Hoofdstuk 6 Goniometrie

Transcriptie

1 Opstap Tangens O-1a EF! ,3 m zije kwaraat zije kwaraat KL 30 m 900 ST 20 m 400 LM 15 m 225 TW? 225 KM? 1125 SW 25 m 625 KM! ,5 m TW! m O-2a Driehoek PQR is een rehthoekige riehoek omat hoek P gelijk is aan 90º. De langste zije is QR. De overstaane zije van /Q is zije PR. Josien heeft gelijk. Het ligt eraan vanuit welke hoek je kijkt. e De langste zije is AB en e overstaane rehthoekszije van /B is AC. O-3a O-4a zije DE 12 m DF 30 m EF? kwaraat Zije AB is e aanliggene rehthoekszije van /B. Zije AC is e overstaane rehthoekszije van /B. tan /B AC AB 5 4 1,25 us /B tan 1 11, De rie hoeken van een riehoek zijn samen 180º us /C 180 /A /B tan /A BC AB 2 5 0,4 us /A tan 1 10, tan /E DF DE 3 4 0,75 us /E tan 1 10, tan /M KL KM 3 5 0,6 us /M tan 1 10, zije kwaraat zije kwaraat AB 5 BC 2 AC? KL 3 KM 5 LM? AC!29 5,4 LM!34 5,8 Noorhoff Uitgevers v O-5a tan 35? 21 Het vraagteken ereken je met 21 tan 35º. De hoogte van het geouw is 21 tan 35º 14,7 m. Noorhoff Uitgevers v 97

2 O-6a L 60 O-7a 1a tan 60 KM 10 KL KL Je moet elen om e lengte van KL te erekenen. KL 10 : tan 60º 5,8 m tan 40 KL KL us KL 6 tan 40º 5,0. BK 6 tan 60 FG CG 7 us CG 7 : tan 60º 4,0. CG tan 30 DE DE us DE 9 tan 30º 5,2. AE Sinus De lift legt 3200 meter af. Het hoogtevershil tussen Montana en Rothorn is 800 m. 2a K 10 m zije kwaraat MB? BR 800 m MR 3200 m De horizontale afstan MR! meter. tan /M BR 800 BM 3098 e /M tan : sin /M BR 800 MR /M sin 1 11 : Ja, e antwooren zijn hetzelfe. M Noorhoff Uitgevers v 3a Zije BC is e overstaane rehthoekszije van /A. De langste zije is zije AC. sin /A BC AC 5 13 /A sin 1 15: Noorhoff Uitgevers v

3 4a sin /P QR PR , us /P sin 1 11 : sin /K LM 52 KM 90, us /K sin : Zije BC is e overstaane rehthoekszije van /A. sin /A BC 24 AB 26, us /A sin : a 6a e 7a Zie riehoek. RT is e overstaane rehthoekszije van /S. ST is e langste zije. sin /S RT ST 4 7 Dan is /S sin 1 14 : In riehoek PQR zit geen rehte hoek, us kun je niet van sinus spreken. 8 m P R T 8 m PT is e helft van PQ, us PT 6 : 2 3 m. zije PT 3 m RT? PR 8 m RT!55 7, m. sin /P RT!55 PR 8, us /P sin 1 1!55 : Cosinus Q kwaraat Om hoek A met e tangens te erekenen he je e overstaane zije BC noig. Deze zije is niet gegeven. zije kwaraat AB 12 m 144 BC? 9,76 AC 12,4 m 153,76 BC!9,76 3,12 m 4 m tan /A BC!9,76 AB 12, us /A tan 1 1!9,76 : T R 7 m Noorhoff Uitgevers v S Noorhoff Uitgevers v 99

