Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 58 Voorkennis V-1a /A 5 74, /B en /D /A 1 /B 1 1 /D c /B , /C 5 55 en /D d /B 5 /B 1 1 /B en /D 5 /D 1 1 /D , dus /A 1 /B 1 /C 1 /D V-2 V-a/ A cm c /C 5 50 /A 1 /B 1 /C C B

2 V-4a /T 1 1 /T /T /T /P 1 1 /T 1 1 /S /P /P V-5a /A 1 /B 1 /C /C /C 5 46 /D 1 /E 1 /F 1 /G 5 60 /D /D HJ 5 IJ, dus /I 5 /H 5 72 /H 1 /I 1 /J /J /J 5 6 KL 5 LM 5 KM, dus /K 5 /L 5 /M : 5 60 V-6a De diagonalen in rechthoek KLMN snijden elkaar middendoor en zijn even lang, dus in driehoek KLS geldt KS 5 LS en /K 2 5 /L 1. /K 2 1 /S 2 1 /L /K /K /K /K c /S 1 1 /S /S /S /K 1 1 /K /K /K d De oppervlakte van rechthoek KLMN is cm 2. e De oppervlakte van driehoek KLN is 100 : cm 2. V-7a Bij het pijltje rechts van de tael moet het getal 450 : staan. De tekening van Menno is op schaal 1 : 90. c aantal cm in de tekening 5 1 4,5 7 8 aantal cm in werkelijkheid

3 60 1a c d e f -1 Vergroten De zijden van figuur 1 zijn twee keer zo lang gemaakt om de zijden van figuur 2 te krijgen. 4 De ij elkaar horende hoeken van deze vier figuren zijn even groot. 5 Figuur 5 is geen vergroting omdat de hoeken met de oogjes erin (zie de tekening ij opdracht e) niet even groot zijn aan de erij horende hoeken van de andere vier figuren. 2a De factor van deze vergroting is 48 : : 5 5 1,6. De factor ij de vergroting van ord 1 naar ord is 6 : 0 5 2,1. De hoogte van ord is 5 2,1 5 7,5 cm. c De factor van vergroting van ord 1 naar ord 4 is 21 : 5 5 0,6. Bord 4 is 0 0, cm reed. De doppen van eide flessen zijn even groot, maar de reedte en de hoogte van de flessen verschillen.

4 4a Figuur B kan in ieder geval geen vergroting zijn van figuur A omdat de hoeken niet even groot zijn. Bij de pijl rechts van de tael moet het getal 4,2 : 1,5 5 7 : 2,5 5 2,8 staan. c De factor ij vergroten van figuur A naar figuur C is 2,8. d zijden figuur A in cm 1,5 2,5 zijden figuur D in cm? 7,5 e De factor ij vergroten van figuur A naar figuur D is 7,5 : 2,5 5. Op de plaats van het vraagteken moet het getal 1,5 5 4,5 staan. 5 zijden driehoek KLM KL 5 8,7 LM 5 6 KM 5... zijden driehoek FGH FG 5... GH 5 4 FH 5 5,4 2 De factor is 4: 6= of 6 : 4 5 1,5. De lengte van KM is 54, : 2 = 81, of 5,4 1,5 5 8,1. De lengte van FG is 87, 2 = 58, of 8,7 : 1,5 5 5,8. 6a zijden vakantiefoto in cm 8 1 zijden vergroting in cm De factor ij vergroten van de vakantiefoto naar de vergroting is 12 : 8 5 1,5. De vergroting wordt 1 1,5 5 19,5 cm hoog. zijden vakantiefoto in cm 8 1 zijden poster in cm... 71,5 De factor ij vergroten van de vakantiefoto naar de poster is 71,5 : 1 5 5,5. De poster wordt 8 5, cm reed. -2 Rekenen met de factor 7a zijden foto in cm zijden vergroting 1 in cm... 4 De factor ij vergroten van de foto naar vergroting 1 is 4 : ,6. De reedte van vergroting 1 wordt 55 1,6 5 74,8 cm. zijden foto in cm zijden vergroting 2 in cm 25 De factor ij vergroten van de foto naar vergroting 2 is 25 : 55 0, De hoogte van vergroting 2 wordt 25 0, , 4 cm. c zijden foto in cm zijden vergroting in cm 15 De factor ij vergroten van de foto naar vergroting 1 is 15 : 55 0, De hoogte van vergroting wordt 25 0, , cm. 61

