j. géén relatie: 4 en 5 zijn geen geordende paren (ook geen geordende ééntallen).

Transcriptie

1 inire reltie mg leeg zijn!) g. inire reltie (= een verzmeling georene pren). mogelijke Crtesishe prouten zijn: IN IN, IN IR, IR IN, IR IR,(uitleg: een inire reltie mg leeg zijn! En e lege verzmeling is eelverzmeling vn elke verzmeling, us ook vn elk Crtesish prout) h. inire reltie (= een verzmeling georene pren). mogelijke Crtesishe prouten zijn: IN IN, IN IR, IR IN, IR IR, (uitleg: ij IN IN is het e zgn. universele reltie). i. unire reltie, geen inire reltie mr een unire reltie (= een verzmeling ééntllen). j. géén reltie: 4 en 5 zijn geen georene pren (ook geen georene ééntllen) R = {(x, y ) (x >0 y>0) (x 0 y0) } Ook goe is ntuurlijk: R = {(x, y ) (x y>0 }. R = {(x, y ) x + y>0 }. R = {(x, y ) x + y = even } (nog mooier: R = {(x, y ) k [ k Z x + y = k ]}). R = {(x, y ) x y = even } (nog mooier: R = {(x, y ) k [ k Z x y = k ]}) De gegeven ewering is onjuist: kies.v. U = {, }, met A = { }, B = {, } zot: A B = {(, ), (, )}; r A B gelt t R = mogelijk is Voor l eze relties gelt: R : A A. R = {(0, 0), (0, ), (0, ), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (, 0), (, ),... (, 5) }.. R = {(4, 0), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5),. R = {(0, 0), (0, ), (0, ), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (, 0), (, ),... (, 5). (4, 0), (4, ),... (4, 5) }.. R = {(4, 0), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (0, ), (0, ), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (, 3), (, 4), (, 5). (, 5) }. -3-

2 3.4.. niet reflexief (wnt: (, ) R ), wel symmetrish, mr niet trnsitief (wnt (, ) R (, ) R (, ) R );. reflexief, symmetrish, mr niet trnsitief (wnt (, ) R (, ) R (, ) R );. niet reflexief (wnt: (, ) R ), niet symmetrish (wnt: (, ) R (, ) R ), en niet trnsitief (wnt (, ) R (, ) R (, ) R ); R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e ), (, )} niet symmetrish, wnt (, ) R.. R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e ), (, ), (, )}. R = {(, ), (, ), (, ), (, )}. R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e ), (, )} ofwel: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e ), (, ), (, ), (, )} Onjuist: kies: R = {(, ), (, ), (, ), (, )} n: A A R = {(, ), (, ),... (, ), (, )} lle pren (, )... (, ) zitten er nu niet meer in.. Onjuist: kies: R = R = {(, ), (, ), (, ), (, )} n gelt: R R =. Dr niet reflexief is, is e onjuisthei ewezen.. Onjuist ( A, R ) ( A, R ) -3-

3 ( A, R R ) eze is niet trnsitief, wnt (R R ) (R R ) (R R ). ( A, R ) ( A, R ) ( A, R R ) eze is niet trnsitief wnt (R R ) (R R ) (R R ) refletie: We moeten onerzoeken of x [ xrx ] gelt, ofwel x [ x + x is even ]. Dr x + x = x en r *ntuurlijk getl ltij even is, gelt x [ x + x is even ] en us x [ xrx ]: R is reflexief. symmetrie: We moeten onerzoeken of x y [ xry yrx ] gelt, ofwel x y [(x + y is even ) (y +x is even )]. -33-

