4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g.

Transcriptie

1 g. x=2y+1 2y = x - 1 <=> y = 1 2 x- 1 2 Duielijk zal zijn at bij elke x-waare precies één y-waare hoort, ofwel: bij elk origineel hoort precies één beel. Het is us een functie. (N.B.: als het coomein geen IR was, maar IN an zou het geen functie zijn.) h. géén functie: Alle getallen hebben twee verschillene beelen (b.v. 4 heeft als beelen 2 en 2 1 2) a. géén functie: vele getallen hebben twee beelen b.v. 4: 2 en -2; bovenien hebben vele getallen géén beel b.v. 0. b. géén functie: vele getallen hebben géén beel (b.v. 0 heeft geen beel). c. géén functie: vele getallen hebben géén beel (b.v. -1).. wel een functie: elk geheel getal heeft precies één (geheel) kwaraat. e. géén functie: vele getallen hebben géén beel (b.v. 2 zou als beel 1 2 hebben, maar at zit niet in Z). f. wel een functie: elk geheel getal vermenigvulig met 2 en 1 erbij opgetel, levert altij precies één geheel getal op. g. wel een functie: elk geheel getal heeft ofwel als beel e helft van at getal (als het origineel even was) ofwel e helft van het origineel (als het origineel oneven was) I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b }. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 f. B f f = IR g. B f g = IR B f = f ( Z ) = {0, 1, 4, 9, 16,... } -41-

2 a. Meerere (preciezer: 0 of meer). b. Het omein van verkoopt is e verzameling leveranciers. Het coomein is e verzameling artikelen. c. Verkoopt is uiteraar géén functie en wel om e volgene reen: Er zijn leveranciers ie meer an één artikel verkopen (preciezer: er is minstens één zo n leverancier), er zijn us elementen uit het omein ie op meer an één element uit het coomein afgebeel woren. Dat kan niet bij een functie. a. 1 (preciezer: 0 of 1). b. Nu is verkoopt een functie, inien elk element uit e verzameling leveranciers op precies één element uit e verzameling artikelen afgebeel). Dus inien elke leverancier een artikel verkoopt. a. 1 (preciezer: 0 of 1). b. Ja, inien elk element uit e verzameling leveranciers op precies één element uit e verzameling artikelen afgebeel). Dus inien elke leverancier een artikel verkoopt Neen: als x = 1 gelt at er geen beel is. Dus heeft niet elk element uit het omein een beel. (N.B.: Merk op at oorgaans -bijvoorbeel bij mielbare schoolwiskune- een ergelijke formule wel als een functie aangemerkt wort.) a. Ja: bij elk origineel moet een beel horen. Daar er geen originelen zijn is it niet in tegenspraak met e efninitie van een functie. De functie (een verzameling georene paren) is an leeg: f =. Merk op at, ook als B leeg is, er ook een (lege) functie mogelijk is a. { 4 } b. Neen: nu kan er geen enkel origineel afgebeel woren. Er is us geen functie mogelijk. b. { 4 } + c. IR

3 a. { 0, 2, 8, 72, 98, 128 } b. {1,3,5, 9 } c. {0,2,72} a. f 1 = {(naam, G. Timmermans), (ares,plein 13), (woonplaats, Den Haag), (icoe, 88313), (vooropl, vwo)}. b. f 1 (ares ) = Plein 13. c. f 1 ({naam, ares }) = {G. Timmerman, Plein 13}.. Hier staat geen zinvolle uitrukking: bij twee originelen moet er een verzameling geschreven staan. e. Ok hier staat geen zinvolle uitrukking: er moet verening woren over attribuut-waaren, terwijl alléén verzamelingen verenig kunnen woren. f. Hier kan het wel: 4 i = 1 f i ({naam }) = {G. Timmerman, M. Wiersma, P. Breukel, H. Weenink} Kennelijk is prijs een van e attributen van e tabel. Bijvoorbeel: artikelnummer artikelnaam prijs 1 Groene zeep 2 2 Groene zeep 0 4 Schuurspons 4 7 Workstation Sportauto Ja: bij elk tweetal verschillene elementen van het omein (= e verzameling attributen) gelt at e beelen verschillen zijn. 2. Iem. Merk op at een regel uit zo n tabel slechts an géén injectie is als bijvoorbeel ieman woont in een plaats ie ezelfe naam heeft als hijzelf. Of ieman heeft op twee plaatsen??? staan a. Wel injectief, niet surjectief want bijvoorbeel 4 komt niet voor als beel. B f = e verzameling oneven getallen. (Inclusief e negatieve.) b. Niet injectief, want bijvoorbeel het beel 1 heeft twee originelen (namelijk 1 en -1). Niet surjectief, want bijvoorbeel -1 komt niet voor als beel. B f = Z 0 +. c. Wel injectief, niet surjectief want bijvoorbeel 3 komt niet voor als beel. B f = e verzameling even getallen. (Inclusief e negatieve.) -43-

4 4.3.3 a. Injectief, en surjectief: B g = IR b. niet injectief: b.v. -1 en 1 hebben hetzelfe beel (n.l. 1) niet surjectief: b.v. 0 (o.a.) komt niet als beel voor 0 = 1 4x = 1 4 x 2 3 = x 2 heeft geen oplossing in IR. B g = [ 3 4, > c. Injectief en surjectief: B g = IR a. Ja, inien elk element van e verzameling leraren wort afgebeel op precies één element van e verzameling moules. Dus inien elke leraar een moule geeft. b. Ja, je kunt het ER-moel omraaien : 1 moule wort gegeven oor N leraar Het is an alleen geen functie: sommige moules (minstens één) woren op meer an één leraar afgebeel (zie N ). Dat kan niet bij een functie a. Ja, it is een functie inien elke moule op precies één leraar wort afgebeel. Dus inien elke moule oor een leraar gegeven wort. b. Geen. Als bovenien elke leraar een moule geeft (e verzameling moules heeft an precies ezelfe grootte als e verzameling leraren), is e functie wort gegeven oor een bijectie. c. Ja at kan altij. 1 leraar geeft 1 moule Geeft is nu een functie inien elke leraar een moule geeft. Als bovenien elke moule oor een leraar gegeven wort, zijn e functies geeft en wort gegeven oor elkaars inverse.. 1 (preciezer: 0 of 1). e. 1 (preciezer: 0 of 1). -44-