5 62 8a De factor ij vergroten van de foto naar posterformaat is 6 : : Op de poster wordt de oom 4,8 7 5,6 cm hoog. De stam van de oom op de foto wordt 6, : 7 5 0,9 cm dik a De factor kan 6: 18 = of 6: 0 = geweest zijn. 5 Bij de factor 1 1 is de andere zijde 0 = 10 cm en de afmetingen van de vergroting zijn dan 6 cm ij 10 cm. Bij de factor 1 1 is de andere zijde 18 = 6, cm en de afmetingen van de vergroting 5 5 zijn dan,6 cm ij 6 cm. 10a De afmetingen van de vergroting zijn cm ij cm. De factor ij vergroten van de pasfoto naar de vergroting is 2. c De omtrek van de pasfoto is cm. De omtrek van de vergroting is cm. De omtrek van de vergroting is twee keer de omtrek van de pasfoto. d De oppervlakte van de pasfoto is cm 2. De oppervlakte van de vergroting is cm 2. e De oppervlakte van de vergroting is vier keer de oppervlakte van de pasfoto. 11a Alle zijden van driehoek KLM zijn keer zo lang als de zijden van driehoek ABC. Zijde AB is 4 en zijde KL is , dus zijde KL is keer zo lang als zijde AB. Van punt A naar punt C ga je 1 opzij en 2 omhoog en van punt K naar punt M ga je 1 5 opzij en omhoog, dus zijde KM is keer zo lang als zijde AC. Van punt B naar punt C ga je opzij en 2 omhoog en van punt K naar punt M ga je 5 9 opzij en omhoog, dus zijde LM is keer zo lang als zijde BC. De lengte van zijde KM is 2,2 5 6,6 cm. De lengte van zijde KL is,6 5 10,8 cm. c De omtrek van driehoek ABC is 4 1 2,2 1,6 5 9,8. De omtrek van driehoek KLM is ,6 1 10,8 5 29,4. Je moet de omtrek van driehoek ABC met 29,4 : 9,8 5 vermenigvuldigen om de omtrek van driehoek KLM te krijgen. d De oppervlakte van driehoek ABC is : : cm 2. De oppervlakte van driehoek KLM is : : cm 2. e Je moet de oppervlakte van driehoek ABC met 6 : vermenigvuldigen om de oppervlakte van driehoek KLM te krijgen. 12a De omtrek wordt met 7 vermenigvuldigd. De oppervlakte wordt met vermenigvuldigd. c De omtrek van rechthoek PQRS is cm. De omtrek van de vergroting is dan cm. d De oppervlakte van rechthoek PQRS is cm 2. De oppervlakte van de vergroting is dan cm 2. e De oppervlakte wordt dan cm 2.

