Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Transcriptie

1 Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een eerstegraads functie omdat de variabele x er tot de eerste macht in voorkomt. We gaan nu bekijken hoe we de grafiek van een tweedegraads functie moeten tekenen. Als voorbeeld nemen we de functie y = x 2 2 x 8. De grafiek van deze functie ziet er als volgt uit: De grafiek is een zogenaamde dalparabool. (hoe ziet een bergparabool er uit?) Om deze grafiek zelf te kunnen tekenen berekenen we een drietal karakteristieke punten: a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. a) Voor de snijpunten met de x-as geldt y = 0 x 2 2 x 8 = 0. Dit is een vierkantsvergelijking die we in het moduul meergraadsvergelijkingen hebben leren oplossen. Vierkantsvergelijkingen lossen we op met de abc-formule: -b ± ( b 2-4 a c ) x 1,2 = 2 a Met a = 1 (getal bij de x 2 ), b = -2 (getal bij de x) en c = -8 (losse getal) vinden we x 1 = -2 en x 2 = 4. De snijpunten met de x-as zijn dus (-2, 0) en (4, 0). Blz 1 van 10

2 b) Voor het snijpunt met de y-as geldt x = 0 y = y = -8. Het snijpunt met de y-as is dus (0, -8). c) Voor het berekenen van de coördinaten van de top gebruiken we de volgende formule: -b x t = 2 a Voor de x-coördinaat van de top berekenen we: x t = -(-2) 2 1 x t = 2 2 = 1. Om de bijbehorende y-coördinaat te bepalen moeten we de x-coördinaat in de vergelijking invullen: y t = y t = -9. Dus de top is het punt (1, -9). 1 Bereken van de volgende tweedegraads functies de karakteristieke punten en schets de bijbehorende grafiek. a) y = x 2 x 6 b) y = x x 15 c) y = -x 2 2 x + 6 d) y = 2 x x 15 e) y = x 2 6 x + 9 f) y = -x x 16 g) y = x 2 4 x + 5 h) y = x x + 5 Als we het snijpunt van twee grafieken willen berekenen moeten we de functies gelijkstellen. Als voorbeeld bepalen we het snijpunt (of snijpunten) van de parabool y = x 2 2 x 8 en de rechte lijn y = x + 1. We zien dat we twee snijpunten moeten berekenen. Gelijkstellen van de functies levert op: x 2 2 x 8 = x + 1 x 2 2 x 8 x 1 = 0 x 2 3 x 9 = 0. Met de abc-formule volgt: x 1 = -1,85 en x 2 = 4,85. Blz 2 van 10

3 Nu moeten we nog bij elke x de bijbehorende y uitrekenen. Het makkelijkste is om daartoe de berekende x in de vergelijking van de lijn in te vullen. Het mag ook in de vergelijking van de parabool maar dat is meer rekenwerk. y 1 = x y 1 = -1, y 1 = -0,85. y 2 = x y 2 = 4, y 2 = 5,85. De snijpunten zijn dus (-1,85, -0,85) en (4,85, 5,85), klopt ook aardig in de grafiek. 2 Bereken de snijpunten ( twee decimalen na de komma nauwkeurig ) van: a) y = x 2 x 6 en y = x + 2 b) y = x x 15 en y = -x + 1 c) y = -x 2 2 x + 6 en y = 2 x 2 d) y = x 2 6 x + 9 en y = x x + 5 Met DERIVE kunnen we eenvoudig grafieken van willekeurige functies tekenen. Als voorbeeld nemen we eens de derdegraadsfunctie y = x 3 2 x 2 5 x + 6. Op de invoerregel van DERIVE typen we: x 3-2x 2-5x+6 en drukken op ENTER: Als we vervolgens op het 2D-grafiekvenster-ikoon klikken opent zich het grafiekscherm. Door vervolgens op het Grafiek Tekenen-ikoon te klikken verschijnt de grafiek: Blz 3 van 10

4 Vervolgens kunnen we de beide schalen gelijk maken met Instellen / X-Y-Verhouding / Herstellen / OK. Vervolgens kunnen we de oorsprong iets verplaatsen met het centreren op cursor -ikoon. Tekst invoegen doen we met Invoegen / Aantekening waarbij de tekst wordt geplaatst op de plaats van de cursor. Blz 4 van 10

5 Ook op één van de vele wiskunde-sites op internet kunnen we grafieken laten tekenen. De bekendste site op dit gebied is QuickMath, ga maar eens naar Klik links onder Equations op Plot en voer de functie y = x 3 2 x 2 5 x + 6 in: Vul vervolgens de grafiekgrenzen in en klik op Plot waarna de grafiek wordt getekend: Om een schermbeeld in bijvoorbeeld een WORD-document op te nemen gebruiken we een screencapture programma. Het uitstekende freeware programma MWSnap is te vinden op de site Op de rekenmachine TI-83+ ziet de grafiek er met bijstaande instellingen als volgt uit: Blz 5 van 10

