Hoofdstuk 4 - Rekenen met kansen

Transcriptie

1 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen lazije V-a aar D : 000 = 0 auto s, it is aar E via B: = 0, naar via : totaal naar E 0 auto s, us %; aar F: = 0 auto s, it is % P( ACE) = % = 0, % = % van E C = 0, us in 00 V-a PR ( )= = vaas A 0 0 vaas B 00 uitkomst R /0 R /0 /0 RR R /0 R /0 R PRR ( ) + P( R) + PR ( ) + P( ) = kansen van alle mogelijke uitkomsten is natuurlijk = = ; e som van e 00 lazije 9 V-a M M M PMM ( )= = ; P ( )= = 9 PM ( )= = 9 ee, samen krijg je 9 9. Je zou krijgen als je ook PM ( ) erij zou tellen. 0

2 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen V-a Deze kans is op 00, us = e trekking e trekking e trekking P( ) =, P( ) = 0, V-a Door in het roosterpunt linksoner te eginnen en e aantallen mogelijkheen ij e toegelaten roosterpunten stees vast te stellen oor e aantallen van e voorgaane roosterpunten ij elkaar op te tellen In roosterpunten (, ) en (, ) en = Je het routes. De kans wort P( KKMMMMM) = ( ) = 0,

3 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel lazije 90 a vaas A vaas B R 0 R R P( één roe en één witte) = = = 0, 00 0 P( R) + P( R) = + = + = = 0,. Het klopt us. 0 0 a Aantal mogelijkheen is =. Elk van e mogelijkheen heeft kans ongeveer 0, 0 = 0,. ( ) ( 0 ),, us e gevraage kans is lazije 9 a P( 0) = P( 0) P( 0, 0, 0, 0, 0) = , P( 0) = P( één enveloppe met 0, verer lege enveloppen) = ; , P( 0) = P( lege enveloppe) = 0, 0 9 P(Hoogstens e 0) = P(e 0) + P(e 0) + P(e 0) 0, , + 0, + 0,999 P(Meer an e 0) = P(Hoogstens e 0) 0,999 = 0,000 a P( meer anfouten) = P( hoogstens fouten) = ( P( 0 fout) + P( fout) + P( fout)) = (( ) + 9 = 0, 9 0 P( hoogstensfout) = P( fout) = ( ) 0, 0 P( of fouten) = P() + P( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ) ( ) ( ), 0 a P( hoogstens 0) = P( of ) = ( P( ) + P( )) ; kan op manieren: (, ) en (, ), kan op één manier: (, ) ; en samen kan op manieren ie elk een kans ( ) = ; e gevraage kans is us =. P( miner an ) = P( ) ; manieren om te krijgen: + ; manieren om te krijgen: + en + ; manieren om te krijgen: +, +, + ; samen us manieren om miner an te krijgen; e gevraage kans is us ( ) =. Per oelsteen is e kans op een even aantal ogen gelijk aan. Hetzelfe gelt voor e kans op oneven. Je krijgt alleen maar een even som als eie oelstenen

4 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen een even aantal ogen geven of als ze eie een oneven resultaat geven. Dus = = + =( ) + ( ) =, en het antwoor op P( even som) P( EE of OO) P( EE) P( OO) e vraag is ja. De winkelier kan alle klanten wel voorzien van een shaar als het aantal linkshanige klanten 0 of is. De kans aarop is P( 0) + P() = ( 0, ) + ( 0, ) ( 0, ) 0, 9. De kans at hij niet alle klanten kan eienen is us ongeveer 0, 9 = 0, 0. lazije 9 a Je kiest immers vershillene getallen. Deze kans is = 9 Je het an preies één getal goe. Van e oor e notaris getrokken getallen is er us goe en fout. De gevraage kans is P( GF ) + P( FG) = + =. 9 9 De roe allen zouen us e winnene getallen moeten voorstellen. Er zijn maar twee winnene getallen, us zou elk winnen getal gepresenteer moeten woren oor roe allen. Je zou in zo n situatie us twee keer hetzelfe winnene getal kunnen trekken. Het geruik van een moel met roe allen is us hier niet juist. a P( een roe en een witte) ( ) ( 9 9 ) = 9 P( een roe en een witte) = P( R) + P( R) = + = 9 9 of ook: P( een roe en een witte) P( ) R = = 9 Dat komt op hetzelfe neer als trekken zoner teruglegging, us is e kans weer gelijk aan P( R ) = = 9 0 vaas B is veel kleiner en P( R ) = = ; e kans op roo ij trekken uit 9 0 lazije 9 9a Deze kans is = 0 9 Deze kans is 0 0 = P( enaarna keer ) = 90 0, a Een vaas met allen waarvan 000 roo (kwaliteit A) en 000 wit (niet kwaliteit A). Je neemt an een steekproef van stuks zoner terugleggen. Omat e verhouing tussen roo en wit onerweg niet veel veranert als je slehts allen trekt. Dit heeft ermee te maken at het aantal roe allen en het aantal witte allen eie veel groter zijn an e steekproefgrootte. Je mag hier us enaeren met trekken met terugleggen.

