Stevin vwo Antwoorden Speciale relativiteitstheorie Pagina 1 van 10 0; 0,99; 1; 1

Transcriptie

1 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 1 van 10 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin e eerste wet van Newton gelt. a C γ 1 β γ β 0; 0,99; 1; 1 = 0,75 = 1,5 = 0,90 =,3 Je krijgt an 0 in e noemer en at mag niet. γ 1 γ (1 β ) β 1/ γ β 3 a De lihtflits komt altij het eerst aan. De knal en e kogel komen tegelijk aan als e trein stilstaat. 4 a u v w uv De kogel heeft nu een snelhei van 680 m/s en is us eerer ij e oef an e knal. v v w v v w 0,90 0,30 1,0 w 0,94 0,90 0,30 1,7 u «u/ 0 en ook v «v/ 0 u v u v w u v e gewone optelling van snelheen u v Calvin s Mom heeft hopelijk vertel at.. the theory of relativity only works if you re going west onzin is. Time goes slower at great spee is altij waar. 6 a = 0,95 = 3, en v =, m/s t onerzoeker = 4,0/, = 8, s De ehte levensuur is korter an wat e onerzoeker meet t pion = 8, /3, =, s 7 - Bij het loslaten was W in het mien. Op het moment van e knallen was W us ihter ij B an ij A. Als W e knallen toh tegelijk hoore, was e knal van A us eerer. 8 a m = m 0 en E k = m m 0 (zie p. 10). E k =( 1) m > 0,1 > 1,1 1,1 β β 0, 4 β 1,1 0,51 MeV E k/m 0 = 10/0,51 = 19,6 e vuistregel is noig. 10 = ( 1) 0,51 = 0,6

2 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina van 10 Opgaven Coörinatentransformaties en ruimte-tij 9 - Volgens het eerste postulaat zijn e stelsels S en S gelijkwaarig. Het enige vershil is at nu vervangen moet woren oor. 10 a = 1,47.. Volgens W is een van e rien verkort: L * = 3,0/1,47.. =,0 km V = 18 km 3 0,8 0,5 0,93 w 0,93 0,8 0,5 Dan ha e Enterprise ook e lihtsnelhei moeten heen. 11 a = 0,0 = 1,0 Volgens W is L * = L/ = 150 m L = 153 m t volgens W = 150/(0, ) =, s t volgens W = 153/(0, ) =, s 1 a Voor e snelhei van e torpeo t.o.v. W moet je e formule van Einstein toepassen: 8 8 8,4 10 1,8 10 4, w,8 10, , ,8 10 1, a De lihtsnelhei. t Q > t P en t Q > t P er is us geen vershil van mening over e volgore. Bij alle groene pijlen horen snelheen ie kleiner zijn an en stees gelt: t Q > t P. Nee. Later is niet hetzelfe als oorzaak en gevolg. 14 a/

3 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 3 van a W voelt het omkeren niet, maar hij wort er oor verpletter als hij niet oppast. Bij versnellingen groter an 5 à 6 keer g wor je ewusteloos. Voor het omkeren moet W royaal e tij nemen: 8 0, a 50 m/s Δt 9,6 10 s = 0,3 jaar Δt Laat hij er us maar minstens een half jaar voor nemen en liefst nog wat langer. x = (x + t) en t = (t + x) = 0,8 = 5 / 3 x = 0 en t = 5 Invullen x = 5 / 3 (0 + 0,8 5) = 6,66.. = 6,7 lj en t = 5 / 3 (5 + 0,8 0) = 8,33.. = 8,3 lj Halverwege e reis is e reiziger volgens haar eigen klok 10 jaar onerweg. De eenheen in e figuur zijn lj (lihtjaar). t = 1/ t 10 = 1/ 5 =,5 = 0,9

4 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 4 van 10 Opgaven 1 en 16 a Als e sheriff tegelijk twee flitsen zag, an wist hij zeker at e shoten tegelijk waren afgevuur. Nee, het shot van A moet W inhalen om tegelijk met at van B te klinken. A shoot us eerst. B wer us het eerst geraakt. Zet W in geahten stil, an eweegt kogel A met m/s naar rehts en kogel B met m/s naar links. Voor het vershil in tij gelt: 5/90 5/390 = ms. 17 a 1 Volgens alle waarnemers op het perron loopt het horloge trager. a 1 Dat maakt geen vershil. W1 kan at horloge iret aflezen omat hij zih naast at horloge evint. = = ± ½ 3 = ± 0,87 We kiezen voor e positieve waare. v = 0,87 x = ½ 3 60 = 5 ls, De t-as is e werellijn van klok K0. De vertiale groene lijn is e werellijn van klok K1. De roe t-as is e x(t)-grafiek van e mahinist in het (x;t)-stelsel van e klokken. e 1 e Waarnemer W1 en e mahinist zijn het eens over het horloge van e mahinist, want zij evinen zih op t = 60 s op ezelfe plaats. Voor het horloge van e mahinist gelt: t = 60/ = 30 ls. Het wijst us 30 s aan. Je kunt at ook vinen oor t = 60 en x = 30 3 in te vullen in e lorentz-transformatie. Klok K1 wijst volgens e mahinist 60 s aan, want hij evint zih ij ie klok. Hij is het us eens met waarnemer W1. Waarnemer W1 is het met waarnemer W0 eens: alle klokken langs het perron staan op 60 s, want e klokken staan stil en e waarnemers staan stil. Voor e mening van e mahinist over klok K0 he je e roe, gestreepte lijn noig; e gelijktijigheislijn van het horloge. Die komt uit ij 30/ = 15 ls. Volgens e mahinist staat klok K0 us op 15 s. Deze waare kan e mahinist niet aflezen, want hij evint zih niet ij ie klok. Wel kan hij ie waare erekenen. Een reiziger ie ahterin e trein zit en us later ij K0 komt, kan ie klok wel aflezen. Volgens W0 is e liniaal in e trein 0,50 m lang als ie tenminste e x-rihting heeft. Volgens R is een liniaal langs e kant ook 0,50 m lang als ie tenminste e x-rihting heeft.

