Hoofdstuk 7 Goniometrie

Transcriptie

1 V-1a 4 Voorkennis 5 C A 5 m B C = 10 5 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-2a K m L d M = = 90 L 0 De rehthoeksn zijn de n LM en KM. De langste is KL. d LM = 0 KM = 16 KL = Zijde KL is 1156 = 4. K M 16 M

2 V-a V-4a AB = 7 BC = 9 AC = AC = GH = 4 GI = HI = 90 GI = KM = 20 KL = 15 LM = LM = 625 = 25 In ADC: AD = 5 CD = AC = 10 CD = Ze geruikt CD =,7, maar dat is een afgerond getal, want 75, Als ze CD = 75 geruikt, krijgt ze wel een nauwkeurig antwoord. d BD = 12 CD = 75 BC = BD = , V-5a n van ABC AB = 12 BC = 10 AC = 11 n van DEF DE = 6 DF = 5 EF = 5,5 Je moet met 0,5 vermenigvuldigen. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. A 7 90 I? M 20?? L K C B 9 H 4 G 15 5

3 V-6a 6 ABC is gelijkvormig met HIG, want B = = en G = = 50, dus de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. DEF is gelijkvormig met KLM, want de overeenkomstige n zijn met dezelfde fator vermenigvuldigd, namelijk 1,5. n van ABC AB = BC = 4 AC = 6 n van HIG HI =,1 GI = GH = 4 2 De n van ABC zijn met fator 4: 6 = vermenigvuldigd. AB =,1 : 2 = 4,65 GI = 4 2 = 2 2 B = (zie opdraht a) K = D (overeenkomstige hoeken) dus K = 55 M = = 24, F = M (overeenkomstige hoeken), dus F = 24 1a d e 2a 7-1 Tangens Bij drie treden hoort een afstand van 40 = 120 m en een hoogte van 15 = 45 m. Nee, de helling lijft gelijk. Bij 1 treden hoort een afstand van 1 40 = 520 m en een hoogte van 1 15 = 195 m. Bij één trede hoort een afstand van 40 m en een hoogte van 15 m. Bij opdraht a is hoogte afstand = = 0, 75, ij opdraht is hoogte afstand = = 0, 75 en ij opdraht d is hoogte afstand = = 0, 75. De deling levert telkens dezelfde uitkomst op. f De hoek is = 04, geeft afstand = 20 = 50. afstand 04, De treden zijn 50 m diep. De hellingshoek is 22. Nee, dat is niet van elang. d Hoe groter het hellingsgetal, hoe groter de hellingshoek. a In de tekening hiernaast is de shaal 5 m : 2500 m, dus 1 m : 500 m. De hoogte is gemeten 2,9 m, dus de hoogte is 2,9 500 = 1450 m. tan 0 = , 2500 Bij deze kaelaan is de hoogte 2900 m. De tangens van deze hellingshoek is 2900 =, m 2500 m 20 m

4 d 4a Nee, de hoek is niet twee keer zo groot, zoals na te meten is in de tekening hieronder is de hoek ongeveer m 1450 m 1450 m Met de rekenmahine is tan 0 0,577, dus dat klopt met het antwoord van opdraht. Met de rekenmahine is tan 1 (1,2) 50. Dat klopt met het antwoord van opdraht. 5a Zie de shets hiernaast. tan H = 7 11 Ranita vindt 7,44. Divya vindt 2. Jonny vindt. d Divya vindt de juiste hellingshoek. 6 Shets: tan H = tan ( ) 44, 650 De hellingshoek is 4. 7a Shets: tan H = tan ( ) 71, 120 De hellingshoek is 7. Shets: tan H = tan ( ) 10, 6 0 De hellingshoek is 11. H H H H 650 m 11 m 120 m 0 m 7 m 50 m 15 m 15 m 7