5 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Dit komt overeen met likken van kwaliteit A. De kans is (, ) (, ) =,, Minstens twee likken niet van kwaliteit A komt overeen met hoogstens likken van kwaliteit A. Deze kans is gelijk aan ( P( A) + P( A )); P( A ) 0, (zie opraht ) en P( A ) = ( 0, 9) 0, 90. De gevraage kans is us ( 0, + 0, 90) = 0, 0. lazije 9 a aantal munt 0 kans P( 0) = P( KKKK ) =( ) = ; P() P( ) ( ) MKKK = = ; P( ) P( ) ( ) MMKK = = ; P() P( ) ( ) MMMK = = ; P( ) P( ) = MMMM =( ) = Meer an keer kop komt overeen met miner an keer munt. De kans aarop is us P( 0) + P() = = = a leeftij aantal perentage totaal Bijvooreel: het perentage ehoren ij leeftij 0 is gelijk aan 0 00% = 9%. 00 P( ) = % = = P( hoogstensjaar) = P( 0) + P() + P( ) = + + = P( tussen en jaar) = ( P( 0) + P( )) = ( + ) = = = P( ) = 0, 9 0, 9 a aantal harten 0 kans 0, 0,9 0, 0,00 9 P( 0 harten) = P( ) = 0, ; 0 P( harten) P( ) 9 H = 0, 9; 0 P( harten) P( ) 9 HH = 0, ; 0 P( ) vin je oor e som van e kansen gelijk aan te maken.

6 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen lazije 9 a (, ) (, ) = (, ) (, ) 0, 0 P( 0) = P( ) = ( 0, ) 0, 9 ; P() P( ) ( 0, ) ( 0, ) 0 B =, 0; zie voor P( ) opraht a: P() P( ) ( 0, ) ( 0, ) 0 BBB =, 00 ; nu lijft er voor P( ) nog 0,000 over. De kansvereling is: romfietsongelukken 0 kans 0,9 0,0 0,0 0,00 0,000 a Deze kans is 99 0, Deze kans is 0, Aantal inraken na e inraak kans 0 0, 9 0, 0 9 0, 0 0, 00 De kans op nog één inraak is per woning 0,0 (zie oven). De kans at in eie woningen nog preies één inraak zal woren gepleeg is ( 0, 00...) 0, 0. De kleuren van e lootjes spelen hier geen rol. Het gaat erom of op een lootje het nummer staat of iets aners. Het geshikte vaasmoel heeft us 0 allen, waarvan roo (e enen). Het aantal getrokken enen kan 0, of zijn. P( 0 enen) = P( ) = = ; 0 9 P( een) P( ) 0 9 R = = ; P( enen) P( ) RR = =. 0 9 a aantal oren kans 0, 0,0 0,0 0, 0,00 0,0 De kans at e klant één or koopt vin je oor aanvulling van e kansen tot. or koopt wel 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0,00 0,0 oren oren oren oren 0,9 koopt niet oren 0 oren

7 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel De kansen van e vereling vin je uit e kansoom. Bijvooreel: e kans at een willekeurige klant preies één or koopt is 000,, = 0, 0090, enz. aantal oren 0 kans 0,900 0,0090 0,000 0,00 0,0 0,0000 0,000 lazije 9 9a P( kkk) = ( 0, , + 0, 0) = 0, ominatie verwahte aantal verwahte uitkering 00 00, = 0 = 0 aaa 00 00, = 0 kkk totaal 00 Je verwaht us = 0, us euroent per keer. 00 De tael komt er nu als volgt uit te zien: ominatie verwahte aantal verwahte uitkering 0 00 aaa 0 0 kkk totaal 00 0 Ook hier verwaht je uiteraar 0, per keer. 0, per keer, us , = 00 e 0 00, + 00, + 0, + 0 0, 0 = 0, lazije 9 0a P( 0) = = ; P() P( ) B = = ; P( ) P( ) BB = = ; P() P( ) = BBB = = 0 9 In totaal mag je 0, = 0 lauwe knikkers verwahten. 0 a Elke ominatie heeft kans ( ) = som aantallen ogen 9 0 kans De verwahtingswaare van e som is an = =