5 4.3.6 a. Injectie is niet mogelijk: elk element van A moet an woren afgebeel op "zijn eigen" element, maar B heeft maar 5 elementen: it kan us niet. Surjectie is wel mogelijk: 5 elementen moeten woren afgebeel, zoat elk element zijn eigen beel heeft; aar er 7 verschillene mogelijke beelen kunnen zijn, lukt it wel. b. Analoog aan antwoor op vraag a: injectie is nu wel, maar een surjectie niet mogelijk. c. Bij een injectie van C naar D moet us gelen: C D Bij een surjectie van C naar D moet us gelen: C D Beie eisen moeten gelen; it kan alleen als C = D us als C precies evenveel elementen bevat als D a. Wel mogelijk: f 1 (x ) = 1 2x b. Niet mogelijk: niet surjectief; ook niet injectief. c. Wel mogelijk: f 1 (x ) = 4x Wel mogelijk: f 1 (x ) = 1 2x a. neen: zie b.v. f uit opgave a. b. Het rechterli van e implicatie is altij waar, eze stelling is us juist (it heet weer eens echt triviaal ). c. waar: volgt uit efinitie van surjectie.. waar: zie antwoor op vraag b basis: a 0 = 1 met a IR inuctie: uitsluiting: a n +1 = a a n met a IR en n 0. Ook goe is: a n = a a n 1 met a IR en n 1. e functie bevat slechts georene paren ie met behulp van e basis en (eventueel herhaal) toepassen van inuctie kunnen woren bepaal. -45-

6 4.4.2 function power (a : real; n : integer) : real; begin if n = 0 then power := 1.0 (* liever 1.0 an 1 *) (* omat power real is *) else power := a * power (a, n - 1) en; De MOD(2)-functie in Pascal ziet er als verzameling georene paren als volgt uit: {(x, y ) ( x is even y = 0) ( x is oneven y = 1) }. Deze ziet er us als volgt uit: {(0, 0), (2, 0), (4, 0),...,(1, 1), (3, 1),...,(-2, 0), (-4, 0),...,(-1, 1), (-3, 1),...}. N.B.: Eigenlijk is it geen functie met twee variabelen. Dit is te zien aan e georene paren. Domein = { 255,..., 256 } Bereik = { 0, 1 } -46-

7 5 Bomen a. G 1 x z y b. G 2 a b c c. G 3 a b c -47-

8 . G 4 a b c a. G 1 : x y y z (*vele goee antwooren zijn mogelijk*) G 2 : c a b G 3 : b a G 4 : b a b b. oneinig: b a c a c... enzovoort. of ook: a c a c a c... enzovoort. c. G 1 : x y z palengte 2 (*vele goee antwooren zijn mogelijk*) G 2 : b a c palengte 3 (*vele goee antwooren zijn mogelijk*) G 3 : a c of a b palengte 2. G 4 : a c a palengte a Met één tak miner kan it woren: a b c b c -48-

9 5.2.4 Hier zijn meerere goee oplossingen mogelijk. Een ervan is: a b c Met één pijl miner kan it woren: a b c Nu is er géén pa meer mogelijk van bijvoorbeel c naar b a. R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5) } b. < < < 4 3 < Uitleg: R stelt hier e verzameling pijlen voor; A e verzameling knopen. < -49-

10 5.3.1 Elke niet-wortel knoop heeft ingraa 1, in elke niet-wortel knoop komt us één pijl aan, us zijn er al net zoveel niet-wortel-knopen als pijlen. Bovenien heeft e wortel ingraa 0, us komt aar nog een knoop bij voor 0 pijlen ie er aankomen. In totaal zijn er us 30+1=31knopen a. Neen: er is één knoop met ingraa 0, hier kan us nooit een pa naartoe gaan, us is er niet van elke knoop naar elkeknoop een pa (n.l. niet naar e wortel vanuit een anere knoop). (N.B.: het antwoor mag ook zijn: Ja: namelijk een boom ie slechts uit een wortel bestaat). b. Het zit m in e combinatie van verbonen en ingraa 1 Niet mogelijk is us bijvoorbeel: b a c e ie wel aan e 2 eisen van efinitie 5.5 voloet, maar niet verbonen is. Er is nu ook geen gericht pa meer van e wortel naar elke knoop. c. Neen: e efinitie 5.5 is niet onjuist, maar is gelijkwaarig aan e hier gegeven efinitie (ga it na aan e han van het voorbeel van het vorige antwoor).. Neen: Als elke (niet-wortel) knoop ingraa 1 heeft, is er maar één mogelijkhei om ie knoop te bereiken. N.B.: Dit is (in e bestans-organisatie) een buitengewoon belangrijke eigenschap van bomen! G 1 is géén boom: knoop i heeft ingraa 2. G 2 is wel een boom: knoop y is e wortel. G 3 is géén boom: er is géén knoop met ingraa 0 (er is us geen wortel). f a. Tekenen lukt wel: b. e wortel is 4-50-