Hoofdstuk 2 - Veranderingen

Transcriptie

1 lazije 6 V-1a 1 m, want ij een massa van kg lees je in e grafiek e lengte van 1 m af. Veer B is stugger, want in e grafiek kan je aflezen at wanneer je aan eie veren evenveel gewiht hangt, veer B korter is an veer A. Van naar 1 kg wort veer B van 1 naar m uitgerekt, us 2 m. Per kg is at 2 2 m. 1 Van naar 8 kg wort veer B van 1 naar m uitgerekt, us 2 m. Per kg is at 2 2, m. 8 V-2a Lijn m, want ie stijgt het snelst. Lijn l gaat oor e punten (, 2) en (4, 12), us e rihtingsoëffiiënt is gelijk aan ,. 4 4 Lijn m gaat oor e punten (2, 1) en (4, 6), us e rihtingsoëffiiënt is gelijk aan 6 1 7, Lijn m is e grafiek van f, want e rihtingsoëffiiënt van e grafiek van f is gelijk aan,, net als e rihtingsoëffiiënt van lijn m. Lijn l gaat oor (, 2), us het startgetal van lijn l is gelijk aan 2. De rihtingsoëffiiënt is 2,, us e funtie voor lijn l is g ( ) 2, + 2. e, 8 2, Invullen in e vergelijking van een van eie lijnen geeft y 21, Het snijpunt is us (1, 27). V- De formule om e kosten ij Vitens te erekenen is KV 1, w + 2, met w het aantal m³ rinkwater en KV e kosten in euro s. De kosten ij het anere erijf kunnen ereken woren met KA 19, w + 1, weer met w het aantal m³ rinkwater en KA e kosten in euro s. Wanneer je eie grafiek plot, zie je at e kosten van Vitens eerst lager zijn an ie van het anere erijf en at na w 1, e kosten van Vitens hoger zijn an ie van het anere erijf. Dus ij een afname van meer an 1, m³ water is het voor meneer Dupré goekoper om ij het anere erijf water af te nemen. lazije 7 V-4a De rihtingsoëffiiënt van lijn l is gelijk aan De rihtingsoëffiiënt van lijn m is gelijk aan ,. De rihtingsoëffiiënt van lijn l is groter an 8 8 rihtingsoëffiiënt van lijn m, us lijn l loopt steiler. De rihtingsoëffiiënt van lijn k is gelijk aan 8 266,. De rihtingsoëffiiënt van lijn n is gelijk aan De rihtingsoëffiiënt van lijn k is groter an rihtingsoëffiiënt van lijn n, us lijn k loopt steiler. 18 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

2 De rihtingsoëffiiënt van e lijn p is gelijk aan De vergelijking 2 2 heeft us e vorm y +. Omat het punt (, 4) op e lijn ligt, gelt at 4 +. Dus 4. Een vergelijking van e lijn p is us y 4. V- Punt Q(12, 6) invullen in e lijn met vergelijking y 4, + 6 geeft 6 412, + 6, waaruit volgt 6 6, us punt Q ligt op e lijn. V-6a De rihtingsoëffiiënt van e lijn is gelijk aan 1 2. De vergelijking heeft us e vorm y +. Omat het punt (8, 1) op e lijn ligt, gelt at Daaruit volgt. Een vergelijking van e lijn is y. De rihtingsoëffiiënt van e lijn is gelijk aan ,. De vergelijking heeft us e vorm y, +. Omat het punt (11, 14) op e lijn ligt, gelt at 14 11, +. Daaruit volgt 8,. Een vergelijking van e lijn is us y, + 8,. De rihtingsoëffiiënt van e lijn is gelijk aan ,. De vergelijking 8 heeft us e vorm y, +. Omat het punt ( 1, 8) op e lijn ligt, gelt at 8 1, 1+. Daaruit volgt 6,. Een vergelijking van e lijn is us y, + 6,. De rihtingsoëffiiënt van e lijn is gelijk aan De vergelijking heeft 9 us e vorm y +. Omat het punt (, 9) op e lijn ligt, gelt at 9 +. Daaruit volgt 9. Een vergelijking van e lijn is us y + 9. V-7a De rihtingsoëffiiënt van e lijn l is gelijk aan De rihtingsoëffiiënt van e lijn m haal je uit e vergelijking y 2+ 6en is gelijk aan 2. De rihtingsoëffiiënten van eie lijnen zijn gelijk, us ze zijn evenwijig. De rihtingsoëffiiënt van lijn k is. Lijn p loopt evenwijig en heeft us ezelfe rihtingsoëffiiënt als lijn k. De vergelijking van lijn p heeft us e vorm y +. Omat het punt (, 4) op e lijn ligt, gelt at 4 +. Daaruit volgt 19. Een vergelijking van e lijn is us y lazije 8 1a Om 7 uur en om 19 uur loopt e grafiek het steilst, us toen steeg het water het sterkst. In e perioe van 12. uur en 1. uur is e grootste afname in e tael te zien, us toen aale het water het sterkst, namelijk met m. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 19

