Hoofdstuk 1 - Meer variabelen

Transcriptie

1 Hoofstuk - Meer variaelen lazije V-a Omat het water met onstante snelhei uit e ak stroomt en e ak ilinervormig is, is e afname van e hoogte van e waterstan per tijseenhei onstant. De hoogte van e waterstan heet niet y, maar h us je geruikt h! = h = = =, t 9. Nu moet h( ) =, us + = = + = 9 Stel at e formule wort: h= a t+, an is a us h= t+ De formule wort h= t+ 9. e De waterak is leeg als h =, us als t + 9 = t = 9 t =, at wil zeggen: na minuten is e ak leeg. V-a Bij het egin gelt t =, us e eginhoeveelhei is N( ) =, = =. Na één week, us op t = zijn er N( ) =, =. X Plot Y=, Venster: X en Y. Jos aantal N 7 9 t in weken X Plot Y =, en Y =, Venster: X en Y. Interset geeft : X, 77 Dat wil zeggen: na ruim,7 weken zijn er nog zo n vissen over. V-a = y = = y,, y = y = = 9 y = y = = y+ 7 = y = y = y = = V-a Venster: X ; Y Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

2 Hoofstuk - Meer variaelen Venster: X, ;, Y, Venster: X ; Y. Venster: X ; Y. lazije V-a Op t = gelt in e formule h= 9, t at h =, in e eie anere formules h = en h =. De formule moet us wel ij e top van e toren horen. Bij eze proef gelt: h = als h=, 9t t =± ±, 9, De steen raakt us ongeveer op t =, e gron. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

3 Hoofstuk - Meer variaelen h in meters a... t in seonen Grafiek a hoort ij e formule h= 9, t, grafiek ij h= 9, t en grafiek ij h= t 9, t. V-a Bier: = ; wijn:, = ; =. sherry: 7 = en jenever: I in ml p in proenten Volgens e formule moet voor zwaar ier gelen:, I, =, I = =,, us e inhou van een zwaar ier glas zou, ml moeten zijn. Als je I = 7 in e formule invult krijg je 7 = p =,. p 7 in werkelijkhei is p =,, us Joke heeft gelijk als ze zegt at het aloholperentage van een Breezer te hoog is, het zou ongeveer, moeten zijn volgens e formule. Als je p =, in e formule invult krijg je I =, us een passene inhou, zou zo n ml zijn. Arnol heeft us ook gelijk als hij zegt at e inhou van het flesje van een Breezer (7 ml) te groot is. V-7a Een formule van e paraool is y= ( t )( t ). e nulpunten zijn us en ( y = t = of t = ) De top ligt wegens e symmetrie mien tussen e nulpunten, als je t = in e formule invult krijg je y =. De lijn gaat oor e top (, ) en oor het punt (, ). Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

4 Hoofstuk - Meer variaelen Stel een vergelijking van e lijn is y= at+, an is a = ( ) = = en us y= t+. Invullen van (, ) geeft = + =. Een vergelijking van e lijn is y= t+. Stel e formule voor exponentiële groei is y= a t, an is = (gegeven), us t y= a. Door (, ), us = a a =. De formule voor exponentiële groei wort t y =. y = C, oor (, ) us = C C =. t y O 7 9 t lazije a De in e formule is een vast erag ( euro) at je altij moet etalen, onafhankelijk van het aantal geruikte rollen ehang en van het aantal gewerkte uren. Het starttarief us. Als er rollen woren geplakt in uur moet je = euro etalen. En als er rollen woren geplakt in uur wort het = 9 euro. R komt lineair voor in e formule, us als er rol meer geruikt wort, komt er 9 = 9 euro ij en + 9 = 9 Als het aantal uren één groter wort komt er 7 euro ij e prijs op, omat U ook lineair en met hellingoëffiiënt 7 in e formule voorkomt! e Als Watererg 7 moet etalen, terwijl er rollen ehang zijn geruikt gelt: U = 7 7U = 7 7 7U = U = = 7 Dus an is er uur gewerkt. f De nieuwe formule wort: P =, +, R+ 9 U, us P = 7, +, R+ 9U g Als er rollen woren geplakt in uur moet je nu 7, +, + 9 =,, us euro en ent etalen. a De jaarlijkse kosten geeel oor vormen e kosten per maan. De teller van e formule, e jaarlijkse kosten, estaat uit e maanelijkse afshrijving A keer, e halfjaarlijkse grote eurt plus reparaties G keer, Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v 7

