Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20"

Transcriptie

1 1 Hanout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van er Hofsta 6 januari 015 Samenvatting In eze han out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer etail, behanelen we e volgene aspecten: (a) We efiniëren wat convergentie in vereling is voor een rij van ranom variabelen; (b) We geven een aantal afschattingen op kansen, zoals e Markov en Chebychev ongelijkheen; (c) We behanelen e Wet van e Grote Aantallen, en geven een bewijs; en () We behanelen e Centrale Limiet Stelling, het bewijs hiervan en vele toepassingen. 1 Convergentie in vereling In eze sectie efiniëren we convergentie in vereling voor rijen van ranom variabelen, en geven we er een aantal voorbeelen van. Merk op at een ranom variabele is geefiniëer als een functie X : Ω Ω. Een rijtje van ranom variabelen (X n ) n 1 is us een rijtje van functies, en er zijn verschillene wijzen waarop functies kunnen convergeren. In it college, behanelen we alleen e notie van convergentie in vereling: Definitie 1.1 (Convergentie in vereling). Een rijtje (X n ) n 1 met verelingsfuncties (F Xn ) n 1 convergeert in vereling naar e ranom variabele X met verelingsfunctie F X als lim F Xn(x) = F X (x) (1) n voor alle x R waarvoor F X continu is in x. We geven it aan met X n X. Convergentie in vereling betekent at kansen met betrekking tot e ranom variabelen X n convergeren naar e bijbehorene kans voor X. In het bijzoner is het zo at e efinitie impliceert at lim P(X n x) = P(X x) () n voor alle punten x waarvoor e rechterkant continu is. Deze restrictie tot waaren van x waarvoor F X continu is in x is noig, omat je in e sprongpunten van F X niet precies weet wat er gebeurt. We geven hier nu een voorbeel van: Voorbeel 1. (Een ranom variabele ie convergeert in vereling, maar niet in het sprongpunt). Stel X n Bin(n, 1/). Dan zullen we in Sectie 3 zien at voor x < 1/, P(X n /n x) 0, (3) Department of Mathematics an Computer Science, Einhoven University of Technology, Box 513, 5600 MB Einhoven, The Netherlans; rhofsta@win.tue.nl

2 terwijl voor x > 1/, P(X n /n x) 1. (4) Dit betekent at X n /n 1/. We weten at X = 1/ een (constante) ranom variabele is, waarvoor F X (x) = 0 voor x < 1/ en F X (x) = 1 voor x 1/. In het bijzoner is F X (1/) = 1. Echter, als n oneven is en x = 1/, an gelt at P(X n /n 1/) = 1/ vanwege symmetrie. Dus, F Xn (1/) convergeert wel, maar niet naar F X (1/). De efinitie van convergentie in vereling in Definitie 1.1 hout hier op een goee manier rekening mee. In het bijzonere geval at X een continue ranom variabele is, is x F X (x) continue in elk punt x, en an krijgen we us ook at F Xn (x) F X (x) voor alle x R. We geven nu een paar voorbeelen: Voorbeel 1.3 (Convergentie van binomiaal naar Poisson). Tijens het college hebben we gezien at als X n Bin(n, λ/n) en X Poi(λ), er gelt at lim n P(X n = k) = P(X = k). Hoewel it niet precies hetzelfe lijkt als convergentie in vereling, blijkt it het toch te impliceren, zoals jullie zelf uitwerken in e volgene opgave. Opgave 1.1 (Convergentie van geheeltallige ranom variabelen). Laat zien at als zowel (X n ) n 1 als X geheeltallige ranom variabelen zijn, at an convergentie in vereling equivalent is met lim n P(X n = k) = P(X = k), en conclueer at met X n Bin(n, λ/n) en X Poi(λ), er gelt at X n X. Voorbeel 1.4 (Minima van uniforme ranom variabelen). Stel U 1,..., U n U0, a], met a > 0. Dan gelt at X n = n min{u 1,..., U n } E, waarbij E Exp(1/a). Hiervoor rekenen we uit, voor elke x > 0, P(X n x) = 1 P(X n > x) = 1 P(U 1 > x/n,..., U n > x/n) = 1 (1 x/(na)) n (5) Hieruit volgt at X n 1 e x/a. E waarbij E Exp(1/a). Opgave 1. (Convergentie van geometrisch naar exponentieel). Laat X n Geo(1/n). Laat zien at X n /n X, waar X Exp(1). Grenzen op kansen In eze sectie geven we een aantal grenzen op kansen. Deze grenzen kunnen vaak gebruikt woren om te laten zien at ranom variabelen naar een constante convergeren. In e volgene sectie gebruiken we eze resultaten om e zwakke wet van e grote aantallen te laten zien. We beginnen met e Markov ongelijkhei: Stelling.1 (Markov ongelijkhei). Stel X is een niet-negatieve ranom variabele met EX] <, en a > 0. Dan gelt P(X a) EX] a. (6)