4 Dr x + y = y + x, gelt x y [(x + y is even ) (y +x is even ) ] en us x y [ xry yrx ]: R is symmetrish. trnsitiviteit: We moeten onerzoeken of x y z [(xry yrz ) xrz ] gelt, ofwel x y z [((x + y is even ) (y + z is even )) (x + z is even )]. Welnu: ls x + y even is, zijn ofwel x en y eie even ofwel eie oneven. Hetzelfe gelt voor y + z. Dr y in zowel x + y ls in x + z zit, gelt us t ofwel x, y, z llr rie even ofwel lle rie oneven zijn. Dus gelt t x + z n ook even is. Er gelt us x y z [((x + y is even ) (y + z is even )) (x + z is even ) ]. Dus gelt x y z [(xry yrz ) xrz ], us R is trnsitief. Conlusie: r R reflexief, symmetrish en trnsitief is, is R een equivlentiereltie.. R is wel symmetrish, mr niet reflexief en ook niet trnsitief: Tegenvooreel reflexie: R gelt niet, wnt + = en is niet oneven mr even. R is us niet reflexief. Tegenvooreel trnsitiviteit: R en R3 gelen eie, mr niet gelt R3 wnt + 3 = 4 en 4 is niet oneven mr even. In e implitie (R R 3) (R 3) is het linkerli wel wr, mr het rehterli niet: e implitie is onwr. R is us géén equivlentiereltie R R = {(, ), (, ), (e, e )}. R R = {(, ), (, ), (, ), (, )}. R R = R = {(, ), (, ), (e, )}. R R R = {(, ), (, ), (, e )} (*zie ntwoor *) e. R 3 = R (R ) = {(, ), (, )} (*zie ntwoor *). Dit gt nloog n het ntwoor op opgve Conlusie: r R reflexief, symmetrish en trnsitief is, is R een equivlentiereltie. -34-

5 3.5.. j: het Coomein vn R = het Domein vn R 3 = B.. neen: het Coomein vn R (= B ) het Domein vn R (=A ).. j: het Coomein vn R 3 = het Domein vn R = A.. j: het Coomein vn R R 3 = het Domein vn R R 3 = A. Vooreel: kies A = {, }enb = {,, 3} met R = {(, ), (, 3)} en R 3 = {(, ), (, ), (3, )} zot: R R 3 = {(, ), (, )} en us: (R R 3 ) = {(, ), (, )} zot: (R R 3 ) 3 = {(, ), (, )} I. Kies: A = {Geert, Elise }, B = {Brussel, Essen, Amsterm } en C = {Neerlns, Frns, Duits }en R = {(Geert, Essen )} R = {(Brussel, Frns ), (Brussel, Neerlns )} R 3 = {(Essen, Duits )} n is voln n: R A B, R B C, R 3 B C.. R (R R 3 ) = {(Geert, Duits )};. R R R R 3 = {(Geert, Duits )};. R (R R 3 ) = R R R R 3 )}; Neen it is géén verrssing (géén uitleg mr). II. Kies nu ehter: R = {(Geert, Essen ), (Geert, Amsterm )} R = {(Essen, Duits ), (Amsterm, Neerlns )} R 3 = {(Essen, Duits ), (Essen, Neerlns )} Overigens zijn e relties nu niet erg mtshppelijk relevnt meer!! n is voln n: R A B, R B C, R 3 B C.. (R R 3 ) = {(Essen, Duits )} R (R R 3 ) = {(Geert, Duits )}. R R = {(Geert, Duits ), (Geert, Neerlns )}; R R 3 = {(Geert, Duits ), (Geert, Neerlns )}; R R R R 3 ) = {(Geert, Duits ), (Geert, Neerlns )};. R R R R 3 ) R (R R 3 ). zie II -35-

6 3.5.4 Gegeven zijn R en R op A = {,, 3, 4}.. [ R en R zijn eie reflexief ] [ R R is symmetrish ]isonjuist ; tegenvooreel: ( A, R ) ( A, R ) ( A, R R ) R = {(, ), (, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} R = {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} n zijn R en R eie reflexief en R R = {(, ), (, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} us R R is niet symmetrish.. [ R en R zijn eie trnsitief ] [ R R is trnsitief ] is onjuist ; tegenvooreel: 4 ( A, R ) 3 4 ( A, R ) 3 4 ( A, R R ) R is trnsitief. R ook. R R = {(, 3), (3, )} is niet trnsitief wnt n zou o.. ook (, ) R R moeten gelen

7 3.6.. Meerere (preiezer: 0 of meer).. Annemene t reizigers en klnten hetzelfe is: Meerere (preiezer: 0 of meer).. rres N Reisureu * rnm heeft N klnt kres * knm -37-

