voor 9 l : y a + b met a g '() + 4 l : y + b 4 + b b yp g() P (, ) Dus l : y 4c g '( ) a 5b 5c 6a 6b 7a 7b en e snelhei is y y y y (,01) y () De gemiele snelhei is 1,090 5,01 :, k y a + b a 6 4 1,090 1 Dit wijkt 100% 0, 8% af k: y 6 + b b 108 b yp 6 P (4, 6) Dus k: y Het etreem (maak een plot) is een minimum 1,4 0,4 q p 5 p q'( p) 5 7 p p 0,4 Snelhei is 5 7 1, 5 5, 78 ( /stuk) p p 1,50 0,4 0,4 0,4 1 0,4 5 7p 0 (intersect of) 5 7p p 5 p 5 4,10 ( /stuk) p 7 7 De maimale weekverkoop (zie een plot) is 5 stuks 1 1 y y '( ) y (zie een plot) 1 min y 6 y y '( ) 1 (6 ) (teller 0) yma ( is e enige kaniaat of zie een plot) y() 14

2 C von Schwartzenberg /1 n ma 8a 8b 8c E ( n) 0, 48n 0,006 n E '( n) 0, 48 0,01 n E '(40) 0, 48 0, E ( n) is maimaal (één kaniaat/zie een plot) voor 40 E ( n) 0, 48 n an E '( n) 0, 48 an 0,48 E '(16) 0 0, 48 a , 48 a a 0, 015 0,48 0,4 E '( n) 0 0, 48 an n nma a a 0,4 Zie e grafiek van nma hiernaast (gebruik TABLE op e GR) a q q + q + '( q) 10 q 6 10 q ' q q q + " q q q q is minimaal (er is maar één kaniaat/zie een plot van ) voor q 1 000, us e minimale snelhei waarmee toeneemt is ( /stuk) q 1000 a 10a N ( N ) N 1 0 6t 0 6t 1 t 10b N t + 6t 5 t N '( t ) t t 5 N "( t ) 6t 6 N is maimaal (er is maar één kaniaat of zie een plot van N ) voor t Dus na uur is e snelhei maimaal N t 0 N 15 t t 5 15 t t 0 t( t 4) 0 t 0 (zoeken we niet) t 4 Dus na 4 uur 11 Grafiek C hoort bij e grafiek van e marginale kosten Er gel M (e helling van e grafiek van ) De grafiek van gaat van afnemen stijgen over in toenemen stijgen De helling van e grafiek van e grafiek van is overal positief, maar neemt eerst af en aarna weer toe C 1a De grafiek van ligt oner e -as ( e helling van y is negatief) e grafiek van y is alen 1b De grafiek van y gaat van toenemen stijgen over naar afnemen stijgen 1c De grafiek van y gaat van afnemen alen over naar toenemen alen 1 De grafiek van y gaat van afnemen stijgen over naar toenemen stijgen 1e De grafiek van y is afnemen stijgen 1f De grafiek van y (gaat over van alen naar stijgen) heeft een minimum 1a 1b 1c 1 De grafiek van ligt oner e -as (e grafiek van y is alen) en is stijgen (e aling neemt af) De grafiek van gaat van oner e -as (e grafiek van y aalt) naar boven e -as (e grafiek van y stijgt) De grafiek van ligt boven e -as (e grafiek van y is stijgen) en is alen (e stijging neemt af) De grafiek van heeft een laagste punt (als helling van y minimaal is) en ligt geheel boven e -as ( y is stijgt stees) 14 1,5 y 5 y '( ) 5 Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: e grafiek van ligt geheel boven e -as (e helling van y stees is positief), us e grafiek van y is stijgen e grafiek van is bovenien alen (helling wor miner positief), us e grafiek van y is afnemen stijgen

