Wiskunde voor 2 vwo. Deel 1. Versie Samensteller

Transcriptie

1 Wiskune voor 2 vwo Deel 1 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengestel en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkhei voor onjuistheen en/of onvolleigheen in e moule. Ook nvren ze geen enkele nsprkelijkhei voor enige she, voortkomen uit (het geruik vn) it lesmteril Voor eze moule gelt een Cretive Commons Nmsvermeling-Niet-ommerieel 3.0 Neerln Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkel voor het vk wiskune in het voortgezet onerwijs. Het lesmteril op e wesite is fgestem op kernoelen wiskune, tussenoelen wiskune en eintermen voor e vkken wiskune A, B en C. Dit lesmteril is meiumneutrl ontwikkel en op iverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houen we ons ltij nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhou Voorwoor 3 1 Mhten en wortels Kwrten Wortels Rekenen met wortels Mhten Meneer Vn Dlen Wetenshppelijke nottie Soorten getllen Totleel 43 2 Symmetrie Lijnsymmetrie Puntsymmetrie Drisymmetrie Driehoeken Vierhoeken Totleel 83 3 Formules voor omtrek en oppervlkte Oppervlkteformules Oppervlkte vn riehoeken Oppervlkte vn vierhoeken Omtrek irkel Oppervlkte irkel Eenheen Totleel Vergelijkingen Rekenshem's Blnsmethoe Hkjes in formules Mhten in formules Breuken in formules Totleel 165 Register 169 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoor Het lesmterl in it oek is geseer op het mteril t je kunt vinen op e wesite In e tekst stn n ook regelmtig verwijzingen nr ie wesite. Wr je preies moet zijn op ie wesite kun je zien in e kopregel vn ieere pgin. Bij estuering vn het lesmteril kom je in e tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet n ijvooreel in e tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnen > Toepssen Je kunt met e muis elk eel vn e werel ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je ie opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je iner op e wesite het gekeken. Ieer hoofstuk estt uit een ntl prgrfen en wort stees fgesloten met een prgrf Totleel wr e leerstof wort smengevt en/of herhl. Ieere prgrf is ingeeel in vste rurieken ie houvst geven ij e estuering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelen > Verwerken > Toepssen Inien er in het lesmteril wort verwezen nr werklen n kun je eze terugvinen op e wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Mhten en wortels Kwrten 6 Wortels 11 Rekenen met wortels 16 Mhten 22 Meneer Vn Dlen 28 Wetenshppelijke nottie 32 Soorten getllen 38 Totleel 43

8 1.1 Kwrten Verkennen Opgve 1 De oppervlkte vn een vierknt ereken je oor e lengte vn zije met zihzelf te vermenigvuligen. Hoe groot is e oppervlkte vn it vierknt? Hoeveel ergen e fmetingen vn een vierknt met een oppervlkte vn 441 eenheen? Wrom wort e oppervlkte-eenhei vierknte meter geshreven ls m 2? Opgve 2 Bekijk lleen vierknten met gehele getllen ls lengtes vn e zijen. Welke fmetingen heeft het grootste vierknt t een oppervlkte heeft vn miner n ? En het kleinste vierknt t een oppervlkte heeft vn meer n ? Uitleg Dit vierknt heeft vier zijen vn 4 m. De oppervlkte vn het vierknt is 4 4 = 16 m 2. In plts vn 4 4 shrijf je ook wel 4 2. Je spreekt it uit ls vier tot e tweee of vier kwrt. Kwrt (vroeger qurt ) komt vn het ltijnse qur t vier etekent; een kwrt is eigenlijk gewoon een nere nm voor (oppervlkte vn een) vierknt. Het erekenen vn een kwrt heet kwrteren. Voor een vierknt gelt: u u u u u u u u u u u = u u u u u 2. Met e rekenmhine ereken je 4 2 zo: of zo: Opgve 3 De lengte vn een vn e zijen vn een vierknt is 7 m. Hoe ereken je e oppervlkte vn het vierknt? Bereken ook e gevrge oppervlkte. In plts vn 7 7 shrijf je ook wel 7 2. Hoe spreek je t uit? PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 Opgve 4 Bereken e volgene kwrten zoner rekenmhine: ,5 2 ( 1 3 )2 e 2,2 2 f (2 2 3 )2 Opgve 5 Mk een lijst met kwrten vn e eerste 20 gehele getllen en leer ie uit je hoof. Theorie en vooreelen Vooreel 1 Meestl woren lleen e kwrten vn gehele positieve getllen ook eht kwrten genoem. Dt komt omt men in e Ouhei geen nere getllen kene n 1, 2, 3, enzovoorts... Hier zie je us een heleoel kwrten: STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 Opgve 6 Bekijk e lijst met kwrten in Vooreel 1 op pgin 7. Hoe kun je hieruit het kwrt vn 3,8 hlen? Hoe kun je hieruit het kwrt vn 5 17 hlen? Welke positieve wre heeft u ls u 2 = 5,29? Lt zien, t Lt it ook zien in een tekening met vierknten. Opgve 7 Hoe zit het met e kwrten vn negtieve getllen? Bereken ( 3) 2. En wrom zijn e hkjes noig? Met nere wooren: wt is het vershil tussen ( 3) 2 en 3 2? Welke twee wren kn u nnemen ls u 2 = 9? Vooreel 2 De oppervlkte vn it vierknt is 2 m 2. Mr vn welk getl is 2 het kwrt? Dit ws l in e Ouhei een oeiene vrg. Niemn wist er het ntwoor op... Alleen oor proeren kun je het vinen. Speel een hoger/lger -spelletje: getl kwrt omhoog/omlg 1 1 omhoog 2 4 omlg 1,1 1,21 omhoog 1,2 1,44 omhoog 1,3 1,69 omhoog 1,4 1,96 omhoog 1,5 2,25 omlg 1,41 1,9881 omhoog 1,42 2,0164 omlg N lng proeren vin je ongeveer 1, , mr zelfs t is niet het exte ntwoor... PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Opgve 8 Bekijk e roosterfiguur hiernst. Wrom weet je zeker t het een vierknt etreft? Hoe groot is e oppervlkte vn it vierknt? Bereken nu e lengte vn e zije op ezelfe mnier ls in Vooreel 2 op pgin 8 in twee eimlen nuwkeurig. Opgve 9 Bekijk e roosterfiguur hiernst. Wrom weet je zeker t het een vierknt etreft? Hoe groot is e oppervlkte vn it vierknt? Bereken nu e lengte vn e zije op ezelfe mnier ls in Vooreel 2 op pgin 8 in twee eimlen nuwkeurig. Verwerken Opgve 10 Bereken zoner rekenmhine: 3,3 2 0,9 2 2,7 2 ( 0,1) 2 e f (15 13) 2 Opgve 11 Bereken zoner rekenmhine: ( 2 5 )2 ( 3 8 )2 ( )2 (2 2 5 )2 Opgve 12 Lt met ehulp vn vierknten zien t 1,5 2 2,25. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 Opgve 13 Bekijk e roosterfiguur hiernst. Wrom weet je zeker t het een vierknt etreft? Hoe groot is e oppervlkte vn it vierknt? Bereken nu e lengte vn e zije in twee eimlen nuwkeurig. Opgve 14 Bepl e twee wren vn u wrvoor gelt: u 2 = 121 u 2 = 4,41 u 2 = Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 15: Kwrten en vierknten Je kunt e kwrten vn sommige getllen uit het hoof uitrekenen oor je er vierknten ij voor te stellen. Lees hierover > > 1/2 HAVO/VWO > Kwrten > Toepssen Bereken op eze mnier Bereken op eze mnier Bereken op eze mnier 10,4 2. Opgve 16: Kwrten vn getllen ie einigen op 5 Soms moet je een kwrt uitrekenen vn een getl t einigt op een 5. Drvoor kn je een tru geruiken. Hiermee kun je ijvooreel 35 2 uitrekenen. > Deel het getl oor 10. Tussen welke twee gehele getllen ligt het ntwoor? > Vermenigvulig ie twee getllen met elkr. > Je krijgt nu het ntwoor oor 25 hter het ntwoor te pltsen. G n of eze tru eht werkt. En proeer hem rn te verklren. PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 1.2 Wortels Verkennen Opgve 1 Een proleem uit e Ouhei ws het veruelen vn een vierknt. Hier zie je hoe een vierknt wort veruel: e oppervlkte vn vierknt PQRS is het uele vn e oppervlkte vn vierknt ABCD. De oppervlkte vn ABCD is 1 m 2. Hoe groot is e oppervlkte vn vierknt PQRS? Hoe lng is elke zije vn vierknt PQRS? Geef een enering in twee eimlen nuwkeurig. Leg uit wrom e lengte vn e zije PQRS geen geheel getl is. Uitleg De oppervlkte vn it vierknt is 16 m 2. De lengte vn elke zije is 4 m, wnt 4 2 = 4 4 = 16. Je zegt: e wortel vn 16 is 4. Je shrijft it ls: 16 = 4. Dt noem je wortel trekken. Je rekenmhine kn ook wortel trekken. Bijvooreel 441 = 21 gt wrshijnlijk zo: 441 Mr misshien heeft je rekenmhine wel een fzonerlijke worteltoets... De ewerkingen kwrt nemen en wortel trekken heffen elkr op. Meetkunig gezien gt het ij kwrteren om het eplen vn e oppervlkte vn een vierknt vnuit e zije: 4 2 = 16. En ij wortel trekken gt het om het eplen vn e zije vnuit een gegeven oppervlkte 16 = 4. En us is: 4 2 = 4 en ook ( 4) 2 = 4 Opgve 2 De oppervlkte vn een vierknt is 64 m 2. Hoe ereken je e zije vn het vierknt? Bereken ook ie zije. De zije vn een vierknt heeft een lengte vn 7. Hoeveel ergt e oppervlkte? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 Opgve 3 Bereken e volgene wortels zoner rekenmhine: , e 0,64 f 49 Opgve 4 Tussen welke gehele getllen ligt 140? Theorie en vooreelen Vooreel 1 Uit een kwrt kun je gemkkelijk wortel trekken. Bijvooreel: > 1024 = 32 2 = 32 > = 16 9 = ( 4 3 )2 = 4 3 > 1,44 = (1,2) 2 = 1,2 Opgve 5 Bereken: e 2,25 f 6,25 g 0,09 h 0, Opgve 6 Bereken: PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 e f g h Opgve 7 Hoe zit het met e wortels vn negtieve getllen? Welk ntwoor zou je 16 willen geven? Hoe reken je ( 4) 2 uit? Wrom kun je e wortel uit een negtief getl niet trekken? Opgve 8 Je voert nu e ewerkingen "kwrteren" en "worteltrekken" n elkr uit. Hoe ereken je 4 2? En wt komt er uit? Hoe ereken je 4 2? En wt komt er uit? Vervng in en het getl 4 oor een willekeurig ner niet-negtief getl. Wt geeurt er telkens? Vooreel 2 De oppervlkte vn it vierknt is 2 m 2. De lengte vn e zije is rom 2. Mr hoe groot is 2 nu preies? Dit ws l in e Ouhei een oeiene vrg. Niemn wist er het ntwoor op... N lng proeren (zie Vooreel 2 op pgin 8) vin je ongeveer 1, , mr zelfs t is niet het exte ntwoor... 2 is niet ext te erekenen, it getl kn lleen woren ener! 2 1,4142 gt wrshijnlijk zo: Hetzelfe gelt voor getllen ls 3, 5, 20, kortom voor vrijwel lle wortels. Alleen e wortels uit zuivere kwrten komen uit : ijvooreel 9 = 3 en 0,04 = 0,2 Opgve 9 Bekijk Vooreel 2 op pgin 13. Teken zelf zo n vierknt op een m-rooster en leg uit wrom e oppervlkte vn it vierknt 2 is. De lengte vn e zije vn het vierknt is rom 2. Meet eens op hoe lng e zije vn het vierknt is in mm nuwkeurig en leg uit wrom it nooit e exte lengte vn e zije kn zijn. Wrom kn ook 1, niet e exte wre vn 2 zijn? Wrom zl 2 nooit een ext eiml getl kunnen zijn? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 e Wt mkt jouw rekenmhine vn 2? En wt geeurt er ls je met ie enering in eel op e kwrttoets rukt? Hoe komt t, enk je? Opgve 10 Sht ij e volgene wortels eerst tussen welke gehele getllen ze liggen. Bereken ze n met je rekenmhine en ron f op vier eimlen nuwkeurig: , e f g h Verwerken Opgve 11 Bereken e volgene wortels zoner e rekenmhine te geruiken: ,41 0,0025 e 73 8 f g h 0,36 Opgve 12 Een vierknt heeft een oppervlkte vn 20 m 2. Hoe groot is e exte lengte vn elke zije? Tussen welke opeenvolgene gehele getllen ligt e lengte vn eze zije? Bener e lengte vn e zijen vn it vierknt in rie eimlen nuwkeurig. Wrom kn it nooit meer n een enering vn e werkelijke lengte zijn? Opgve 13 Sht ij e volgene wortels eerst tussen welke gehele getllen ze liggen. Bereken ze n met je rekenmhine en ron f op vier eimlen nuwkeurig: 5 PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 96 0, e f 12 5 Opgve 14 De oppervlkte vn een vierknt is A m 2. De omtrek vn it vierknt is P m. Neem A = 25 en ereken P. Neem A = 24 en ereken P. Stel een formule op voor het vern tussen A en P vn e vorm P =... Stel een formule op voor het vern tussen A en P vn e vorm A =... e Bepl e wre(n) wrvoor A = P. Opgve 15 Bereken zoner rekenmhine: Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 16: Wortels en vierknten Hoe je e lengte vn een lijnstuk tussen twee roosterpunten eplt oor er een vierknt op te tekenen zie je vi > > 1/2 HAVO/VWO > Wortels > Toepssen G n t het vierknt op AB iner een oppervlkte vn 10 heeft. Bereken op eze mnier e lengte vn AB ls punt B 4 eenheen rehts en 2 eenheen oven punt A ligt. Oefen it met een meeleerling, het zl je lter nog vn ps komen. Opgve 17: Rre rehthoek? Een rehthoek heeft een lengte vn en een reete vn 5 3. Lt zien, t e oppervlkte vn eze rehthoek 2 is. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 1.3 Rekenen met wortels Verkennen Opgve 1 Je ziet hier hoe je vn negen vierknten met een oppervlkte vn 2 m 2 één groter vierknt kunt mken. Hoe groot is e oppervlkte vn het grote vierknt? Hoe lng is elke zije vn het grote vierknt? Leg uit hoe je vnuit e lengtes vn e zijen vn het grote vierknt e oppervlkte ervn kunt erekenen. Uitleg 2 is e lengte vn e zije vn een vierknt met oppervlkte 2. Dit getl is niet ls eiml getl te shrijven, het is lleen te eneren. Omt een oppervlkte ltij positief is, kun je lleen worteltrekken uit positieve getllen en uit 0. Al in e tij vn e Oue Grieken (zo n 600 jr v.chr.) ws it eken. Zij eshouwen elke wortel ls een lijnstuk. Omt ze vn veel wortels geen mooie gehele getllen of nette reuken konen mken, noemen ze wortels onmeetre getllen. Ze konen er lleen mee rekenen oor ze ls lijnstukken voor te stellen. Mk je het lijnstuk t 2 voorstelt rie keer zo lng, n krijg je 3 2 of kortweg 3 2. Dit zijn twee lijnstukken met gelijke wortels, je kunt ze rom optellen: = 4 2. Deze optelling estt uit twee termen. In eie termen komen ezelfe wortels voor en rom spreek je vn gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen kun je ltij smennemen. Bovenien zie je: 3 2 = 9 2 = 18. Dit is het egin vn rekenen met wortels, ook nere wortels n 2... Opgve 2 Je ziet hier een vierknt met oppervlkte 5 m 2. Hoe lng is e zije vn het vierknt? Hoe krijg je een vierknt wrvn e zijen 2 5 zijn? Wrom noem je 2 5 en 3 5 wel gelijksoortige wortels? Hoeveel is ? e Hoeveel is ? PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Opgve 3 In e vorige opgve h je een vierknt met oppervlkte 5 en us zije 5. Neem nu een vierknt wrvn e zijen 2 5 zijn. Teken it vierknt. Bepl e oppervlkte ervn oor e figuur te verelen in een vierknt en vier hlve rehthoeken. Hoe kun je ie oppervlkte uitrekenen oor e zijen te vermenigvuligen? Theorie en vooreelen Vooreel 1 Meestl kun je erekeningen met wortels lleen eneren met e rekenmhine. Alleen gelijksoortige wortels kun je optellen tot één wortelvorm. Vooreelen vn optellingen en ftrekkingen met wortels zijn: > kun je niet ls één wortel shrijven wnt er zijn geen gelijksoortige termen, mr wel eneren met je rekenmhine: , > = 3 2 (rie gelijksoortige termen) > = 2 2 (twee gelijksoortige termen) > = = 5 > = 13 3, , it kn ook in één keer op e rekenmhine: > = (lleen gelijksoortige termen kun je smen nemen) Opgve 4 Voer e volgene erekeningen met wortels uit. Bener lleen wr noig het einntwoor in twee eimlen nuwkeurig Opgve 5 Bereken en lt in het einntwoor e wortel stn: e f g h STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 Vooreel 2 Vermenigvuligen en elen vn wortels is eigenlijk heel eenvouig. Dt kun je in eze vooreelen zien: > 2 3 = 2 3 = 6 wt je kunt ontroleren oor kwrteren. > 6 2 = 6 2 = 3 wt je ook kunt ontroleren oor kwrteren. Op ezelfe mnier kun je e volgene erekeningen uitvoeren: > = = 15 6 > = = 2 49 = 2 7 = 14 > = = 5 3 Opgve 6 Bekijk Vooreel 2 op pgin 18. Lt zien t 2 3 = 6 oor eie zijen te kwrteren. Lt ook oor kwrteren zien, t 6 2 = 3. Opgve 7 Geef vn e volgene erekeningen n of ze wr zijn of niet. e 2 5 = = = = = 27 f = 8 Opgve 8 Mk e volgene erekeningen. Lt wortels ie niet op een geheel getl uitkomen in het ntwoor stn / 2 e 15 / 3 f PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 Verwerken Opgve 9 Mk e volgene erekeningen zoner e rekenmhine te geruiken. Lt wortels ie niet op een geheel getl uitkomen in het ntwoor stn. e f g 125 / 5 h 5 10 / 2 Opgve 10 Hier zie je in een ssenstelsel e punten A (1, 1), B (7, 3), C (6, 6) en D (0, 4) en rehthoek ABCD. Bereken e oppervlkte vn rehthoek ABCD. Vereel e rehthoek in twee vierknten en leg uit hoe je rmee e lengtes vn e zijen kunt erekenen. Bereken e lengtes vn AB en AD. Lt zien hoe je met ehulp vn eze twee zijen ook e oppervlkte vn e rehthoek kunt erekenen. Bereken ook e exte omtrek vn e rehthoek. Opgve 11 Geef vn e volgene erekeningen n of ze wr of niet wr zijn = = = = 5 6 Opgve 12 Uit een ntl vn e volgene erekeningen komt een geheel getl. Bij e nere lt je e wortel in het ntwoor stn. 2 12, STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 50 / 5 e f ,5 3 2 Opgve 13 Je ziet hier twee vierknten in elkr. e Bereken e lengte vn AB en igonl AC ls e oppervlkte vn vierknt ABCD 6 is. Bereken e lengte vn AB en igonl AC ls e oppervlkte vn vierknt ABCD 10 is. Bereken e lengte vn e igonl vn een vierknt met oppervlkte 8. Bereken e lengte vn e igonl vn een vierknt met oppervlkte A. Bereken e lengte vn e igonl vn een vierknt met zije u. Opgve 14 Een vierknt ABCD is vereel in twee kleinere vierknten en twee rehthoeken. De oppervlktes vn eie kleinere vierknten zijn gegeven, zie figuur. Bereken e oppervlkte vn ABCD. Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 15: Wortels herleien Hoe je wortels vn getllen ie een kwrt evtten kunt vereenvouigen zie je vi > > 1/2 HAVO/VWO > Rekenen met wortels > Toepssen Lt zien t 8 = 2 2. Vereenvouig op ezelfe mnier 45. Herlei op ezelfe mnier: 18, 12, 32, 40 en 75 PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 Opgve 16: Kettingreuk Een leuke mnier om wortels te eneren is met ehulp vn een kettingreuk. Zo is: 1 2 = Hiermee kun je 2 in zoveel eimlen ls je mr wilt eneren. Beenk hoe je t oet en ener eze wortel in vijf eimlen nuwkeurig. Kun je e nuwkeurighei vn je rekenmhine hlen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 1.4 Mhten Verkennen Opgve 1 De inhou vn een kuus ereken je oor e lengte vn een rie twee keer met zihzelf te vermenigvuligen. Hoe groot is e inhou vn een kuus met een rie vn 3 m? Hoeveel ergen e fmetingen vn een kuus met een inhou vn 125 eenheen? Wrom wort e oppervlkte-eenhei "kuieke" meter geshreven ls m 3? Opgve 2 Bekijk lleen vierknten met gehele getllen ls lengtes vn e zijen. Welke fmetingen heeft het grootste vierknt t een oppervlkte heeft vn miner n ? En het kleinste vierknt t een oppervlkte heeft vn meer n ? Uitleg Als je een getl met zihzelf vermenigvuligt, krijg je een kwrt: 3 3 = 3 2. Er is een meer lgemene shrijfwijze voor het vermenigvuligen