Basiswiskunde Een Samenvatting

Transcriptie

1 Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e getllenrechte Intervllen [, b) < b [, ) < Vereniging: A B ( A of B) Doorsnee: A B ( A en B) Deelverzmeling: A B ( A B) Driehoeksongelijkhei: + b + b Crthesische coörinten Afstn tussen (, y ) en (, y ) is ( ) + (y y ) De lijn oor eze punten heeft e vergelijking y y = y y Cirkel met mielpunt (, b) en strl r: ( ) + (y b) = r Prbool met brnpunt (, b) en richtlijn y = p: ( ) + (y b) = (y p), us y = (b p) ( ) + b + p Ellips: + y b = Hyperbool: y y = of b b = Functie Een functie f op een verzmeling D nr een verzmeling S is een regel, ie ieere element in D fbeelt op een element f() in S D is het omein vn e functie, nottie D = D(f) Het bereik vn f is R(f) = {f() D} Een functie f is even ls f( ) = f() voor lle D(f) Een functie f is oneven ls f( ) = f() voor lle D(f) Zij f en g functies met D(g) R(f), n wort e smengestel functie g f gegeven oor (g f)() = (g(f()) voor lle D(f) P is een polynoom vn e gr n ls P () = n n + n n met n 0 R is een rtionle functie ls R() = P () met P en Q polynomen Q()

2 Strteling Als A een polynoom vn gr m is en B een polynoom vn gr n met m n, n gelt A() B() = Q() + R() B() met Q een polynoom vn gr m n en R een polynoom vn gr k met k < n Goniometrie tn = sin cos sin( + kπ) = sin voor k Z cos( + kπ) = cos voor k Z gren 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o π π π π rilen sin 0 ( π ) sin = cos ( π ) cos = sin sin + cos = 3 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β us sin(α) = sin α cos α cos(α) = cos α sin α = cos α = sin α Beschouw een riehoek met zijen, b en c, en tegenoverliggene hoeken α, β en γ, n gelt: sin α = sin β = sin γ b c = b + c bc cos α Limieten f() = L ls er voor lle ϵ > 0 een δ > 0 is, zot 0 < < δ f() L < ϵ lim Linker limiet: lim f() Rechter limiet: lim f() + Inklemming Als f() g() h() in een open intervl om en lim lim g() = L sin lim 0 = lim f() = lim f 0 + ( ) f() = lim h() = L, n

3 lim f() = lim f 0 ( ) Continuïteit f is continu in, ls f geefinieer is in een open intervl om en lim f is linkscontinu, ls lim f() = f() f is rechtscontinu, ls lim f() = f() + f is continu, ls f continu is voor lle in D(f) f() = f() Tussenwrestelling Als f continu is op het intervl [, b] en s is een getl tussen f() en f(b), n bestt er een c in [, b], zot f(c) = s Differentitie f is ifferentieerbr in, ls f geefinieer is in een open intervl om en f () = f() f() lim bestt f () is e helling vn e rklijn n e grfiek in (, f()) Prouctregel: (fg) ( ) () = f ()g() + f()g () f Quotiëntregel: () = g()f () f()g () g (g()) Kettingregel: (g f) () = g (f())f () Als f() = r met r 0, n f () = r r sin = cos cos = sin tn = cos = + tn Als f ifferentieerbr is in, n is f continu in Als f geefinieer is op (, b) en een mimum nneemt in c in (, b) en f (c) bestt, n gelt f (c) = 0 Mielwrestelling Als f continu is op [, b] en ifferentieerbr is op (, b), n is er een c in (, b) met f (c) = f(b) f() b Stijgen en len f is stijgen resp. len op [, b] ls voor lle en in [, b] met < gelt f( ) < f( ) resp. f( ) > f( ) Zij f geefinieer op een intervl I en J hetzelfe intervl zoner rnpunten. Als 3

4 f () > 0 resp. f () < 0 voor lle in J, n is f stijgen resp. len op I Impliciet ifferentiëren Als f(, y) = 0 met y = y(), n f(, y) + y f(, y) = 0 y Lineire benering De lineritie vn f ron is e functie L met L() = f() + f ()( ) Als f tweeml ifferentieerbr is tussen en, n is er een s tussen en, zot f() L() = f (s) ( ) Tylorpolynoom Het Tylorpolynoom vn ore n vn f ron is e functie P n met P n () = f() + f ()( ) + f () ( ) + + f (n) () ( ) n n! Als f n + -ml ifferentieerbr is tussen en, n is er een s tussen en, zot f() L() = f (n+) (s) ( )n+ (n + )! Oresymbool f() = O(g()) voor ls f() K g()) voor zekere K en lle in een open intervl om Inverse functie Een functie f is eeneenuiig ls voor lle en in D(f) gelt: f( ) = f( ) = Als f eeneenuiig is, n wort e inverse functie f gegeven oor: = f (y) y = f() D(f ) = R(f) en R(f ) = D(f) Als y = f() met f () 0, n (f ) (y) = f () Eponentiële functies Als > 0, n +y = y en = en y = ( ) y = ( y ) Als > 0 en b > 0, n (b) = b Logritme Als > 0 met, n y = log = y log(y) = log + log y log = log log y = y log 4

5 log = b log b log, us log = log Ntuurlijke logritme ln = e log ln = = ln e = n n! + O(n+ ) ln( + ) = + 3 ( 3 lim + ) n = e n + ( )n n n + O(n+ ) Inverse trigonometrische functies Als π π, n y = sin = rcsin y Als 0 π, n y = cos = rccos y Als π < < π, n y = tn = rctn y rcsin = rccos = rctn = + Sommtie n n(n + ) i = i= n i n(n + )(n + ) = 6 i= n r i = ri r ls r i=0 Mielwrestelling voor integrlen Als f continu is op [, b], n is er een c in (, b) met f() = (b )f(c) Integrlstelling Zij f continu op een open intervl I om. Definieer e functie F op I oor F () = f(t) t, n is F ifferentieerbr op I en F () = f() Nottie: F () = f() (op constnte n bepl) h() g() f(t) t = f(h())h () f(g())g () Differentilvergelijking vn ore n Bepl e n-ml ifferentieerbre functie, zot g(, f(), f (),..., f (n) ()) = 0 5

6 Elementire integrlen Als r, n r = r + r+ + C = ln + C Substitutie f(g() g () = Prtiële integrtie g(b) g() f(u) u f()g () = f()g() b f ()g() 6