3 Een stroming naar e zee, want e waterhoogte in e vaargeul aalt, us het water stroomt van e vaargeul rihting e zee. 2a tij in uren toename in m , toename waterhoogte in m 1,,, tij in uren 1, 1, De staven van 6 tot en met 1 uur zijn positief, us van tot 1 uur is er een stroming van zee naar lan. Ook e staven van 17 tot en met 22 zijn positief, us van 16 tot 22 uur is er ook een stroming van zee naar lan. lazije 9 a h in km T in C toename toename T in C h in km 2 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

4 De staven zijn even hoog. De toename is telkens graen per 1 km. Van naar 2 km is het stappen van 1 km, us er komt 2 graen ij e 18 graen ie er op km hoogte al was. In totaal us C. 4a tij in uren temperatuur in C toename , 1, , toename temperatuur in C tij in uren Je weet an niet hoe hoog e temperatuur werkelijk is, alleen hoeveel e toename of afname in ie perioe is. a Een stapgrootte van 1 uur geeft e veranering in temperatuur eter weer. tij in uren temperatuur in graen Celsius , , 14 Toename 1 1 1,8 1,8 1,, toename temperatuur in C tij in uren De staaf ij 16 is het hoogst (wanneer het omplete toenameiagram wort geteken), us in e perioe van uur steeg e temperatuur het snelst. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 21

5 lazije 4 6a 2% van,21 gram, us 2, 21, 1, 42 gram. tij in uren perentage van egingewiht toename toename gewiht in % tij in uren De staven woren stees miner negatief, us e afname van het gewiht wort ook stees miner. 7a Grafiek A (ijvooreel y ) en D (ijvooreel y ). Kwaratishe funtie: grafiek B (ijvooreel y 2 ), C (ijvooreel y 2 ), E (ijvooreel y 2 ), en F (ijvooreel y 2 ). Eponentiële funtie: grafiek B (ijvooreel y 2 ), C (ijvooreel y, ), E (ijvooreel y 2 ), en F (ijvooreel y, ). Grafiek B (ijvooreel y 1 ), C (ijvooreel y 1 ), E (ijvooreel y 1 ) en F (ijvooreel y 1 ). 1C, 2E, B, 4F, A, 6D. lazije a tij in uren toename temperatuur in C , 14, 9 1, , 11 1, Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

6 2 temperatuur in C tij in uren e Tot en met 14. uur zijn e staven in het toenameiagram positief, us stijgt e grafiek per perioe van een uur. Ergens tussen 14. en. uur woren e staven negatief, us egint e grafiek per uur te alen. Waarshijnlijk wort voorat e aling egint het hoogste punt ereikt, us ergens tussen 14. en. uur. N. Het is mogelijk at in een perioe waarin e grafiek in het toenameiagram een aling aangeeft (zoals e perioe van -16 uur), e grafiek toh nog stijgt en op een hoger punt uitkomt an at eerer ereikt is. Dit zou kunnen als e grafiek in e rest van ie perioe weer zo ver aalt, at er over e gehele perioe gemeten toh een aling uitkomt. Dit is ehter niet waarshijnlijk. In e perioe uur, omat e staven aar stees groter negatief woren. Om 16. uur. De staven woren vanaf at tijstip niet meer groter in e negatieve rihting, maar kleiner. 9a y 4 2,8 2,1 2 1,9 1,2 1 toename 1,2,7,1,1,7 2,2 4 1 toename Bij. De grafiek gaat ij van een afnemene aling naar een toenemene aling. De toenamen in het toenameiagram woren tot miner negatief, terwijl ze vanaf weer sterker negatief woren. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 2