3 3 Bewijs. We schatten af at Delen oor a > 0 geeft e claim. EX] EX1 {X a} ] ae1 {X a} ] = ap(x a). (7) Een variant van e Markov ongelijkhei is e Chebychev ongelijkhei: Stelling. (Chebychev ongelijkhei). Stel X is een ranom variabele met EX] = µ, Var(X) <, en a > 0. Dan gelt P( X µ a) Var(X). (8) a Bewijs. Pas e Markov ongelijkhei (Stelling.1) toe op e ranom variabele X µ. We geven nu een voorbeel hoe we e Markov en Chebychev ongelijkheen kunnen toepassen voor Poisson variabelen: Voorbeel.3 (Chebychev en Markov voor Poisson variabelen). Stel X Poi(λ). De Markov ongelijkhei geeft at P(X a) EX]/a = λ/a, (9) terwijl e Chebychev ongelijkhei geeft at P( X λ > a) Var(X)/a = λ/a. (10) Met name als a heel groot is ten opzichte van λ geeft e Chebychev ongeljkhei een beter resultaat an e Markov ongelijkhei. Opgave.1 (Exponentiele Markov ongelijkhei of Chernoff grens). Stel, X is een ranom variabele waarvoor Ee X ] <. Laat zien at gelt at P(X > a) e a Ee X ]. (11) 3 De wet van e grote aantallen In eze sectie kijken we naar e convergentie van sommen van i.i.. ranom variabelen. Ons hoofresultaat is e volgene stelling: Stelling 3.1 (Zwakke wet van e grote aantallen). Stel X 1,..., X n zijn i.i.. ranom variabelen met EX i ] = µ en Var(X) <. Dan gelt at 1 n (X X n ) µ. (1) Bewijs. We noemen X n = 1 n (X X n ). Volgens e efinitie van convergentie in vereling moeten we laten zien at, voor x < µ F Xn (x) F µ (x) = 0, (13) en, voor x > µ, F Xn (x) F µ (x) = 1. (14)

4 4 Omat x = µ een iscontinuiteitspunt is van F µ (x) hoeven we voor x = µ geen convergentie te bewijzen. We laten nu eze twee convergenties zien. Merk op at, voor x < µ, en, voor x > µ, We zien us at F Xn (x) F µ (x) = F Xn (x) P( X n µ > x µ), (15) F µ (x) F Xn (x) = 1 F Xn (x) = P( X n > x) P( X n µ > x µ ). (16) Het is us voloene om te laten zien at, voor a > 0, F Xn (x) F µ (x) P( X n µ > x µ ). (17) Hiervoor gebruiken we e Chebychev ongeljkhei (Stelling.): P( X n µ > a) 0. (18) P( X n µ > a) = P( X n E X n ] > a) Var( X n )/a, (19) waarbij we gebruiken at E X n ] = µ. Gebruik verer at Var( X n ) = σ /n, zoat wat e stelling bewijst. P( X n µ > a) Var( X n )/a = σ /(a n) 0, (0) Opgave 3.1 (Convergentie binomiale verelingen). Laat X n Bin(n, p). Laat zien at X n /n p. In Stelling 3.1 hebben we aangenomen at Var(X i ) <. Dat blijkt niet noig te zijn, en Stelling 3.1 blijft waar inien we alleen hebben at E X i ] <. Het bewijs hiervoor is echter gecompliceerer en oen we niet. 4 De centrale limiet stelling In eze sectie bespreken we e fluctuaties ron e Wet van e Grote Aantallen in Stelling 3.1. We merken op at EX X n ] = nex 1 ], terwijl Var(X X n ) = nvar(x 1 ). (1) We zien us at e stanaareviatie van X X n gelijk is aan σ n, waarbij σ = Var(X 1 ), terwijl e verwachting gelijk is aan nµ, waarbij µ = EX 1 ]. We conclueren at X X n meer en meer geconcentreer is ron het gemiele. De centrale limiet stelling (CLS) onerzoekt e ranom variabele Merk op at EZ n ] = 0, Var(Z n ) = 1, ofwel Z n is gestanaariseer. Z n = X X n nµ. () Stelling 4.1 (Centrale limiet stelling). Stel X 1,..., X n zijn i.i.. ranom variabelen met EX i ] = µ en σ = Var(X) <. Dan gelt at Z n = X X n nµ waarbij Z een stanaar normale vereling heeft. Z, (3)