3 C von Schwartzenberg /1 15a 15b 15c q 6q q 5 '( q) q 1q Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: e grafiek van ligt geheel boven e q-as (e helling van is stees positief), us e grafiek van is stijgen e grafiek van is bovenien eerst alen en aarna stijgen, us e grafiek van gaat van afnemen stijgen over in toenemen stijgen M M q 1q M '( q) 6q 1 (met als grafiek een stijgene lijn) M Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: M e grafiek van ligt eerst oner e q-as, us e grafiek van M begint alen M e grafiek van snij an (voor q 6) e q-as en komt an boven e q-as, us e grafiek van M gaat van alen over in stijgen en heeft us een minimum (voor q 6) q 6q q G G q q + + q q + + q G '( q) q 6 15q q 6 15 q q q Uit een plot van G (zie hiernaast) volgt: e grafiek van G ligt eerst oner e q-as, us e grafiek van G begint alen e grafiek van G snij an e q-as en komt an boven e q-as, us e grafiek van G gaat van alen over in stijgen en heeft us een minimum 16a 16b 16c In 004 is t 6 N 97,6 (mannen op elke 100 vrouwen) 97,6 Er waren toen 90 14, miljoen mannen 97,6 00 N 0, t 0,95t 00, 84 N N '( t ) 0, 00015t 0, 95 Uit een plot van N (zie hiernaast) volgt: e grafiek van N ligt eerst oner e t -as, us e grafiek van N is eerst alen e grafiek van N snij an e t -as en komt an boven e t -as, us e grafiek van N gaat van alen over in stijgen en heeft us een minimum N 0 0, 00015t 0,95 0 0, 00015t 0,95 t t , 94,5 t 1700 geeft Nmin 94,5 Het percentage mannen in 1981 is 100% 48,6% 94, a 17b 17c p( ) + p'( ) 6 + f ( ) f '( ) f '( ) g '( ) 4 g( ) g '( ) p( ) f ( ) g( ) maar p'( ) 6 + f '( ) g '( ) 4 18a f ( ) f '( ) 1 + ( ) + 6 ( ) 18b g( ) 1 g '( ) c 18 1,8 1,8 0,8 1,8 0,8 h( ) 5 + ( ) h'( ) 5 + ( ) + 1,8( ) 5 + ( ) +,6 ( ) 1 6( 1) k ( ) 6( 1) 1 k '( ) ( 1) a 19b ( 5) y + 1 ( 5) + ( + ) ( 5 ) ( 5) + 4( + )( 5) y ( 1) 4 y 1 ( 1) 4 ( 1)

4 C von Schwartzenberg 4/1 19c q q q q + q q 100 q 100 q A 1 5t t t A t t t t t t + t t 0a [5 ]' [5 ]' [5]' + 5 [ ]' [ ]' 5 [ ]' 0b [ a f ]' [ a]' f + a [ f ]' 0 f + a [ f ]' a f ' 1a 8( ) + ( ) ( ) 8( ) + ( )( ) ( )(8 1) ( 1) ( 1) ( 1) 6( 1) ( 1) (1 6 ) ( 1) (1 8) 1b 1c ( + ) ( + ) 5 ( + ) 5 ( ) 1 ( )( 7) 5 ( 7) ( 7) (( )( 7) 1 ) ( 7) (( )( ) 1) ( 7) ( ) ( 7) ( ) a b c a b c ( ) ( 1 ) ( + ) ( 1) 4 ( 1) f ( ) 4 ( 1) f '( ) 4 ( 1) + 4 5( 1 ) 4 ( 1) + 60 ( 1) ( 1) 4( 1) + 60 ( 1) ( ) ( 1) (7 4) g( ) (1 ) g '( ) 1 (1 ) + 4( 1 ) (1 ) 8 (1 ) (1 ) (1 ) 8 (1 ) (1 8 ) (1 ) (1 9 ) ( ) ' 1 1 h h + 4a 4b 5a 5b ( ) ' f + f f '( ) + 0 (teller 0) Minimum (zie een plot) van f is f ( 1) 1 4c k : y a + b met a f '() geen maimum k: y 4 + b b b maar minimum ya f () 9 9 A(, 9) Dus k: y g( ) ( ) + g '( ) 1 ( ) + 4( ) 1 ( ) 4 ( ) ( ) (( ) 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 5 ) g '( ) ( ) ( 5 ) 0 5c l : y a + b met a g '(0) l : y 16 + b b 5 yp g(0) P (0, ) 0,4 Dus l : y Het maimum (zie een plot) van g is g(0,4) 4,6144 en het minimum (zie een plot) is g() 6a t( ) + t '( ) ' n( ) + n '( ) 1 t n'( ) 1 6b t ( ) q( ) + q '( ) nderiv( n( ) + t '( ) TABLE laat zien at q '( ) n'( )

