Afgeleiden berekenen met DERIVE

Transcriptie

1 /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel. Op e knoppenbalk zie je een groepje van vijf knoppen voor analyse. Voor afgeleien gebruiken we het tweee, met als opruk een ouerwetse kleine letter '' (i.p.v. e hoofletter 'D' ie we meestal gebruiken in e les). Begin met een uitrukking in te voeren voor het functievoorschrift, bvb.: #1: x - x + 1 Selecteer uitrukking (#1) en klik op e afgeleie-knop. Je krijgt het volgene ialoogvenster te zien: In het vel 'Variabele' typ je e letter ie het origineel (e startwaare) voorstelt voor e functie. In e lessen Wiskune nemen we hiervoor stanaar e letter x, maar in toepassingen is at een luxe ie je je vaak niet kan verantwooren. Het zou zeer onhanig zijn moest je in DERIVE geen anere letter mogen gebruiken. Door in het vel 'Ore' een hogere waare in te typen kan je in één keer ook e tweee, ere,... afgeleie berekenen. Klik tenslotte op e knop [OK], en als alles goe gaat antwoort DERIVE met #: (x - x + 1) Zoals wel meer gebeurt toont DERIVE e opracht ie je zonet hebt gegeven. De berekening effectief uitvoeren vraagt at je (#) vereenvouigt (knop [=] op e knoppenbalk). Merk op at DERIVE e notatie '/' gebruikt als afgeleiesymbool, en niet e vertrouwe hoofletter 'D'. Je kan iets sneller resultaat bereiken oor in het ialoogvenster e knop [Vereenvouig] te kiezen. Uiteinelijk krijg je an toch het antwoor at je al lang zelf ha bereken: #: x - 4 x Probeer nu ook eens e iets complexere formule, ie op papier toch al snel een half bla rekenwerk vraagt: #4: x + x + 1 x - x + 1 ƒ Blz. 1

2 /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 #5: x + x + 1 x - x + 1 ƒ #6: 1 - x / (x + x + 1) (x - x + 1) Een alternatieve methoe om het ialoogvenster voor afgeleien te krijgen is via het menu /Analyse/Afgeleie..., waar je ook e sneltoets Ctrl-Shft-D vint om nog sneller te werken. Wie echter goe kan typen zal waarschijnlijk het liefst het ialoogvenster omzeilen en met e if-functie werken. Om een afgeleie te berekenen met e if-functie typ je in e oprachtregel een instructie van e vorm if(u, v, w) waarin u een uitrukking (of haar volgnummer) is, v het symbool voor het origineel en w e ore van e afgeleie. Het ere argument w van e if-functie mag weggelaten woren. DERIVE kiest an voor een eerste afgeleie. Op het scherm wort eze if-functie op ezelfe manier getoon als in (# ) of (#5). Probeer eens met if(sin(x), x )= De invoer afsluiten met een '='-teken zorgt er voor at DERIVE op ezelfe regel zowel e opracht als e vereenvouiging toont: #7: SIN(x) = COS(x) Nog twee subtiele etails i.v.m. het rekenen met afgeleien in DERIVE, ie je aners misschien voor raasels zouen kunnen stellen: Gebruik e notatie y =... niet om in DERIVE een functie te efiniëren. De berekening hieroner laat zien wat er gebeurt: #8: #9: y = x (y = x ) #10: 0 = x De reen voor it op het eerste zicht eigenaarig resultaat is at y = x^ oor DERIVE niet als een functieefinitie maar als een vergelijking wort gezien. DERIVE berekent e afgeleie van elk li afzonerlijk, en omat elke anere letter an 'x' als een constante wort beschouw wort het linkerli na afleien nul. Om y als afkorting voor f(x) te gebruiken moet je het efinitiesymbool ':=' gebruiken, us: #11: #1: y := x y := x Blz.