4 8a De aanliggene rehthoekszije van /A is zije AB. De langste zije is AC. os /A AB 12 AC 12,4 /A os : 12, a 10a Zije AB is e aanliggene rehthoekszije van /A. os /A AB AC os /A 5 13 /A os 1 15 : tan /A BC AB 12 5, us /A tan : De antwooren ij en zijn hetzelfe. os /B BC 10 AB 26, us /B os : os /P PR PQ 3 5, us /P os 1 13 : os /D DE 45 DF 75, us /D os : os hellingshoek , us e hellingshoek is os : a A 2,40 meter 2 meter os /A 2 2,40, us /A os 1 12 : 2, Nee, e wip voloet niet aan het veiligheisvoorshrift, want e hoek is groter an 30º. 6-3 Kies sinus, osinus of tangens Noorhoff Uitgevers v 13a BC is e overstaane rehthoekszije van /A. AC is e langste zije. De overstaane en langste zije zijn eken. Dan geruik je e sinus. sin /A BC AC 8 17, us /A sin 1 18: a Vanuit /D gezien is zije CD e aanliggene rehthoekszije en vanuit /D gezien is zije DE e langste zije. 100 Noorhoff Uitgevers v

5 Je kunt /D erekenen met ehulp van e osinus. os /D CD DE 4 12, us /D os 1 14 : a 16a Vanuit /M gezien zijn e overstaane rehthoekszije en e langste zije eken. Je kunt het est e sinus geruiken. sin /M KL KM 8 9,4, us /M sin 1 18 : 9, Het oogje staat in /B. Dan zijn e aanliggene rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je moet e osinus geruiken. os /B BK BL 6 8, us /B os 1 16 : Het oogje staat in /A. Dan zijn e aanliggene rehthoekszije en e overstaane rehthoekszije gegeven. Je moet e tangens geruiken. tan /A DE AE 5 9, us /A tan 1 15 : Vanuit /K zijn e aanliggene rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je geruikt e osinus. os /K AK BK 7 11, us /K os 1 17 : Vanuit /L zijn e overstaane rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je geruikt e sinus. sin /L CD CL 5 8, us /L sin 1 15 : Vanuit /M zijn e overstaane rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je geruikt e sinus. sin /M EF MF 3 10, us /M sin 1 13 : Vanuit /N zijn e overstaane rehthoekszije en aanliggene rehthoekszije gegeven. Je geruikt e tangens. tan /N GH GN 9 5, us /N tan 1 19 : a 7 m C H U I S Noorhoff Uitgevers v A 2,5 m B Noorhoff Uitgevers v 101

6 Vanuit /A zijn e aanliggene rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je geruikt osinus. os /A AB 2,5 AC 7, us /A os 1 12,5 : De hoek is 69º. Dat is miner an 75º, us er is aan het veiligheisvoorshrift volaan. 19a PQ 9 m 3 m 6 m Vanuit /P zijn e aanliggene rehthoekszije en e langste zije gegeven. Je geruikt osinus. os /P PQ PR 6 8, us /P os 1 16 : QR!28 5,29 en Q ligt 2 meter oven e gron. Punt R ligt 5,29 2 7,29 meter oven e gron. 6-4 Zijen erekenen 20a Rihar weet e aanliggene rehthoekszije. Hij wil e overstaane rehthoekszije weten, us kan hij het est e tangens geruiken. hoogte van e toren tan /K 100 Om e hoogte van e toren te erekenen moet je 100 en tan /K vermenigvuligen. hoogte toren 100 tan 25º 46,63 m. De hoogte van e toren is afgeron op hele meters 47 meter. 21a zije PQ 6 m QR? PR 8 m Vanuit /M gezien is zije KL e overstaane rehthoekszije. Vanuit /M gezien is zije KM e langste zije. Kies e sinus. kwaraat sin /M KL 9, us sin 65 KM KM Dan is KM 9 9,9 m. sin 65 Noorhoff Uitgevers v 22a C 60 A 10 m B 102 Noorhoff Uitgevers v

7 Vanuit /A gezien is zije AB e aanliggene rehthoekszije en AC e langste zije. Om AC te erekenen geruik je e osinus. os /A AB 10, us os 60 AC AC. Dan is AC m. os tan /B AC AC, us tan 32. Dan is AC 8 tan 32 5,0 m. AB 8 os /E DE 12 EF 13, us /E os : /G sin /I GH GI, us sin Dan is GI 5,3 m. GI sin 72 24a I-1 t/m I-9 D m tan /D VT hoogte toren, us tan 28 DV 220 Dan is e hoogte van e toren 220 tan 28º 117 meter. 25 sin /B AC 40, us sin 14. Dan is BC 40 : sin ,3 m. BC BC De lengte van e staalkael is ongeveer 165,3 meter. ICT Tan, sin en os en zijen erekenen Controleer je antwooren met ehulp van e omputer. Extra oefening E-1 sin /B AC BC 3 7, us /B sin 1 13 : sin /E DF DE 8 20, us /E sin 1 18 : sin /K LM KM 4 5, us /K sin 1 14 : T T O R E N V Noorhoff Uitgevers v E-2a De aanliggene rehthoekszije van /A is zije AB. De langste zije is zije AC. Noorhoff Uitgevers v 103