met stees hetzelfe getl. Bijvooreel: = 3 5. Reken je zo n getl uit, n wort e uitkomsten mhtig groot: 3 5 = 243. Je spreekt vn mhtsverheffen en je zegt 3 tot e mht 5, of kortweg 3 tot e vijfe. En 3 5 heet een mht met grontl 3 en exponent 5. Een kwrt is een mht met exponent 2. Zo is 2 7 = = 128. Op e rekenmhine: Opgve 3 Bekijk in e Uitleg op pgin 22 wt een mht is en hoe je een mht uitrekent. Bereken nu: ,5 3 e ( 1 3 )4 f ( 2 5 )4 PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Opgve 4 Je kunt ook vn negtieve getllen mhten nemen. Drij zijn hkjes noig. Wt etekent ( 4) 5? En hoeveel komt r uit? Wt etekent 4 5? Wt komt er uit? Opgve 5 Eerer he je een lijst met kwrten uit het hoof geleer, erg hnig ij het erekenen vn wortels. Om een vergelijkre reen is het hnig om e eerste tien ere mhten uit het hoof te leren. Shrijf e ere mhten vn 1, 2, 3,..., 10 op en leer ze uit je hoof. Theorie en vooreelen 3 4 Vooreel 1 Het rekenen met mhten is eenvouig ls je e etekenis kent: > 17 4 = = > ( 17) 4 = = > 17 4 = = > = = = Je ziet t mhten voorrng heen op optellen en ftrekken. En verer: > = = 2 7 Bij vermenigvuligen vn mhten met hetzelfe grontl tel je e exponenten op. > 27 = = = 2 3 Bij elen vn mhten met hetzelfe grontl trek je e exponenten f. > 23 = = 1 en = Een getl tot e mht 0 is ltij 1. > (2 3 ) 4 = = = 2 12 Bij mhten vn mhten vermenigvulig je e exponenten. Opgve 6 Bereken: ( 1 2 )4 e (2 2 3 )3 f ( 2 7 )0 g ( 3) 5 h i 2 ( 3) 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 Opgve 7 Shrijf e volgene mhten eenvouiger. Je hoeft ze niet te erekenen! (3 12 ) 5 e (3 15 ) Vooreel 2 De inhou vn een kuus met rien vn 4 is: = 4 3. De inhou vn een kuus is ltij een ere mht. Een eroem proleem uit e Ouhei is e verueling vn e kuus : Het ltr vn e tempel vn Delphi is een kuus vn 1 ij 1 ij 1 m, welke fmetingen moet eenzelfe ltr krijgen met een 2 keer zo grote inhou? Omt het estne ltr een inhou heeft vn 1 3 = 1 m 3, moet e vergrote kuus een inhou heen vn 2 m 3. Dus gelt voor e zije u vn it ltr: u 3 = 2. Bij terugrekenen vnuit een kwrt moet je worteltrekken. Zo heet het terugrekenen vnuit een ere mht wel eremhts wortel trekken. De oplossing vn het proleem vn Delphi is e eremhts wortel uit 2. Je shrijft: u = 3 2. De uitkomst hiervn vin je oor inklemmen, net ls ij Vooreel 2 op pgin 8. Proeer mr eens: 3 2 1, Opgve 8 Bekijk Vooreel 2 op pgin 24. Hoe ereken je e lengte vn e zije vn een kuus ls je e inhou vn ie kuus weet? G uit vn een kuus met een inhou vn 8 m 3. Leg uit wrom 3 8 = 2. Bij het proleem vn e verueling vn e kuus gt het om een kuus met een inhou vn 2 m 3. Leg uit wrom 3 2 geen geheel getl is. Bener met ehulp vn inklemmen 3 2 in rie eimlen nuwkeurig. Controleer je ntwoor met ehulp vn je rekenmhine. Opgve 9 Bereken (proeer it zoveel mogelijk uit het hoof te oen): , PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Opgve 10 Bener met je rekenmhine op twee eimlen nuwkeurig: Verwerken Opgve 11 Bereken: ( 2 3 )4 (1 3 5 )3 e ( 2) 6 f Opgve 12 Je ziet hier een kruisgetllenpuzzel. Vul e puzzel in. Horizontl Vertil Opgve 13 Shrijf e volgene mhten eenvouiger. Je hoeft ze niet te erekenen! 2 16 (2 10 ) (2 20 ) 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 e f Opgve 14 Bereken: , , ,125 Opgve 15 Je het een kuus met een inhou vn 20 liter. Hoeveel ergt e lengte vn elke rie vn eze kuus in mm nuwkeurig? Bereken e totle oppervlkte vn eze kuus in mm 2 nuwkeurig. Opgve 16 Je kunt vn een getl eerst e ere mht uitrekenen en n op e uitkomst e ere mhtswortel toepssen. En ook e omgekeere volgore is mogelijk. Neem het getl 6 en ereken Wt oe je eerst, e ere mht of e ere mhtswortel? Bereken ook Doe hetzelfe ls ij en mr nu met het getl 17. Kennelijk heffen e ewerkingen ere mht en ere mhtswortel elkr op. Onerzoek of it ook voor negtieve getllen gelt. Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 17: Ppier vouwen Als je een lje ppier stees opnieuw uel vouwt, krijg je stees meer lgen. Lees hierover in > > 1/2 HAVO/VWO > Mhten > Toepssen Lt zien t je n 8 keer vouwen 256 lgen ppier het. Hoeveel lgen he je n 10 keer vouwen? Hoeveel keer moet je vouwen om een lg ppier vn 10 m ik te krijgen? En n hoeveel keer vouwen he je een lg ppier vn 10 m ik? Opgve 18: Rente op rente Als je epl erg tegen een vste rente op e nk lt stn en er verer niets mee oet, n wort het oor e rente stees meer. Lees hierover in > > 1/2 HAVO/VWO > Mhten > Toepssen PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 Reken e ergen n 1 jr, n 2 jr en n 3 jr zelf n. Hoe reken je? Hoeveel he je n 10 jr? N hoeveel jr is het eginerg veruel? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 1.5 Meneer Vn Dlen Verkennen Opgve 1 Meneer Vn Dlen Wht Op Antwoor ws vroeger een ezelruggetje om e voorrngsregels voor het rekenen te onthouen: eerst Mhten, n Vermenigvuligen, rn Delen, vervolgens Worteltrekken, n Optellen en tenslotte Aftrekken. Bereken 144 / oor eze ezelsrug letterlijk op te volgen. Wt mkt je rekenmhine vn 144 / ? Leg uit hoe je it tegenwoorig uitrekent. Lt zien hoe je it tegenwoorig uitrekent. Opgve 2 In e Wikipei: Bewerkingsvolgore stt eze rekenopgve uit een rekenoekje uit Een leuke uitging: Wt komt er uit ls je e ezelsrug uit e vorige opgve hnteert? Uitleg Meneer Vn Dlen Wht Op Antwoor ws vroeger een ezelruggetje om e voorrngsregels voor het rekenen te onthouen: eerst Mhten, n Vermenigvuligen, rn Delen, vervolgens Worteltrekken, n Optellen en tenslotte Aftrekken. Tegenwoorig wort ie volgore niet lnger strikt gehnteer, mr toh zijn er (vnwege e moerne rekenpprtuur) een ntl uielijke fsprken. Bij het rekenen moet je eze rekenvolgore hnteren: > H: eerst oe je wt innen hkjes stt; > MW: vervolgens mhten en wortels vn links nr rehts; > VD: rn vermenigvuligen en elen vn links nr rehts; > OA: tenslotte optellen en ftrekken vn links nr rehts. Je ziet t mhten en wortels gelijkwrig zijn, t hetzelfe gelt voor vermenigvuligen en elen en optellen en ftrekken. Met hkjes kun je e volgore eïnvloeen: wt rinnen stt oe je eerst. Ezelsrug noig? Bijvooreel: Heel Mooi Weer VnDg Op Ameln ls je it geruikt ls H-MW-VD-OA. Opgve 3 Bekijk e erekening In eze erekening komen vier ewerkingen voor. In welke volgore moet je ie uitvoeren? Bereken e uitkomst. Door hkjes toe te voegen, verner je e rekenvolgore. Wt komt er ijvooreel uit (8 + 9) 2 3? PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 Opgve 4 In e volgene erekeningen zijn e voorrngsregels niet goe toegepst. Vereter ze = 6 3 = /4 = 9 = = 25 = 5 36 / = 36/ = 36 /12 = 3 e = 6 2 = 36 f (2 + 3) 4 = = = 97 Theorie en vooreelen Vooreel 1 Bereken: (2 + 6) / (2 + 6) /2 3 = = /8 = = /8 = = 14 4 = 10 Opgve 5 Let op e voorrngsregels en ereken: / 16 ( ) 2 / (2 2) 3 3 Opgve 6 Door op e goee plts hkjes te zetten krijg je een orrete erekening. 