3 /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 #1: x De letter y alleen volstaat vanaf nu om e functie x --> x^ mee aan te uien: #14: y = x Wil je y opnieuw 'ontefiniëren' an typ je 'y :=', us zoner rechterli: #15: y := #16: y = 0 Nog beter is het om echte functienotatie te gebruiken. Typ je 'f(x) :=...' an is f vanaf at ogenblik een functie-symbool met een zogenaame formele parameter x. Dit betekent at je in e plaats van x om het even welke veranerlijke mag typen in f(), waarna DERIVE automatisch ook in het rechterli e gepaste substitutie maakt. In het volgene voorbeel efiniëren we in (#17) een functie met e veranerlijke x, en berekenen aarna enkele waaren met anere variabelen: #17: f(x) := x - x #18: f(a) = a - a #19: f() = 4 #0: b b ( b + 1) f = - b + 1 ƒ (b + 1) Alle afgeleieberekeningen in DERIVE geven functies als resultaat. Wil je e afgeleie in één enkel punt an moet je achteraf aan e variabele in eze functie een waare toekennen. In e Wiskuneles is het gebruikelijk om e afgeleie in één punt x = a aan te uien met e formule Df(a), in concrete gevallen bvb. Df(1) voor e rico van e raaklijn t_1. In DERIVE geeft it niet het verhoopte resultaat, zoals e volgene berekening laat zien: #1: f(x) := x #: #: #4: f(x) = x f(1) = 0 f(a) = 0 De twee laatste berekeningen tonen at DERIVE eerst e waare 1, resp. a, toekent aan e variabele x en pas aarna e afgeleie berekent, ie, als afgeleie van een constante, ineraa nul is. Om nu achteraf, in het resultaat van e afgeleie, aan x een waare toe te kennen, selecteer je e afgeleie functie en kies je in het menu /Vereenvouigen/Variabele Substitueren. Voor Df() in Blz.

4 /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 formule (#) krijg je het volgene ialoogvenster te zien: In het vel "Nieuwe waare" het getal typen en [OK] klikken geeft (#5), wat nog moet vereenvouig woren. Afsluiten met e knop [Vereenvouig] geeft irect (#6). #5: #6: 1 Ook voor it ialoogvenster bestaat een equivalente DERIVE-functie, ie haniger werkt als je goe kan typen. Deze functie volgt het patroon SUBST(u, v, w) waarin u een uitrukking is, v een variabele uit u, en w e waare waaroor v moet woren vervangen. Je kan (#6) us ook berekenen oor in e invoerregel subst(x^, x, ) = te typen, waarbij e e formule x^ uit (#) kan kopiëren met <F>: #7: SUBST( x, x, ) = 1 Om te besluiten laten we nog eens zien hoe je e rekenregels voor afgeleien uit het programma DERIVE kan halen. Hiervoor maken we gebruik van abstracte functies. Deze woren geefiniëer met een lege efinitieformule, zoals hieroner in (#8): #8: u(x) := #9: v(x) := #0: f(x) := We hebben nu rie abstracte functies, waarvan we e afgeleie kunnen berekenen. Aangezien er geen concrete efinitieformule is, kan eze afgeleie enkel symbolisch aangeui woren, en niet concreet bereken: #1: u() = u'(x) DERIVE gebruikt us een accent NA het functiesymbool om e afgeleie aan te uien. Dit is een traitionele notatie, ook al gebruiken we ie zelen in e les. Merk op at je in het linkerli (e invoer) wel e haakjes moet schrijven, maar niet noozakelijk een argument ertussen. Als je wel een Blz. 4

5 /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 argument gebruikt moet at overeenstemmen met e veranerlijke in e afgeleie: #: u(x) = u'(x) werkt ook, maar #: u(y) = 0 niet. De berekeningen hieroner laten zien at DERIVE bij het vereenvouigen van afgeleien ezelfe regels gebruikt als wij: #4: ( u() ± ß v()) = ± ß v'(x) + u'(x) Dit is e lineariteitsregel, met een wat eigenaarige volgore van e termen in het RL. De invoer met een '+'-teken schrijven volstaat om DERIVE e volgore van e termen te laten behouen. #5: ( u() + ß v()) = u'(x) + ß v'(x) Vervolgens e prouctregel (regel van LEIBNIZ): #6: (u() v()) = v(x) u'(x) + u(x) v'(x) met opnieuw e 'verkeere' volgore in het RL. De quotiëntregel: #7: u() v(x) u'(x) - u(x) v'(x) = v() v(x) en tenslotte e kettingregel: #8: f(u()) = u'(x) f'(u(x)) hetgeen op enkele overboige haken en x-en - en e volgore in het RL - ook e vorm is ie we in e Wiskuneles schrijven. Blz. 5