5 5 Er zijn meerere reenen waarom e CLS (Stelling 4.1) belangrijk is. Hier geven we er rie: Universaliteit. Universaliteit is een begrip uit e natuurkune, wat zeg at vele moellen ie microscopisch gezien heel ivers zijn, zich toch op een vergelijkbare manier kunnen geragen. at is vanuit e natuurkune heel belangrijk. Immers, als we een fenomeen op twee licht verschillene manieren moelleren, an hoop je toch at e conclusies ie je eruit trekt min of meer hetzelfe zijn. De CLS (Stelling 4.1) is hier een mooi voorbeel van. Als we e bijragen ine en grote som net niet goe moelleren, an zegt e De CLS (Stelling 4.1) at een som zich toch als een normale vereling geraagt. Wat e precieze vereling van e sommanen in, maakt helemaal niet uit. Er zijn vele uitbreiingen van e CLS (Stelling 4.1) waar e sommanen niet gelijkvereel zijn, of licht afhankelijk, en e som zich toch als een normale vereling geraagt. De lokale etails zijn us niet zo heel belangrijk, e normale vereling blijft komen! Statistische moellering. In e statistiek is e normale vereling een veel gebruikt moel. De CLS (Stelling 4.1) geeft aan waarom it statistische moel in veel gevallen geschikt is. Omat veel observabelen gezien kunnen woren als sommen van vele kleine en onafhankelijke effecten, geeft e CLS (Stelling 4.1) aan at in zulke situaties e normale vereling het meest natuurlijke moel is. Zeker ook als je in geachten neemt at e normale vereling ook in veel anere situaties als limietvereling verschijnt (zie het vorige item). Benaeringen voor kansen. Veel kansen zijn lastig exact uit te rekenen. Bijvoorbeel, e kans at een Poisson vereling met parameter n tenminste n is, is gelijk aan k n n nk e k!, (4) maar om eze nu precies uit te rekenen is, zeker voor grote n, bijna onoenlijk. Volgens e CLS (Stelling 4.1) is e bovenstaane kans ongeveer 1/. Vergelijkbare problemen zie je bij binomiale kansen, ie vanwege e binomiaal coefficienten lastig exact uit te rekenen zijn. Het grappige is at als n groot is, het lastiger wort om kansen exact uit te rekene, maar e CLS (Stelling 4.1) juist beter toepasbaar is! In e volgene sectie geven we het bewijs van e CLS (Stelling 4.1). Opgave 4.1 (Aanname van einige tweee moment). Stel at X een Cauchy vereling heeft. Dan heeft X ichthei on R gegeven oor f X (x) = 1 π(1 + x ). (5) Laat zien at het eerste moment van X niet betsaat, en at us ook EX ] =. Er gelt at X X n ezelfe vereling heeft als nx. Laat zien at X X n niet aan e CLS voloet. 4.1 Bewijs centrale limiet stelling (Stelling 4.1) Het bewijs van e CLS (Stelling 4.1) is pittig, maar ik vin at een wiskune stuent het een keer gezien moet hebben. De CLS (Stelling 4.1) is zo belangrijk at het niet kan zijn at je vakken oet in e kansrekening, statistiek en stochastische besliskune en toch nooit hebt gezien waarom e CLS (Stelling 4.1) waar is. In eze sectie zal ik een bewijs geven van e CLS (Stelling 4.1) oner e extra

6 6 aanname at E Y i 3 ] <. Hoewel eze extra aanname niet noig blijkt te zijn, maakt eze het bewijs eenvouiger. De meeste bewijzen van e CLS maken gebruik van zogenaame genererene functies. Die zullen we kort bespreken in e volgene sectie. Omat eze bewijzen niet laten zien waarom convergentie van e genererene functie ook convergentie in vereling geeft, vin ik it eigenlijk een nep oplossing. Hier geven we us een aner bewijs. Het bewijs bestaat uit 4 stappen. Stap 1: Stanaarisatie en wat er te bewijzen is. We moeten laten zien at Z n = X X n nµ waarbij Z stanaar normaal vereel is. Merk op at Z n = 1 n Z, (6) n Y i, (7) waarbij Y i = (X i µ)/σ e gestanaariseere versie van X i is. Ofwel, EY i ] = 0 en Var(Y i ) = 1. Het is us voloene om e CLS te bewijzen voor gestanaariseere variabelen. Dat zullen we oen. Om te laten zien at Z n Z, moeten we us laten zien at i=1 F Zn (z) = P(Z n z) F Z (z) = P(Z z), (8) voor elke continuiteitspunt z van z F Z (z). Omat Z een continue ranom variabele is, is elk punt z een continuiteitspunt, us we moeten (8) laten zien voor elke z R. Stap : Continue benaering van e inicator functie. We schrijven F Zn (z) = E1 {Zn z}] = Eh(Z n )], F Z (z) = E1 {Z z} ] = Eh(Z)], (9) waarbij h(x) = 1 {x z}. We vergelijken us e verwachtinswaaren van een functie van Z n met ie van Z. Naeel is at e inicatorfunctie waar we e verwachting van nemen niet zo netjes is. Bijvoorbeel is eze niet continu. We gaan aarom h benaeren oor een nettere functie. Neem ε > 0. Er zijn functies h ε en h ε zo anig at (a) h ε en h ε 3 keer continu ifferentieerbaar zijn met uniform begrense ere afgeleie; (b) h ε (x) = h ε (x) = h(x) als x z ε; (c) h ε (x) h(x) en h ε (x) h(x) voor alle x R. Laten we even aannemen at eze functies er zijn. Ik zal zo een voorbeel geven van hoe eze functie geconstrueer kunnen woren. Als we eze functies hebben, an weten we at F Zn (z) = Eh(Z n )] Eh ε (Z n )], F Zn (z) = Eh(Z n )] Eh ε (Z n )]. (30) We zullen an laten zien at, voor elke functie f ie rie keer continu ifferentieerbaar is, Ef(Z n )] Ef(Z)]. (31) Dit oen we in e volgene stap. Eerst leggen we uit hoe we zulke functies kunnen vinen. Dus, hoe kunnen we zulke nette functies vinen? Neem u(x) = e 1/x e 1/(1 x) x 0, 1]. (3)