8 os /A AB AC os /A /A os : De overstaane rehthoekszije is zije BC en e aanliggene rehthoekszije is AB. tan /A BC AB tan /A /A tan : E-3a E-4a Bij riehoek ABC zijn gegeven e overstaane en e aanliggene rehthoekszije. Bij riehoek PQR zijn gegeven e overstaane rehthoekszije en e langste zije. Bij riehoek KLM zijn gegeven e aanliggene rehthoekszije en e langste zije. Om /B te erekenen maak je geruik van e tangens. Om /P te erekenen maak je geruik van e sinus. Om /L te erekenen maak je geruik van e osinus. tan /B AC AB sin /P QR PR os /L KL LM A m C B tan /B 7 4 sin /P 3 7,5 os /L 4 7 /B tan 1 17 : /P sin 1 13 : 7,52 24 /L os 1 14 : AB is e aanliggene rehthoekszije en AC is e langste zije, us je moet e osinus geruiken. os /A AB os AC 16 : os 50 24,9 m AC AC Maak eerst een shets. Zie ij opraht a. KR is e overstaane rehthoekszije en PR is e langste zije, us je moet e sinus geruiken. sin /P KR sin 33 KR KR 25 sin 33 13,6 m PR 25 E-5 /Q sin 50 PQ 15 PQ 15 sin 50 11,5 os 50 PR 15 PR 15 os 50 9,6 sin /K /K sin 1 11 : /M 180 /K /L sin /A BC 30 AB 40 /A sin : /B 180 /A /C R K 25 m 33 P Noorhoff Uitgevers v 104 Noorhoff Uitgevers v

9 zije BC 30 AC? AB 40 kwaraat AC!700 26,5 E-6a T tan /H VT hoogte toren, us tan 13 HV 440 De hoogte van e toren is 440 tan 13º 102 meter. E-7a Je erekent e glijhoek met e tangens. tan glijhoek us e glijhoek is tan : V-1a V-2a H 13 Verwerken en toepassen AB m langer an DC. Dan is BE 75 : 2 37,5 m. Vanuit /B zijn e aanliggene rehthoekszije en e langste zije eken, us moet je e osinus geruiken. os /B BE 37,5 BC Dan is /B os 1 11 : zije kwaraat BE 37,5 1406,25 EC? 4218,75 BC CE!4218,75 65 m De reete van e tafel is ongeveer 65 m. Zie shets. zije AM 3 m MC? AC m kwaraat MC!16 4 m De lengte van e hoogtelijn is 4 m. os /A AM AC 3 5, us /A os 1 13 : V-3a tan 40 CS CS JS 45 CS 45 tan 40 37,8 m. T O R E N V Noorhoff Uitgevers v C 5 m 5 m A 3 m M 3 m B Noorhoff Uitgevers v 105