6 1a De oppervlakte van de tuin in werkelijkheid is 10 7, m 2. De tuin is cm lang en 7, cm reed. De oppervlakte van de tuin in werkelijkheid is cm 2. De oppervlakte op de plattegrond is met : vermenigvuldigd. De zijden zijn dan met 50 vermenigvuldigd, want Op de plattegrond is de tuin 1000 : cm lang en 750 : cm reed. - Gelijkvormige figuren 14a /G is even groot als /A. /H en /B zijn even groot, /I en /C zijn even groot en /J en /D zijn even groot. c zijden van ABCD in mm AB 5 10 BC 5 5 CD 5 17 AD 5 15 zijden van GHIJ in mm GH 5 20 HI 5 10 IJ 5 4 GJ a d Je moet de lengte van de zijden van vierhoek ABCD met de factor 2 vermenigvuldigen om de lengte van de zijden van vierhoek GHIJ te krijgen. De overeenkomstige zijden zijn FG en WX, GH en XY, HI en YZ, FI en WZ. De overeenkomstige hoeken zijn /F en /W, /G en /X, /H en /Y, /I en /Z. 16a De overeenkomstige hoek van /K is /P en de overeenkomstige hoek van /N is /S. De overeenkomstige zijde van LM is QR. c zijden van KLMN in m KL 5 4,8 LM 5 4,2 MN 5 2 KN 5 6 zijden van PQRS in m PQ 5 4 QR 5 2,8 RS 5 2 PS 5 4,5 d Nee, want 4 : 4,8 < 0,8...; 2,8 : 4,2 < 0, ; 2 : en 4,5 : 6 5 0,75. e Het grootzeil en het gereefde zeil zijn niet gelijkvormig omdat de factor niet telkens hetzelfde is. 17a De overeenkomstige hoeken zijn gelijk want alle hoeken zijn 90. zijden van ABCD in mm AB 5 20 BC 5 12 zijden van EFGH in mm EF 5 16 FG 5 9 De factor voor de ene zijde is 20 : ,25 en voor de andere zijde 12 : 9 < 1,..., dus de rechthoeken ABCD en EFGH zijn niet gelijkvormig. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk want /I 5 /M 5 90, /J /N, /K 5 /O 5 90 en /L /P. zijden van IJKL in cm IJ 5 5,2 JK 5 4,9 KL 5,5 IL 5 zijden van MNOP in cm MN 5 5,8 NO 5 6,2 OP 5,5 MP 5 4,2 De tael is geen verhoudingstael, want 5,8 : 5,2 < 1,12; 6,2 : 4,9 < 1,27;,5 :,5 5 1 en 4,2 : 5 1,4, dus de vierhoeken IJKL en MNOP zijn niet gelijkvormig. 6

7 64 18 De overeenkomstige hoeken zijn gelijk want /Q 5 /V 5 10, /R 5 /W 5 80, /S 5 /X 5 115, /T 5 /Y en /U 5 /Z zijden van QRSTU in mm QR 5 45 RS 5 27 ST 5 6 TU 5 27 QU 5 18 zijden van VWXYZ in mm VW 5 20 WX 5 12 XY 5 16 YZ 5 12 VZ 5 8 De tael is een verhoudingstael, want 45 : ,25; 27 : ,25; 6 : ,25; 27 : ,25 en 18 : 8 5 2,25. Aan eide voorwaarden is voldaan. De figuren QRSTU en VWXYZ zijn gelijkvormig. De factor van figuur VWXYZ naar figuur QRSTU is 2,25. 19a De overeenkomstige hoeken zijn gelijk, namelijk 79 en a zijden van ABCD in mm AB 5 9 AD 5 24 zijden van EFGH in mm EF 5 0 FG 5 18 De factor is voor de ene zijde 9 : 0 5 1, en voor de andere zijde 24 : 18 < 1,..., dus de parallellogrammen zijn niet gelijkvormig. Er zijn veel mogelijkheden. In ieder geval moeten de overeenkomstige hoeken 79 en 101 zijn en moet de factor ij iedere zijde hetzelfde zijn. c - -4 Gelijkvormige driehoeken Alle punten op de cirkeloog met middelpunt A liggen 4 cm van punt A af en punt C ligt op die cirkeloog, want AC 5 4 cm. Alle punten op de cirkeloog met middelpunt B liggen 6 cm van punt B af en punt C ligt op die cirkeloog, want BC 5 6 cm. Punt C ligt dus op het snijpunt van de twee oogjes. A 4 cm C 8 cm c /A 5 47, /B 5 29 en /C d P 5 cm R 10 cm 6 cm e /P 5 47, /Q 5 29 en /R f De twee getekende driehoeken zijn gelijkvormig omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn en de factor is 10 : 8 5 7,5 : : 4 5 1,25. 7,5 cm C Q

