Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Transcriptie

1 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling } Differentiequotiënt = { r.c. van de lijn door deze twee punten} Differentiequotiënt op interval [xa, xb] = Δy = y b y a Δx x b x a Helling = Snelheid (bijv. m/s) Soorten daling : blz. 50 boek. Gegeven is de functie f(x) = x + 3. a. Bereken het differentiequotiënt op [,6] b. Bereken de gemiddelde helling / snelheid op [-4,-1] y y6 y a. Differentiequotiënt op interval [, 6] = 8 x x x 6 4 Dit betekent dat als je één naar echts gaat, je met 8 omhoog gaat (r.c. van de lijn door deze twee punten) 6 y y 1 y b. Gemiddelde helling / snelheid op [-4, -1] = 5 x x x

2 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina van 11 Les Benadering van de helling in een punt Gegeven is de functie f(x) = x + 3. Bereken de helling in x= Een goede benadering is om een heel klein interval rond x = te nemen en het differentiequotiënt uit te rekenen dus bijvoorbeeld op interval [ ;,01] ( x=0,01) : (1) Bereken bij beide x-en de y-waarden : x = y = + 3 = 7 dus A = (,7) x =,01 y =, = 7,0401 dus B = (,01 ; 7,0401) () Differentiequotiënt op interval [ ;,01] = y y x x,01,01 y x (3) Dus de helling in x= is 4. 7, ,0401 4,01 4 0,01 0,01

3 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 3 van 11 Paragraaf. : Raaklijnen en Hellinggrafieken Les 1 : Raaklijn opstellen Stappenplan raaklijn bij x = : (1) Algemene vergelijking van een lijn (en dus ook van een raaklijn) y = ax + b () Bereken de y-coördinaat. (3) Bereken de a = rc met knop dy/dx op GR. (4) Bereken b door x, y en a in te vullen bij y = ax + b. (5) Geef de vergelijking van de raaklijn. Gegeven is de functie f(x) = x -3x+10. Bepaal de raaklijn in x=3 (1) Algemene vergelijking raaklijn y = ax + b () y = f(3) = 19 (3) Y1 = x -3x+10 Calc dy dx 3 a = 9 (4) Je weet y = 9x + b Je weet ook (3,19) invullen 19 = 9 3+b dus b = -8 (5) Dus raaklijn : y = 9x 8.

4 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 4 van 11 Les : Verband tussen f(x) en f (x) Definities f (x) = { de hellinggrafiek van f(x) } Gegeven is de grafiek hierbeneden. a. Stel dat is de grafiek van f(x). Teken op basis hiervan f (x) b. Stel dat is de grafiek van g (x). Teken op basis hiervan g(x) a. (1) In de toppen is f (x) = 0. Dus bij x = - en x = 1,5. () Links van x = - is de grafiek stijgend. Dus f (x) is positief (3) Rechts van x = 1,5 is de grafiek stijgend. Dus f (x) is positief (4) Tussen x = - en x = 1,5 is de grafiek dalend. Dus f (x) is negatief. Dit geeft :

5 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 5 van 11 b. (1) Waar g (x) = 0 zijn bij g(x) toppen. Dus bij x = -3, x = -1 en x = 3. () Links van x = -3 en tussen -1 en 3 is g (x) is negatief. Dus is de grafiek daar dalend. (3) Rechts van x = 3 en tussen -3 en -1 is g (x) is positief. Dus is de grafiek daar stijgend. Dit geeft :

6 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 6 van 11 Paragraaf.3 : Limiet en afgeleide Les 1 : Perforaties Definities lim(x + 1) = { Limiet voor x gaat naar 4 } x 4 Voor een breuk geldt : o Alleen Teller = 0 o Alleen Noemer = 0 o Teller én Noemer = 0 De snijpunten met de x-as. Er is een Verticale Asymptoot. Er is een Perforatie (gat) in de grafiek. Bereken van de volgende formules of ze een perforatie hebben bij x=5. Zo ja, geef de coördinaten. Zo nee, geef aan wat er dan aan de hand is. a. f(x) = x 5 x+5 b. g(x) = x x 0 x 5 c. h(x) = x 5x x 5 a. Voor x = 5 is alleen de teller 0. Dus het snijpunt met de x-as is A=(5,0). b. Beide zijn nul dus : lim x x 0 (x 5)(x+4) = lim = lim (x + 4) = 9. x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Het continu makende punt is P=(5,9). Maak een schets van de grafiek met gat!!! c. Beide zijn nul dus : lim x 5x = lim x(x 5) = lim x 5 x 5 x 5 (x 5)(x+5) x 5 Het continu makende punt is P=(5 ; 0,1). 1 x+5 = 1 10