5 Hoofstuk - Meer variaelen e jaarlijkse verzekeringspremie en e motorrijtuigenelasting V keer. De enzinekosten per gereen km, B, woren vermenigvulig met het jaarlijks gereen aantal kilometers K, us e term B K in e teller staat voor e jaarlijkse enzinekosten. De halfjaarlijkse eurt met e reparatiekosten G en e enzinekosten B, us ook e term B K zullen ij een tweeehans auto hoger zijn an ij een nieuwe; ij een nieuwe auto zal alleen e maanelijkse afshrijving A hoger zijn an ij een tweeehans auto. lazije a Gelen moet 7p+ = 7p= p = 7, 9 7 De seniorleen moeten samen minstens 7 euro oprengen, us e ontriutie van een seniorli zal zo n, euro woren. Als e ontriutie voor e seniorleen 7 euro lijft, moet q = ofwel 7p+ = q = 79 q = 7,. Als e juniorleen alleen e verhoging moeten oprengen moeten ze samen 7 etalen, us zo n, per li. Als e juniorleen,- per li etalen wort e vergelijking 7p + =, us 7p= 7 p= 7, 7. De ontriutie voor e seniorleen zal 7 us zo n 7, woren. a De enzinekosten zijn, per km, us: De formule ingevul wort: ent/km = ent/km. A+ G+ V + B K + + +, = =, Zijn maanelijkse kosten zijn us ongeveer, Meneer Vergouwen etaalt voor enzine per verreen km: ent = ent alle gegevens in e formule ingevul geeft: , = = 7, Hij is per maan us 7, kwijt; at is miner an meneer Santini. lazije a Vanwege e relatie I = hz is het zo at als twee van e rie variaelen eken zijn, e ere vast ligt. Vul z = in: I = h Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

6 Hoofstuk - Meer variaelen, Bij een oem van ij hoort e formule I = h I in m z = z = z = 7 z = z = z = 7 9 h in m e In figuur he je ovenstaane figuur met z = en z =, voor figuur komen aar z =, z=, z= 7 en z = ij. Bij een inhou van m en een hoogte van m gelt: z = z = z =, en ij een inhou van m en een hoogte van m gelt: z = z = z =,. Alleen e gehele waare z = ligt tussen, en, en komt us in aanmerking. lazije 7 a Het getal in e formule stelt voor: e materiaalkosten voor één TV; zijn e kosten van één eenhei arei. Als e totale kosten per week euro zijn en er zijn eenheen arei geruikt, an gelt: = M+ M = + M = 7 = 9, er zijn an us 9 eenheen materiaal verruikt. Als er eenheen materiaal eshikaar zijn wort e formule voor e totale kosten: TK = + A ofwel TK = + A. TK in euro arei A Als er eenheen arei eshikaar zijn wort e formule voor e totale kosten: TK = M +, us TK = M +. TK in euro materiaal M Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v 9

7 Hoofstuk - Meer variaelen e Het hellingsgetal is in eie formules voor e etreffene variaele even groot! Als ijvooreel e materiaal eenheen vastliggen en e areiseenheen variael zijn luien e formules TK = A + (vooreel) en TK = A + (opraht ), us e ijehorene lijnen zijn evenwijig als je ze in één figuur tekent. 7a I = hz met h = wort I = z. Y=X Venster: X ; Y. inhou in m zije z in m In e figuur van 7 e grafieken ij e formules I = z, I = z en I = z erij inhou in m h = h = h = h = 7 9 zije z in m De figuren van en van 7 met een kruisje ij e oos waarvan e zijen m ij m zijn en waarvan e inhou m is: (respetievelijk op e lijn waar z = en h =, immers = en op e paraool waar h = en z 7, immers = en 77,!) 9 inhou in m 7 z = 9 z = 7 z = z = inhou in m h = h = h = h = hoogte h in m 7 9 zije z in m Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

8 Hoofstuk - Meer variaelen a De hoogte is h (m), e oppervlakte van het gronvlak is z (m ) en voor e inhou gelt I = (m ), us moet h z = of h =. z z h, 7,7,,9,,9,9, hoogte in m zije z in m hoogte in m Elo zije z in m Voor e hoogte ie ij een ELO-pak hoort vin je ongeveer, m, want h =,. 7 lazije 9a Bij ijzel is het nog glaer an ij nat weer en zeker glaer an ij roog weer. De remweg zal us ij ijzel het langst zijn en us zal a groter zijn an, (nat weer) en ook zeker groter an,7 (roog weer). remweg R in m 9 7 a =, a =, a =,7 7 9 snelhei v in km/uur Omat het roog weer was neem je a =, 7, R =, us =, 7v moet woren opgelost. Je vint v =, ofwel v, 7, us e, 7 auto ree ongeveer 7 km/uur. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