8 21a c A K cm C cm B M L De driehoeken ABC en KLM zijn gelijkvormig want de overeenkomstige hoeken zijn gelijk en de factor is 6 : 4 5 1,5. 22a zijden van KLM in cm KL 5 4 LM 5 2 KM 5 zijden van PQR in cm PQ 5 6 QR 5 PR 5 4,5 Van nklm naar npqr is de factor 6 : 4 5 : 2 5 4,5 : 5 1,5. c /P 5 /K 5 29, /Q 5 /L 5 47 en /R a /B en /F De driehoeken zijn gelijkvormig, want de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. c Van nabc naar ndef is de factor 8 : 5 5 1,6. Zijde BC is 9,6 : 1,6 5 6 dm en zijde DE is 7,5 1, dm. 24a In nabc is /A 5 71, /B 5 48 en /C In ndef is /D 5 61, /E en /F De overeenkomstige hoeken zijn gelijk, dus nabc is gelijkvormig met ndef. G 71 I 50 mm 48 H 65

9 25a 66 c zijden van KLM in mm KL 5 9 LM 5 6 KM 5 27 zijden van PQR in mm PR 5 26 PQ 5 24 QR 5 18 c d Van npqr naar nklm is de factor 9 : : : ,5, dus de driehoeken KLM en PQR zijn gelijkvormig. Bijvooreeld Bijvooreeld Je moest er voor zorgen dat de overeenkomstige hoeken even groot zijn. Ja, alle drie de hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 60, dus de overeenkomstige hoeken zijn steeds even groot. 26a Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek KLM, want als je de zijden van driehoek ABC met 2 vermenigvuldigt, dan krijg je de zijden van driehoek KLM. Driehoek STU is gelijkvormig met driehoek DEF, want /S /D, /T /E en /U /F c Van driehoek STU naar driehoek DEF is de factor 6: 9=, dus EF = 10 = 7 m. 2 27a -5 Rekenen met gelijkvormigheid Van de driehoeken ACE en BCD is /A 5 /B 5 90 en /C 5 /C, dus ook /E 5 /D. zijden van ACE in m AC 5 1, AE 5... CE 5... zijden van BCD in m BC 5 2,8 BD 5 1,6 CD 5... c Van nbcd naar nace is de factor 1, : 2,8 5 4,75. De hoogte van de oom is 1,6 4,75 5 7,6 m. d zijden van ACE in m AC 5 10,5 AE 5... CE 5... zijden van BCD in m BC 5 1,5 BD 5 1,75 CD 5... Van nbcd naar nace is de factor 10,5 : 1, De hoogte van de oom is 1, ,25 m.

10 28a /S 5 /L, /R 5 /K en /V 5 /M T R 45 cm 0 cm M 17 cm S K 0 cm 20 cm 2 c Je kunt nsrv met de factor is 0 : 45 = vergroten tot nmlk. d De lengte van RV is 17 : 2 = 25, 5 cm. 29 De lengte van AB is 15 : 2,5 5 6 cm. 0a 1 P 8 cm Q R 5,6 cm S 11,2 cm 17,5 cm zijden van PQR in cm PQ 5 8 QR 5 5,6 PR 5... zijden van STU in cm ST 5 11,2 TU 5... SU 5 17,5 Van npqr naar nstu is de factor 11,2 : 8 5 1,4. Zijde PR is 17,5 : 1,4 5 12,5 cm. Zijde UT is 5,6 1,4 5 7,84 cm. M 12 cm 15 cm K 9 cm L E D T 12 cm De factor van nklm naar ndef is 12 : ,8. De lengte van DE is 12 0,8 5 9,6 cm en de lengte van DF is 9 0,8 5 7,2 cm. 2a De overeenkomstige hoek van /A is /C en de overeenkomstige hoek van /E is /D. De factor van nbcd naar nabe is 5: 1, 5= 1. Deze oom is 165, 1 = 55, m hoog. c De factor van nbcd naar nabe is 9 : 0, De oom is 1, ,48 m hoog. U F L 67