6 3 Teken met DERIVE de grafiek van y = x 3 x 2 16 x De layout dient gelijk te zijn aan de laatste grafiek op bladzijde 4. Dat betekent dat de toppen en de snijpunten met de assen zichtbaar moeten zijn. Voeg als tekst in het diagram de functie toe. a) Bereken de coördinaten van de snijpunten met de x-as. b) Bepaal de coördinaten van de beide toppen van de grafiek. TIP: Klik voor b) op de grafiek en vervolgens op F3. Met de cursortoetsen volgen we de grafiek totdat we op de betreffende top zitten. We lezen de coördinaten links onder het grafiekvenster af: 4 Teken met DERIVE de grafiek van y = -x 3 3 x 2 x + 5. De layout dient gelijk te zijn aan de laatste grafiek op bladzijde 4. Voeg als tekst in het diagram de functie toe. a) Bereken de coördinaten van de snijpunten met de x-as. b) Bepaal de coördinaten van de beide toppen van de grafiek. 5 Teken met DERIVE de grafiek van y = -x 4 + x x 2 x 6. De layout dient gelijk te zijn aan de laatste grafiek op bladzijde 4. Voeg als tekst in het diagram de functie toe. a) Bereken de coördinaten van de snijpunten met de x-as. b) Bepaal de coördinaten van de drie toppen van de grafiek. 6 Teken met DERIVE de grafiek van y = x 5 x 4 7 x 3 + x x. De layout dient gelijk te zijn aan de laatste grafiek op bladzijde 4. Voeg als tekst in het diagram de functie toe. a) Bereken de coördinaten van de snijpunten met de x-as. b) Bepaal de coördinaten van de drie toppen van de grafiek. 7 a) Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een derdegraads functie maximaal? b) Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een derdegraads functie minimaal? c) Hoeveel snijpunten met de y-as heeft een derdegraads functie? Blz 6 van 10

7 8 a) Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een vierdegraads functie maximaal? b) Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een vierdegraads functie minimaal? c) Hoeveel snijpunten met de y-as heeft een vierdegraads functie? 9 Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een n e -graads functie minimaal? a) als n = even b) als n = oneven 10 Hoeveel snijpunten met de x-as heeft een n e -graads functie maximaal? a) als n = even b) als n = oneven Met de TI-83+ kunnen we eenvoudig de coördinaten van een top bepalen. Als voorbeeld tekenen we de grafiek van y = x 3 4 x 2 + 6: Na het tekenen van de grafiek kiezen we met CALC voor 3: minimum Er wordt dan achtereenvolgens gevraagd naar de linkergrens ( plaats de cursor links van het minimum ), de rechtergrens ( plaats de cursor rechts van het minimum ) en tenslotte een schatting ( plaats de cursor ongeveer op het minimum ). Het resultaat na ENTER is: 11 Bepaal met de TI-83+ van de functie y = x 4 x 3 7 x 2 + x + 5: a) de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as. b) de coördinaten van de toppen van de grafiek. Blz 7 van 10

8 Antwoorden grafieken 1 1 a) snijpunten met de x-as (-2, 0) en ( 3, 0) snijpunt met de y-as (0, -6) coördinaten van de top (0,5, -6,25) b) snijpunten met de x-as (-5,00, 0,00) en ( 3,00, 0,00) snijpunt met de y-as (0,00, -15,00) coördinaten van de top (-1,00, -16,00) c) snijpunten met de x-as (1,65, 0) en ( -3,65, 0) snijpunt met de y-as (0,00, 6,00) coördinaten van de top (-1,00, 7,00) d) snijpunten met de x-as (-3,92, 0,00) en (1,92, 0,00) snijpunt met de y-as (0,00, -15,00) coördinaten van de top (-1,00, -17,00) e) snijpunten met de x-as (3,00, 0,00) en (3,00, 0,00) snijpunt met de y-as (0,00, 9,00) coördinaten van de top (3,00, 0,00) f) snijpunten met de x-as (4,00, 0,00) en (4,00, 0,00) snijpunt met de y-as (0,00, -16,00) coördinaten van de top (4,00, 0,00) g) geen snijpunten met de x-as snijpunt met de y-as (0,00, 5,00) coördinaten van de top (2,00, 1,00) h) geen snijpunten met de x-as snijpunt met de y-as (0,00, 5,00) coördinaten van de top (-1,00, 4,00) 2 a) x 2 x 6 x 2 = 0 x 2 2 x 8 = 0 (-2,00, 0,00) en (4,00, 6,00) b) x x 15 + x 1 = 0 x x 16 = 0 (-5,77, 6,77) en (2,77, -1,77) c) -x 2 2 x x + 2 = 0 -x 2 4 x + 8 = 0 (1,46, 0,93) en (-5,46, -12,93) d) x 2 6 x + 9 x 2 2 x 5 = 0-8 x + 4 = 0 (0,50, 6,25) 3 Blz 8 van 10

9 3 a) nulpunten: ( -4 ; 0 ), ( 4 ; 0 ) en ( 1 ; 0 ) b) toppen: ( ; ) en ( -2 ; 36 ) 4 a) nulpunten: ( 1 ; 0 ) b) toppen: ( ; ) en ( ; ) 5 a) nulpunten: ( -2 ; 0 ), ( -1 ; 0 ), ( 1 ; 0 ) en ( 3 ; 0 ) b) toppen: ( ; ) ( ; ) ( ; ) Blz 9 van 10

10 6 a) nulpunten: ( -2 ; 0 ), ( -1 ; 0 ), ( 0 ; 0 ), ( 1 ; 0 ) en ( 3 ; 0 ) b) toppen: ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 7 a) 3 b) 1 c) 1 8 a) 4 b) 0 c) 1 9 a) 0 b) 1 10 a) n b) n 11 a) de nulpunten berekenen we door het oplossen van de vergelijking x 4 x 3 7 x 2 + x + 5 = 0 mbv het programma POLYSMLT: ( 3, ; 0 ), ( 0, ; 0 ) ; ( -0, ; 0 ) en ( -2, ; 0 ) b) toppen: ( ; ) ( ; ) ( ; ) Blz 10 van 10