10 tan 2 DS DS, us DS 45 tan 2 1,6 m. JS 45 De hoogte van e toren is 37,8 1,6 39,4 m. V-4a De hoek van e zolervloer is 112º 90º 22º. hoogte zoler sin 22, us hoogte zoler 4,5 sin 22 1,69 m. 4,5 In riehoek EDG is /E os 65 2, us DE 2 : os 65 4,73 DE V-5a De lengte van akeel DE is ongeveer 4,73 meter. De reete van het huis is AF FB AF IC. os 22 CI, us CI 4,5 os 22 4,17 m. 4,5 De reete van het huis is ongeveer 2 4,17 6,17 m. tan hellingshoek optree 10 aantree 30, us e hellingshoek is tan : Omat e aantree gelijk is en e optree groter, loopt e trap steiler. Voor elke trap gelt e stelling van Pythagoras. zije aantree 30 m optree 10 m langste zije? Per aan- optree is het stukje fietsgeul! ,62... m. De hele fietsgeul estaat uit 35 stukjes, us e fietsgeul is ongeveer 35 31, ,79... m ofwel ongeveer 11,07 meter. V-6a tan hoek 1,6 2, us e hoek van het linkereel met e vloer is tan 1 11,6 : In e grote riehoek zitten hoeken van 39º (zie opraht a) en 120º. De hoek ie het houten eel met e vloer maakt is 180º 120º 39º 21º. tan 21 1,6, us e grootste reete is 1,6 : tan 21 4,17 m.? Rekenen 7 kwaraat Noorhoff Uitgevers v R-1a 4,07 18,63 25,1 47,8 e 854,22 638,55 0, ,75 6,78 1,02 3,5 4,3 f 8,7 3,6 9,47 14,57 48,69 0,603 79,4 30,107 g 0,7 1,77 7,11 1,17 3,47 57,1 36,66 8,5 28,94 h 84,6 29 3,46 59,06 R-2a gram noten prijs in euro s 4, ,64 De prijs voor 720 gram noten is 8,64. gram noten prijs in euro s 4, ,52 De prijs voor 460 gram noten is 5, Noorhoff Uitgevers v

11 gram noten prijs in euro s 4, ,88 De prijs voor 1240 gram noten is 14,88. R-3 50 mm 5 m. De oppervlakte van riehoek A is 5 7 : 2 17,5 m 2. R-4a R-5a R-6a 0,8 m 80 m en 12 m 120 m De oppervlakte van riehoek B is : m 2. 3 m 30 m en 420 mm 42 m De oppervlakte van riehoek C is : m 2. afstan in m tij in seonen De snelhei is m in 3600 s, us 21,6 km/uur. afstan in m tij in seonen De snelhei is m in 3600 s, us 126 km/uur. afstan in m tij in seonen De snelhei is m in 3600 s, us 223,2 km/uur. afstan in m tij in seonen De snelhei is m in 3600 s, us 370,8 km/uur. afstan in m ,33... tij in seonen De snelhei is ongeveer 8,3 m/s. afstan in m ,5 tij in seonen De snelhei is 12,5 m/s. afstan in m , ,55... tij in seonen De snelhei is ongeveer 30,6 m/s. aantal leerlingen proenten ,75 Het perentage is ongeveer 43,8%. aantal euro s ,20 proenten ,37... Het perentage is ongeveer 17,4%. aantal km 42, proenten ,24... Het perentage is ongeveer 59,2%. aantal uur proenten ,66... Het perentage is ongeveer 41,7 %. Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v 107

12 Oefenoprahten ij hoofstuk 6 1a 2a In riehoek PQR is QR e overstaane rehthoekszije en PR e langste zije. In riehoek ABC is AB e aanliggene en BC e overstaane rehthoekszije. In riehoek KLM is LM e aanliggene rehthoekszije en KM e langste zije. In riehoek PRT is RT e overstaane en PT e aanliggene rehthoekszije. In riehoek TUR is TR e overstaane rehthoekszije en TU e langste zije. In riehoek PQR moet je e sinus geruiken om hoek P te erekenen. In riehoek ABC moet je e tangens geruiken om hoek A te erekenen. In riehoek KLM moet je e osinus geruiken om hoek M te erekenen. In riehoek PRT moet je e tangens geruiken om hoek P te erekenen. In riehoek TUR kun je e sinus geruiken om hoek U te erekenen. In riehoek PQR: sin /P QR PR 4 7, us /P sin 1 14 : In riehoek ABC: tan /A BC 10 AB 12, us /A tan : In riehoek KLM: os /M ML KM 5 6, us /M os 1 15 : In riehoek PRT: tan /P RT PT 7 3, us /P tan 1 17 : Dan is /R In riehoek TUR: sin /U RT TU 7 18, us /U sin 1 17 : Dan is /T In riehoek ABC is e aanliggene rehthoekszije gegeven en wort e overstaane rehthoekszije gevraag. Je geruikt us e tangens. tan 20 BC AB BC, us BC 30 tan 20 10,9 m 30 In riehoek DEF is e overstaane rehthoekszije gegeven en wort e langste zije gevraag. Je geruikt us e sinus. sin 70 EF DE 2, us DE 2 : sin 70 2,1 m DE In riehoek FGH is e aanliggene rehthoekszije gegeven en wort e langste zije gevraag. Je geruikt us e osinus. os 40 FH FG FH, us FH 48 os 40 36,8 m 48 In riehoek PST is e langste zije gegeven en wort e overstaane rehthoekszije gevraag. Je geruikt us sinus. sin 15 ST PT Noorhoff Uitgevers v ST, us ST 7,8 sin 15 2,0 m 7,8 In riehoek QRV is e overstaane rehthoekszije gegeven en wort e langste zije gevraag. Je geruikt us e sinus. sin 35 QR 48, us RV 48 : sin 35 83,7 m RV RV In riehoek WXZ is e overstaane rehthoekszije gegeven en wort e 108 Noorhoff Uitgevers v

