In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten."

Transcriptie

1 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende pltje vn de eindige utomt A 1. 6 q1 q2 q3 Deze utomt estt uit de toestnden q 0, q 1, q 2 en q 3, wrvn q 0 de strttoestnd is, en q 3 de enige ccepterende toestnd; de verzmeling vn lle toestnden noteren we ls Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 }. Het invoerlfet vn A 1 is de verzmeling Σ = {, }. De mogelijke stppen of trnsities vn A 1 worden weergegeven door de pijlen in het digrm. Merk op dt er vnuit elke toestnd voor elk symool een unieke pijl vertrekt; we kunnen dus de trnsities vn A 1 weergeven ls een trnsitiefunctie δ : Q Σ Q. Alle ovenstnde informtie over A 1 kunnen we ook weergeven in een tel: A 1 q 0 q 1 q 0 q 1 q 2 q 0 q 2 q 3 q 0 q 3 q 3 q 3 De utomt komt tot leven ls we invoer toedienen in de vorm vn een woord uit het invoerlfet. De utomt verwerkt dit woord ls volgt: te eginnen vnuit de initiële toestnd q 0 loopt A 1 stp voor stp door het woord, ij elk symool vn toestnd verspringend zols de trnsitie-functie dt voorschrijft. Dit proces, dt we de run vn de utomt op het woord noemen, is fgerond ls het ltste symool voorij is gekomen; de utomt evindt zich dn in de eindtoestnd vn de run. Vooreelden: - Op inputwoord w 1 = voltrekt zich het volgende proces: q 0 q1 q 0 q 1 q2 q 0 q1 ; - De run vn A 1 op inputwoord w 2 = is ls volgt: q 0 q1 q 0 q1 q 2 q3 q 3 q3.

2 10 We zeggen dt A 1 het woord w 2 herkent of ccepteert omdt de eintoestnd q 3 vn de run op w 2 ccepterend is; het woord w 1 wordt niet herkend, oftewel geweigerd, omdt de run vn de utomt op dit woord eindigt in de toestnd q 1 die niet ccepterend is. Deze utomt ccepteert precies de woorden w over het lfet {, } die drie opeenvolgende s evtten. De utomt A 1 vn Vooreeld 2.1 is een vooreeld vn een deterministische eindige utomt. De lgemene definitie is ls volgt. Definitie 2.2 Een deterministische eindige utomt of de is een quintupel A = (Q, q I, Σ, δ, F ) zó dt Q is een eindige, niet-lege verzmeling vn ojecten die we toestnden noemen, q I Q is de egintoestnd, Σ is het invoerlfet, δ : Q Σ Q is de trnsitiefunctie F Q is de verzmeling ccepterende toestnden. Definitie 2.3 Gegeven is een deterministische eindige utomt A = (Q, q I, Σ, δ, F ). plts vn δ(q) = q noteren we vk q q. We schrijven q w q ls w = n en er trnsities zijn vn de vorm q 1 q 2 1 q 2 n q n = q. Bijzondere gevllen vn deze definitie: voor het lege woord geldt q ɛ q, en q ɛ q geldt voor geen enkele q q; ls w uit één symool estt, zeg w =, dn geldt q w q precies ls q q. Voor elke toestnd q en elk woord w is er precies één toestnd q zodnig dt q w q ; deze toestnd q noteren we wel ls ˆδ(q, w). In Vooreeld 2.4 Voor de utomt A 1 vn Vooreeld 2.1 geldt q 0 q 0, q 2 ɛ q 3. q 3 Merk op dt we de functie ˆδ ook inductief hdden kunnen definiëren: ˆδ(q, ɛ) = q ˆδ(q, x) = δ(ˆδ(q, x), ). q 3 en (3) Definitie 2.5 Gegeven is een deterministische eindige utomt A = (Q, q I, Σ, δ, F ). De run vn A op een Σ-woord w = n wordt gedefinieerd ls de rij q 1 I 2 q1 q2 n q n. De eindtoestnd vn deze run is de toestnd q n = ˆδ(q I, w); een run is succesvol ls de eindtoestnd ccepterend is, dt wil zeggen: element vn F is. De utomt A ccepteert of herkent een woord w Σ ls ˆδ(q I, w) F, dt wil zeggen ls de run vn A op w succesvol is. De tl L(A) wordt gedefinieerd ls de verzmeling woorden die door A worden geccepteerd. Anders geformuleerd: L(A) = {w Σ ˆδ(q I, w) F }.