7 7 Neem an 1, x < 0; 1 x g(x) = c u(y)y, x (0, 1); (33) 0 0, x > 1, waar c = 1/ 1 u(z)z zoanig is at g(0) = 1. Merk op at x g(x) oneinig vaak continu 0 ifferentieerbaar is. (Check it even goe!!) Dan nemen we h ε (x) = g((x z)/ε), h ε (x) = g((x z + ε)/ε). (34) Dan hebben eze functies precies e eigenschappen ie we hebben aangenomen. Stap 3: Convergentie voor nette functies. Stel, x g(x) is rie keer continu ifferentieerbaar. Dan laten we zien at (31) ineraa gelt. Merk op at Z = (W 1 + +W n )/ n, waarbij W 1,..., W n een i.i.. rij van stanaar normale ranom variabelen zijn. Opgave 4. (Vereling van (W W n )/ n). Laat zien at (W W n )/ n een stanaar normale verelign heeft als W 1,..., W n i.i.. stanaar normaal vereel zijn. Dus gelt at Ef(Z)] = E f ( (W W n )/ n )]. (35) We moeten us laten zien at lim E f ( (Y Y n )/ n )] E f ( (W W n )/ n )] = 0. (36) n Noem, voor i {0,..., n}, U i;n = Y Y i + W i W n, (37) zoat U n;n = Y Y n en U 0;n = W W n. Dan is us U i;n e ie interpolatie tussen U n;n = Y Y n en U 0;n = W W n, zoat E f ( (Y Y n )/ n )] E f ( (W W n )/ n )] = E f ( U n;n / n )] E f ( U 0;n / n )]. (38) We maken hier een telescopererne som van oor it te schrijven als Ef(Z n )] Ef(Z)] = E f ( U n;n / n )] E f ( U 0;n / n )] = n i=1 E f ( U i;n / n ) f ( U i 1;n / n )]. (39) De termen U i;n / n en U i 1;n / n zijn precies hetzelfe, behalve e ie term, ie Y i / n is voor U i;n / n en W i / n voor U i 1;n / n. Noem e termen ie gelijk zijn U i;n = Y Y i 1 + W i W n. We zullen een Taylor expansie voor f gebruiken. Hiervoor herinneren we at Taylor expansie van f(y) ron het punt x geeft at f(y) = f(x) + (y x)f (x) + 1 (y x) f (x) (y x)3 f (t ), (40) waar t een tussenpunt is tussen x en y. We Taylor expaneren f ron U i;n en nemen x = U i;n en y = U i;n, zoat f(u i;n / n) = f(u i;n) + (Y i / n)f (U i;n) + 1 (Y i/ n) f (U i;n) (Y i/ n) 3 f (t 1), (41)

8 8 en, nu met x = U i;n en y = U i 1;n, zoat f(u i 1;n / n) = f(u i;n) + (W i / n)f (U i;n) + 1 (W i/ n) f (U i;n) (W i/ n) 3 f (t ), (4) voor zekere punten t 1 tussen U i;n / n en U i;n/ n en t tussen U i 1;n / n en U i;n/ n. We krijgen us at (schrik niet!) Ef(Z n )] Ef(Z)] (43) n (f(u = E i;n) + (Y i / n)f (U i;n) + 1(Y i/ n) f (U i;n) + 1(Y 6 i/ n) 3 f (t 1) ) = i=1 ( f(u i;n) + (W i / n)f (U i;n) + 1 (W i/ n) f (U i;n) (W i/ n) 3 f (t ) )] n i=1 E ((Y i W i )/ n)f (U i;n) + 1 (Y n i Wi )f (U i;n) + 1(Y 6 i/ n) 3 f (t 1) (W i / ] n) 3 f (t ). Merk op at Y i onafhankelijk is van U i;n, en us is ook Y i onafhankelijk van f (U i;n). Er gelt us at E Y i f (U i;n) ] = EY i ]Ef (U i;n)] = 0, (44) omat EY i ] = 0. Op ezelfe wijze is W i onafhankelijk van f (U i;n) en is EW i ] = 0, zoat ook E W i f (U i;n) ] = EW i ]Ef (U i;n)] = 0. (45) Verer gelt, weer vanwege onafhankelijkhei van Y i en f (U i;n) at EY i f (U i;n)] = EY i ]Ef (U i;n)] = Ef (U i;n)], (46) omat EY i ] = Var(Y i ) = 1. Op ezelfe wijze gelt at EW i f (U i;n)] = EW i ]Ef (U i;n)] = Ef (U i;n)], (47) omat ook EWi ] = Var(W i ) = 1. We conclueren at ] 1 E (Y n i Wi )f (U i;n) = 0, (48) zoat Ef(Z n )] Ef(Z)] = 1 6n 3/ Nu schatten we af Ef(Z n )] Ef(Z)] 1 sup f (x) 6n 3/ = 1 6n x R sup 1/ x R n i=1 n i=1 ] E Yi 3 f (t 1) Wi 3 f (t ). ] E Y i 3 + W i 3 = 1 ] f (x) E Y W n 3/ sup x R ] f (x) ne Y W 1 3 Omat we hebben aangenomen at e ere afgeleie van f uniform begrens is, is us sup x R f (x) een einige constante. Verer is W 1 stanaarnormaal, en is us E W 1 3 ] <, terwijl we hebben aangenomen at E Y 1 3 ] <. Noem C = 1 sup 6 x R f (x) E Y W 1 3, an hebben we us net laten zien at Ef(Zn )] Ef(Z)] C/ n. (50) Omat it naar nul convergeert, hebben we us laten zien at (36) gelt voor elke functie f met uniform begrense ere afgeleie. (49)