7 1a Vul in voor u in W 1, u + 7u 2. Dat geeft W 1, , + 87 e 4287, maanwinst. w u Met e rekenmahine vin je met CALC Maimum het uurtarief waar e winst maimaal is, namelijk u 46, 67 uurtarief u winst W toename W e De toename gaat van een toenemene stijging naar een afnemene stijging. f uurtarief u winst W toename W, 162, 162, 1 6, 7, 127, 67, 2 2, 762, , 812, 6, 787, 4287, 687, 4 48, 12, 4 62, 262,, 62, 47, 462, 6 6, 97, , 1487, , De toenamen nemen toe tot aan 2 en aarna nemen ze af. Het uigpunt ligt us ij u 2. g uurtarief u winst W toename W 2 2, ,9 16, ,2 162, , 16, ,6 16, , 162, ,4 161, ,7 16, ,8 8, ,1, 6, 1,9 h De toenamen nemen toe tot aan 24 en aarna nemen ze af. Het uigpunt ligt us ij u 24. De winst stijgt vanaf het uigpunt miner snel. 24 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

8 lazije 42 11a De grafiek loopt steiler tussen e 4 e en e 4 e minuut an tussen e e en e 6 e minuut. De wielrenner legt an meer kilometers af in hetzelfe tijsestek van minuten, us e gemiele snelhei is groter. Als een rehte lijn, want per minuut legt e wielrenner elke keer evenveel kilometers af. f ( ), , 2 + 7, 717, us na minuten heeft e wielrenner ongeveer 7,7 kilometer afgeleg. f ( ) is het aantal afgelege kilometers na minuten, f ( ) is het aantal afgelege kilometers na minuten, us f( ) f( ) is het aantal afgelege kilometers tussen e e en e e minuut. e f ( ), , , 472 us f( ) f( ) 18, 472 7, 717 1, 6 afgelege kilometers tussen e e en e minuut. 1, 6, , km/min f In 1 uur 6 minuten legt e wielrenner 6 71, 426, af. Dus ongeveer 4 km/uur. f( 4) f( ) 26, , 2698 g, 779 km/min, us 6, , km/uur. 4 lazije 4 12a f () 1 ( 1 ), en f ( 4) ( 1 ) f() 6,2 1 y f( 4) f () 1 1 6, 2 2, 4 1, us y 2, 17, Het ifferentiequotiënt van f op het interval [1,4] is 1,7. 1a 4 en f f( 4) f ( ) 8, , 2 us f 26, 2, 7 4 en f f( 4) f ( ) 29, , , 47 us f 11, 47, 7698 km/min, us 6, , km/uur. De 6 e minuut loopt van t 9 tot t 6. t en f f( 6) f ( 9) 8, 76 8, 2791, 4269 us f t, , 4269 km/min, us 6, , km/uur. 14a Om 8. uur s ohtens stijgt e temperatuur het snelst, want an loopt e grafiek het steilst. t en T us is T t C/uur. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 2

9 t 1 1 en T e a us T 1 C /uur. (De temperatuur aalt us gemiel 1 C per uur). t Omat e temperatuur lineair afneemt tussen 1. en 1. uur, us op elk tijstip aartussen in aalt e temperatuur met ezelfe snelhei. Ron 14. en 2. uur, want aar loopt e grafiek horizontaal. Op interval [,2]: p t Op interval [2,6]: p t Op interval [6,9]: p t , 2 2 t 1 1,1 1,4 1, p,,642 4,29 4,149 Op interval [1;1,]: p t Op interval [1;1,4]: p t Op interval [1;1,1]: p t 6, , , p( 9) 6, 798 7, 6, 798, 72 2, 9 6 4, 149,, 649 1, 298, 1, 4, 29,, 29 1, 14, 1 4,, 642,, , 11, 1 1, 16a Wanneer je een liniaal langs e grafiek legt met ezelfe helling als e grafiek ij t, zie je at e wielrenner na ongeveer 7 minuten 4 km heeft afgeleg. f t 4 18, 21, 7 8, km/min, us ongeveer 48 km/uur lazije 44 17a t en 4 4 us a t 4 km/uur. tij t in uren, 1 1, 2 2, afstan a in km fietser A 7, 22, 7, 4 afstan a in km fietser B 11, ,2 6 41,2 4 Interval Fietser A Fietser B [;,] [,; 1] [1; 1,] [1,; 2] [2; 2,] [2,; ] t 7, 7, 1,, t 7, 7,,, t 22, 7,, 1, t 22, 7, 2 1,, t 7, 7, 2, 2, t 4 7, 7, 2,, t 11, 2 11, 2 22,,, t 21 11, 2 97, 19, 1,, t 29, , 16,, 1, t 6 29, 2 67, 1, 2 1,, t 41, 2 6 2, 1, 2, 2, t 4 41, 2 7, 7, 2,, 26 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

