Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Transcriptie

1 Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = BC = 69 = cm De omtrek van ABC is = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm 2. AD = 4 AC = 5 CD = CD = 4 640, cm De omtrek van BCD is ,40 = 27,40 cm. V-2a LP = MP = LM = 5 MP = = 4 cm De oppervlakte van het parallellogram is 7 4 = 28 cm 2. c De oppervlakte van KLN is 7 4 : 2 = 4 cm 2. V-a De straal is m. De oppervlakte van de cirkel is π = 9π 28, m 2. De omtrek van de cirkel is π 6 = 6π 8,8 m. c Uit π straal straal = 20 volgt straal 2 = 20 : π = 6,66 en dus straal = 6, = 2,52 en diameter = 5,046. De omtrek is π 5,046 5,85 m. V-4a 2 5,2 4 2, ,04 De hoogte is 2, 04 = 4,8 m. De oppervlakte van de driehoek is 4 4,8 : 2 = 9,6 m 2. De oppervlakte van de halve cirkel is π 2 2 : 2 6,28 m 2. De totale oppervlakte is 9,6 + 6,28 = 5,88 m 2. Per jaar etaalt de eigenaar 5,88 50 = 282 euro. Voor twee jaar etaalt hij dus = 4764 euro. 2 m 2 m 5,2 m 5,2 m 7

2 8 V-5a De inhoud is = 4800 cm. De lengte is 6 8 = 48 cm. De reedte is 2 20 = 40 cm. De hoogte is 0 cm. c De inhoud is = cm ofwel 57,6 liter. Of: = cm (er zitten 2 pakken in de doos). V-6a De oppervlakte van één zijvlak is 8 8 = 64 cm 2. De oppervlakte van de kuus is 6 64 = 84 cm De lengte is 28, cm. c Drie zijvlakken zijn vierkanten met een oppervlakte van 64 cm 2. Drie zijvlakken zijn driehoeken met een oppervlakte van 64 : 2 = 2 cm 2. Eén zijvlak is een gelijkzijdige driehoek met n van, cm. 5,65,,92 95, ,69 De hoogte is 95, 77 9,786 cm. De oppervlakte van deze driehoek is, 9,786 : 2 55, cm 2. De totale oppervlakte van figuur B is , 4, cm 2. V-7a Een rijplaat is 6 meter lang,,7 meter reed en 0,04 meter dik. De inhoud van een rijplaat is 6,7 0,04 = 0,428 m. Een rijplaat weegt 0,428 7,997,4 ton. 40 :,4 5,08 De oplegger kan maximaal 5 platen vervoeren. V-8 De vijver is 45 dm lang, 25 dm reed en dm diep. De inhoud van de vijver is = 2 75 dm, dus 2 75 liter. Het filter is dus geschikt voor de vijver van Dirk. a c 8- Tekenen 5,65 cm 5,65 cm, cm, cm Ja, de vorm is in werkelijkheid een rechthoek en op de foto ook. Nee, de vorm van de ovenkant is in werkelijkheid een rechthoek en op de foto niet. Kijk naar de vloertegels. De kast is twee tegels reed en drie tegels diep.

3 2a c d e f a c d 4a/ 5 E A H D F B G C S Zie de tekening hier linksoven. De lijnen door AD en BC zijn in werkelijkheid ook evenwijdig met EH. Zie de tekening hier linksoven. Dat zijn de lijnen door AB, EF, CD en HG en de horizontale lijn in het voorvlak. Zie de tekening hier rechtsoven. Nee, in de tekening liggen ze niet in het midden. De grensvlakken ABFE en DCGH heen in de tekening dezelfde vorm als in werkelijkheid. Ja, alle lijnen die in werkelijkheid evenwijdig lopen zijn in deze tekening ook evenwijdig. Zie de tekening hiernaast. Ja, het midden van een lijnstuk ligt ook in de tekening in het midden. E A H D F B G C E A M H D F B E N G A C M H D F B N G C 9