11 68 De eerste mogelijkheid is dat de factor 6 : 2 5 is. De andere zijden van nghi zijn dan 5 9 cm en cm. De tweede mogelijkheid is dat de factor 6 : 5 2 is. De andere zijden van nghi zijn dan cm en cm. De derde mogelijkheid is dat de factor 6 : 4 5 1,5 is. De andere zijden van nghi zijn dan 2 1,5 5 cm en 1,5 5 4,5 cm. 4a /P Er geldt /L , dus de overeenkomstige hoeken zijn even groot en nklm is gelijkvormig met nknp. c K P 1 m m N K zijden van KNP in m KN 5 12 NP 5... KP 5 1 zijden van KLM in m KM 5 6 LM 5 15 KL m De factor van nknp naar nklm is 6 : De lengte van zijde NP is 15 : 5 5 m en de lengte van zijde KL is m. d De lengte van NL is m. -6 Gemengde opdrachten 5a De hoogte moet je met 45 : ,5 vermenigvuldigen, maar de reedte moet je met 78 : 0 5 2,6 vermenigvuldigen. Je kiest dan de factor 2,6, want ij de factor 2,5 lijft er een wit stuk over en kun je er niets afknippen. c De hoogte wordt dan 18 2,6 5 46,8 mm. Het randje wordt 46, ,8 mm reed. d Ja dat kan, want de factor is 45 : : ,5. L 15 m M

12 6a,2 cm A D C 5 cm,2 cm B F 8 cm zijden van ABC in cm AB 5 5 BC 5,2 AC 5,2 zijden van DEF in cm DE 5... EF 5 8 DF 5... E De factor van nabc naar ndef is 8 :,2 5 2,5. De lengte van zijde DE is 5 2,5 5 7,5 cm. De lengte van zijde DF is,2 2,5 5 8 cm. De oppervlakte van ndef is 5 2, ,25 cm 2. c De oppervlakte van npqr is negen keer zo groot als de oppervlakte van nabc, dus de zijden van npqr zijn 9 = keer zo groot als de zijden van nabc. De zijden van npqr zijn dan cm,,2 5 9,6 cm en,2 5 9,6 cm. 7 De reedte van de foto is cm. De factor van het stuk karton naar de foto is 0 : ,75. De hoogte van de foto is 60 0, cm. Boven de foto steekt 5 cm karton uit. De strook aan de onderkant van de foto is cm reed. 8a De vergrotingen van cm, 20 0 cm, 0 45 cm, cm en cm zijn precies gelijkvormig. De zijden verhouden zich hierij steeds als 2 :. De zijden van de vergroting van 20 0 cm zijn 2 keer zo groot als de zijden van de foto. De oppervlakte is 4 keer zo groot. De prijs is 1,60 : 0,19 < 8,4 keer zo groot. In verhouding is dat 8,4 : 4 < 2,1 keer zo veel. De zijden van de vergroting van cm zijn 5 keer zo groot als de zijden van de foto. De oppervlakte is 25 keer zo groot. De prijs is 7,95 : 0,19 < 41,8 keer zo groot. In verhouding is dat 41,8 : 25 < 1,7 keer zo veel. De vergroting van cm is naar verhouding het voordeligst. Arjen heeft gelijk. 9a De factor van de werkelijkheid naar Madurodam is Het model in Madurodam is 112, 2 1 = 4, 4928 meter hoog. 25 c In werkelijkheid is de hoogte cm, de reedte cm en de diepte cm. d In werkelijkheid is de oppervlakte van het Binnenhof, ,75 m 2. 69