10 e f De grafiek van fietser A is een rehte lijn en e formule een lineair veran, us fietser A fietst op elk interval even har, namelijk altij km/uur. De helling van e grafiek in een punt is e snelhei van e fietser op at moment. Op interval [1; 2]: a t 6 21 km/uur Op interval [1; 1,]: a t Op interval [1; 1,1]: a t 29, , 16, km/uur, 1, 22, , 17, 7 km/uur 11, 1 1, Het antwoor ij het interval [1; 1,1], want at zit het ihtste ij e snelhei op tijstip t 1. 18a Neem ijvooreel het interval [1; 1,1] t 21, 18 21, km/uur 1, 1 1, 1 t 29, 26 29, 2, km/uur 1, 1,, 1 Dit is ineraa gelijk aan e snelhei van fietser A. t 6, 12 6, km/uur 2, 1 2, 1 lazije 4 19a Hoe verer wort ingezoom, hoe meer e grafiek op een rehte lijn gaat lijken. f 4, , 2 1 2,, De helling van e grafiek ie raakt aan f is gelijk aan e helling van e grafiek van f in het punt (1, 4), us 2. 2a y Kies een klein interval ij 1, ijvooreel [1; 1, 1], f, , 2 1 2,, (, ) ligt aan e anere kant van e symmetrieas ten opziht van (1, ), us e helling is 2. Punten waar e grafiek e -as snijt zijn (, ) en (4, ). e f, 4 1, 4 1 4, us e helling in (, ) is gelijk aan 4.,, Vanwege e symmetrie van e paraool is e helling in (4, ) gelijk aan 4. In e top van e paraool is e helling gelijk aan. Een erekening als ontrole: f 4, , 1, us e helling in (2, 4) is gelijk aan.,, Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 27

11 21a e f t 8 2, km/min, us 6, 2 km/uur. 1 2 t 8 7, 2 km/min, us 6, 2 14 km/uur. 6 Omat Ineke tussen t en t 6 met een (nagenoeg) onstante snelhei loopt (e grafiek is lineair), is e snelhei op elk tijstip gelijk aan e gemiele snelhei in ie perioe. Tussen t 1 en t is e grafiek niet lineair, us je kunt niet zeggen at e snelhei op t gelijk is aan e gemiele snelhei tussen t 1 en t. Neem 2 punten op e raaklijn: ijvooreel (, ) en (, 1). De rihtingsoëffiiënt van e raaklijn is an a t 1,. Dit is gelijk aan Ineke haar snelhei in km/min, us in km/uur is haar snelhei 2. Teken e lijn ie e grafiek raakt in het punt met t 8. Dan neem je 2 punten op eze raaklijn: ijvooreel (4,) en (8,18). De rihtingsoëffiiënt van e raaklijn is an a t 18, 7 Haar snelhei is us,7 km/min, oftewel 4, km/uur lazije 46 22a Bij t egint e al op e hoogte van e toren. t invullen in ht () t 2 + 2t+ geeft at e toren meter hoog is. h t 12, 9 2, 2, m/s. De snelhei op t 4 is us ongeveer 41, 4 1, 2, m/s (at wil zeggen, 2, m/s omlaag). h t 14, 998, 2 2 m/s. De snelhei op t 4 is us ongeveer 2 m/s 4, 1 4, 1 (at wil zeggen, 2 m/s omlaag). 2 m/s (at wil zeggen, 2 m/s omlaag). e De al raakt e gron als t 7. f g h t,, m/s. De snelhei waarmee e al e gron raakt is 7, 1 7, 1 us ongeveer m/s (at wil zeggen, m/s omlaag). h t m/s.,, De helling van e grafiek op t 2 is gelijk aan e snelhei op at tijstip, us. Dit kun je ook zien aan e grafiek: ie loopt ij t 2 horizontaal. 2a f 4, 21 4, 21 21, us e helling in (1, 4) is gelijk aan 21. 1, 1 1, 1 f , us e helling in (2, 44) is gelijk aan.,, De antwooren van opraht a komen overeen met e tael. Bij 2 is e helling, aarvoor is e helling positief en aarna is e helling negatief, us e grafiek van f heeft ineraa een top voor 2. Een maimum, want in e tael kun je zien at tot 2 e grafiek stijgt en aarna aalt. e Voer in ( TI-8 ): Y1 X^ X^2+ 48X en Y2 ( Y1( X +. 1) Y1( X))/. 1 ofy2 Nerive( Y1, X, X). 28 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