3 4 /8 5 = /2 3 = / 49 4 = 27 Vooreel 2 Je het gezien t je e rekenvolgore Hkjes-MhtenWortels-VermenigvuligenDelen-OptellenAftrekken moet hnteren. Mr soms kun je oor een ijzonere shrijfwijze te geruiken e volgore wijzigen. Drie ekene vooreelen zijn: 6 2 > e lnge reukstreep: 5 3 = 12 2 = 6 (ftrekken gt hier voor elen) > e lnge streep n het wortelteken: = = 36 = 6 (vermenigvuligen en optellen gn hier voor worteltrekken) > e nottie voor mhten: = 2 5 = 32 (optellen gt hier voor mhtsverheffen) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 Op je rekenmhine moet je in eze gevllen e weggelten hkjes weer toevoegen. Opgve 7 2 Bereken zoner rekenmhine: /3. Controleer je ntwoor hterf oor e gehele erekening in één keer oor je rekenmhine te lten uitvoeren. Opgve 8 Bereken zoner rekenmhine: Controleer je ntwoor hterf oor e gehele erekening in één keer oor je rekenmhine te lten uitvoeren. Verwerken Opgve 9 Bereken zoner e rekenmhine te geruiken: 3 5 / ( ) 3 (2 15) 3 3 e /( ) f ( 2 3 ) 9 1,5 3 Opgve 10 Bereken eerst zoner e rekenmhine te geruiken en ontroleer rn je erekening oor hem in zijn geheel in e rekenmhine in te voeren = ( 1 3 )3 Opgve 11 Onerzoek of e volgene erekeningen orret zijn. Liht stees je ntwoor toe = /2 3 = 2 6/3 = 2 2 (2 2 ) 3 = = 1 PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 Opgve 12 Bij het rekenen met wortels kun je oor slim herleien soms wortels optellen ie op e eerste lik niet gelijksoortig zijn. Lt zien, t 18 = 3 2 en t 8 = 2 2. Bereken nu e exte uitkomst vn ( ) 2. Geeft je rekenmhine ezelfe uitkomst ls je e erekening in één keer invoert? Bereken ( 75 27) 2 oor eie wortels te herleien. Controleer je ntwoor met e rekenmhine. Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 13: Grnkorrels op een shkor Lees over e legene vn e uitvining vn het shkspel in > > 1/2 HAVO/VWO > Meneer Vn Dlen > Toepssen Om een iee te krijgen vn het ntl grnkorrels t koning Shirhm moest uitetlen kun je eens kijken nr mhten vn 2. Wrom moet je nr mhten vn 2 kijken? Bereken nu: > 2 0 > > > > > > Vergelijk lle uitkomsten ij. Wt vlt je op? (Tel er eventueel telkens 1 ij op.) Hoeveel grnkorrels wile Siss us vn e koning heen? Shrijf je ntwoor met een mht vn 2. e Nu je weet t Siss meer n (18 triljoen) grnkorrels zou moeten krijgen, kun je misshien wel shtten hoeveel m 3 grn t zou moeten zijn. Stel t je it grn wilt opsln in een grote shuur met een vloeroppervlkte vn 1000 m 2. Hoe hoog moet ie shuur n woren? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 1.6 Wetenshppelijke nottie Verkennen Opgve 1 Onze plneet Are heeft (ongeveer) e vorm vn een ol. De omtrek vn ie ol is e lengte vn e evenr en ergt km. Hoeveel mm is 1 km? En hoeveel mm is us e omtrek vn e Are? Je h voor e erekening ij ntuurlijk geen rekenmhine noig. Mr oe hem eens op je rekenmhine. Wrshijnlijk krijg je ls ntwoor (Of iets wt it moet voorstellen zols 4E10.) Leg uit wrom it hetzelfe is ls jouw ntwoor ij. Wrom is het eter om te shrijven n ? Voor getllen met veel nullen woren ook wel wooren ls miljoen en miljr en ergelijke geruikt. 1 miljoen hetzelfe ls Hoeveel is 1 miljr? Opgve 2 Wij werken met getllen in het tientllig stelsel. We heen us tientllen, honertllen, uizentllen, enzovoorts. Dt zijn lleml mhten vn 10. Dus kun je getllen shrijven ls mhten vn 10. Zo is 1234 = Op e wesite vn het C.B.S. stt een evolkingsteller. Neerln tele inwoners op vrijg 6 pril 2012 om 11:25.15 uur. Shrijf it getl in het tientllig stelsel met mhten vn 10. Uitleg Omt je in het tientllig stelsel werkt, spelen mhten vn 10 een grote rol ij het opshrijven vn getllen. Met ehulp vn e rekenregels voor mhten kun je ij eenheen, tientllen, honertllen, uizentllen, et., werken met mhten vn 10. Dt zelfe gelt voor tienen, honersten, uizensten, et. De rekenregels voor mhten vn 10 (en ook voor nere mhten) zijn: > ij vermenigvuligen vn mhten tel je e exponenten op: = 10 8 > ij het elen vn mhten trek je e exponenten vn elkr f: 10 5 /10 3 = 10 2 Hieruit volgt: > 1 = 10 1 /10 1 = = 10 0 us 10 0 = 1 > > > 1 10 = 100 /10 1 = = 100 /10 2 = = 100 /10 3 = 10 3 enzovoorts. Hele grote getllen zols 135 miljr = zijn oor het grote ntl ijfers moeilijk te lezen. Je shrijft zo n getl rom ls: = 1, = 1, Ook hele kleine getllen zols 31 miljoenste = 0, zijn oor het grote ntl ijfers moeilijk te lezen. Je shrijft zo n getl rom ls: 1 0, = 3,2 0,00001 = 3, = 3, PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 Deze mnier vn opshrijven vn getllen noem je e wetenshppelijke nottie. Je shrijft een groot getl n in e vorm u 10 u en een klein getl in e vorm u 10 u, wrij 1 u < 10. Opgve 3 Bekijk e Uitleg op pgin 32. Shrijf ls mht vn 10. Het getl estt uit 3 honeruizentllen, 0 tienuizentllen, 4 uizentllen, 5 honertllen, 8 tientllen en 6 eenheen. Lt zien, hoe je it kunt shrijven met mhten vn 10. Shrijf 0,00001 ls mht vn 10. Het getl 30,4586 estt uit 3 tientllen, 0 eenheen, 4 tienen, 5 honersten, 8 uizensten en 6 tienuizensten. Lt zien, hoe je it kunt shrijven met mhten vn 10. Opgve 4 Grote getllen zijn ijvooreel 1 miljoen en 1 miljr. Shrijf eze getllen ls mht vn 10. Kleine getllen zijn