5 C von Schwartzenberg 5/1 ( 4) 1 ( 1) 1 7a y y y ' y t t n t ' t n' n at t an ( 4) ( 4) ( 4) n n n n ( 7) ( ) 1 7b y 7 + y ( + 7) ( + 7) ( + 7) (6 ) 6 1 7c y y (6 ) (6 ) (6 ) (8 5) (4 ) (4 ) y + + y (8 5) (8 5) (8 5) 8a ( t ) 0 A 5 A + + t b + t t ( + t ) ( + t ) 1 ( q + 8) q q + 8 q ( q + 8) ( q + 8) 8c P (1 + q) 0 1 P q 1 + q 1 4 (1 + q) + q (1 + q) (1 + q) (1 + q) (1 + q) ( t 1) t 1 8 N 4 t N 4 t 4 t t t 4 8t 64t t 1 t ( t 1) t ( t 1) ( t 1) ( t 1) ( t 1) P (6,5) P (4,5) 9a De procentuele toename is 100% 1,7% P (4,5) 50 (1 ) P + P (1 + ) (1 + ) (1 + ) Uit een plot van P (zie hiernaast) volgt: e grafiek van P ligt boven e -as, us e grafiek van P is stijgen e grafi ek van P is bovenien alen, us e grafiek van P is afnemen stijgen 9b 9c P 50 0,8 (intersect) 6,9 (1 + ) P < 0,8 (zie een plot) 6,9 < ( 10) 0a 0p 600 q 0 0 4p + 5 0(4p + 5) 0p p 00 0p p 1500 p 5 ( ) 0p 600 (4p + 5) 0 (0p 600) 4 80p 00 80p b q 600 4p + 5 p (4p + 5) (4p + 5) (4p + 5) 600 < 0 voor elke p, us e verkoop neemt af bij toenemene prijs p (4p + 5) 0c Snelhei 600 1,06 p verkoop neemt af met 1,06 kist/euro p 18 ( ) 1a 1b 1c 1 De snelhei is P 5,19 %/week (of met nderiv( of met e afgeleie uit 1b) t 4 Dit is (ongeveer) 0,74 %/ag 100( t t ) P ( t ) 100(t 1) 100( t t ) t P t ( t ) 00t 100t + 00t t + 00t 00t 100t 100 ( t ) ( t ) P 100t (teller 0) 100t t t 1 t 1 ( t ) Uit een plot van P (zie bij 1a) volgt at het zuurstofgehalte na 1 week minimaal is 100( t t ) P 98 (intersect) t 0, 0 (niet e juiste) t 49, 98 (weken weer op 98%) t Dit zijn (ongeveer) 50 agen P 1,49 %/week t 8 Het zuurstofgehalte na 8 weken is P (8) 87,69 % Het zuurstofgehalte moet na 8 weken nog 100 P(8) 1, % stijgen 1, Dit uurt an nog 7 58 agen 1,49 Vanaf het begin van e vervuiling uur het agen tot het oorspronkelijke (100%) niveau bereikt wor

6 C von Schwartzenberg 6/1 a b c e f g 4 y 4 ( ) 6( ) ( 8) y ( ) y y y ( 7) 0 4( 7 ) 4( 7) y ( 7) (( 7) ) ( 7) ( 7) Alternatieve uitwerking: y ( 7) 4( 7 ) 4( 7) ( 7) ( 7) y y Alternatieve uitwerking: y ( ) 5 1 y y h y i Alternatieve uitwerking: ( ) ( ) y 1 y (5 ) (5 ) 1 1 ( 5 ) Alternatieve uitwerking: y a b c f ( ) (1 ) f '( ) (1 ) + 6( 1 ) 1 (1 ) 6 (1 ) (1 ) (1 ) 6 (1 ) ( 6 ) (1 ) ( 8 ) g( ) 1 g'( ) ( 1 ) 4 4 (1 ) y ( 1) 1 ( 1 ) ( 1) 6 ( 1) ( 1) ( 1) 6 y ( 1) (( 1) ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4a 4b 1 ( ) 1 ( 1) 1 f ( ) + f '( ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) > 0 voor elke (zowel e teller als e noemer zijn an positief) Dus f '( ) > 0 voor elke uit het omein 4c Bij etremen van f gel: f '( ) 0 Omat f '( ) 0 voor elke uit het omein, heeft f us geen etremen 5a 5b y ( ) 1 y 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 Etremen: 0 ( teller 0) 4 0 ( 4) ( ) 0 geeft maimum (zie e plot hiernaast) y(0) en 0 4 geeft minimum (zie e plot hiernaast) y(4) y a + b met a y + b b b ya 9 A(, 9) 1 Dus y 8