12 l Hoofstuk 2 - Veraneringen Voer in ( CASIO ): Y1 X^ X^2+ 48X in e TABL moe en zet via SETUP DERIVATIVE op ON en kies via RANG e van 6 tot en met 1, an krijg je e volgene tael: X Y1 helling Bij 8 is e helling ook, aarvoor is e helling negatief en aarna positief, us voor 8 is er ook een top (een minimum). lazije 47 24a X Y1 helling,,,2,77 1,4142, 1, 1,,7 1,22,816 1, 1,414,771 In e grafiek kun je zien at e helling stees meer afneemt. Voor < <, is e helling groter an 1. X Y1 helling 48 9,798, ,899,11 1,,1 1 1,1,99 2 1,198,98 Voor > is e helling kleiner an,1. De helling wort stees kleiner naarmate toeneemt, maar e helling zal nooit nul woren. e In (, ) loopt e grafiek vertiaal en een vertiale lijn heeft geen hellingsgetal. Je zou ook kunnen zeggen at e helling oneinig groot is in (, ). 2a Na 12 agen komt het aantal inseten voor het eerst oven e 1. Meer inseten zorgen ook voor meer nakomelingen. De grafiek is toenemen stijgen. t N groeisnelhei,,1 6,6 4,4 44,7 49, 4, 6, 66,6 7,6 De groeisnelhei lijkt us evenreig met e grootte van het aantal inseten met evenreigheisfator,1, oftewel groeisnelhei 1, N. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 29

13 26a De oprengst neemt eerst sterker toe an e kosten, aarna miner sterk en uiteinelijk neemt e oprengst zelfs af terwijl e kosten lijven toenemen. O 9 q 6, us e gemiele oprengst is euro per zonnewijzer. De raaklijnen aan e grafieken zijn ongeveer evenwijig voor q. Het vershil oprengst kosten is aar maimaal, omat aarna e kosten sterker gaan toenemen an e oprengst. Ook e afstan tussen e grafieken is aar maimaal. 27a q Helling O Helling K Bij q is zowel voor e oprengst als voor e kosten e helling gelijk aan. De maimale winst is O( ) K( ) 7, 2, 12 euro. lazije 48 28a 12 2 toename aantal slahtoffers tij in agen Op at moment nam het aantal slahtoffers het sterkst toe. De algemene formule van een eponentiële funtie is f( ) a. Uit e grafiek kun je 2 punten aflezen: (4, ) en (14, 6). In 1 agen is het aantal slahtoffers us gegroei van naar 6. De groeifator per 1 agen is an 6 2. De groeifator per ag is an 2 1, 494. De formule wort an f( ) a 1, Invullen van (4, ) geeft a 1, 494 4, us a 9, 126 9,. Een funtievoorshrift ie e grafiek goe enaer is an f( ) 9,,. 29a N( ), N( 1) 69, us in het eerste jaar komen er 19 konijnen ij. N( 2) 196, N( ) 9, us in het ere jaar komen er 4 konijnen ij. N , us er komen gemiel 41 konijnen per jaar ij in t e perioe [, ]. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

14 e N 69, 69,, us met konijnen per jaar. t 1, 1 1, 1 Omat e snelhei in het eerste jaar niet onstant gelijk aan e snelhei op t 1 is, maar stees toeneemt. a Het egin van 1997 is hetzelfe als ron tijstip t. Om te weten hoe snel het aantal inwoners groeie, moet je een ifferentiequotiënt erekenen. P 1, ,, 174, 174 miljar inwoners per jaar, us t, 1, 1 17,4 miljoen per jaar is 18 jaar na , us t 18. Het verwahte aantal inwoners is an P 12114,, 18 1, 6 miljar. P 1, , 6468, 2228, 22 miljar inwoners per jaar, t 18, 1 18, 1 us 22, miljoen per jaar. lazije 49 1a s in km t in minuten Het eerste stuk gaat mevrouw Ahterhuis stees harer rijen, ergens halverwege minert ze vaart en gaat ze stees langzamer rijen. Plot e grafiek van e hellingen, us van e snelhei, en epaal met CALC Maimum e grootste snelhei. Je vint an at e grootste toename en us e grootste snelhei ij t plaats vint. De snelhei was aar ongeveer 2, km/min ( km/u!). Meneer Bouma heeft 12 minuten met 2 km/min gereen, us hij heeft in totaal 24 km afgeleg. st () 2t e Snij e grafiek van opraht met Y 2 en epaal het snijpunt met CALC Interset. Na 1,27 minuten en na 8,7 minuten reen mevrouw Ahterhuis en meneer Bouma met ezelfe snelhei. 2a Oprengst prijs per kop aantal kopjes ent. Kosten kosten per kop aantal kopjes ent Winst Oprengst Kosten 6 2 ent, oftewel e. Of: Winst per kopje e,, us Totale Winst 1, euro. Het aantal kopjes soep q at verkoht wort neemt met 2 toe als e prijs met ent afneemt. Bij e prijs van 4 ent woren er 16 kopjes verkoht; ij e prijs van ent woren er 2 kopjes verkoht. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 1