9 9 Stap 4: Conclusie van het bewijs. vast, en kies ε > 0, en merk op at We zijn nu klaar om het bewijs af te maken. Neem z R F Zn (z) = Eh(Z n )] Eh ε (Z n )] Eh ε (Z)] (51) E1 {Z z+ε} ] = P(Z z + ε), waarbij we gebruiken at h ε (x) 1 {x z+ε}. Op ezelfe manier, nu gebruik maken van het feit at h ε (x) 1 {x z ε}, krijgen we at F Zn (z) = Eh(Z n )] Eh ε (Z n )] Eh ε (Z)] (5) E1 {Z z ε} ] = P(Z z ε). Omat z F Z (z) = P(Z z) een continue functie is, en ε > 0 arbitrair, krijgen we us at Dit maakt het bewijs af. F Zn (z) F Z (z) = P(Z z). (53) Ik realiseer me at het bovenstaane bewijs lastig is, en vele kleinere en grotere stappen vereist ie allemaal in e juiste volgore genomen moeten woren. Wat het mogelijk niet zo uielijk maakt, is waarom e normale vereling verschijnt in e CLS. Dit blijkt te komen oor e allereerste stap in het bewijs. Hierin gebruiken we at Z = (W W n )/ n, (54) waar W 1,..., W n i.i.. stanaar normale verelingen hebben. In het bijzoner gelt us at Z ezelfe vereling heeft als (Z 1 + Z )/, waarbij Z 1 en Z twee onafhankelijke kopiën zijn van Z. Het blijkt at it alleen waar is voor een normale vereling met verwachtingswaare nul. Dit is een reen at e normale vereling als limietvereling moet optreen. We komen hier, in Sectie 5, nogmaals op terug. We behanelen nu een aantal voorbeelen van e CLS. 4. Voorbeelen van e toepassing van e CLS (Stelling 4.1) Een stappenplan. Tentamens Kansrekening WS0 bevatten altij opgaven over e CLS (Stelling 4.1). Het is us zaak om hier goe op voorberi te zijn. Ik merk at het een lastig onerwerp is. Het helpt an om een heler stappenplan te hebben, met stappen ie je gewoon kan checken om tot een antwoor te komen. Ik leg nu eerst eze stappen heler uit, om aarna in een aantal voorbeelen te illustreren hoe het werkt. Stap 1: Checken of e CLS (Stelling 4.1) toegepast mag woren. In e eerste stap leg je uit waarom e CLS toegepast mag woren. Herinner je us e voorwaaren voor e CLS (Stelling 4.1), namelijk, at we te maken hebben met een som van i.i.. ranom variabelen met een einige variantie. Leg it expliciet uit. Dus, e vraag gaat over S n = X X n, waarbij X 1,..., X n i.i.. ranom variabelen zijn met einige variantie. Geef e vereling van X i, en geef ook wat n is. Stap : Bereken e verwachtingswaare en variantie van e i.i.. ranom variabelen. In e vorige stap hebben we gecontroleer at e vraag gaat over een zekere S n = X X n, waarbij X 1,..., X n i.i.. ranom variabelen zijn met einige variantie. In e tweee stap bereken je e verwachtingswaare µ en variantie σ van X i, omat we eze in e CLS (Stelling 4.1). Het antwoor van Stap bestaat us uit (numerieke) waaren voor µ = EX i ] en σ = Var(X i ).

10 10 Stap 3: Herschrijf e gevraage kans oor e som S n te stanaarieren. In Stap 1 hebben we gecontroleer at we eens kans van e vorm P(S n z) moeten uitrekenen, of juist P(S n z). In e ere stap, gaan we eze kans herschrijven oor S n te stanaariseren. We herschrijven us, gebruik maken van e waaren van µ en σ ie we in Stap hebben bereken, ( X1 + + X n nµ P(X X n z) = P z nµ ). (55) De kans is nu in e vorm at we e CLS (Stelling 4.1) kunnen toepassen, en at oen we in e laatste stap. Stap 4: Toepassen van e CLS (Stelling 4.1). We benaeren ( X1 + + X n nµ P z nµ ) ( P Z z nµ ) = Φ( z nµ ), (56) waar z Φ(z) e verelingsfunctie is van e stanaar normale vereling, ie we in een tabel kunnen opzoeken. Hiervoor ienen we us e waare z nµ uitgereken te hebben. Soms moeten we hier nog wat extra werk oen, omat e kans niet in e vorm is ie in e tabel staat. Bijvoorbeel als x > 0, an kunnen we gebruiken at en Φ( x) = 1 Φ(x), (57) P(Z > x) = 1 Φ(x). (58) Met eze twee rekenregels kunnen we Φ( z nµ ) altij herschrijven in een vorm ie we in e tabel kunnen opzoeken. Deze 4 stappen werken altij, en als je ze trouw volgt, moet het altij goe gaan. Nu passen we eze 4 stappen een aantal keer toe in voorbeelen: De gokkene stuent. Een multiple choice examen bevat 0 vragen, elk met 4 mogelijke antwooren. Je krijgt een voloene als je minstens 11 goee antwooren hebt. Een luie stuent heeft geen zin om te leren, en weet at hij, oor gokken, een positieve kans heeft om oor gokken te slagen. Hoe verstanig is eze strategie? Stap 1: Checken of e CLS (Stelling 4.1) toegepast mag woren. We gebruiken e CLS (Stelling 4.1) voor een binomiale vereling. Stel S n Bin(n, p). Dan weten we at we X kunnen schrijven als S n = I I n, waarbij I 1,..., I n i.i.. Bernoulli variabelen zijn met succeskans p. Omat I 1,..., I n i.i.. zijn, mogen we us e CLT toepassen. In it geval is p = 1/4 en n = 0. Stap : Bereken e verwachtingswaare en variantie van e i.i.. ranom variabelen. Als I i Ber(p), an gelt at EI i ] = p, Var(I i ) = p(1 p). In it geval is us µ = 1/4 en σ = (1/4) (3/4) = Stap 3: Herschrijf e gevraage kans oor e som S n te stanaarieren. We zijn geinteresseer in P(S 0 11). We herschrijven eze als ( S0 0 µ P(S 0 11) = P 0σ 11 5 ) ( S0 0 µ P 0 (1/4) (3/4) 0σ ) (59)