8 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen a winst in 0 kans 0,0 0,0 0,0 0, De winst is hier georrigeer voor e inleg. De kansen ereken je naar aanleiing van e mate waarin een winst voorkomt. De verwahting van e winst is 00, + 00, , + ( ) 0, = 0, 0 (euro). De negatieve verwahting etekent us at er van eerlijk spel geen sprake is. a Cylesafe zal voor een fiets met leeftij 0 jaar naar verwahting aan euro s moeten uitkeren: 00 00, , = 0 ; voor 00 van ie fietsen etekent at us naar verwahting 9000; op vergelijkare manier kun je e verwahte eragen voor e anere leeftijsklassen uitrekenen. leeftij aantal fietsen uitkering per fiets kans op stelen verwahting uit te keren erag , , , , ,0 00 Cylesafe moet naar verwahting in totaal.900,- uitkeren. Er zijn 000 verzekeringnemers, us Cylesafe zal 900 =, 90 euro aan premie 000 moeten rekenen om quitte te spelen. lazije 9 a wel of niet oven e 0 geen reparatie < 0 0, 0, reparatie 0, > 0 0, De kansvereling per klant wort: soort geen reparatie reparatie < 0 reparatie > 0 gemiele kosten 0,0,0 kans 0, 0, = 0, 0,0 0, 0, = 0, Per uitgevoere reparatie wort e vereling: soort reparatie < 0 reparatie > 0 gemiele kosten,0,0 kans 0,,, +, ,,, +, Verwahting per reparatie is an, 0 0, +, 0 0, 9 =, us,.,% van e klanten last e reparatie af, en,% van 00 is 99.

9 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel a aantal keren rijexamen kans 0, 0,09 0, 0, 0,09 Bijvooreel P( ) = 0,, waarij 0 het totaal aantal klanten is. 0 Verwahte aantal keren at een willekeurige klant rijexamen oet: 0, + 0, , + 0, + 009,,. aantal keren rijexamen kosten in euro s kans 0, 0,09 0, 0, 0,09 Verwahte kosten voor een willekeurige klant: 000 0, + 0 0, , + 0 0, , 09, ; Het aantal klanten at e eerste keer voor het rijexamen zakte is 0 =, 99% aarvan slaage ij e tweee keer en, 0% ij e ere poging. e aantal keren rijexamen voor klanten ie eenmaal zijn gezakt kosten in euro s kans 0,99 0,0 0,9 0,0 f De verwahte kosten voor een willekeurige kaniaat na keer gezakt te zijn: 0 0, , , ,0 0, us 0,. lazije 99 a Een vaasmoel met 0 allen waarvan 0 roo en 0 wit P( RRR ) = 0, 09 ; meneer van er Heie heeft etaal en krijgt in at geval volgens e tael maal zijn inzet terug. Zijn winst is us P( ). 0 9 = = 0 9,, us is P( ) ongeveer, keer zo 0 9 P( 0) groot als P( 0 ). Er is geen uitetaling ij 0 en ij winnene getallen. 0 9 P( 0) = P( ) = 0, 0 en P() P( ) R = 0, ; e kans op een uitkering is us ( 0, 0 + 0, ) = 0, 9 ; it vershilt niet veel met 0,. lazije 00 I-a AAA, BBB, CCC, DDD us routes Lees af ( 0 0 ), Deze kans is P( BBB) + P( CCC) + P( DDD) = ( ) + ( ) + ( ) 0, 9 De kans at Bas wint is us 0, 0 + 0, 9 = 0,