15 e Oprengst 2 7 ent Kosten 2 2 ent Winst 7 2 ent, oftewel e 2. Of: Winst per kopje e,1, us Totale Winst 2 1, 2 euro. Dat is us miner winst an tot nu toe. De winst is e oprengst min e kosten. De winst is us maimaal wanneer e grafiek van e oprengst zo ver mogelijk oven e grafiek van e kosten ligt. Of: e winst is maimaal als e grafieken even steil lopen. Dat is ongeveer ij p. Het aantal kopjes q neemt met 2 af als e prijs p met toeneemt. De rihtingsoëffiiënt is us 2 4. Het funtievoorshrift wort an qp ( ) 4 p+. Vul (6, 1) in en je krijgt en aaruit volgt 4. Het voorshrift voor q uitgerukt in p is us qp ( ) 4p + 4. f Oprengst prijs per kop aantal kopjes pq p ( 4p+ 4) 4p 2 + 4p Kosten kosten per kop aantal kopjes 2 q 2 ( 4p+ 4) 1p + 8 Winst Oprengst Kosten ( 4p 2 + 4p) ( 1p+ 8) 4p p 8 g p 6 61 TW 46 De winst veranert us met 44 ent (e winst wort 44 ent miner). 2 h Voer op je rekenmahine in:y1 4X + 44X 8. Met CALC maimum vin je een maimum ij p. i TW( ) 6, us e maimale winst is 6 ent, oftewel e 6,-. lazije I-1a Uit e grafiek kun je aflezen at na ongeveer 4 agen (96 uur) er nog 2% van het egingewiht over is, oftewel ongeveer 2,, 21 1, 42 gram toename gewiht in % tij in uren De staven naar eneen (e afname) woren stees kleiner, maar het uurt heel lang voorat ze volleig zijn geworen en er een onstant gewiht is ereikt. I-2 1C, 2E, B, 4F, A, 6D. 2 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

16 I-a t in agen waterhoogte in m waterhoogte in m Bij ag 8 gaat het toenameiagram over van stijging (positieve waaren) naar aling (negatieve waaren). Van ag 1 tot en met 12 en van ag tot en met 17 was er sprake van een afnemene aling van e waterhoogten. Ron ag 12. e De negatieve staven woren in plaats van stees kleiner weer stees groter ag lazije 1 I-4a 6, toename, 4,, 2, 1, Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

17 1 De grafiek gaat over van een afnemene stijging naar een toenemene stijging. Het toenameiagram heeft een minimum. I-a e In een top is e toename gelijk aan en gaat het toenameiagram over van een toename naar een afname (ij een maimum) of van een afname naar een toename (ij een minimum). In een toenameiagram kun je niet zien at e grafiek een snijpunt met e -as heeft. Dan zijn e staven van het toenameiagram even hoog. Het toenameiagram gaat over van kleiner worene negatieve (respetievelijk positieve) staven naar groter worene negatieve (respetievelijk positieve) staven of anersom. Bij een top in het toenameiagram loopt e grafiek het steilst omhoog (e top is een maimale toename) of het steilst naar eneen (e top is een maimale afname) of het minst steil omhoog (e top is een minimale toename) of het minst steil omlaag (e top is een minimale afname). Wanneer het toenameiagram e -as snijt, is er sprake van een top in e grafiek; it is een maimum wanneer er een overgang plaatsvint van toename naar afname en een minimum inien er een overgang plaatsvint van afname naar toename. Wanneer het toenameiagram een onstante helling heeft, is e grafiek een eel van een alparaool wanneer e helling positief is en een eel van een ergparaool waneer e helling negatief is (een onstante toename van e toename is gekoppel aan een kwaratishe funtie). I-6a W( ) e 4287, y e Instelling voor e y-as: [, 6] Bij u 47 is e winst maimaal. Met Taellen Horizontale tael kun je een horizontale tael laten tekenen. uurtarief u winst W toename W De toename wort eerst stees groter en na u weer kleiner, us e grafiek is an van een toenemene stijging naar een afnemene stijging overgegaan. 4 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