13 3a aanliggene rehthoekszije gevraag. Je geruikt us e tangens. tan 50 WX 10,3, us XZ 10,3 : tan 50 8,6 m XZ XZ Om AC te erekenen maak je geruik van e osinus. os 20 AB 30, us AC 30 : os 20 31,9 m AC AC Om DF te erekenen maak je geruik van e tangens. tan 70 EF DF 2, us DF 2 : tan 70 0,7 m DF Om GH te erekenen maak je geruik van e sinus. sin 40 GH GH, us GH 48 sin 40 30,9 m FG 48 sin hellingshoek , us e hellingshoek is sin1 (95 : 400) 14º. 4a De kaelaan is e langste zije en e hoogte is e overstaane rehthoekszije. Voor kaelaan Les Violettes gelt sin hellingshoek 2500, 750 us e hellingshoek is sin : Voor kaelaan Glaier Plaine Morte gelt sin hellingshoek us e hellingshoek is sin : Voor kaelaan Gran Signal gelt sin hellingshoek us e hellingshoek is sin : In riehoek ABC is hoek A gegeven. Vanuit eze hoek is e langste zije AB gegeven en wort e overstaane rehthoekszije BC gevraag. Je geruikt e sinus. sin 18 BC AB 400 m BC, us BC 45 sin 18 13,9. 45 In riehoek DEF wort hoek F gevraag. Vanuit eze hoek zijn e aanliggene en langste zije gegeven. Je maakt geruik van e osinus. os /F EF 22 DF 40, us /F os : In riehoek GHI is hoek G gegeven. Vanuit eze hoek is e aanliggene rehthoekszije GI gegeven en wort e langste zije GH gevraag. Je geruikt e osinus. os 38 GI 261, us GH 261: os ,2. GH GH 95 m 6 tan 6 hoogtevershil horizontale afstan 15 horizontale afstan Noorhoff Uitgevers v Dan is e horizontale afstan 15 : tan 6º 142,7 m De afstan om roog aan e overkant te komen is minimaal m. Dus Jim kan niet roog aan e overkant komen. Noorhoff Uitgevers v 109

14 7a 8a Het touw is e langste zije is 50 meter. Vanuit e gegeven hoek van 65º wort e hoogte gevraag, at is e overstaane rehthoekszije. Je geruikt e sinus. hoogte allon sin 65, us e hoogte van e allon is 50 sin 65º 45,3 m. 50 Nu wort e aanliggene rehthoekszije gegeven, us geruik je e osinus. PQ os 65 lengte touw PQ, us PQ 50 os 65 21,1 m. 50 Dan is PQ QR 1, us tan hoek 1, an is e hoek tan1 45º. De hoek is an 45º. hoogte allon sin 45, us hoogte allon 50 sin 45 35,4 m. 50 Teken e hulplijn EP als in e tekening. /E Dan is tan 54 PD DP EP 5. Dus DP 5 tan 54º 6,88 m. De hoogte van het huis is FP PD ,88 m. Teken e hulplijn CQ als in e tekening. In riehoek CQD is /C Dan is os 39 QC, us QC 6,5 os 39 5,05 m 6,5 De reete van het huis is AF FB AF QC 5 5,05 10,05 m. Noorhoff Uitgevers v E 4 m A m D Q P F 6,5 m 129 B C 110 Noorhoff Uitgevers v