5 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 5 van a x = t us: 30 = 60 = 0,5 = 1,15 1 e S L-Trafo S A (30;60) (0; 5) B (30;15) of x = 30/ (6;0) C x = 30 (35;0) Volgens e treinreizigers is OB e lengte van het perron. 6 m Volgens e waarnemers op het perron oen e treinreizigers hun metingen ij t = 0 (e linkerkant) en t = 15 m (e rehterkant). Dus ij t L = 0 s en t R = s Het perron is volgens e waarnemers op het perron 30 m lang. Volgens e reizigers hoort ij e trein e lengte OC = 35 m. Zij meten ie lengte ij t = a lengte = 0, , = 10 m = 0,8 = 10/6 W neemt een trein waar ie verkort is met een fator 0,6. De ware lengte is us 10/0,6 = 00 m W rekent met 00 m en 0,8 0,83.. = 0,8 s 0 - Volgens vooreel 4 van p. 9 mag je e snelheen optellen via e formule van Einstein: 1 a 1 0,960 0,960 0,999 w 0,999 0, γ β β γ E k = 10,0 MeV = 10 1, = 1, J = ( 1) m 0 ( 1) m 0 = 1, kg elektron: m 0 = 9, kg ( 1) = 19,5 = 0,5 = 0,999 a proton: m 0 = 1, kg ( 1) = 1,07 10 = 1,01 = 0,14 a tael 5A: E k = 13,4 MeV = 13,4 1, =, J 3 - E k = ½m 0v v =, m/s = 7, Dit kan niet waant v max < Je moet rekening houen met e massatoename. 1, E k = ( 1) m 0 =, ( 1) = 6, = 7, = 0,999 v =, m/s = 3, m/s x x t x vt ut vt u v w t uv t t ut t ut v v x 4 a sin = / = , us v =, m/s 1 t I = 11/( v) + 11/( + v) = 7, m/s t II = /v = 7, m/s Δt 1 = t I t II = s Δt = s Δt = Δt 1 Δt = s = T invullen geeft T = 1, s Δ = Δt/T = 0,44

6 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 6 van 10 5 a Ja; E k = ( 1) m 0 en kan oneinig groot woren. Ja; E = m 0 Ja; p = m 0 v Nee; e limiet is. 6 - De uitspraak gelt voor vauüm. 7 a = 0,999 =,4 Waarnemers op aare zijn van mening at e reis langer uurt t =,44,5 = 100,7 = 101 jaar x = 100,7 0,999 = 100,6 = 101 lihtjaar Het liht heeft 100,6 jaar noig om ie afstan af te leggen waarneming na 100, ,6 = 01 jaar 8 - T hart = 60/68 = 0,88 s. = 0,88 =,1 Voor een waarnemer op aare gaat alles aan oor trager T =,0,88 = 1,86 s f = 60/1,86 = 3 per minuut. 9 a 1 = 0,6 en tan = = 3 a 1 0,5 lmin = = m = km 3 x = (x t) en t = (t x ) = 0,6 =1,5 G1: x =,5 lmin en t = 5 lmin x = 0,63 en t = 4,4 G: x = 3,5 lmin en t = 5 lmin x = 0,63 en t = 3,6 30 a v =,15/7, = 3, m/s > at kan niet. v =,15/7, =, m/s =,980/,9979 = 0,9940 en = 9,15 De rihting van e muonen kan vershillen. Ze zijn niet allemaal op ezelfe hoogte geproueer. In muonenogen is e ampkring miner ik: h = / = 1, m e t = 1, /, = 5, s = 5,5 s t/t ½ = 5,5/, =,5 f P = 100 e,5 = 8%