ijvooreel 1 miljoenste en 1 miljrste. Shrijf eze getllen ls mht vn 10. Opgve 5 Enkele uitsprken met grote en kleine getllen. > Ongeveer 3 miljoen jr geleen zijn e inosuriërs uitgestorven. > Sommige eenelligen zijn slehts 2,5 miljoenste mm ree. > Volgens het ministerie komt ons ntionl inkomen uit op 468 miljr. Shrijf eze getllen in e wetenshppelijke nottie. Theorie en vooreelen Vooreel 1 De lihtsnelhei is in vuüm (het luhtleige) gelijk n m/s. Deze wre is ext oort ze wort geruikt ls efinitie vn e lengte vn e stnrmeter: een meter is geefinieer ls e fstn ie het liht in 1/ seone flegt. Het liht legt us ongeveer 3, m per seone f. De wetenshppelijke nottie vn e lihtsnelhei is 3, m/s. Hoeveel km/uur is t. Om e lihtsnelhei in m/s om te rekenen nr km per uur moet je it getl vermenigvuligen met 3600 (het ntl seonen in een uur) en vervolgens elen oor 1000 (het ntl m in een km). Dus is e lihtsnelhei ongeveer 3,6 3, = 10, = 1, km/uur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 Opgve 6 Bekijk Vooreel 1 op pgin 33. Je ziet hoeveel e lihtsnelhei in m/s ergt. Wrom is it getl in e wetenshppelijke nottie 3, en niet 2, ? Het omrekenen vn m/s nr km/uur kn in twee stppen. Bereken eerst e lihtsnelhei in m/uur. Reken e lihtsnelhei in m/uur nu om nr km/uur. Opgve 7 De omtrek vn e Are is km. Als mensen hn in hn stn met e rmen gesprei zitten e miens vn hun lihmen ongeveer 1,5 m vn elkr. Hoeveel mensen moeten er hn in hn stn met e rmen gesprei om e Are te omspnnen? Geef je ntwoor in e wetenshppelijke nottie in één eiml nuwkeurig. Er zijn ongeveer 7 miljr mensen op Are. Hoeveel keer kunnen ie op e eshreven mnier e Are te omspnnen? Geef je ntwoor in e wetenshppelijke nottie in één eiml nuwkeurig. Vooreel 2 Een meter is geefinieer ls e fstn ie het liht in 1/ seone flegt. Hoe lng oet het liht over het fleggen vn 1 seone? Geef je ntwoor in e wetenshppelijke nottie in rie eimlen nuwkeurig. Als je eze eling met e rekenmhine uitvoert, n krijg je wrshijnlijk seonen. Dt is niet in twee eimlen nuwkeurig. Mr je kunt e rekenmhine in e wetenshppelijke nottie zetten. Dn wort e erekening ineens veel nuwkeuriger. Je vint n ongeveer 3, De vrg is ntuurlijk wel of je ie nuwkeurighei noig het... Opgve 8 Neem voor e lihtsnelhei 3, m/s. De fstn vn e Are tot e Zon is ongeveer 1, km. Hoe lng is het liht onerweg vnf e Zon nr e Are? Opgve 9 Hier zie je een foto vn e huisstofmijt. Deze iertjes leven vn menselijke huishilfers, in een hoofkussen vn je e kunnen er wel voorkomen en n en je eht niet onhygiënish. Sommige mensen zijn llergish voor hun uitwerpselen. Zo n huisstofmijt weegt gemiel slehts 1, grm en heeft fmetingen vn ongeveer 0,3 mm ree tot 0,5 lng. Je kunt ze met het lote oog niet zien. Hoeveel wort je kussen zwrer tengevolge vn e huisstofmijt er in? PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 Vooreel 3 Voor estt e nm googol. Deze nm is omstreeks 1920 eht oor een negenjrig neefje vn e Ameriknse wiskunige Ewr Ksner. De nm Google is een verstering hiervn gemkt oor Lrry Pge, één vn e gronleggers vn eze zoekmhine. Veel rekenmhines heen it getl ls grens vn e getllen ie erop kunnen woren weergegeven. Het is ongeveer zo groot ls googolplex = 1 10 googol, een 1 met googol nullen. Best groot... Opgve 10 Bekijk Vooreel 3 op pgin 35. Je ziet hoeveel googol is. Hoeveel is 1 googol 2? En hoeveel is googol? Opgve 11 In e strip spreekt Shröer vn een kns vn googol to one. Hoe groot is ie kns ls je hem in e wetenshppelijke nottie shrijft? En in proenten? Verwerken Opgve 12 Shrijf ls mht vn 10: miljr 0,001 e f miljrste Opgve 13 Shrijf in e wetenshppelijke nottie: 123 miljoen STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 0, , Opgve 14 Geruik ij e volgene erekeningen e wetenshppelijke nottie. Geef je ntwoor ook in ie vorm. In Neerln wonen ongeveer 16 miljoen mensen. Het gemiel inkomen vn een Neerlner is ongeveer ,=. Bereken het ntionl inkomen (het inkomen vn lle Neerlners smen). In Neerln zijn er jrlijks ongeveer 1,5 miljoen mielre sholieren. Zo n sholier kost e overhei gemiel 4500,=. Hoeveel geeft e overhei jrlijks ongeveer uit n mielr onerwijs? Opgve 15 Bteriën zijn miro-orgnismen. Een epl soort terie heeft een gewiht vn 2, kg. Op een plnt evinen zih 3,2 miljoen vn eze teriën. Hoeveel wegen eze teriën smen? Hoeveel vn eze teriën wegen smen 1 kg? Opgve 16 Uit Wikipei ( ): Een moee (spreek uit ls meue ) is een eenellig orgnisme t estt uit protoplsm met één of meerere kernen. Het enoplsm (innenste lgje) is troeel en korrelig terwijl het etoplsm (uitenste lgje) meestl heler is. Het orgnisme ehoort tot e wortelpotigen en vrieert fhnkelijk vn e soort tussen e 30 en 800 μm. 1 μm is nottie. Toepssen mm. Hoeveel meter is een moee vn 800 μm? Geef je ntwoor in e wetenshppelijke Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 17: Lihtjren Een lihtjr is e fstn ie het liht in een jr flegt. De lihtsnelhei is ongeveer m/s. Een stronomishe eenhei is e gemiele fstn vn e Are tot e Zon: 1 AE = 149,6 miljoen kilometer. Voorl in e sterrenkune zijn lihtjr en AE nuttige mten. De uelster Alph Centuri vormt smen met e veel zwkkere Proxim Centuri een rievouig systeem, t zih vn lle sterren het ihtst ij ons zonnestelsel evint. De fstn tot e Zon ergt 4,36 lihtjr. Hoeveel km is 1 lihtjr? En hoeveel AE? Hoeveel km is Alph Centuri vn onze Zon verwijer? En vn e Are? Stel je voor t je in een ruimteship met km/uur vn e Are rehtstreeks nr e Zon zou kunnen vliegen. Hoe lng oe je r n over? En hoe lng oe je over e reis nr Alph Centuri? PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 Opgve 18: Shlmoel Ons Zonnestelsel estt uit een ster (e Zon) en 8 plneten. Je wilt een shlmoel mken vn het zonnestelsel t nog in een shoollokl pst. Zoek e fmetingen vn eze plneten en hun onerlinge fstnen op. Bereken hoe groot je e fmetingen vn e plneten moet mken en hoe groot je e (ijn) irkelvormige nen om e Zon moet mken. Geef een overziht vn lle