7 C von Schwartzenberg 7/1 4 y ( ) 4 4 6a y ( ) ( ) ( ) ( teller 0) ( ) 1 geeft minimum (zie e plot hiernaast) y( 1) en ( 1) 1 geeft maimum (zie e plot hiernaast) y(1) b y geeft maimum (zie e plot hiernaast) y( ) en geeft minimum (zie e plot hiernaast) y() c y 1, 5 + 1, geeft minimum (zie e plot hiernaast) y( ) 1,5 ( ) + 4 1, en 4 geeft minimum (zie e plot hiernaast) y () 1, , a 7b 7c 7 0,16t C ( t + 4t + 4) 0,16 0,16 t (t + 4) 0,16t + 0,64t + 0,64 0,t 0,64t 0,16t + 0,64 C t + 4t + 4 t ( t + 4t + 4) ( t + 4t + 4) ( t + 4t + 4) C 0, ,64 0,64 0,64 t 0, 04 > 0 Dus e concentratie neemt irect na toeiening toe t 0 ( ) 4 16 C 0,16t + 0,64 0 ( teller 0) 0,16t + 0, ,16t 0, 64 t 4 t (vervalt) t t ( t + 4t + 4) 0,16 0, 0, t geeft maimum (maak een plot van C voor t > 0) C () 0, C 0, ,64 0, ,64 0, 0014 en C + 0, t 5 ( ) t t 10 ( ) 0,0014 1,9 us e snelhei op t 5 is ongeveer keer zo groot als e snelhei op t 10 0, ,16 4 C (4) 0, 0057 > 0, Dus na 4 uur is e aanwezighei van het meicijn nog aantoonbaar 8a 8b 8c 8 V (0) (ongeveer) , 9 Dus e verkoop was 55 stuks per maan ( t 16t 64) 1000 (1000t 000) (t 16) V t + 8 V t 6t + 64 t ( t 6t + 64) 1000t 6000t t 16000t 6000t t 6000t 6000 ( t 6t + 64) ( t 6t + 64) V ,9 > 0 Dus op t 0 stijgt e verkoop nog t t 0 ( ) 64 V 1000t 6000t ( teller 0) t + 6t 16 0 ( t+ 8)( t ) 0 (met t > 0) t t ( t 6t + 64) t geeft maimum (maak een plot van V voor t > 0) Dus na maanen gaat e omzet alen V 1000t gaat voor (hele) grote t naar e waare 8 t 6t + 64 Dus op en uur is e verkoop 8 camera's per maan 9a Het viere uur loopt van t tot t 4 De temperatuur neemt toe met T (4) T () 0,8 C ( 70) b 7 45t 8 T t + t t T t 50 90t 45t 50 t + 70 t ( t + 70) ( t + 70) ( t + 70) ,5 150 Bij mei om 17:0 hoort t 4 5 V + + 0, 04 t t 9,5 (9,5 + 70) Dus e snelhei waarmee e temperatuur afneemt op mei om 17:0 is 0,04 C per uur

8 C von Schwartzenberg 8/1 9c 9 T 45t 50 0 (teller 0) ( t + 70) 45t t 150 t 70 (met 0 t 100) t 70 8,7 De maimale (zie een plot) temperatuur van Frank is T ( 70) 9, 7 C Uit een plot van T 45t 50 (zie hiernaast) volgt: t ( t + 70) e grafiek van T ligt voor t > 70 oner e t-as, us e grafiek van T aalt voor t > 70 voor t > 70 zie je bovenien at e grafiek van T eerst aalt en an weer stijgt, us voor t > 70 is e lichaamstemperatuur eerst toenemen alen en aarna afnemen alen 40a boem 4 4 ( ) 40 40b zijkanten y y ( ) 40e 40c boem + zijkanten y 88 + y 