8 3.7.. Tel lezer Loe nm res wpl soort B. Teeuwissen Steegje Delft jeug 9 R. Vogels Plein 3 Delft jeug 9 H. Weenink Strt 4 Den Hg volw Tel oek Boe titel shrijver 5 Alles over informti J. Slimmns 47 Sommen mken: hoe? J. Stuiemns 3 Alles over peh P. Dommns Tel lening Loe Boe tum_terug We kiezen e inhou vn e tel lezer : R = {(Loe, ), (nm, B. Teeuwissen), (res, Steegje ), (wpl, Delft), (soort, jeug)}. R = {(Loe, 9), (nm, R. Vogels), (res, Plein 3), (wpl, Delft), (soort, jeug)}. R 3 = {(Loe, 9), (nm, H. Weenink), (res, Strt 4), (wpl, Den Hg), (soort, volw)}.. e eerste eis gelt niet: er wort nl een Boe 5 uitgeleen n Loe 9. De tweee eis gelt wel.. J t lijkt me wel hnig: men kn nu eenml geen oeken uitlenen ie niet in e ie nwezig zijn; evenls men geen oeken n een niet-estne lezer kn uitlenen. Wrshijnlijk etreft het hier een intikfoutje vn e geruiker: er is wel een Boe 5 i.p.v. 5; zo kun je us e geruiker eshermen tegen intikfouten. -38-

9 4 Funties 4.. Merk op t e opgve hoort ij e tel uit 4... Niet zinvolle uitrukking: hter f zou een ttriuut-nm moeten stn en er stt een ttriuut-wre.. Zinvolle uitrukking: f (res ) = Murits 33.. Zinvolle uitrukking: f (woonplts ) = Den Hg, terwijl f 3 (woonplts ) = Delft. Er stt us een (zinvolle) ewering ie niet wr is.. Zinvolle uitrukking: f (ioe ) = Dit is een ntuurlijk getl. Er stt us een (zinvolle) ewering ie wr is. e. Geen zinvolle uitrukking: f i (ioe ) stelt een ttriuut-wre voor ie ehoort ij het ttriuut ioe. Ahter een lkwntor moet een preit (een eigenshp us) stn. f. Zinvolle uitrukking: ijvooreel gelt er t f (ioe ) = Dit is een ntuurlijk getl. Ook voor lle nere ioe s gelt t ze ntuurlijke getllen zijn. Er stt us een (zinvolle) ewering ie wr is Dit is een funtie: elk element vn het omein wort fgeeel op preies één element vn het oomein.. Géén funtie en wel om twee reenen: het element wort niet fgeeel; het element heeft twee vershillene eelen: en ; -39-

10 . Géén funtie en wel om e volgene reen: het element heeft twee vershillene eelen (nmelijk en ).. Dit is een funtie: elk element vn het omein wort fgeeel op preies één element vn het oomein Binire reltie (te zien n e georene pren). Géén funtie: niet lle originelen heen een eel (ijvooreel 0 niet).. Géén inire reltie (wel een unire). Geen funtie us ook.. Géén inire reltie (wel een unire). Geen funtie us ook.. Binire reltie (te zien n e georene pren). Tevens een funtie: elk origineel heeft preies één eel. e. Binire reltie (te zien n e georene pren). Géén funtie: sommige originelen heen twee eelen (ijvooreel 0 heeft ls eelen en- ). f. Binire reltie (te zien n e georene pren). Tevens een funtie: elk origineel heeft preies één eel. g. Binire reltie (te zien n e georene pren). Géén funtie: niet lle originelen heen een eel (ijvooreel niet ie zou ls eel heen, mr t zit niet in Z). h. Binire reltie (te zien n e georene pren). Tevens een funtie: elk origineel heeft preies één eel géén funtie:.v. 4 heeft twee eelen: en -; ovenien heen vele getllen géén eel (.v. 0 heeft geen eel).. géén funtie: vele getllen heen géén eel (.v. 0 heeft geen eel).. géén funtie: vele getllen heen géén eel (lle negtieve getllen heen geen eel).. géén funtie: vele getllen heen géén eel (lle negtieve getllen heen geen eel). Bovenien heeft.v. twee eelen. e. wel een funtie: elk (reëel) getl heeft een (reëel) kwrt. f. wel een funtie: ij elk (reëel) getl kn een ner (reëel) getl woren ereken oor het getl met te vermenigvuligen en er vervolgens ij op te tellen. -40-