11 11 Stap 4: Toepassen van e CLS (Stelling 4.1). We benaeren e kans op een voloene oor ( S0 0 µ ) P(S 0 11) P P(Z 4.647) = 1 Φ(4.647). (60) 0σ Deze kans is zo klein at eze niet meer in tabellen staat! De stuent is niet slim bezig. Opgave 4.3 (Half oplettene gokkene stuent). Stel, e stuent uit het vorige voorbeel heeft tijens het college toch een beetje opgelet. Hieroor kan hij/zij van e 4 mogelijke antwooren er 1 uitsluiten. Er zijn us nog 3 antwooren over, waaruit hij/zij ranom kiest. Wat is nu een benaering voor e kans at hij/zij een voloene scoort? De paraox van e beslissene minerhei. In veel lanen, zoals bijvoorbeel Neerlan of Israel, zien we at een kleine minerhei in het parlement beslissen kan zijn. In het parlement is at vaak een kleine partij ie een coalitie aan een meererhei kan helpen. In het onerstaane voorbeel onerzoeken we hoe een minerhei een oorslaggevene rol kan hebben in een verkiezing. Stel, in een lan zijn er twee partijen en stemmers. Een partij wint als eze meer an e helft van alle stemmen krijgt. Bij stemmen, betekent it tenminste stemmen. Als elke stemmer met gelijke kans één van e twee partijen kiest, an wint elk van e twee partijen met kans precies gelijk aan 1/. Immers, e kans op maximaal stemmen gelijk aan e kans op tenminste stemmen (vanwege symmetrie ron ,5 van e binomiale vereling met succeskans p = 1/), en eze samen zijn 1. Dus, elk is precies gelijk aan 1/. Stel nu at één van e partijen een fanatieke aanhang heeft van stemmers ie altij voor eze partij stemmen. Geef nu een benaering van e kans at eze partij wint. Stap 1: Checken of e CLS (Stelling 4.1) toegepast mag woren. We gebruiken e CLS (Stelling 4.1) voor een binomiale vereling. Stel S n Bin(n, p). Dan weten we at we X kunnen schrijven als S n = I I n, waarbij I 1,..., I n i.i.. Bernoulli variabelen zijn met succeskans p. Omat I 1,..., I n i.i.. zijn, mogen we us e CLT toepassen. In it geval is n = 999, 001 en p = 1/. In it geval wint e partij inien zij tenminste van eze 999,001 stemmen krijgt. Stap : Bereken e verwachtingswaare en variantie van e i.i.. ranom variabelen. Als I i Ber(p), an gelt at EI i ] = p, Var(I i ) = p(1 p). In it geval is us µ = 1/ en σ = (1/) (1/) = 1/4. Stap 3: Herschrijf e gevraage kans oor e som S n te stanaarieren. We zijn geinteresseer in P(S 999, ). We herschrijven eze als ( S999, , 001 µ ) P(S 999, ) = P (61) 0σ 999, 001 (1/4) ( S999, , 001 µ ) P , 001σ Stap 4: Toepassen van e CLS (Stelling 4.1). We benaeren e kans op een voloene oor ( S999, , 001 µ ) P(S 999, ) P (6) 999, 001σ P(Z ) = 1 Φ( ) = Φ(0.9994) De kleine minerhei heeft us een behoorlijk beslissene stem! Opgave 4.4 (Iets grotere minerhei). Hoe veranert bovenstaane kans als e minerhei uit 000 stemmers bestaat?

12 1 Een integraalbenaering. Een sommatiebenaering. 5 Moment genererene functies

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20 Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 13 januari 017 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende

Nadere informatie

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20 Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 11 januari 018 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende

Nadere informatie

Wiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010

Wiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010 Afeling Kwantitatieve Economie Wiskune AEO V Uitwerking tentamen 6 januari 00 Een stelling ( punten) Laat c een ifferentieerbare kromme zijn, ie op een niveauverzameling van een ifferentieerbare functie

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e

Nadere informatie

Oefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen

Oefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen Oefeningenexamen Projectieve Meetkune: oplossingen 2e bachelor Wiskune acaemiejaar 2011-2012 1 Eerste zittij Oefening 1.1. Een {, m}-boog in PG(2, q) is een verzameling van m 1 punten zoat ieere rechte

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Zomercursus Wiskune Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (versie 27 juni 2008) Inleiing De afgeleie van een functie f in een punt R is e helling (richtingscoëfficiënt)

Nadere informatie

Calculus I, 20/10/2014

Calculus I, 20/10/2014 Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Afgeleiden berekenen met DERIVE

Afgeleiden berekenen met DERIVE /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g.