1 y 1 y I y (1 ) 4 I 4 1 I 4 I (met > 0) I maimaal (zie e plot hiernaast) bij geeft y De afmetingen van e kist zijn an 1 1 meter 1 Ima m 41a Bij te har rijen ontstaan ongelukken (en bij grotere snelheen moet ook meer afstan woren gehouen) 16,5 41b Afstan 1, , 5 (meter) en t 1, 65 (seconen) 10 41c Afstan (meter); t 11 (seconen) en het aantal auto's per uur is Q én t 4 + r Q v 600 v t t v 4 + r 4 + r v 4 + r v v 41e v 16 r 0,15 16 en Q f 54 km/uur 15 m/s v 15 r 0, ,15 en Q (auto's/uur) 4 + 8, g Q 600v én r 0,15v Q 600v 4 + r 4 + 0,15v (4 0,15 ) ,50 600v Q + v v v v 900v Q 450v ,15 v v (4 + 0,15 v ) (4 + 0,15 v ) (4 + 0,15 v ) 41h Q 450v ( teller 0) 450v v (met v > 0) v v (4 + 0,15 v ) Q is maimaal (één kaniaat/zie een plot) bij een snelhei van (ongeveer) 5,66 m/s ofwel 0,4 km/uur Er passeren an (ongeveer) 546 auto's per uur 6 4a 4b 4c 4a 4b M 6 4 (4 10 ) 1, 10 Wi 7,5 10 met M 4 10 W i 7,5 10 v v v , ,4 10 6v,4 10 W W1 Wi v v 1, 10 v W 6v,4 10 v v v v v v v W 6v 4, ( teller 0) 6v,4 10 v 0,4 10 (met v > 0) v 0, ,5 (m/s) v v W is minimaal (één kaniaat/zie een plot) bij een snelhei van (ongeveer) 51,5 m/s ofwel 905 km/uur 10 1, W1 Wi v v 1, 10 v 0,4 10 v 0,4 10 (zie ook 4b) v In figuur 168a zie je at er boven zee een neerwaartse luchtstroom is en at kost een vogel meer energie EB AB + AE EB (km) Rechtstreeks over zee is kj noig 44a AC CB 1 (km over lan) en EC AC + AE EC + 5 (km over zee) Voor eze vlucht is (1 ) kj noig

9 C von Schwartzenberg 9/1 44b 44c (1 ) 640 (intersect) AC 11,8 (km) E (1 ) (optie minimium) AC 4,16 (km) Dus op 4,16 km van A bereikt e e scholekster e kust Het minimale totale energieverbruik is 576 kj 45a y b (kwarateren) (voloet niet) 6 (voloet) ymin (zie plot/table) y(6) a EB AB + AE EB 15 (km) De kosten via BE zijn euro 46b De kosten van B via A naar E zijn euro 46c 46 EC AC + AE EC 9 (km) De kosten van B via C naar E zijn euro BP 10 (km) en e kosten van het tracé BP zijn (10 ) euro 46e 46f 46g EP AP + AE EP + 5 (km) De kosten van het tracé PE zijn euro T T T T (kwar) ( + 5) , a 47b FP 000 en AP AP + AE ( 000 ) (kwar) ( ) a 48b 0,5 1,5 R p q (1560 a q ) q 1560q a q q 1560q a q q 1560 q a q 1,5 0,5 R 1560q a q R , 5a q , 5 a q R , 5a , 5a , 5a 1 a q 169 1,5 1 1,5 1,5 1,5 a 9 R 1560q 9 q en W R 1560q 9 q (50 + bq) 1560q 9 q 50 bq 1,5 0,5 W 1560q 9 q 50 bq W , 5 9 q b q b p q 9 q 1 01 q 11 q W b b b 4 q 11