7 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 7 van 11 Les : Hellingfunctie met limiet Gegeven is de functie y(x) = x + 3. Bereken de hellingfunctie met de limietdefinitie (1) Maak een schets (zie hiernaast). We nemen een heel klein getal h. () Dan geldt voor iedere x dat Helling op interval [x, x+h] = y x y xh y x ( x h) x y xh y h x (3) Eerst de y-coördinaten berekenen : y(x+h) = (x+h) + 3 = x + xh + h + 3 (4) Dan geldt dat de helling op interval [x, x+h] = y x x xh h 3 ( x h 3) xh h h h(x h) h x h Omdat h heel klein is geldt : lim h0 x h x (5) Dus voor iedere x geldt dat de hellingfunctie y (x) gelijk is aan y (x) = x. Voorbeeld Gegeven is de functie y(x) = x + 3. a. Bereken de helling in x = 13 b. Bereken de helling in x = -7 Oplossing a. helling in x=13 is y (13) = 13 = 6 b. helling in x=-7 is y (-7) = -7 = -14

8 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 8 van 11 Les 3 : Differentieren Als je iedere keer de hellingfunctie moet bepalen, dan is dat erg veel werk. Dit is al door iemand gedaan. Deze techniek heet differentiëren. Definities Differentiëren = { Hellingfunctie berekenen } Afgeleide bepalen = { Hellingfunctie berekenen } Differentieerregels (1) Hoofdregel differentiëren : f(x) = a x n f (x) = a n x n-1 () Hulpregel 1 : f(x) = a x f (x) = a (3) Hulpregel : f(x) = a f (x) = 0 Differentieer a. f(x) = 6x 4 b. f(x) = 4x c. f(x) = 7 d. f(x) = 3x 5 7x 3 + 6x 3 e. f(x) = (3x 7x )(6x+) Differentieer a. f (x) = 4x 3 b. f (x) = 4 c. f (x) = 0 d. f (x) = 15x 4 1x + 6 e. f(x) = (3x 7x )(6x+) = 18x + 6x 4x 3 14x = 4x 3 + 4x + 6x f (x) = - 4x 3 + 8x + 6

9 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 9 van 11 Voorbeeld Gegeven is de functie f(x) = 9x + 36x. a. Bereken algebraïsch de helling in x=3. b. Bereken algebraïsch de coördinaat waar de helling gelijk is aan -9. c. Bereken algebraïsch de raaklijn in x=. d. Bereken algebraïsch de coördinaten van de top. Oplossing a. f (x) = 18x + 36 Helling in x=3 is f (3) = = 90 b. f (x) = -3 dus 18x + 36 = -9 18x = -45 x = -½ y =f(3) = 9(-½) + 36(-½) = Coördinaat A = (-½, ) c. Neem het stappenplan erbij. Alleen stap 3 kan nu sneller : (1) Algemene vergelijking raaklijn y = ax + b () y = f() = 108 (3) f (x) = 18x + 36 dus a = f () = 7 (4) Je weet y = 7x + b. Invullen van (,108) geeft : 108 = 7 +b b = -36 (5) Dus raaklijn : y = 7x 36 d. In de top geldt : HELLING = 0 f (x) = 0 f (x) = 18x + 36 = 0 18x = -36 x = - y = f(-) = -36. Dit is een minimum (dalparabool)

10 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 10 van 11 Paragraaf.4 : Productregel (PR) en Quotiëntregel (QR) Definities Er zijn (voorlopig) twee hulpregels bij differentiëren : (1) Productregel : h f g h' f ' g f g' t n t' t n' n at t an () Quotiëntregel : f f ' n n n Differentieer a. h ( x) x (3x 5) b. f ( x) 3x 4 x 9 a. f = x f = x g = 3x + 5 g = 3 h (x) = x(3x+5) + x 3 = 6x + 10x + 3x = 9x + 10x b. t = 3x 4 t = 3 n = -x + 9 n = - ( x 9) 3 (3x 4) 6x 7 ( 6x 8) 19 h'( x) ( x 9) ( x 9) ( x 9)

11 Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 11 van 11