5 a 7-2 De tangens geruiken? 26 P 24 P tan = P 2 9a tan 1 ( 6 ) 6,9 dus A = 7. Zijde AC is de overstaande rehthoeks van hoek B. Zijde BC is de aanliggende rehthoeks van hoek B. d tan B = 6 B 5 e B = = 5 10 tan A = 7 tan = A 2 B B 5 11 De aanliggende rehthoeks van hoek C is. tan C = 15 C De overstaande rehthoeks van hoek D is 4. tan D = 4 7 D 0 11a tan A = 5 tan = A 59 B 51 12a B 5 4 Q 10 R In driehoek ABC zijn de hoeken samen 10, dus C = = 70. tan1 = 110 a a = 110 tan1 a 476 m Op een afstand van 476 meter spelen enkele entimeters geen rol van etekenis. Ook is het waarshijnlijk dat de hoogte van 110 meter en de hoek van 1 al zijn afgerond.

6 1 tan7 = 40 a a = 40 tan 7 a 26 m 7 a De afstand van het ship tot de vuurtoren is ongeveer 26 meter. 14a De kaelaan van Coq naar Ballon gaat omhoog want Coq ligt op 10 meter hoogte en Ballon ligt op 2520 meter hoogte. De horizontale afstand is,6 m. Dat is in werkelijkheid, = m en dat is 100 meter. Voor de kaelaan van Coq naar Ballon is het hoogtevershil = 690 m. tan C = C 21 d Voor de kaelaan van Doue naar Azur is het hoogtevershil = 520 m. De horizontale afstand is 1,6 m, dat is in werkelijkheid 00 m. tan A = A Voor de kaelaan van Doue naar Ballon is het hoogtevershil = 400 m. De horizontale afstand is,1 m, dat is in werkelijkheid 1550 m. tan B = B 14 De kaelaan van Doue naar Azur heeft de grootste hellingshoek. 7- Sinus en osinus 15a De n van ABC zijn allemaal met dezelfde fator vermenigvuldigd, namelijk 2. A = D, B = E en C = F d e f g EF DE = 6 4 = 075, EF DF = 6 60 = 06, 40 m DE DF = 4 60 = 0, BC AB = 1 24 = 075, BC AC = 1 0 = 06, AB AC = 24 0 = 0, Bijvooreeld met fator 1,5, zie de tekening hiernaast. LM KL = 27 6 = 075, LM KM = = 06, KL KM = 6 45 = 0, Iets nauwkeuriger: de delingen van de overeenkomstige n geven dezelfde uitkomst. Bij de delingen EF, BC en LM krijg je de tangens. DE AB KL 6 K 45 mm mm M L 27 mm 9

7 a tan P = sin P = 5 os = 12 1 P 12 1 sin 1 ( 5 ) = 2 1 os 1 ( 12 ) = 2 1 tan 1 ( 5 ) = 2 12 P 2 In STU zijn slehts de overstaande en de langste gegeven. d sin S = dus is S 2 17 sin = 17 P 4 7 tan = Q os = R 5 7 os = 9 S 11 dus P 5 dus Q 40 dus R 44 dus S 5 6 1a tan C 1 = dus C 1 7 os C 2 = dus C Nee, want C = 7 +5 = 95 19a E 1 = AEB, E 2 = BEC, E = CED C 1 = BCE, C 2 = DCE tan ABE = 15 dus ABE BEA = = 9 d AB = 12 AE = 15 BE = BE = 69 19, 2 9 e tan BEC = dus BEC 25 f 20a BE = 69 BC = 9 CE = CE = , 2 g sin ECD = dus ECD 64 Zie de tekening hiernaast. tan PRQ = PQ QR tan PRQ = 4 dus PRQ 5 Omdat de driehoeken PQR en RST gelijkvormig zijn geldt RTS = PRQ dus RTS S P T R Q O