fmetingen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 1.7 Soorten getllen Verkennen Opgve 1 In eze vieolip hoor en zie je vershillene soorten getllen voorij komen. Shrijf op welke soorten getllen er voor komen en wrn je ze herkent. Uitleg De wiskune kn niet zoner getllen... Om te eginnen zijn r e ntuurlijke getllen 1, 2, 3, 4, 5,..., 7420,... Omt in onze tientllige shrijfwijze een nul noig is wort het getl 0 meestl ook een ntuurlijk getl genoem: N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Doe je niks ners n optellen, vermenigvuligen en mhtsverheffen, n he je n e ntuurlijke getllen genoeg. Mr j, er woren ook getllen fgetrokken, geeel en er wort wortel getrokken... Om getllen ltij te kunnen ftrekken he je ook negtieve getllen noig, wnt ners kun je ijvooreel 5 9 niet uitrekenen. Dus eerst voeg je 1, 2, 3, et., toe n e ntuurlijke getllen. Je krijgt n e gehele getllen: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Om getllen ltij te kunnen elen he je ook reuken noig, wnt ners kun je ijvooreel 2 /3 niet uitrekenen. Voeg je e reuken toe n e gehele getllen, n krijg je e rtionle getllen Q ( rtio etekent reuk, verhouing ). Die nm is niet zo gek, wnt ook gehele getllen kun je ls reuk shrijven. Bijvooreel: 3 = 3 1. En hiermee is het nog niet fgelopen... Opgve 2 Bekijk e Uitleg op pgin 38. De Oue Grieken kenen lleen e ntuurlijke getllen. Cijfers en het tientllig stelsel ws ze oneken, ze geruikten letters om getllen weer te geven. De Romeinen geruikten ook letters om getllen weer te geven, hoewel ze Romeinse ijfers genoem woren. Tot ver in e Mieleeuwen wren eze Romeinse ijfers in Europ e enige mnier om getllen weer te geven. De Romeinse ijfers estn uit e symolen I voor 1, V voor 5, X voor 10, L voor 50, C voor 100, D voor 500 en M voor De eerste tien getllen zijn I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX en X. Hoe wort 4 voorgestel in Romeinse ijfers? Hoe zou 24 er in Romeinse ijfers uitzien? Welk getl is MDCCXXIX? En hoe ziet 1999 er uit? De Romeinen hen geen symool voor 0 omt hun systeem voor getllen geen positiestelsel is. Het tientllig stelsel t we nu geruiken is wel een positiestelsel. e f Proeer uit te leggen wt het vershil is. Wt is het neel vn e Romeinse ijfers? Wrom is ij een positiestelsel een 0 noig? PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 Opgve 3 Toen in West-Europ n e Mieleeuwen het tientllig stelsel wer ingevoer, weren e ijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 e sis vn onze getllen. Kun je eenken in welke situties negtieve getllen elngrijk zijn? Breuken wren ltij verhouingen vn gehele getllen, vnr l ie shrijfwijzen ervoor. Hoe shrijf je een reuk ls eiml getl? Kun je elk rtionl getl ls reuk shrijven? En ls eiml getl? Zijn er nog nere getllen n e rtionle getllen? Uitleg Inmiels he je ook leren worteltrekken. En t levert twee prolemen op... Getllen ls 2 kun je niet ls reuk shrijven, het zijn irrtionle getllen. (Al in e Griekse Ouhei is it ewezen.) Drom kun je ergelijke wortels lleen eneren, nooit ext erekenen. Je moet us n e rtionle getllen nog eze irrtionle getllen toevoegen. Je krijgt n e reële getllen. Dit zijn e getllen wr je eigenlijk ltij mee werkt. Alle reële getllen smen stel je voor oor R. Het tweee proleem etreft getllen ls 1. Dit zijn geen reële getllen. Hiervoor zijn e omplexe getllen in het leven geroepen, mr voorlopig krijg je r niet mee te mken... Hier zie je e voor jou elngrijke soorten getllen in één figuur. Opgve 4 Bekijk e Uitleg op pgin 39. Je ziet t wortels vk geen rtionle getllen zijn. Geef een vooreel vn een wortel ie wel een rtionl getl is, mr geen geheel getl. Het getl 2 is tot in miljoenen eimlen ereken: 2 = 1, Mr er is geen regelmt in e eimlen te vinen en us is het getl nooit preies eken. Wt is het kenmerkene vershil tussen irrtionle getllen en rtionle getllen? Hoeveel eimlen vn 2 geeft jouw rekenmhine? Shrijf ze op. Kun je op met je rekenmhine meer eimlen vn 2 vinen? Hoe n? Opgve 5 Wortels uit een negtief getl, wt moet je r nou mee? Wrom is e wortel uit een negtief getl geen reëel getl? Stel je nu eens voor t er een getl i is wrvoor gelt: i 2 = 1. Wt is 1 n? Wt is 4 nu? En 2? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 Theorie en vooreelen Vooreel 1 Geef vn elk vn e volgene getllen n tot welke soort ze ehoren. > 2,25 > 12 4 > 53 > Al eze getllen zijn reële getllen. > 2,25 is een rtionl getl, mr geen geheel getl > 12 4 = 3 en is us een geheel getl, mr geen ntuurlijk getl > 53 is een irrtionl getl > = 6 en us een ntuurlijk getl Opgve 6 Bekijk Vooreel 1 op pgin 40. Teken een igrm zols in e Uitleg op pgin 39 en plts rin e getllen uit het vooreel. Teken een getllenlijn wrop l eze getllen voorkomen en plts ze er in e juiste volgore op. Vooreel 2 Vn een rtionl getl ls 2 7 kun je lle eimlen ext weten omt ij het uitvoeren vn e eling e eimlen zih gn herhlen. Je ziet t er herhling optreet, us 2 7 = 0, Elk rtionl getl heeft zo ofwel een einig ntl eimlen, ofwel e eimlen gn zih herhlen. Drom hoef je rtionle getllen niet te eneren. PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 Opgve 7 Bekijk Vooreel 2 op pgin 40. Elk rtionl getl heeft ofwel een einig ntl eimlen, ofwel e eimlen gn zih herhlen. Shrijf 3 16 ext ls eiml getl. Shrijf 2 13 ext ls eiml getl. Als e noemer vn e reuk een priemgetl is, n is het niet ltij gemkkelijk om e herhling vn e eimlen te vinen. Proeer mr eens een pr reuken zols 1 17, 1 19, of 1 31 ls ext eiml getl te shrijven. Opgve 8 Nu he je een getl ls 0, Je wilt nu eplen welke reuk hier ij hoort. Noem het getl u Er herhlen zih vier eimlen. Hoeveel is us u? Je weet t u 1 u = 9999 u. Welk gehele getl is 9999 u? Shrijf nu u ls reuk. Shrijf op ezelfe mnier 12, 34 ls reuk. Verwerken Opgve 9 Gegeven zijn e volgene getllen: 1,5, 16, 5, 0, 4, 1, 15 en Mk een overziht vn e vershillene soorten getllen zols t hiernst en plts e gegeven getllen er in. Zet e gegeven getllen op e juiste plts op e getllenlijn. 