4 20 6a/ De tekening hieronder is op schaal : 2. c d E A H D F B G C E A De ruimtefiguur lijkt nu op een alk in plaats van een kuus. In een tekening in parallelprojectie worden lijnstukken die evenwijdig zijn met het tekenvlak net zo lang getekend als in werkelijkheid; lijnstukken die loodrecht op het tekenvlak staan worden korter getekend dan in werkelijkheid. 8-2 Vergroten 7a nummer rie in cm oppervlakte in cm 2 inhoud in cm De 7 e kuus heeft rien van 7 2 = 4 cm. De oppervlakte van deze kuus is = 696 cm 2. De inhoud van deze kuus is = 9 04 cm. 8a De inhoud van de kleine kist is = cm. Van de grote kist is de lengte 50 = 50 cm, de reedte 45 = 5 cm en de hoogte 0 = 90 cm. De inhoud van de grote kist is = cm. Je moet de inhoud met : = 27 vermenigvuldigen. c De oppervlakte van de kleine kist is = = cm 2 m 2. d Alle afmetingen zijn drie keer zo groot, dan is de oppervlakte negen keer zo groot. Hij heeft dus voor ongeveer 9 m 2 verf nodig. 9a De oppervlakte is = 662 cm 2. De inhoud is = cm. De factor is. De oppervlakte is dus = cm 2. De inhoud is 4776 = cm. c De factor is 0,5. De oppervlakte is 662 0,5 2 = 65 cm 2. De inhoud ,5 = 447 cm. D H B F G C

5 0a/ a c De factor is,5. De oppervlakte van het nieuwe lokje is 54,8,5 2 = 2, cm 2. d De factor is,5. De inhoud van het nieuwe lokje is 26,5 = 87,75 cm. De straal van de grote (halve) cirkel is 50 : 2 = 25 cm. De verticale rechte stukken zijn = 50 cm lang. Voor de rechte stukken is 4 50 = 200 cm nodig. Voor de grote halve cirkel is π 50 : 2 78,54 cm nodig. Voor de twee kleine halve cirkels met diameter 25 cm is π 25 78,54 cm nodig. In totaal is er dus ,54 57 cm loodlint nodig. Het gele stuk glas estaat uit een rechthoek en een halve cirkel met straal 2,5 cm. De oppervlakte van de rechthoek is = 250 cm 2. De oppervlakte van de halve cirkel is π 2,5 2,5 : 2 245,44 cm 2. De oppervlakte van het gele stuk glas is dus , cm 2. De oppervlakte van het lauwe stuk glas is , cm 2. Van het paarse stuk glas past de linker halve cirkel op de rechter halve cirkel, zodat de oppervlakte gelijk is aan die van een halve cirkel met straal 25 cm. De oppervlakte van het paarse stuk glas is π : cm 2. c De factor is 25 : 50 = 2,5. De lengte van het enodigde loodlint is 57 2, cm. d De factor is 2,5. De oppervlakte van het gele glas voor de vijf ramen is 495 2, cm 2 4,7 m 2. De oppervlakte van het lauwe glas voor de vijf ramen is 005 2, cm 2, m 2. De oppervlakte van het paarse glas voor de vijf ramen is 982 2, cm 2, m 2. 2

6 22 2a De factor is 0,5. Er kan 0,5 = 0,25 liter verf in dat lik. De factor is 0,5. De oppervlakte is 588 0,5 2 = 47 cm 2. Er is 47 cm 2 lik nodig. c De inhoud is 5 keer zo groot. Voor de factor k geldt dus k = 5. Met je rekenmachine proeren vind je k,7, want,7 5. De diameter van het lik is,7 8,8 cm. De hoogte van het lik is,5,7 9,7 cm. d De oppervlakte van dit lik is 7 : 588 0,6 keer zo groot. Voor de factor k geldt dus k 2 0,6, dus k 06, 0,8. De inhoud van dit lik is 0,8 0,5 liter. a//c d 4a 8- Balk, prisma en cilinder De drie doorsneden zijn evenwijdig aan elkaar. De figuren, 2 en 4 zijn prisma s, figuur niet Deze eigenschap geldt ook voor de figuren kuus, alk en cilinder. 6a De inhoud is = 224 cm. De inhoud van één helft is 224 : 2 = 2 cm. c Het grondvlak is de helft van een vierkant met oppervlakte 4 4 = 6 cm 2. De oppervlakte van het grondvlak is dus 6 : 2 = 8 cm 2. Volgens de formule is de inhoud = 8 4 = 2 cm en dat klopt. 7a De twee stukken vormen samen een alk van meter ij 4 meter ij 0 meter. De inhoud is 4 0 = 20 m. Oppervlakte grondvlak is 6 0 = 60 m 2. De hoogte is 4 meter = 240 m, maar de inhoud is 20 m. c Je moet de driehoek als grondvlak nemen. De hoogte is de lengte van de zolder, dus 0 meter.