9 Hoofstuk - Meer variaelen remweg R in m 9 7 B A 7 9 snelhei v in km/uur e Bij B zie je at ij nat weer e remweg ij een snelhei van ruim 7 km/u zo n meter zal zijn. a, K neemt zijn grootste waare aan als X en P maximaal zijn. In het geareere geie is X maximaal 7 en P maximaal, us aar is K maximaal K max =, 7+ =,. x 9 p =, 7 p =, p =,7 p =, x 7 9 K is minimaal ij X = en P =, : K min =, +, = K is maximaal ij X = 7 en P =, : K max =, 7+, = 7, De formule is lineair in X en e hellingsoëffiiënt is voor vershillene waaren van P stees,. De lijnen zijn us evenwijig. a Voor X =, X =, X = en X = krijg je respetievelijk e formules: K = P, K = + P, K = + P en K = + P. y 9 7 x = x = x = x = x 7 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

10 Hoofstuk - Meer variaelen Op it geie gelt: K is minimaal ij P = en X = : K min =, + = K is maximaal ij P = 7 en X = : K max =, + 7= K =, X + P X = K P ; us X is maximaal als K maximaal is en P minimaal;, X = = max en X is minimaal als K minimaal is en P maximaal, us, X = = min., lazije 9 a Aflezen: ongeveer, m Aukje ha ongeveer 7, m huioppervlakte, nu is at ongeveer, m, voor Mieke was het ongeveer 77, m tegen ongeveer, m nu (aflezen!); Aukjes huioppervlakte is met ongeveer 9, m toegenomen en ie van Mieke met ongeveer, m, er is us niet veel vershil, maar Aukjes huioppervlakte is iets meer toegenomen. Voor Aukje: 9, m / kg, m / kg. Voor Mieke:, m / kg =,7 m / kg. a,, 7, 7 H =, L H =, L, 7 Voor G = krijg je e formule H =, L en voor G = krijg je e, 7 formule H =, 9 L.,, 7 H = 9, en G = invullen in e formule geeft 9, =, L, us 9, L =,,, 7, 7, us eze persoon is ijna m lang. a H =, G H =, G H =, G H =, G, Plot Y =, X, eny =, X. Venster: X ;, Y,, 7,,, 7,,9 huioppervlakte H in m,9,,,7,7 l = l =,,,, 7 7 Uit e grafiek lees je af at e man ruim kg moet wegen., Preiezer: H vrouw =, 7, Plot Y =, X, en Y=, Venster: X ;, Y Interset: X, ; e man weegt us ongeveer, kg. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v 9 9 gewiht G in kg

11 Hoofstuk - Meer variaelen lazije a V = 7 en B =, us TK =, K + 7 TK in euro aantal km K Aflezen: Vanaf ongeveer km per maan komen zijn kosten oven e per maan. Preiezer: =, K + 7, K = 7 K =,, 7, us ongeveer vanaf 7 km per maan. a B =, en K =, us B K =, =, e formule wort TK = V +. TK in euro vaste kosten V in euro Aflezen:. Preiezer: TK V + V 7a TK = en B =, = V +, K V =, K K = V =, = K = V =, = K = V =, = K = V =, = vaste kosten V in euro TK = aantal km K Als eze koper per maan 7 km rijt, mogen e vaste kosten per maan zo n euro zijn volgens eze grafiek. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

12 Hoofstuk - Meer variaelen lazije a s =, h = 7,, us p =, 7 = 7, 9, De eikenoom zal us krap 7 waar zijn. = > =, e ewering klopt us niet! 9a investeren etekent K =. A =,, het erijf moet us werknemers inzetten., 9 Voor Q = krijg je A = =,, 9 K K Plot van Y =. Venster X ; Y X, aantal werknemers A kapitaal in uizenen euro s e Uit e grafiek kun je aflezen at er an ongeveer 7 euro noig is volgens it moel. Preiezer: Plot Y = en Y =, Venster: X ; Y X, Interset geeft een snijpunt ij 79,, us ongeveer 7 euro is er noig. f A =, Het aantal werknemers was en nu,, us het wort, ( 7) ijna tien keer zo klein. lazije a De koe levert ongeveer kg melk per ag. (Aflezen!). Ongeveer kg kg = kg. (Aflezen!). Bij %: ongeveer 9 kg 9 kg = kg. Nee, kg >kg. Je kunt ook iret zien at het nee moet zijn: Bij % liggen e grafieken ihter ij elkaar an ij %. a = + (, + 9, ) m 9m = m =, 9 Klopt reelijk met het antwoor van a. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