18 f uurtarief u winst W toename W 162, 162, , 127, 67, , , 812, 6 787, 4287, 687, , 4 62, 262, 62, 47, 462, , , 1487, , Het uigpunt ligt ongeveer ij u 2. g uurtarief u winst W toename W 2 2, ,9 16, ,2 162, , 16, ,6 16, , 162, ,4 161, ,7 16, ,8 8, ,1, 6 1,9 Dus het uigpunt ligt ij u 24. h toename W u i Bij het uigpunt stijgt e winst het snelst. lazije 2 I-7a De grafiek loopt steiler tussen e 4 e en e e minuut an tussen e e en e 6 e minuut. De wielrenner legt an meer kilometers af in hetzelfe tijsestek van 1 minuten, us e gemiele snelhei is groter. Na minuten heeft e wielrenner 18, km afgeleg, na 4 minuten 29,89 km. Dus e afstan is 29, 89 18, 11, 4 km toegenomen. De tij is minuten toegenomen. 11, 4 77, km/min, us 6, 77 46, 16 km/uur. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

19 I-8a Met CALC Maimum kun je e top epalen zie je at op t e vuurpijl e maimale hoogte ereikt. Op t is e hoogte h( ) 2, op t is e hoogte h( ) 47, us e vuurpijl is 4 meter gestegen. De gemiele snelhei is 4 m/s. h( ) h() In e perioe van t tot t is e vuurpijl 2 meter geaal. h( ) h() De gemiele snelhei van e vuurpijl over het interval 2 [, ] was us 1 m/s omlaag. lazije I-9a f () 1 ( 1 ), en f ( 4) ( 1 ) f 6,2 1 f 1 6, 2 2, 17, 4 1 Het ifferentiequotiënt van f op het interval [1, 4] is gelijk aan 1,7. I-1a 4 f 18, 29,89 us f 11, 4 77, km/min 6 77, 46 km/uur. De 6 e minuut is van t 9 tot t 6, us het ifferentiequotiënt op het interval [9, 6] is hetzelfe als e gemiele snelhei in e 6 e minuut. t en f f( 6) f ( 9) 8, 71 8, 28, 4 us f t 4, 1 4, km/min, us 6, 4 26 km/uur. e t 4 1 en f f( 4) f ( ) 21, 48 2, 7, 78 us f t 78, 1 78, km/min, us 6, km/uur. I-11a y Interval [, 1]: y 6 1 Interval [1, 4]: y Interval [4, 9]: y Interval [9, 16]: y Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

20 y Lijnstuk A gaat oor (, ) en (1, 6), us het hellingsgetal is y 6 1 Lijnstuk B gaat oor (1, 6) en (4, 8), us het hellingsgetal is y Lijnstuk C gaat oor (4, 8) en (9, 6), us het hellingsgetal is y Lijnstuk D gaat oor (9, 6) en (16, ), us het hellingsgetal is y De hellingsgetallen en e ifferentiequotiënten zijn gelijk I-12a De lijn aalt. Groter (miner negatief), want e lijn loopt miner steil naar eneen. Voor p 8, want ij 8 is e grafiek op ezelfe hoogte als ij 2. I-1a Een alene rehte lijn met ezelfe rihting als e grafiek op t 4 heeft, want het voorwerp hout ie snelhei. h in meters t in seonen Het hellingsgetal is ongeveer 9 (eat 9,2). h t 221, 6 22, 471, m/s. Dat komt ongeveer overeen met het 4, 9 1, antwoor van opraht. lazije 6 T-1a t in maanen waterhoogte in m 2,7 2, 2,,,9 4, 2,,, 2,,,1 2, maan j f m a m j j a s o n toename,2,4 1, ,9,9,2,6 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 7