7 8 Bereken eerst de hoogte van de driehoek. 7,5 2,5 56, ,25 De hoogte van de driehoek is 00 = 0 cm. De oppervlakte van het grondvlak is 5 0 : 2 = 75 cm 2. De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder uit het vooreeld is 25π 78,5 cm 2. Het prisma heeft een kleiner grondvlak. Om toch dezelfde inhoud te heen, moet het prisma dus langer zijn dan de cilinder. 9 De inhoud van de alk is 8 5 = 20 cm. De cilinder heeft als grondvlak een cirkel met straal 7 cm. De oppervlakte van het grondvlak is π 7 2 = 49π cm 2. De inhoud van de cilinder is 49 π 0 59,4 cm. Het prisma heeft als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met 6 cm. De hoogte van de driehoek ereken je met de stelling van Pythagoras: hoogte = 27 5,2 De oppervlakte van het grondvlak is 6 27 : 2 5,59 cm 2. De inhoud van het prisma is 5, ,7 cm. 8-4 Piramide, kegel en ol 20a F.ABCD is een piramide. Het gaat telkens om een piramide met als grondvlak een vierkant met 6 cm, en een hoogte van 6 cm. c Drie van deze piramiden vormen samen precies een kuus, dus de inhoud van een zo n piramide is deel van de inhoud van de kuus. d Voor de kuus geldt: inhoud = oppervlakte grondvlak hoogte en de inhoud van de piramide is van de inhoud van de kuus. e De inhoud van de piramide is 6 6 = 72 cm. 2 e figuur: Inhoud is π , 6 cm. 2 e figuur: Twee kegels, waarvan de straal van het grondvlak gelijk is aan,5 cm en de hoogte 4,5 cm. Inhoud één kegel is π,5 2 45, 0, 60 cm. Totale inhoud dus 2 0,60 2,2 cm. 2

8 24 e figuur: De piramide heeft een gelijkzijdige driehoek als grondvlak. De hoogte erekenen met de stelling van Pythagoras: De hoogte is 27 5,2. De oppervlakte van het grondvlak is (6 27 ) : 2 5,59 cm 2. De inhoud is 5, , cm. 22a G 6 = 676 dus G = 676 :( 6) = 26, 75 cm 2 Omdat het grondvlak een vierkant is, is de lengte van de n 26, 75, 26 cm. G 4 = 520 dus G = 520 :( 4), 4 cm 2. Het grondvlak is een cirkel, dus r 2 =, 4. r 2 =, 4 :π 5,47 dus r = 5, , cm. De diameter is 2 5,96,9 cm. 2a De rie van de kuus is 2r. De inhoud is (2r) = 8r. De inhoud van de ol is ongeveer de helft van die van de kuus, dus formule B zal kloppen. c Eén zijvlak heeft oppervlakte (2r) 2 = 4r 2. De oppervlakte van de kuus is dus 6 4r 2 = 24r 2. d De oppervlakte van de ol is kleiner dan die van de kuus, dus het getal op de puntjes is kleiner dan a De diameter van de ol is ook 8 cm, dus de straal is 4 cm. De inhoud van de ol is 4 π 4 268, cm. De inhoud van de kuus is = 52 cm. 268, : 52 00% 52,4% De ol vult ongeveer 52,4% van de inhoud van de kuus. 2 c De oppervlakte van de ol is 4 π 4 20, cm 2. d De oppervlakte van de kuus is = 84 cm 2. 20, : 84 00% 52,4% De oppervlakte van de ol is ongeveer 52,4% van die van de kuus. 25a De oppervlakte van de aarde is 4 π miljoen km 2. De inhoud van de aarde is 4 π 6400, km. De straal van de aarde + dampkring is = 700 km. De inhoud van de aarde + dampkring is 4 π 700, km. De inhoud van de dampkring is, , ,0 0 km.

9 26a De straal van een tennisal is 6,5 : 2 =,25 cm. De inhoud van één tennisal is 4 π 25, 4,8 cm. De inhoud van vier tennisallen is 4 4,8 575,2 cm. De koker is een cilinder waarvan de straal van het grondvlak gelijk is aan,25 cm. De hoogte van de cilinder is 4 6,5 = 26 cm. De oppervlakte van het grondvlak is π 25, 2,8 cm 2. De inhoud van de cilinder is, ,8 cm. 575,2 : 862,8 00% 66,7% De vier tennisallen nemen ongeveer 66,7% van de ruimte in de koker in. 27a 8-5 Samengestelde figuren 4 m 4 m 6 m 0 m De inhoud van de alk is = 240 m. c De inhoud van het prisma is (6 4 : 2) 0 = 20 m. d De inhoud van het huis is = 60 m. 28 Het huis estaat uit een alk en een prisma. De dakkapel is een prisma. De inhoud van de alk is 6 8 = 44 m. De inhoud van het dak is (6 : 2) 8 = 72 m. De inhoud van de dakkapel is ( : 2) 4 = 8 m. De totale inhoud is = 24 m. 29 De toren is een alk met een prisma. De inhoud van de alk is 4 24 = 288 m. De inhoud van het prisma is (4 4 : 2) = 24 m. De kerk is een alk met een prisma. De inhoud van de alk is = 920 m. De inhoud van het prisma is (2 2 : 2) 20 = 440 m. De totale inhoud van het kerkje is = 672 m. 0 Voor het grondoppervlak geldt: π r 2 = 200, dus r 2 = 200 : π en r = 200 : π 9, 54 meter. De hoogte van de cilinder is 25 9,54 = 5,46 meter. Inhoud van de cilinder = 200 5,46 = 6552 m, inhoud halve ol = 4 π 9, m. 2 De totale inhoud is = m. 25