10 C von Schwartzenberg 10/1 D1a D1b D1c Diagnostische toets y f (5) f (1) De gemiele snelhei op het interval [1,5] is 0, f ( ) f '( ) f '() 4 0, 0 > 0, us f ( ) neemt toe voor 1 k: y a + b met a f '( 1) 4 0, k: y 0,14 + b 1 1 1, 6 0,14 + b b, 95 Dus k: y 0,14 +, 95 ya f,6 A( ;,6) Da Db D 1 R( q) q 10q + 84 q R '( q) q 0q + 84 De snelhei waarmee R veranert voor 4 is R '(4) R '( q) q 0q ( q 6)( q 14) 0 q 6 q 14 R is maimaal (zie een plot van R) voor 6 en Rma 16 0, 01, ' 0, 0 4, q q + q + q q q + " 0, 06 4, 8 q q 4,8 0 0,06q 4,8 0 0,06q 4,8 q 80 0,06 is minimaal (er is maar één kaniaat voor e vraagstelling/ zie een plot van ) voor q 80 08, us e minimale snelhei waarmee toeneemt is 08 ( /kg) q 80 D4 y 0 y '( ) (is stees positief en wor voor toenemene stees kleiner) Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: e grafiek van ligt geheel boven e -as, us e grafiek van y is stijgen e grafiek van is bovenien alen, us e grafiek van y is afnemen stijgen D5a D5b,4,4 1,4,4 1,4 f ( ) 5 ( + ) f '( ) 5 ( + ) + 5, 4( + ) 5( + ) + 6 ( + ) g( ) g '( ) D6a D6b f ( ) ( + ) f '( ) ( + ) + 4( + ) ( + ) 6 ( + ) ( + ) ( + ) 6 ( + ) ( ) ( + ) (18 + 6) (18 + 6) ( + ) 6 ( + ) ( 5 ) 4 5 ' g + g (5 + ) D7a D7b D7c D7 1 y ( ) ( 1) 1 y ( + ) ( + ) ( + ) y (5 1) 1 ( ) 5 y (5 1) (5 1) (5 1) y (4 ) 6 4 y (4 ) (4 ) (4 ) 4 4 (4 ) 6 y ( ) 9 9

11 C von Schwartzenberg 11/1 D8a D8b 18 y ( 4) ( 18) y ( 4) ( 4) ( 4) ( teller 0) ( 4) ( 6)( + ) geeft minimum (zie een plot/table) y(6) 4,5 en geeft maimum (zie een plot/table) y( ),5 k: y a + b met a ( 0 4) ( 4) 16 0 k: y b b 4 Dus k: y 1 4 y (0, 4 1) A A D9a 000t 60 (intersect) t t 5 1 t 6 000t > 60 (zie een plot) < t < 5 1 Dus tussen 1:00 en 14:0 t 6 D9b D9c 000t N ( t 6) t t N 000t t 000t t 6 t ( t 6) ( t 6) ( t 6) N 000t ( teller 0) 000t t 16 (met t > 0) t 4 t ( t 6) t 4 geeft N ma (zie e plot bij D9a) 75 Dus om 1:00 zijn er 75 pinbetalingen per minuut Om 11: is t met N 60 66,9 en t 60 om 1:00 is t met N,6 t De snelhei is us ongeveer gehalveer D10a y D10b (kwarateren) (voloet niet) 5 (voloet) ymin (zie plot/table) y(5) 14 D11a Opp 00 poster y 00 y én Opp afbeeling A ( 4 4) ( y 6 6) ( 8) ( y 1) Dus A ( 8) ( 00 1) D11b A A A Uit een plot (en zelfs al e vraagstelling) blijkt at A maimaal is , (cm) en y 69, (cm) 1 De afmetingen van e afbeeling zijn 46, bij 69, cm

12 C von Schwartzenberg 1/1 Gemenge opgaven 16 Toepassingen van e ifferentiaalrekening,6,6,6,6,6 G1a f ( ) 6 ( 5) + 0 f '( ) 6 ( 5) + 6, 6( 5 ) + 0, 6,6,6,6 6 ( 5) + 4,( 5) + 7 G1b 1 ( ) 6 ( 1) g( ) g'( ) ( + ) ( + ) ( + ) G1c h( ) h'( ) G1 1 ( 1) 6 ( 1) ( 1 ) ( 1) 6 ( 1) 4 k( ) k '( ) ( ) ( ) 1 Ga f ( ) (5 ) f '( ) 6 (5 ) + ( 5 ) 5 6 (5 ) + 0 (5 ) (5 ) (5 ) 0 (5 )( ) (5 )(5 9) Gb g( ) g '( ) ( + 4) ( + ) ,5 Gc h( ) ( ) 0,5 ( ) 1 1,5 h'( ) + + 0,5( ) + 1,5 ( ) ( 1) ( ) + 1 (4 + + ) ( ) Ga 45000t N (50 + t ) t t N t 90000t 45000t t t (50 + t ) (50 + t ) (50 + t ) N 45000t ( teller 0) t t 50 (met t > 0) t 50 t (50 + t ) Nma (volgt uit e vraagstelling) N ( 50) 18 Gb De tiene week loopt van t 9 tot t 10 N (10) N (9) De procentuele toename in e tiene week is 100%, 0%, us e procentuele afname is, 0% N (9) Gc N (bacteriën/week) 100 