8 21a d e 7-4 Rekenen in rehthoekige driehoeken AC is de langste. De lengte is gegeven van de aanliggende rehthoeks van A. Voor sin 27 en os 27 he je de lengte van de overstaande rehthoeks nodig en die is niet gegeven. os27 = AC Uit os27 = volgt AC = AC os Uit os59 = volgt BC = BC os 59 2a 24a dus AC 9,0. dus BC 5, Uit tan27 = EF volgt EF = 5 tan 27 dus EF 2,5 5 Uit sin1 = LM volgt LM = 10 sin 1 dus LM 5,2 10 Uit sin40 = 6 volgt YZ = 6 YZ sin 40 Uit tan = 0 volgt IG = 0 IG tan dus YZ 9, dus IG 1,0 Uit os6 = QR volgt QR = 10 os 6 dus QR 4,5 10 Uit tan5 = CD volgt CD = 6 tan 5 dus CD 4,2. 6, sin B = 42 dus B 50 55, AB = AD + DB DB = CD = 4,2 BC = 5,5 12,61 17,64 + 0,25 DB = 12, 61 6, AB = 6 +,6 = 9,6 d oppervlakte ABC = 9,6 4,2 : 2 = 20,16 D De driehoek heeft geen rehte hoek. Zie de tekening ij opdraht a. F G E 11

9 12 d e DGF heeft een rehte hoek. Verder is in deze driehoek een en een hoek gegeven. Uit os55 = DG volgt DG = os 55 dus DG 4,59 DE = 2 4,59 9,2 25a Ze kan verder rekenen met de hoogtelijnen uit Q en R (dus in plaatje 1 en ). In eide gevallen kun je geruik maken van de OR = 1. De hoogtelijn uit P kun je niet geruiken, want dan kun je OR niet meer geruiken. Met de hoogtelijn uit Q: Noem de hoogtelijn QS. 26a Uit os59 = RS volgt RS = 1 os 59 dus RS 6,7 1 Uit sin59 = QS volgt QS = 1 sin 59 dus QS 11,1 1 11, 1 11, 1 Uit tan 4 = volgt PS = dus PS 10,0 PS tan 4 PR = 10,0 + 6,7 = 16,7 Zie de shets hiernaast. Uit sin4 = AW volgt AW = 120 sin dus AW 119, m P = = 1 119, 119, Uit sin 1 = volgt WP = WP sin 1 dus WP 6 m 7-5 Gemengde opdrahten 27a Bij een helling van 14% hoort een tangens van 14, dus 100 2a een hellingshoek van tan 1 ( 14 ). 100 Bij een helling van 100% stijg je 100 m over een horizontale afstand van 100 m. De tangens is dan 100, en de hellingshoek is 100 tan 1 (1) = 45. V W m P 4 A M X P W

10 Uit os0 = XP volgt XP = 10 os 0 dus XP 1,7. 10 Uit sin0 = VP volgt VP = 10 sin 0 dus VP 9,. 10 PW = VP = 9,5 VW = 11 24,0 97, PW = 24, 0 4,9 WX = 1,7 + 4,9 = 6,6 29 Kies de loodlijn door de top van de erg naar punt D op AB. Uit tan40 = 150 volgt AD = 150 AD tan 40 dus AD 1609 m. Uit tan22 = 150 volgt BD = 150 dus BD 41 m. BD tan 22 De tunnel zal ongeveer = 4950 meter lang worden. 0 Kies de loodlijn uit punt L naar punt N op KM. 1a Uit sin49 = LN volgt LN = 570 sin 49 dus LN 40 m. 570 Uit os49 = MN volgt MN = 570 os 49 dus MN 74 m. 570 KN = KM NM = = 256 m KN = 256 LN = 40 KL = De afstand punt K naar punt L is ongeveer meter. Uit tan45 = volgt = 14 tan 45 dus = 14 m. 14 De lengte van het rugdek is 2 14 = 2 meter. Uit os45 = 14 volgt k = 14 dus k 19, m k os 45 De uitenste kaels zijn ongeveer 19, meter lang. Uit os0 = 14 volgt k = 14 dus k 16,2 m. k os 0 De middelste kaels zijn ongeveer 16,2 meter lang. Uit os15 = 14 volgt k = 14 dus k 14,5 m. k os15 De innenste kaels zijn ongeveer 14,5 meter lang. 1