10 26 a De ring is een cilinder met daar een cilinder uitgehaald. De straal van de grote cilinder is 8 : 2 = 4 cm. Oppervlakte grote cirkel = π 4 2 = 6 πcm 2. De inhoud van de grote cilinder is 6π = 6π 50,27 cm. De straal van de kleine cilinder is 4 : 2 = 2 cm. Oppervlakte kleine cirkel = π 2 2 = 4 πcm 2. De inhoud van de kleine cilinder is 4π = 4π 2,57 cm. De inhoud van de ring is 50,27 2,57 = 7,7 cm. De oppervlakte van de ovenkant is 6π 4π = 2π cm 2. De innenwand is een rechthoek met als lengte de omtrek van de kleine cirkel, dus π 4 = 4π cm, en hoogte cm. De oppervlakte van de innenwand is 4π = 4π cm 2, De oppervlakte van de uitenwand is π 8 = 8π cm 2. De totale oppervlakte is 2 2π + 4π + 8π = 6π cm 2, cm 2. 2a De diameter van het ovenstuk van de regenmeter is twee keer zo groot als die van het onderstuk. De oppervlakte van het ovenstuk is dan vier keer zo groot als die van het onderstuk. Na een regenui van 4 mm zou in het ovenstuk het water 4 mm hoog staan en dus in het onderstuk 4 4 = 6 mm. Er is 50 : 4 = 2,5 mm regen gevallen. a Het weggesneden stuk heeft de vorm van een piramide. De inhoud van de alk is = 920 m. De inhoud van de piramide = ( 8 5): 2 6 = 40 m. De inhoud van het overgeleven stuk is = 880 m. 4 Je kunt de oerderij splitsen in alken en prisma s. Eerst het huis: Inhoud alk = 8 6 = 44 m, inhoud prisma = (6 : 2) 8 = 72 m. Nu de schuur: Inhoud alk = 5 2 = 540 m, inhoud prisma = (2 6 : 2) 5 = 540 m. Inhoud totaal = = 296 m. 5a 8-6 Gemengde opdrachten Het water stond toen 0 cm hoog. De inhoud is = cm = 24 dm ofwel 24 liter. Er zat 24 liter water in. De lengte van de rode lijn is de langste van een rechthoekige driehoek met rechthoeksn van 5 cm en 20 cm. Met de stelling van Phytagoras: De lengte van de rode lijn is , cm. De oppervlakte is 40, 40 = 62 cm 2.

11 c Op dat moment is het aquarium nog voor de helft gevuld met water. De inhoud van het aquarium is = cm = 28 liter. Er zit op dat moment dus nog 4 liter water in. Jos heeft dan al 24 4 = 0 liter water uit het aquarium gegoten. 6a a De hoogte is 2,46 cm. De oppervlakte van één driehoek is 4 2 : 2 = 2 2 6,928 cm 2. De oppervlakte van het grondvlak is = 2 2 4,569 cm 2. De inhoud van het prisma is = ,4 cm. 4 cm 6 cm 8 cm De figuur is een alk met een prisma daar uit gehaald. De inhoud van de alk is = 92 cm. De inhoud van het prisma is (4 2 : 2) 8 = 2 cm. De inhoud van de ruimtefiguur is 92 2 = 60 cm. 8a De inhoud is ( : 2) = 45, cm. De inhoud van de kuus is = 26 cm. De inhoud van het veertienvlak is ,5 = 80 cm. 9a Het grondvlak met straal 5 cm heeft een oppervlakte van π 5 2 = 25 π. De inhoud is π , 94 cm = 86,94 ml. De oppervlakte van oven- en onderkant zijn samen 2 π , cm 2. De zijkant van het lik is een rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan de omtrek van het deksel dus 0 π,4 cm, en de hoogte gelijk is aan cm. De oppervlakte van deze rechthoek is 0 π 45,6 cm 2. Er is 57, + 45,6 502,7 cm 2 lik nodig. c De factor is 0,5. De inhoud van het lik is 86,9 0,5 07,99 cm De oppervlakte is 502,7 0,5 2 25,7 cm 2. d De materiaalkosten zijn afhankelijk van de oppervlakte van het lik. In het grote lik past acht keer zoveel als in het kleine lik. De oppervlakte is echter maar vier keer zo groot. Dus de kosten zijn naar verhouding het kleinst ij het grote lik. 27