10 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen I-a = routes Lees af P( RRMM ) = 0, 0 Dezelfe fatoren woren met elkaar vermenigvulig, weliswaar in anere volgore Deze kans is an 0, 0 = 0, I-a Je leest af 0,000 voor een ijehorene ominatie, waarvan er 0 zijn; 0 0, 000 0, 000 Je leest af 0,0 voor een ijehorene ominatie, waarvan er zijn; 00, 0, 0 Deze kans is (, ) (, ) = (, ) (, ),00000 Kans op goee uizen is (, ) (, ) = (, ) (, ) 0, 0000 en e kans op goee uizen (, ) (, ) = (, ) (, ) 0, 000 lazije 0 I-a stap stap stap uitkomst kansen 0,00 0,0 0,0 0, 0,0 0, 0, 0, Lees af P( ) = 0, 0 De gevraage kans is 00, = 0, 09 Lees af P( ) = 0, 00 e Tel e ijehorene kansen op, an krijg je 0,99 f Hoogstens keer een is het omplement van keer een. De kans is us ook te erekenen met 0, 00 = 0, 99 9

11 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel I-a Je leest af of erekent als volgt: 0 0, 0 + 0, , = 0, 9 Minstens één goe is het omplement van alles fout; e kans is us 0, = 0, Hoogstens goe is het omplement van alles goe; e kans is us 0, 00 = 0, 999 Dit lukt niet met VU-Stat. Minstens één goe is het omplement van alles fout, us is e kans gelijk aan ( ) 0, 9 I-a Het gaat hier om het omplement van minstens ogen. Bij it omplement horen (,,,), (,,,), (,,,), (,,,) en (,,,). De gevraage kans is ( 0 99 ), Bij miner an zes horen e uitkomsten (,,,), (,,,), (,,,), (,,,) en (,,,). De kans is ( ), Let nu op even en oneven uitkomsten per oelsteen. In VU-Stat krijg je het volgene iagram. stap stap stap stap uitkomst kansen E E O EEEE EEEO EEOE EEOO 0,0 0,0 0,0 0,0 Even Oneven O E O E O E O E O EOEE 0,0 EOEO 0,0 EOOE 0,0 EOOO 0,0 OEEE 0,0 OEEO 0,0 OEOE 0,0 OEOO 0,0 OOEE 0,0 OOEO 0,0 OOOE 0,0 OOOO 0,0 Een even som krijg je preies an als er 0, of oelstenen zijn met een even aantal ogen. Hierij horen ahtereenvolgens, en mogelijkheen met elk een kans van 0,0. De kans op een even som is us 0, 0 = 0, en het antwoor op e vraag is us ja. 0

12 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen I-a Stel het regelmatige oomiagram in VU-Stat op e juiste manier in. Je leest an af P( GGG ) = 0,. Verhoog het aantal stappen naar. Je leest nu af at e kans op minstens goee atterijen 0, + 0, 09 = 0, 90. Verhoog het aantal stappen naar. De kans op minstens goee atterijen wort nu 0, + 0, , 0 = 0, 9. Kennelijk moeten we het aantal stappen nog verhogen tot. De kans op minstens goee is an 0, + 0, 0 + 0, , 00 = 0, 99. Hij moet us atterijen (of meer) pakken om een kans op minstens goee atterijen te heen ie oven 9% ligt. lazije 0 I-a Je kiest immers vershillene getallen. Je leest af. Dit komt overeen met preies één goe. Lees af en ereken als volgt: + = De roe allen zouen us e winnene getallen moeten voorstellen. Er zijn maar twee winnene getallen, us zou elk winnen getal gepresenteer moeten woren oor roe allen. Je zou in zo n situatie us twee keer hetzelfe winnene getal kunnen trekken. Het geruik van een moel met roe allen is us hier niet juist. I-9a Met geruikmaking van het regelmatige oomiagram lees je af en ereken je 0, + 0, = 0, Via het vaasmoel in VU-Stat lees je af en ereken je + = 0, Dat komt op hetzelfe neer als trekken zoner terugleggen. Het antwoor van a enerzijs en ie van en anerzijs liggen reelijk iht ij elkaar, maar zijn niet gelijk. Het is us zinnig om ij steekproeftrekken onershei te maken tussen met en zoner teruglegging.

13 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel lazije 0 I-0a De kansoom ziet er als volgt uit: e trekking e trekking e trekking uitkomst kansen De kans op keer roo is = 0, De gevraage kans is = = 0, 0 0 Veraner e aantallen roe en groene allen in het vaasmoel en lees af: = 0, 0 Je geruikt het regelmatige kansoom van VU-Stat met e juiste instellingen. Je vin an respetievelijk als antwooren 0, 09 = 0, 0 (vergelijk a), 0, 0 = 0, (vergelijk ) en (naat je een nieuw oomiagram het opgezet met e kans op roo in plaats van ) 0, 0 = 0, (vergelijk ). 0 0 I-a Een vaas met 000 allen waarvan 00 roo (kwaliteit A) en 00 wit (niet kwaliteit A). Stel het vaasmoel Trekken zoner teruglegging op e juiste manier in. Je leest an af at e kans op maal roo (kwaliteit A) 9,0% is. De kans is us 0,90. Het regelmatige oomiagram met e juiste instelling geeft als kans 0, 90.

