Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Transcriptie

1 Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief is, dn R n ook, voor elk ntuurlijk getl n. Gegeven: R is trnsitief. Te bewijzen: R 2 is trnsitief. Bewijs: Lt (x, y) R 2, (y, z) R 2. We moeten lten zien dt (x, z) R 2. Uit (x, y) R 2 volgt met trnsitiviteit vn R dt (x, y) R. Uit (y, z) R 2 volgt met trnsitiviteit vn R dt (y, z) R. Mr dn zit (x, z) R 2 volgens de definitie vn R 2. Nu lgemeen. Voor n = 0 is de bewering wr, wnt R 0 = I is trnsitief. Voor n = 1 ook, wnt het is gegeven dt R 1 = R trnsitief is. Veronderstel dus dt n N, n > 1. Neem n dt (x, y) R n en (y, z) R n. We moeten lten zien: (x, z) R n. Uit (x, y) R n volgt met trnsitiviteit vn R (nu in n stppen) dt (x, y) R. Uit (y, z) R n volgt met trnsitiviteit vn R dt (y, z) R n 1. Uit (x, y) R en (y, z) R n 1 volgt dt (x, z) R n. 2. Lt R een reltie zijn op A. Volgt uit het feit dt R 2 trnsitief is dt R trnsitief is? Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld. Hier is een tegenvoorbeeld: R = {(1, 2), (2, 3)}. Merk op dt R 2 gelijk is n {(1, 3)}, en deze reltie is zeker trnsitief. Mr R zelf is niet trnsitief. 3. Lt zien: de totle reltie op A (dt wil zeggen de reltie A A vn lle pren vn elementen uit A) is een equivlentie. We moeten drie eigenschppen controleren. A A is reflexief, wnt {(x, x) x A} A A. A A is symmetrisch, wnt elk pr zit erin, dus ls (x, y) er in zit, dn zeker ook (y, x). A A is trnsitief, wnt elk pr zit erin. Dus zeker voor elke (x, y) en (y, x) ook (x, z). 4. Hoe ziet de reflexief trnsitieve fsluiting vn de lege reltie op A er uit? ( ) = {(x, x) x A}. 5. Geef de trnsitieve fsluiting vn de volgende reltie: {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)}. 1

2 {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 6)}. 6. Geef de euclidische fsluiting vn de volgende reltie: {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)}. {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 6), (6, 6)}. 7. Wrom is de volgende implementtie vn de euclidische fsluiting vn een reltie correct (Rel is het type vn lijsten vn pren over, lfp is de implementtie vn de kleinste dekpuntsopertie, is the implementtie vn reltie-compositie, en conv geeft de converse vn een reltie, lles zols op college gegeven): ec :: Ord => Rel -> Rel ec r = lfp (\ s -> (sort.nub) (s ++ (cnv s))) r Op het college is bewezen dt een reltie R euclidisch is precies wnneer Rˇ R R. De kleinste dekpuntopertie, strtend vnf R, levert de kleinste reltie S die voldoet n R S en Sˇ S S. Per definitie is dit de euclidische fsluiting vn R. 8. Een opertie f op verzmelingen heet een fsluitingsopertie (E: closure opertion) ls f voldoet n de volgende eisen: () A f(a) (b) ls A B dn f(a) f(b) (c) f(f(a)) f(a) wrbij A en B verzmelingen zijn en stt voor inclusie vn verzmelingen. Lt zien dt (reflexief-trnsitieve fsluiting vn relties) een fsluitingsopertie is in de zin vn deze definitie. We checken de drie condities. () R R. Hier is zeker n voldn. (b) Als R S dn R S. Neem n dt R S. We lten zien dt R S. Lt (x, y) R. Dn is er een n N met (x, y) R n. Dus er zijn z 1,..., z n 1 met (x, z 1 ) R,..., (z n 1, y) R. Omdt R S volgt hieruit dt (x, z 1 ) S,..., (z n 1, y) S. Dus (x, y) S n, dt wil zeggen (x, y) S. 2

3 (c) (R ) R. Omdt R reflexief en trnsitief is, en de opertie de kleinste reflexieve en trnsitieve reltie oplevert die R omvt, geldt dt (R ) = R. 9. Beschouw het volgende epistemische model: 0 1:[p] 2:[q] 3:[p,q] () Reken uit wt het resultt is vn updte met het volgende ctiemodel: 0:-q 1:T 3

4 (0,0) (0,1) b c c b (1,0):[p] b c (1,1):[p] b c (2,1):[q] (3,1):[p,q] In compctere nottie: (0,0) (0,1) (1,0):[p] (1,1):[p] (2,1):[q] (3,1):[p,q] (b) Geef de bisimultie-minimle versie. 4

5 0 1:[p] 2:[q] 3:[p,q] In compctere nottie: 0 1:[p] 2:[q] 3:[p,q] 10. Een opertie f is idempotent ls f(f(x)) = f(x), voor elke x. Is het in het lgemeen zo dt updten met een ctiemodel een idempotente opertie is? Met nde- 5

6 re woorden: geldt voor lle ctiemodellen A en lle epistemische modellen M dt (M A) A = M A? Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld. De opertie vn updten met hetzelfde ctiemodel is niet idempotent. Een tegenvoorbeeld (l eerder op een werkcollege n de orde geweest) is een epistemisch model wr p wr is, mr weet dt niet. In dt model is p K p dus wr. N een eerste public nnouncement vn p K p is K p wr geworden. Immers, we hebben p publiek gennonceerd, en iedereen weet dit nu, dus ook. Bij een tweede publieke nnouncement vn p K p is het resultt een inconsistent model (een model zonder ctuele werelden). Immers, we hebben nu iets publiek gennonceerd dt onwr is, en dt leidt ltijd tot inconsistentie. Dit voorbeeld toont n dt de tweede updte met p K p de situtie nogmls verndert: de opertie vn updten met hetzelfde ctiemodel is dus niet idempotent. 6