4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g. g. x=2y+1 2y = x - 1 y = 1 2 x- 1 2 Duielijk zal zijn at bij elke x-waare precies één y-waare hoort, ofwel: bij elk origineel hoort precies één beel. Het is us een functie. (N.B.: als het coomein geen

Nadere informatie

Notatieafspraken bovenbouw, wiskunde B

Notatieafspraken bovenbouw, wiskunde B Notatieafspraken bovenbouw, wiskune B Bewaar it ocument zorgvulig Het wort slechts éénmaal verstrekt Dit ocument bevat afspraken voor e correcte notatie volgens e gehele sectie wiskune van het Steelijk

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1 Wiskune D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les aragraaf. Opgave a et e stelling van thagoras volgt at (, ) ( ) + ( ) ( 3 ) + ( ) + 3 3 b De roosterpunten met afstan 3 tot liggen op e cirkel met als mielpunt

Nadere informatie

WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11

WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11 VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc / DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tij: 00 minuten Uw naam:...

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

wiskunde A vwo 2017-I

wiskunde A vwo 2017-I Zonnepanelen maximumscore 3 Na t jaar is e prijs met een factor, 05 t vermenigvulig De vergelijking, 05 = moet woren opgelost 5 (jaar) ( 4 (jaar)) ( nauwkeuriger) maximumscore 4 De opbrengst per jaar is

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

1.3 De produktregel. Laat zien dat bijvoorbeeld [ x x. ] niet gelijk is aan 2x

1.3 De produktregel. Laat zien dat bijvoorbeeld [ x x. ] niet gelijk is aan 2x .3 De prouktregel Eerer heb je geleer at je e som van twee (of meer) functies kunt ifferentiëren, oor termsgewijs te ifferentiëren. Bijvoorbeel: 3 [ x + x ] = x + 3 x.7 Een ergelijke mooie regel gelt niet

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Voorkennis + lijst met standaardintegralen

Voorkennis + lijst met standaardintegralen Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

Z.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)

Z.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30) Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Voorkennis. Hoekmeting

Voorkennis. Hoekmeting Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige

Nadere informatie

Dictaat Wiskunde 3. Bas Janssens 5 april 2016

Dictaat Wiskunde 3. Bas Janssens 5 april 2016 Dictaat Wiskune 3 Bas Janssens 5 april 2016 Voorwoor Dit is het ictaat voor het college Wiskune 3 voor Scheikunigen, at plaatsvon aan e Universiteit Utrecht in e perioe februari april 2016. Aan bo komen

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2017

Correctievoorschrift VWO 2017 Correctievoorschrift VWO 07 tijvak wiskune A Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor e beooreling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoorelingsmoel 5 Aanleveren scores Regels voor e beooreling

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

Adres: Kerkstraat 26 Postcode en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447. Datum start: 15 december 2012 Datum goedgekeurd:

Adres: Kerkstraat 26 Postcode en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447. Datum start: 15 december 2012 Datum goedgekeurd: Plan van aanpak Huisartsenpost 't Hellegat Ares: Kerkstraat 26 Postcoe en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447 E-mailares: Scope van eze RIE: Gebruikte inventarisatievragenlijst: info@haphellegat.nl

Nadere informatie

Set 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Kansen en statistiek

Hoofdstuk 5 - Kansen en statistiek Hoofstuk 5 - Kansen en statistiek lazije 110 1a Niet ieereen heeft ezelfe kans om in eze steekproef te komen. Het zijn klanten van eze ene winkel. Het zijn alleen vrouwen. Het zijn klanten ie allemaal

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening (NB004B)

Tentamen Kansrekening (NB004B) NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

1.4 Differentiëren van machtsfuncties

1.4 Differentiëren van machtsfuncties . Differentiëren van machtsfuncties De inmiels bekene regel voor het ifferentiëren van machtsfuncties luit: n n [ ] n (n,,, ) Deze regel kun je vrij gemakkelijk herontekken met behulp van e (uitgebreie)

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014 Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de

Nadere informatie

De maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10

De maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10 Universiteit Twente, Werktuigbouwkune Vak : Programmeren en Moelleren Datum : 0 oktober 20 Tij : 08.45-0.5 uur TOETS Deze eeltoets bestaat uit 4 opgaven. Geef niet alleen e antwooren maar toon ook e geane

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Verieping - Hoek afstan erek met vetor lazije a + + 9 ; a 7 7 z 9 O O (rihtingsvetor z-as) staat looreht op het vlak oor -as O -as us staat O looreht op e lijn oor O ie in at vlak ligt 7 a Omat het mielste

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175

Nadere informatie

Antwoorden Eindtoets 8NC00 12 april 2017

Antwoorden Eindtoets 8NC00 12 april 2017 Antwooren Eintoets 8NC 12 april 217 1.1. Onwaar, een fase-contrast microscoop brengt e verschillen in brekingsinex in beel. Er wort geen gepolariseer licht gebruikt us het is niet mogelijk ubbelbrekene

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s

Nadere informatie

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

Effectiviteit van Cohorting op een Intensive Care Afdeling

Effectiviteit van Cohorting op een Intensive Care Afdeling Effectiviteit van Cohorting op een Intensive Care Afeling Serieke Kloet Stuentnummer 34709 Bachelorscriptie voor e stuie wiskune Oner begeleiing van: Martin Bootsma Faculteit Bètawetenschappen Universiteit

Nadere informatie

Pag. 18: Conform NEN-EN 1990 worden damwandconstructies ingedeeld in de volgende 3 veiligheidsklassen beschouwd:

Pag. 18: Conform NEN-EN 1990 worden damwandconstructies ingedeeld in de volgende 3 veiligheidsklassen beschouwd: Errata CUR 166 Damwanconstructies, 6 e ruk:01 Deel 1: Pag. 18: Conform NEN-EN 1990 woren amwanconstructies ingeeel in e volgene 3 veiligheisklassen beschouw: CC1/RC1: geringe gevolgen

Nadere informatie

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31

= P(B) = 2P(C), P(A B) = 1 2 en P(A C) = 2 5. d. 31 Tentamen Statistische methoden 45STAMEY april, 9: : Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend voorbeeld:

Nadere informatie

VU University Amsterdam 2018, Maart 27

VU University Amsterdam 2018, Maart 27 Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

Wij adviseren deze definities ook in de verordening op te nemen, zodat er een duidelijk beeld gegeven wordt van alle begrippen.

Wij adviseren deze definities ook in de verordening op te nemen, zodat er een duidelijk beeld gegeven wordt van alle begrippen. Avies aan het College van B&W van e gemeente Texel Onerwerp: Conceptverorening maatschappelijke onersteuning. 1. Inleiing De Wmo-aviesraa Texel is gevraag avies uit te brengen op e conceptverorening Wmo

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

1 Functies die aan verandering onderhevig zijn

1 Functies die aan verandering onderhevig zijn Veraneringsprocessen in e tij (eerste ore) upate april 2009 copyright WISNET-NHL Lees eerst aanachtig e inleiing 0 Inleiing In eze les, ie niet beslist van begin tot ein oorgewerkt hoeft te woren, vin

Nadere informatie

uitwendig magnetisch veld F daarvoor een externe elektrische stroom nodig is, wordt een permanente magneet genoemd. Z N

uitwendig magnetisch veld F daarvoor een externe elektrische stroom nodig is, wordt een permanente magneet genoemd. Z N 5 Elektromagnetisme 5.1 Magnetisme Tussen twee magneten zijn er krachten aanwezig ie ervoor zorgen at ze elkaar aantrekken of afstoten. Deze krachten zijn het resultaat van magnetische velen ie op atomair

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a

ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

1. Langere vraag over de theorie

1. Langere vraag over de theorie 1. Langere vraag over e theorie a) Lei e voorwaaren af voor constructieve en estructieve interferentie bij het twee-spletenexperiment van Young. Druk eze voorwaaren uit zowel in functie van e hoek θ over

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a aantal mannen 790 7,9, perentage 00 8 Naar verwahting zijn van eze 790 mannen kleurenlin. alle vrouwen 000 00 kleurenline vrouwen 0, V-a 0,% van e vrouwen is kleurenlin. Van alle Neerlaners

Nadere informatie

Overzicht examenstof statistiek

Overzicht examenstof statistiek a De volwassen mannen in e wijk van e shoenenzaak. Steekproeflengte is. Aselet? Dat hangt ervan af! De mannen ie zijn winkel ezoeken hoeven geen afspiegeling te zijn van e mannen ie in zijn wijk wonen.

Nadere informatie

Oefeningen Analyse I

Oefeningen Analyse I Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers e-mail: meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x

Nadere informatie

Blok 3 - Vaardigheden

Blok 3 - Vaardigheden Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen

Nadere informatie

Blok 2 - Vaardigheden

Blok 2 - Vaardigheden Blok - Vaarigheen lazije a Het startgetal is en het hellingsgetal is De formule ie ij e lijn ast is y x De lijn k heeft het zelfe hellingsgetal als e lijn l, us De formule is y x+ 7 e Het hellingsgetal

Nadere informatie

Overzicht examenstof statistiek

Overzicht examenstof statistiek a De volwassen mannen in e wijk van e shoenenzaak. Steekproeflengte is. Aselet? Dat hangt ervan af! De mannen ie zijn winkel ezoeken hoeven geen afspiegeling te zijn van e mannen ie in zijn wijk wonen.

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vaarigheen lazije 0 a g h, p, p i p 0 p e q q q q q f 0 a a 0a a t t t t t t a Per weken is e groeifator,, 9 Een kwartaal heeft : weken. De groeifator per kwartaal is us, 990,. Een ag is -week,

Nadere informatie

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten) 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste

Nadere informatie

module SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur

module SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 13.30-16.30 uur Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Krachten binnen het standaardmodel. N.G. Schultheiss

Krachten binnen het standaardmodel. N.G. Schultheiss 1 Krachten binnen het stanaarmoel N.G. Schltheiss 1 Inleiing Deze mole volgt op e mole Deeltjes binnen het stanaarmoel en wort vervolg met e mole Deeltjes in airshowers. Aan e han van het netron verval

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Samenvatting 177. (b) (a) position (cm) wire Relative gain variation [%] 16

Samenvatting 177. (b) (a) position (cm) wire Relative gain variation [%] 16 amenvatting Het begrijpen van het universum en e unamentele wetten er natuurkune ie aaraan ten gronslag liggen, is iets wat mensen uit alle tijen bezig heet gehouen. Wanneer we inzoomen op e kleinste astanen,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009

Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009 Tentamen Signalen en Systemen : 3BB3, 10 maart 009 Omerkingen ij het tentamen - O het tentamen mag een (grafisch) rekenaaraat geruikt woren - Geruik van aner materiaal zoals oeken, aantekeningen of lato

Nadere informatie