7 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 7 van a = 0,998 = 15,8 t ½ = 1,5 15,8 = 4,0 s h = 1, m v = 0,998 =, m/s t = 1, /, = s = 33 s t/t ½ = 33/4 = 1,38 N = 100 (½) 1,38 = 39% 3 a 1 De stip voor e opgave heen we extra groot gemaakt, us geen paniek als je eze opgave moeilijk vint. De vraag is: hoelang uurt het volgens Chewaa totat B oor A is ingehaal? Alle gegevens horen ij het stelsel van C op zijn planeet Dagoah (Starwars). Daarom hoef je geen moeilijke relativistishe kunstjes uit te halen om het antwoor te vinen. a a 3 Je kunt eze twee grafieken in het stelsel van C tekenen. Alle maten zijn in lmin. Links evint B zih op t = 0 in e oorsprong en heeft A een ahterstan van lmin. Dit is zoals het in e opraht staat. Maar je zou ook A op t = 0 in e oorsprong laten eginnen en B een voorsprong geven van lmin. Daar hoort e rehter grafiek ij. Links gelt: x A + = 0,8t en x B = 0,6 t t P = 10 lmin us t P = 10 min. Rehts gelt: x A = 0,8t en x B = 0,6t t R = 10 lmin us t R = 10 min. In eie gevallen heeft het us volgens C 10 min geuur totat B oor A is ingehaal. Zie vooreel 4 van p. 9. Zet B stil v aare = 0,6 en v al = 0,8. 0,60,8 0,0 5 w 0,38 1 ( 0,6 0,8 )/ 0,5 13

8 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 8 van 10 1 e 1 e f De vraag is: hoelang uurt het volgens B totat B oor A is ingehaal? A gaat van Q naar P, maar an moet je ie punten ekijken in het roe stelsel van B. Rehts is het roe stelsel van B rehthoekig gemaakt. Voor roe stelsel van B gelt: = 0,6 en = 1,5 In het zwarte stelsel van C gelt: x P = 6 en t P = 10 x Q = en t Q = 0 Invullen in e lorentztransformatie levert voor het roe stelsel van B: x P = 1,5 (6 0,6 10) = 0 en t P = 1,5 (10 0,6 6) = 8 x Q = 1,5 ( 0,6 0) =,5 en t Q = 1,5 (0 0,6 ) = 1,5 Δx = 0 (,5) =,5 lmin en Δt = 8 1,5 = 6,5 lmin Δt inhalen = 6,5 min Volgens B heeft het inhalen us 6,5 min geuur. Dankzij het feit at gelijktijighei niet meer estaat in stelsels ie ten opzihte van elkaar ewegen, gaan alle oörinaten van egin- en einpunt op e shop. Verwerk e erekene waaren in het rehthoekige, roe stelsel van B:,5 5 5 Voor e hoek gelt: tanφ va tov B 6, Dat is us preies e waare ie ij is ereken.

9 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 9 van 10 Als toegift ekijken we hoelang het inhalen volgens A uurt. A staat nu stil en B gaat met negatieve snelhei!! vanuit S naar R. Die punten moet je us ekijken in het groene stelsel van A. Rehts is at stelsel rehthoekig gemaakt. Voor het groene stelsel gelt: = 0,8 en = 5/3 In het zwarte stelsel van C gelt: x R = 8 en t R = 10 x S = en t S = 0 Invullen in e lorentztransformatie levert voor het groene stelsel van A: x R = 5/3 (8 0,8 10) = 0 en t R = 5/3 (10 0,8 8) = 6 x S = 5/3 ( 0,8 0) = 10/3 en t S = 5/3 (0 0,8 ) = 8/3 Verwerk eze waaren in een rehthoekig, groen stelsel van A: 10/3 5 Voor e hoek gelt: tanψ 6 8/3 13 Dat is us weer preies e helling ie ij vraag a was uitgereken voor e relatieve snelhei, maar nu wel met een minteken Volgens A heeft het inhalen us 8,7 min geuur.

10 Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 10 van 10 Toets 1 He je geleer? a 1) Alle inertiaalsystemen zijn voor e natuurwetten gelijkwaarig. ) De lihtsnelhei in vauüm is altij hetzelfe en hangt niet af van e snelhei van e ron of e waarnemer. w G = v + u w E v u vu f = Hz T = 3, s De elektronen moeten an eze snelhei heen: v = 1 10 /3, = m/s > Dat kan niet. Koop us maar geen aanelen. Een ruimtereis a = 0,6 = 1, tan = 0,6 = 3 Voor het vraagteken gelt: t = 1,5 0 = 5 lj Volgens e ahterlijver is hij us 5 jaar onerweg. x = 0,6 5 = 15 lj x = 0,6 0 = 1 lj Het signaal heeft 15 jaar noig om e aare te ereiken. t = = 40 j Volgens e ahterlijvers heeft e astronaut 5 jaar noig om terug te keren. t = 50 j De ahtergeleven tweelingroer is an 90 jaar ou. De astronaut is 40 jaar ouer geworen. Hij is us 80 jaar ou. 3 Oorzaak en gevolg a Laserstralen lopen langs e lijnen a of. 1 Alle punten op e groene lijn zijn gelijktijig volgens W. 3 P kan niet e aer zijn, want Q zou in e lauwe kegel moeten zitten. Alle punten op e roe lijn zijn gelijktijig volgens W. Ook nu kan P e aer niet zijn.