13 Hoofstuk - Meer variaelen = + (, +, ) m m =, (, +, ) = + (, +, ) m m =, en (, +, ),, =, Klopt aarig met e van opraht. = + (, +, ) m m =, en (, +, 9) = + (, +, ) m m =, en (, +, 9),, =. Klopt met het antwoor van. = + (, +, v) m = (, +, v) (, +, v) m, 9, us, = (, +, v) m klopt!,,, = (, +, v) m, +, v = v = m, m, m 7 v,,,77,,9,, e,f Bij VEM = : = + (, +, v) m = (, +, v) us (, +, v) m 9,, zoat v =, 9, m, m 7 v,,,, -, -,9 -,7 Voor het geareere geie gelt: VEM en v. v 7 m lazije a Q Marian = (, ) Ja Plot Y = {,,,, } X,Y =, Y= Venster: X, Y. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

14 Hoofstuk - Meer variaelen a Interset (met e tweee getekene lijn van Y en Y) geeft X = 7. Interset (met e tweee getekene lijn van Y en Y) geeft X=7. Voor het gezon gewiht van ieman van,7 m gelt us at het in zou moeten liggen tussen 7, kg en 7, kg. De unel grafieken hoort ij e lineaire formules: y= x, y= x, y= x, y= x, en y= x, het zijn us, 7, 7,,, ineraa rehte lijnen. g Q = g = 7, Q g =, Q 7, g Q = g =, Q g =, Q, g a g = l = Q = l, gewiht g in kg Q = Q = Q = Q =,,, lengte l in m a Hij zou ongeveer kg moeten wegen (aflezen!) en moet us zo n kg afvallen! Ieman van, m is ij kg of miner te mager. (Aflezen!) lazije I-a Tael ij grafiek A: x y 7 9 Tael ij grafiek B: x y,,,, Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v 7

15 Hoofstuk - Meer variaelen Grafiek A gaat oor (, ) en (, ), helling: y x = ( ) =, us een formule ( ) van eze lijn is van e vorm y= x+. De lijn gaat oor (, ), us het startgetal is. Een formule is y= x+. Grafiek B gaat oor (, ) en (, ), helling: y x = ( ) =,, us een ( ) formule van eze lijn is van e vorm y=, x+. De lijn gaat oor (, ), us het startgetal is. Een formule is y=, x. y O x I- - I- - I-a Het eginaantal is. Eén week later zijn er, = vissen. Neem t en N. Nog na,7 weken en 9 na 7 weken. lazije I-a Bij proef, op t = is h =, us e steen wort omhoog geworpen. De formule h= 9, t hoort ij proef, omat e steen an op m hoogte, us halverwege e toren, egint te vallen. h= 9, t hoort ij proef. Bij e formules h= 9, t en h= t 9, t, us ij e proeven en hoort ezelfe valtij, immers: 9, t = t =± ±, en t, 9t = t = 9, of t =, 9, I-a I p = = ; I p =, = ; Bier Bier Wijn Wijn I p = 7 = en I p = =. Sherry Serry Jenever Jenever,,7 I pzou ongeveer moeten zijn, voor een Breezer gelt: 7, = >. Beie heen ze us gelijk. Als het aloholperentage, moet zijn, an is e 7 te groot en als e inhou van een flesje 7 ml moet zijn is e fator p te groot. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