7 3, Opgve 10 Shrijf 7 31 ls ext eiml getl. Opgve 11 Shrijf 5,1 63 ls reuk. Opgve 12 Als je twee ntuurlijke getllen optelt, n krijg je ltij weer een ntuurlijk getl. Je zegt rom wel t e ntuurlijke getllen gesloten zijn voor optellen. Zijn e ntuurlijke getllen ook gesloten voor ftrekken? Zijn e gehele getllen gesloten voor ftrekken? Zijn e gehele getllen gesloten voor vermenigvuligen? En voor elen? Welke soort getllen is gesloten voor worteltrekken? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 Toepssen Geef ij elk vn e volgene opgven een uitgereie toelihting. Opgve 13: Veelvouen Er zijn llerlei soorten getllen: e veelvouen 2, 3,... Lees hierover in > > 1/2 HAVO/VWO > Soorten getllen > Toepssen Hoe noem je e veelvouen vn 2? e f Zet e ntuurlijke getllen vnf 0 tot en met 99 op een rij en streep lle veelvouen vn 2 weg mr 2 zelf niet. Welke getllen hou je over? Streep nu e veelvouen vn 3 ook weg mr 3 zelf niet. Hoeveel getllen hou je nu over? Wrom is het weinig werk om nu e veelvouen vn 4 weg te strepen? Streep nu e veelvouen vn 5 (ehlve 5) weg. Drn ie vn 7 (ehlve 7) en zo stees verer met het eerstvolgene getl t nog niet is weggestreept. Wt hou je over? Elk ntuurlijk getl is een priemgetl of een veelvou vn een priemgetl. Klopt ie uitsprk? Opgve 14: Perfete getllen Het getl 6 heeft ehlve zihzelf nog rie nere elers, nmelijk 1, 2 en 3. En ls je ie elers optelt, n krijg je preies 6. Een getl met e eigenshp t het gelijk is n e som vn zijn elers (ehlve het getl zelf) heet een perfet getl. Perfete getllen zijn ehoorlijk zelzm, tot nu toe zijn er slehts 44 gevonen. Lt zien t 28 het volgene perfete getl is. Perfete getllen zijn moeilijk te vinen. Lng heen wiskunigen geht t ze lleml e vorm 2 u (2 u +1 1) zouen heen. G n, t it klopt voor u = 1 en voor u = 2. Voor u = 3 krijg je geen perfet getl. G t n. Mr voor u = 4 klopt het weer wel. Welk perfete getl krijg je n? Kun je er nog meer vinen? PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

45 1.8 Totleel Smenvtten Wnneer je een getl herhlelijk met zihzelf vermenigvuligt, krijg je een mht vn it getl. Kwrten zijn vooreelen vn mhten. Wil je omgekeer vnuit e mht vn een getl het oorspronkelijke getl weer terugvinen n moet je worteltrekken. Omt je e ewerkingen mhtsverheffen en worteltrekken in komene onerwerpen regelmtig zult tegenkomen, leer je er in it onerwerp mee werken. Verer zul je mhten vn 10 geruiken ij het weergeven vn heel grote en heel kleine (iht ij 0) getllen. De volgene opgven zijn eoel om overziht over het onerwerp Mhten en wortels te krijgen. Dit etreft e onerelen 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7 vn it onerwerp. Het is nuttig om er een eigen smenvtting ij te mken. Je het geleer > kwrteren en werken met kwrten ( Uitleg op pgin 6); > terugrekenen vnuit kwrten, worteltrekken ( Uitleg op pgin 11); > rekenen met wortels ( Uitleg op pgin 16); > werken met hogere mhten n ij kwrteren ( Uitleg op pgin 22); > e uitgereie voorrngsregels voor het rekenen ook met mhtsverheffen en worteltrekken ( Uitleg op pgin 28); > e wetenshppelijke nottie vn hele grote getllen en getllen iht ij 0 ( Uitleg op pgin 32); > soorten getllen herkennen ( Uitleg op pgin 38); Voorkennis > rekenen met eimle getllen en e voorrngsregels voor het rekenen geruiken (Rekenen); > rekenen met reuken (Breuken); > rekenen met negtieve getllen (Negtieve getllen); Opgve 1 Kwrteren en worteltrekken hngen met elkr smen. Mk t uielijk in een egrippennet zols it. Vul het volleig in. De meeste wortels kun je lleen eneren. Geef een vooreel vn zo n wortel met e ijehorene enering in twee eimlen nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43

46 Opgve 2 Met wortels kun je in veel gevllen rekenen zoner ze te eneren. Mk met twee vooreelen uielijk hoe je gelijksoortige wortels kunt optellen en ftrekken. Mk met twee vooreelen uielijk hoe je wortel kunt vermenigvuligen en elen. Soms kun je wortels ie op het eerste geziht niet gelijksoortig zijn toh gelijksoortig mken en optellen of ftrekken. Geef een vooreel. Opgve 3 Hier zie je een mht. Zet e egrippen grontl en exponent in e figuur. Opgve 4 Dere mhten en eremhtswortels hngen met elkr smen. Mk t uielijk in een egrippennet zols it. Vul het volleig in. De meeste eremhtswortels kun je lleen eneren. Geef een vooreel vn zo n wortel met e ijehorene enering in twee eimlen nuwkeurig. Opgve 5 Je het nu mhtsverheffen en worteltrekken n e mogelijke ewerkingen toegevoeg. Mhten met hetzelfe grontl kun je vermenigvuligen en elen oor e exponenten op te tellen respetievelijk f te trekken. Geef rvn vooreelen. Wt oe je met e exponenten ij mhten vn mhten? Geef een vooreel. Geef een vooreel vn rekenen met wortels en mhten wruit e voorrngsregels uielijk woren. Opgve 6 Shrijf e getllen en 0, in e wetenshppelijke nottie. Opgve 7 Welke soorten getllen zijn er? Mk een eknopt overziht. PAGINA 44 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

47 Testen De volgene opgven zijn eoel om n te gn of je e onerelen 1 tot en met 7 vn het onerwerp Mhten en wortels voloene eheerst. 7 2 Opgve 8 Bereken (geruik lleen wr noig je rekenmhine om het ntwoor in twee eimlen nuwkeurig te geven): 1,5 2 ( 2 5 )2 6,25 e 4 81 f g 70 h (3 6) 2 Opgve 9 Rehthoek ABCD is opgeouw uit zes vierknten ie elk een oppervlkte vn 2 heen. Bereken e exte omtrek vn rehthoek ABCD. De oppervlkte vn e rehthoek kun je op twee mnieren erekenen, nmelijk oor e oppervlktes vn e fzonerlijke vierknten op te tellen en oor twee vershillene zijen te vermenigvuligen. Lt zien t je in eie gevllen ezelfe oppervlkte krijgt. Opgve 10 Je het een kuus met rien vn 2,5 m. Hoe groot is e inhou vn e kuus? Je het een kuus met een inhou vn 40 m 3. Tussen welke twee opeenvolgene gehele getllen ligt e lengte vn een rie? Je het een kuus met een inhou vn 40 m 3. Geef e exte lengte vn elke rie vn eze kuus en ener eze lengte in rie eimlen nuwkeurig? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45