21 toename waterhoogte In maart. Maart heeft 1 agen, us het water steeg met, 97 meter per ag. 1 In juni en juli aale het water het meest, namelijk met 2 meter. Aangezien juni maar agen heeft en juli 1, aale in juni het water het snelst, namelijk met 2, 67 meter per ag. t T-2a, 1 1, 2 2,, 4 4, f() 6,12 9 9,7 8,62,87 1,12, 1 1, 2 2,, 4 4, toename 6,12 2,87,7 1,7 2,7 2,62 2,12,87 1,12,87 8 toename Het uigpunt van e grafiek van f ligt ij, want an gaat het toenameiagram over van toenemene aling naar afnemene aling. f in meters In e grafiek is te zien at het uigpunt ij ligt. T-a Ralf rijt een uur lang, us 6 minuten. A m/min. t 6 6 A t De snelhei neemt eerst toe tot ongeveer e e minuut en aarna weer af. 8 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v

22 A 446, 2 86, 7 8, 7, us e gemiele snelhei is ongeveer 84 m/min. t 1 A , us e gemiele snelhei is 26 m/min. t 1 T-4a Voer op je rekenmahine in Y1 2 Met CALC maimum vin je een maimum ij t seonen. h( ) 4, us e hoogte is 4 meter. h 4 2, us e gemiele snelhei is m/s. t 1 h 9, 9 4 1, us e snelhei is ongeveer 1 m/s omlaag. t 1, 1 m/s 6 1 m/uur 6 km/uur e De steen valt op e gron na 6 seonen, want h(6). t 6 6,1 h, h,, us e snelhei is ongeveer m/s omlaag. t, 1 lazije 7 T-a G( ) 2, 4 gram. t,1 G 2,4 2,41 G, 1 t 1 1,, e groeisnelhei op t is ongeveer,1 gram per ag., t 2 2,1 G 2,9848 2,9887 G, 42 t 1 42, us e groeisnelhei op t 2 is ongeveer 4,2 gram per ag., Maak e tael op e TI-8 met Y ^ X en ( Y1( X +. 1) Y1( X))/. 1 of Nerive (Y1, X, X). Op e CASIO met Y ^ X, Y ^( X +. 1) eny ( Y2 Y1)/. 1. Y is an e hellingfuntie. tij t gewiht G groeisnelhei 2,4,1447 4,621, ,897 1,168 17,11 2, ,984 4, ,9 8, ,28 16,22 Er gelt stees het lineaire veran: groeisnelhei, 11G. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v 9

23 T-6a q TK TO Toename TK Toename TO ,1 6 62, , , ,19 6,41 18, , , , , ,26 27, , ,4 8 24,4 TO neemt in het egin snel toe en aarna stees langzamer, terwijl TK aan het egin heel langzaam toeneemt en aarna stees sneller. De winst van e raner zal maimaal zijn wanneer e oprengst en e kosten even snel toenemen, us ij 7 of 8 ontainers. 2 2 TW( q) TO TK q ( 2q + 1) q 2q 1 TW( 6) 28, 42, TW( 7) 288, 86 entw( 8) 286, 2, us e winst is maimaal e 288,86 ij een verkoop van 7 ontainers. T-7a In geeelte I valt e parahutist stees sneller. In geeelte II valt e parahutist met onstante snelhei. In geeelte III neemt e snelhei waarmee e parahutist valt af. In geeelte II valt e parahutist met onstante snelhei (maar een lagere snelhei an ij geeelte II). h e t h, , 4 us e snelhei is ongeveer 29,4 m/s omlaag. t, 1 Op t 6 is het eine van e vrije val t 6 6,1 h 82,6 82,412 h, 88 8, 8 ; e snelhei is ongeveer 8,8 m/s us 212 km/uur omlaag, ineraa ongeveer 21 km/uur. t, 1 De parahutist opent zijn parahute 87 meter oven e gron, at is na 6 seonen. 2 seonen later, us na 8 seonen, is e parahutist meter gevallen, us zijn hoogte is an nog 82 meter. Uit e grafiek lijkt het at hij na 17 seonen op e gron elant. t 8 17 h 82 h 82 7, m/s, us e snelhei in het laatste geeelte is ongeveer 2 km/uur omlaag. t 117 T-8 Op t 1 is e al op ezelfe hoogte als op t, alleen is hij in het eerste geval onerweg omhoog en in het tweee geval omlaag. Daaroor is e gemiele snelhei m/s. 4 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 2 Noorhoff Uitgevers v