16 Hoofstuk - Meer variaelen I-7a Een formule van e paraool is y= ( t )( t ). e nulpunten zijn us en ( y = t = of t = ) De top ligt wegens e symmetrie mien tussen e nulpunten, als je t = in e formule invult krijg je y =. De lijn gaat oor e top (, ) en oor het punt (,. ) Stel een vergelijking van e lijn is y= at+, an is a = ( ) = = en us y= t+. Invullen van (, ) geeft = + =. Een vergelijking van e lijn is y= t+. Stel e formule voor exponentiële groei is y= a t, an is = (gegeven), us t y= a. Door (, ), us = a a = De formule voor exponentiële groei wort t y =. y = C, oor (, ) us = C C =. t lazije I-a Bij ijzel is het nog glaer an ij nat weer en zeker glaer an ij roog weer. De remweg zal us ij ijzel het langst zijn, an ij nat weer en an ij roog weer. Grafiek A zal ij ijzel horen, ij nat weer zal grafiek B horen en ij roog weer grafiek C. Ongeveer 7 km/u. Ongeveer, km/u e R=, v f Hoogstens km/u. I-9 K max, K max 7, en K min e De formule luit: K =, X + P ; e lijnen heen us allemaal hellingsoëffiiënt, en zijn aarom evenwijig! I-a Van eneen naar oven: X =, X =, X = en X =. K = en K = min max X = en X = min max lazije 7 I-a Ongeveer, m Aukje ha ongeveer 7, m huioppervlakte, nu is at ongeveer, m, voor Mieke was het ongeveer 77, m tegen ongeveer, m nu (aflezen!); Aukjes huioppervlakte is met ongeveer 9, m toegenomen en ie van Mieke met ongeveer, m, er is us niet veel vershil, maar Aukjes huioppervlakte is iets meer toegenomen Voor Aukje: 9, Voor Mieke:, m / kg, m / kg m / kg =,7 m / kg Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v 9

17 Hoofstuk - Meer variaelen I-a,, 7, 7 H =, L H =, L, 7 Voor G = krijg je e formule H =, L en voor G = krijg je e, 7 formule H =, 9 L,, 7 H = 9, en G = invullen in e formule geeft 9, =, L, us 9, L =,,, 7, 7, us eze persoon is ijna m lang. I-a -, H vrouw =, 7, Plot Y=, X, Y=, Venster: X ;, Y Interset: X, ; e man weegt us ongeveer, kg. lazije T-a K zijn e totale kosten in euro s, V is het aantal aan te shaffen Valken en P het aantal aan te shaffen Piraten. K = + 9 =, e kosten eragen an euro. Vul in e formule in K = en V = : = + 9V V =, 9 Hij kan an us nog Piraten aanshaffen. Eén Valk en één Piraat kosten samen euro., 9 ; hij kan us stellen aanshaffen, ofwel oten!, T-a Volgens e vuistregel zou je over ie km uur + minuten oen, us, uur en minuten, ofwel uur en minuten. Als je a km aflegt met km/u oe je aar a minuten = a minuten over., km stijging kost je minuten extra, us km stijging minuten. De term h in e formule geeft us het aantal minuten at je extra noig het als je h km stijgt. Vul W = en h =, in in e formule, je vint: = a+, a = a = Er is horizontaal ongeveer, km afgeleg. h in km,,7,,,,,, W = W = W = W = a in km Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v

18 Hoofstuk - Meer variaelen e Kijk in e figuur ij opraht ; e horizontale lijn h =, geeft via e snijpunten met e lijnen W =, W =, W = en W = aan at je horizontaal respetievelijk, km;, km;, km en, km aflegt. lazije T-a Steven s kniereete is ongeveer, m. (Aflezen!) De lijn lijkt oor (, 7 ; ) en (, ; ) te gaan; G K 7,.,, Stel een vergelijking van e lijn is G = ak+, an is a, ; oor (, 7 ; ), us 7 =,, + = 7 9, =. ; een vergelijking van e lijn is G =, K,., L = in G =, K L geeft G, K. Het antwoor ij opraht klopt niet helemaal, maar zit wél aarig in e uurt., Plot Y=,, X en Y = Venster: X ; Y. Interset: X 7, 7. Sijtze is us ongeveer 7 m. T-a I = 79, h, us I = 9, 7h; I = 79, h, us I = 79h I =, 79 h, us I = 77, 7h. l in m 9 = = = h in m I = 79, I = 7, 9 I = 79, us 79 = 79, h h = 79 h = ; 79, = geeft h= ; = geeft h= en = geeft h=. De afmetingen van rie ozen met een inhou van 79 m zijn: hoogte in m iameter in m T-a D = ( 7 + ) = Anne s geshatte lengte is, m = ( V + ) = ( V + ) V = 7 De vaer zal,7 m zijn. V = invullen in D= ( + M ) geeft D= M+ 7, ; Deze lijn gaat oor ( ; 7, ). Dus e één na onerste. D= ( V + M), us als D= V. D= ( V + D) D= V + D D= V Als moeer en ohter even lang zijn is e vaer volgens e formule us altij m langer. Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Noorhoff Uitgevers v