11 14 2a tan 9 57, tan 9, 9 57, 0 tan 9, , 6 Zie de shets hiernaast. Met P = 90 is er geen rehthoekige driehoek meer te maken. Als P ijna 90 is, is de overstaande rehthoeks heel groot. tan 0 5,7 tan 40 0, Onno heeft geen gelijk. a AB = 4 BC = AC = 160 BC = 144 = Dus BM = 12 : 2 = 6. Uit tan MAB = 6 volgt MAB Uit tan BAC = 12 volgt BAC MAC = BAC MAB sin BAC = 160 en sin = 4 C 160 dus de ewering sin BAC = sin C is waar. C = = 1 en C = 1 = 54 en omdat BAC = 72 is ewering B niet waar. 4a Bij langsparkeren hoort een hoek van 0 en ij haaksparkeren een hoek van 90. P 2,25 m Q 2 225, 225, Uit sin 2 = volgt PR = PR sin 2 Zie de shets van ABC hiernaast. Uit sin 2 = AB volgt AB = 225, sin 2 225, dus AB 1,19 m. N 2 4,60 m M L R dus PR 4,25 m. Uit os 2 = NM volgt NM = 460, os 2 dus NM,90 m. 460, P A C 2 B 2,25 m

12 d Als je de lengte van BN deelt door de lengte van PR, dan krijg je het aantal parkeerplaatsen op 1 na, oftewel aantal = 1 + BN. PR Verder is BN = 100 AB NM. Dit invullen geeft aantal = AB NM. PR ,, 90 e aantal = 1 + 2, 425, Je kunt maximaal 2 parkeerhavens maken. Test jezelf T-1a tan A = A 17 Dit sportvliegtuig vertrekt onder een hoek van ongeveer 17. tan 1 0,25, dus dit sportvliegtuig is na 1 km op een hoogte van 25 meter. Dat is ongeveer 10 meter hoger dan het eerste sportvliegtuig. tan B = B 12 De piloot moet onder een dalingshoek van ongeveer 12 op Terlet aanvliegen. T-2a Uit tan74 = a volgt a = 40 tan 74 dus a 19 m. 40 Uit tan6 = volgt = 40 tan 6 dus 99 m. 40 De afstand tussen de ootjes is ongeveer = 40 meter. Uit tan11 = 4 volgt a = 4 dus a 221,2 m. a tan11 De shipper is ongeveer 221 meter van die vuurtoren af. T- sin A = sin B = 5 os C = 6 sin D = sin E = sin F = , A 25 B = 0 C 76 D 7 E = 0 F 59 T-4 Uit sin5 = AC volgt AC = 9 sin 5 dus AC 5,2. 9 Uit tan50 = 7 volgt FE = 7 FE tan 50 Uit sin20 = volgt KL = KL sin 20 dus FE 5,9. dus KL,. Uit os70 = PR volgt PR = 12 os 70 dus PR 4,1. 12 Trek in VWX een hoogtelijn WP op VX. Uit sin50 = WP volgt WP = 16 sin 50 dus WP 12, , 12, Uit sin 60 = volgt WX = WX sin 60 dus WX 14,

13 16 T-5a Uit sin70 = volgt h = 100 sin 70 dus h 94,0 m. 100 De hoogte van de allon is ongeveer 94 meter. De loodlijn vanuit de allon naar de grond verdeelt de gevraagde hoek in twee hoeken: A en B. A = = 20 os B = 120 B De gevraagde hoek is ongeveer 20 + = 5. T-6a/ D C m 47 A E B 5 m Uit sin47 = volgt DE = sin 47 dus DE 2,2 m. d De oppervlakte is ongeveer 5 2,2 = 11 m 2. e Dat zijn ADE of EDA en EDC of CDE. T-7 Uit tan14 = h volgt h = tan 14 dus h 0,75 m. De hoogte van het shuurtje wordt 2 + 0,75 = 2,75 meter en dat is te hoog.