13 cm 462 cm 22 cm fotograaf Het model is met factor 462 : vermenigvuldigd. Dan is de afstand tussen de fotograaf en de echte auto ook 21 keer de afstand tussen de fotograaf en het model en dat is cm. De afstand tussen de auto s is dan cm. Test jezelf T-1a maten kleine envelop in cm PQ 5 14 PS 5 10 RT 5 8 maten grote envelop in cm AB 5 42 AD 5 0 CE 5 24 De factor ij het vergroten van de kleine envelop naar de grote envelop is 42 : c De hoogte van de vergroting wordt 2 1 dm en dat is 25 cm. 2 De factor van de kleine envelop naar de vergroting is 25 : ,5. d De reedte van de envelop van opdracht c wordt 14 2,5 5 5 cm. T-2a Bij deze vergroting hoort de factor 25 : ,5. De oppervlakte van de vakantiefoto is cm 2. De oppervlakte van de vergroting is 70 2, ,5 cm 2. T- De overeenkomstige hoeken zijn gelijk want /A 5 /K 5 90, /B 5 /L 5 80, /C /M en /D /N. T-4a zijden van ABCD in cm AB 5 10 BC 5 12 CD 5 8 AD 5 7 zijden van KLMN in cm KL 5 15 LM 5 18 MN 5 12 KN 5 10,5 De tael is een verhoudingstael, want 15 : : : ,5 : 7 5 1,5. Aan eide voorwaarden is voldaan. De vierhoeken ABCD en KLMN zijn gelijkvormig. nabc is gelijkvormig met njkl, want de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. ndef is gelijkvormig met npqr, want de overeenkomstige zijden zijn met de factor 1,75 of ongeveer 0,57 vermenigvuldigd. nghi is gelijkvormig met nmno, want de overeenkomstige zijden zijn met de factor 4 of 0,25 vermenigvuldigd.

14 T-5a De overeenkomstige hoeken zijn even groot, want /A 5 /M 5 80, /B /K en /C /L, dus nabc is gelijkvormig met nklm. T-6a zijden van ABC in cm AB 5 42 BC 5... AC 5 27 zijden van KLM in cm KM 5... KL 5 54 LM 5 2,4 c d e De factor van nabc naar nklm is 2,4 : ,2. De lengte van KM is 42 1,2 5 50,4 cm en de lengte van BC is 54 : 1, cm. De overeenkomstige hoek van /D is /H en de overeenkomstige hoek van /F is /B. De overeenkomstige zijde van EF is AB en de overeenkomstige zijde van CD is GH. De vierhoeken ABCD en EFGH zijn niet gelijkvormig. De overeenkomstige hoeken zijn wel even groot, maar de factor is telkens verschillend, namelijk (1,5 1 6,5 1 2,5) : 6,5 < 1,615 en 10,8 : (,6 1,6) 5 1,5 en 6 : 5 2 en 2,6 : 2, Ja, driehoek GHI is gelijkvormig met het driehoekige raam, want de factor is hetzelfde namelijk : 1,2 5,6 : 1, : 1,6 5 2,5 of 1,2 : 5 1,44 :,6 5 1,6 : 4 5 0,4. De deur en het raam zijn niet gelijkvormig. De hoeken zijn wel allemaal 90, maar de afmetingen van de deur met factor 1,2 vermenigvuldigen geeft een raam van 1,2 meter ij 2,52 meter. T-7 /A 5 /D, /B 5 /B en /C 5 /E Je moet ndbe met de factor is 8 : 5 5 1,6 vermenigvuldigen om nabc te krijgen. c Je kunt zijde BC nu erekenen. d Zijde BC is 1,6 5 4,8 cm. e De oppervlakte van nabc is 6 1, ,6 cm 2. T-8a In driehoek KLM is /M In parallellogram KLMN is dan /K 5 /M Op dezelfde manier geldt in parallellogram PQRS dat /P 5 /R De parallellogrammen KLMN en PQRS zijn gelijkvormig omdat de overeenkomstige hoeken 106 en 74 zijn en de overeenkomstige zijden met dezelfde factor : = 16 : 10 = 16, of 12 : 20 = 10 : 16 = 0, 625 vermenigvuldigd zijn. 2 2 De lengte van diagonaal PR is 18 1,6 5 28,8 cm. c De zijden van parallellogram WXYZ worden 20 0, cm en 16 0,6 is 9,6 cm. De tekening hieronder is op schaal 1 : 2. W Z cm X 2 9,6 cm Y 71