14 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen e Omat e verhouing tussen roo (kwaliteit A) en wit (niet kwaliteit A) onerweg niet veel veranert als je slehts allen (likken) trekt. Dit heeft ermee te maken at het aantal roe allen en het aantal witte allen eie veel groter zijn an e steekproefgrootte. Je mag hier us enaeren met trekken met terugleggen. Benaeren via Steekproeftrekken met terugleggen geeft via VU-Stat en het oomiagram als uitkomst 0, 0 = 0, 0. lazije 0 T-a eem ijvooreel M voor meeoen en voor niet meeoen. Dan is e gevraage kans P( MMMM ) = ( ) = 0, 009 Er zijn routes. De gevraage kans is 0 9 P( M) = ( ) ( ) =, Deze kans is 0 09 P( MMM) = ( ) ( ) =, Minstens meewerkenen is het omplement van 0 of meewerkenen. De kans 0 meewerkenen is P( ) = ( ) = 0,, e kans op meewerkene is ij ereken. De gevraage kans wort us ( + ) = 0,. T-a eem ijvooreel B voor lauw, en voor wit. P( BBB ) = = 0, Het gaat hier om het omplement van e geeurtenis ij a. De kans is us = 0, 0 P( BB) + P( BB) + P( BB) = = = 0, De kansen zijn us niet allemaal gelijk! T-a De kans op elke mogelijk ominatie is =. Een tael van mogelijke uitkomsten voor e som. De vertiale ingang geeft e uitkomsten van e eerste tol, e horizontale ie van e tweee tol. Je kunt als som maar op manieren krijgen. De kans is us = Ook als som kun je maar op manieren krijgen, us e kans aarop is = Via e tael ij a en het feit at e kansen op ijehorene ominaties allemaal zijn kom je aan e kansvereling van e som. som van e uitkomsten kans

15 Hoofstuk - Rekenen met kansen Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel T-a De tael voor het vershil is Een vershil van 0 komt keer voor, een vershil van komt keer voor, enz. Op eze manier kom je aan e kansvereling: vershil van e uitkomsten 0 kans De verwahting van het vershil is =, De verwahting van e som is = T-a De kans op efet is P( A, efet) + P( B, efet) = 0, 00, + 0, 0, 0 = 0, 0 Dat is het ompliment van e geeurtenis ij a. De kans op een goee gloeilamp is 0, 0 = 0, 9. Deze kansoom ziet er als volgt uit. Je gaat er us van uit at,% van e ie ag geproueere lampen efet is. e trekking e trekking e trekking Defet 000 D G D G D G Goe D G D G D G P( DDD ) = ( 0, 0) 0, e Geen efete lamp etekent alle rie goe. P( GGG ) = ( 0, 9) 0, 90 lazije 0 T-a Lees op e juiste plaatsen in e tael af: 9 9 = 9 9 De kans at hij innen een jaar sterft is 0, Deze geeurtenis is het omplement van ie uit. De kans is us ongeveer 0, 000 = 0, 9999

16 Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Hoofstuk - Rekenen met kansen e f van e 9 0-jarige mannen sterven op -jarige leeftij. De kans is us 0, Van e zijn er na jaar nog 9 over, us zijn er gestorven. De kans om tenminste jaar te woren is 0,9. Er overlijen 9 9 = als ze jaar zijn. De kans om an op je -ste te overlijen is 0, 9 = 0, Hangt van jouw leeftij af en aarna kun je het erekenen. 0, 000 0, 00 0, het klopt us 99 Het gaat hier om het omplement van e geeurtenis ij a. De kans is us 0,999 T-a ,000 S L 0,000 S L S L 0,000 0,999 S L S L 0,999 S L 0,999 De sterftekansen zijn niets aners an e sterftequotiënten uit e tael. De overlevingskansen krijg je oor e sterftekansen van af te trekken. Deze kans is 0, 999 0, 999 0, 999 0, 999 e P( LL ) = ( 0, 999) 0, 999