t t 10 (50 0 ) Dus het aantal bacteriën neemt op t 10 af met 100 bacteriën per week G N 45000t 000 (intersect) t 5 t t N t > 000 (zie een plot) 5 < t < 10 Dat is geurene 5 weken, us 5 agen 50 + t f 0,5 0,5 0 G4a Bij 50% hoort f 0, f 1 0,5 0,5 f 0 Aflezen in e grafiek: bij 10 hoort het jaar 1877 (eventueel 1875 of 1876 of 1878 of 1879) 1 f G4b ( f ) (1 f ) 1 f 1 1 f + f 1 f > 0 (als 0 f < 1) neemt toe als f toeneemt f 1 f (1 f ) (1 f ) (1 f ) 1 f f hout t t t t G4c,0 0,96 f 1 hout (1 f hout ),0 0,96 f hout,0 0,96,0 0,96 f hout f hout t t t t Dus f hout +,0 0,96 f hout,0 0,96 f hout (1 +,0 0,96 ),0 0,96 t,0 0,96 Hieruit volgt: f hout 1,0 0,96 t + G4 folie + fgas 0,5 (intersect) t 9,4 Dit is in 194 G5a, C log( C ) (intersect) C

13 C von Schwartzenberg 1/1 G5b Bij r 100 is het verschil (ongeveer) (eventueel ) Bij r 500 is het verschil (ongeveer) (eventueel ) Conclusie: het verschil bij r 100 is groter an bij r 500 G5c Miner an 00 wooren komen hoger uit an Zipf voorspelt Het aantal gebruikte wooren is 0 000, us uitspraak 1 is niet waar De grafiek van Zipf loopt verer naar rechts oor, us uitspraak is waar G f r r fr ' r r r e grafiek van fr ' ligt oner e -as (e waare is negatief) fr is alen e grafiek van fr ' neemt toe (e waare wor stees miner negatief) fr is afnemen alen G6a MO TO, us MO is e helling van e grafiek van TO Grafiek 4 hoort bij moel A, want e helling van e grafiek van TO is constant Grafiek 1 hoort bij moel B, want e helling van e grafiek van TO neemt voorturen af (en wor uiteinelijk negatief) Grafiek hoort bij moel C, want e helling neemt eerst toe en neemt an af, maar blijft positief Grafiek hoort bij moel D, want e helling neemt eerst toe en neemt an af en wor uiteinelijk negatief G6b TO 0,01q + b q TO 0,0 q + b q TO 0, 0 q + b q 0 q ( 0, 0q + b) 0 q 0 0, 0q + b 0 q 0 q b 0,0 q b ma (of q ma 66, 7 b) met als grafiek een rechte lijn oor e oorsprong en het punt (,00) 0,0 G7a 880, , 5 (intersect) t 48,9 (seconen) t G7b 190, 1,08 r 711, 10,14 ( r 7) (intersect) r,7 r 67,8 190, 1,08 r 711, 10,14 ( r 7) (zie een plot),7 < r < 67,8 1 1 G7c (met 0) P 1 P a r b a r b r > a r a r r Als r stijgt, an neem e noemer r toe en neemt 1 af r Omat a > 0 is P a > 0 en neemt P a us af r r r r De stijging van e grafiek van P verloopt stees miner snel G8a 4:4479 is 84,79 seconen, us e gemiele snelhei is 000 7,0 m/s ofwel 5,8 km/uur 84,79 00a G8b v 0, 07a + 0 (intersect) a 0, 6 (km of 600 meter) 44a 00a G8c v 0, 07a + (optie maimum) a 0,151 (km of 151 meter) 44a 00a v (44a ) 00 00a 88a G8 v 0, 07a + 0, 07 44a a (44a ) v,0 < 0 v neemt af bij een afstan van 1500 meter a a 1,5 G8e a 4,195 v 0,154 4,195 De benoige tij is, 094 uur 0,154 Dit komt overeen met uur, 5 minuten en 8 (of 7) seconen Het verschil is 4 (of 4) seconen