12 T-a/ De schuur zelf estaat uit een alk en een prisma. Het dak van de aanouw kun je opdelen in een prisma en een piramide. Verder heeft de aanouw nog een alk. De inhoud van de twee alken die samen de enedenverdieping vormen, is = 2 m. De inhoud van het dak is ( 4 2: 2) 8+ ( 2: 2) + ( 2: 2) 2 = 4 m. De inhoud van de schuur met aanouw is = 66 m. Test jezelf T-2a Een munt van 50 cent is 2,25 = 2,5 mm dik. De inhoud van een munt van 50 cent is 565,25 04 mm. c De oppervlakte van een munt van 0 cent is 47 :, mm 2. T-a 6 cm 6 cm 2 cm M De oppervlakte van het grondvlak van het cilindervormige doosje is π 6 2, cm 2. De inhoud van dit doosje is, cm De n van het grondvlak van het alkvormige doosje zijn 72 cm. De oppervlakte van het grondvlak is dan = 72 cm 2. De inhoud van het alkvormige doosje is 72 9 = 68 cm. De inhoud van het cilindervormige doosje is 249 : 68,57 keer zo groot. De ewering van Karin is juist.

13 T-4a De straal van een alletje is 40 : 2 = 20 mm = 2 cm. De inhoud is 4 π 2,5 cm. De inhoud van zes alletjes is 6,5 = 20 cm. De cilinder is 6 40 = 240 mm = 24 cm hoog. Het grondvlak van de cilinder is een cirkel met straal 20 mm = 2 cm. De inhoud van de cilinder is π ,6 cm. In deze verpakking lijft 0,6 20 = 00,6 cm ruimte over. Het doosje is een alk van 2 40 = 80 mm = 8 cm lang, 40 mm = 4 cm reed en 40 = 20 mm = 2 cm hoog. De inhoud van het doosje is = 84 cm. In deze verpakking lijft = 8 cm ruimte over. In de cilindervormige verpakking lijft de minste ruimte over. T-5a m 8 m m 2 m m 4 m m 6 m Je kunt de villa opsplitsen in een alk en twee prisma s. De inhoud van de alk is 2 6 = 26 m. De inhoud van het linker prisma is (8 5 : 2) 6 = 20 m. De inhoud van het rechter prisma is ((4 2 : 2) 6 = 24 m. De totale inhoud is = 60 m. T-6a Het grondvlak is 6 dm ij 6 dm en heeft dus een oppervlakte van 6 6 = 6 dm 2. De inhoud is 48 liter = 48 dm. Dus 6 hoogte = 48 ofwel 2 hoogte = 48. De lichtkoepel is 48 : 2 = 4 dm = 40 cm hoog. Het zijn vier gelijkenige driehoeken. De hoogte van zo n driehoek reken je uit met de stelling van Pythagoras. 40 cm h De hoogte is h = 2500 = 50 cm. De oppervlakte van één driehoek is : 2 = 500 cm 2. De totale oppervlakte is = 6000 cm 2. De lichtkoepel estaat uit 6000 cm 2 = 0,6 m 2 plexiglas. 60 cm 0 cm 60 cm 29

14 0 T-7a De inhoud van de alk is = 20 cm. De inhoud van de piramide is 0 8 5= cm. De inhoud van de maquette is 45 cm. De factor is 75. De inhoud van het huis is = cm oftewel 9,25 m. c De factor is 75. De oppervlakte van het huis is ij enadering = cm 2, dus ongeveer 49 m 2. T-8a c 2 In het vooraanzicht hieroven zie je dat het kegelvormige doosje de schijventoren aan de randen raakt en precies één cm hoger is. De hoogte van het kegelvormige doosje is 4 cm. In het vooraanzicht zie je dat de diameter van het kegelvormige doosje 8 cm is. De inhoud van de schijventoren is π 2 + π π 2 4,98 cm. De inhoud van het kegelvormige doosje is 2 π , 02 cm. De schijventoren neemt 4,98 : 67,02 00% 66% van de ruimte in het doosje in.