3 11 Vooreeld 2.6 Beschouw de tl L over {, } estnde uit die woorden wr een even ntl s in voorkomt. Deze tl wordt herkend door de volgende utomt A 2 : 6 7 q1 Dit kunt u ntonen door ijvooreeld te lten zien dt voor lle woorden w {, } het volgende geldt: { q0 ls # ˆδ(q 0, w) = (w) is even, (4) q 1 ls # (w) is oneven. 2.2 Niet-deterministische eindige utomten Niet-deterministische utomten lijken op deterministische. Het verschil is dt ij een nietdeterministische utomt, gegeven een toestnd q en een invoersymool, de volgende toestnd niet uniek epld hoeft te zijn, of zelfs mr hoeft te estn. Definitie 2.7 Een niet-deterministische eindige utomt of ne is een quintupel A = (Q, q I, Σ,, F ) zó dt Q is een eindige, niet-lege verzmeling toestnden, q I Q is de egintoestnd, Σ is het invoerlfet, : Q Σ P(Q) is de trnsitiefunctie F Q is de verzmeling eindtoestnden. Vooreeld 2.8 Beschouw de volgende utomt A 3 :,, q1 q2 q3 In een tel kunnen we deze utomt ls volgt weergeven: A 3 q 0 q 0, q 1 q 0 q 1 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3 q 3

4 12 Nondeterminisme vn een utomt komt dus nr voren in de trnsitie-functie, die een pr (q, ) Q Σ feeldt op een verzmeling (q, ) Q vn mogelijke nieuwe toestnden, in plts vn op een unieke nieuwe toestnd δ(q, ). Een niet-deterministische utomt kn meerdere runs heen op één en hetzelfde invoerwoord, en een run kn ook vstlopen. Dit ltste geeurt, ls de utomt zich in een eplde toestnd, zeg q, evindt, en op een symool, zeg Σ, stuit wrvoor geldt dt (q, ) =. Definitie 2.9 Gegeven is een niet-deterministische eindige utomt A = (Q, q I, Σ, δ, F ). We noteren q q ls q (q, ), dt wil zeggen, ls q een mogelijke nieuwe toestnd is n q ij invoersymool. We schrijven q w q ls w = n en er trnsities zijn vn de vorm q 1 q 2 1 q2 n q n = q. Bijzondere gevllen vn deze definitie werken precies ls in het deterministische gevl. Een run vn A op het Σ-woord w = n is een rij q 1 I 2 q1 q2 k q k wrvoor geldt dt (i) k = n of (ii) k < n en (q k, k+1 ) =. In het eerste gevl zeggen we dt de run succesvol is wnneer q k F ; in het tweede gevl zeggen we dt de run vstloopt in q k op k+1. Vooreeld 2.10 Beschouw de volgende runs vn de utomt A 3 (vn Vooreeld 2.8) op het woord w = : q 0 q0 q 0 q0 q0 q0 q 0 ; q 0 q0 q 0 q1 q2 q3 q 3 ; q 0 q1 Vn deze drie runs is de tweede de enige die succesvol is; de derde loopt vst in q 1 op. Nu runs niet meer uniek zijn, moeten we een keuze mken wnneer we een woord ccepteren. Definitie 2.11 Een niet-deterministische eindige utomt A ccepteert een woord w ls A miniml één succesvolle run op w heeft. De tl L(A) wordt gedefinieerd ls de verzmeling woorden die door A worden herkend. Vooreeld 2.12 Beschouw de volgende utomt A 4 :, q1 q2 We climen dt L(A 4 ) = {w {, } w eindigt op }. (5) Voor het ewijs vn (5) ehndelen we de twee inclusies fzonderlijk.

5 13 : Stel eerst dt w L(A 4 ). Er is dus een succesvolle run vn A 4 op w. Op grond vn het digrm vn de utomt kn dt lleen mr etekenen dt de ltste stppen vn deze run er ls volgt uit zien: q 0 q1 q 2. Mr dt etekent dt w inderdd eindigt op de string. : Omgekeerd, ls w eindigt op, dn kunnen we w dus schrijven ls w = u voor zeker woord u {, }. Bekijk nu die run vn A 4 op w wrin de utomt net zo lng in de egintoestnd q 0 lijft wchten totdt het hele woord u voorij is, dn met de overgt nr q 1, en vervolgens met de nr q 2. Deze run, die je u kunt weergeven ls q 0 q0 q1 q 2, is duidelijk succesvol; per definitie wordt w dus door A 4 geccepteerd. Vooreeld 2.13 Voor een tweede vooreeld, eschouw de volgende utomt A 5 : c 6 q1 q2 We lten zien dt L(A 5 ) = L(( + c) ). (6) : Stel dt A 5 het woord w ccepteert. We moeten ntonen dt w mtcht met de expressie ( + c). Bekijk drvoor een succesvolle run vn A 5 op w. Op grond vn het digrm vn A 5 kunnen we onmiddellijk concluderen dt deze run óf lengte nul heeft, óf uit een ntl (één of meer) deelruns estt die elk vn de vorm q 0 q1 q 0 dnwel c q 0 q1 q 2 q2 zijn. Hieruit volgt dt w óf leeg is (w = ɛ), of vn de vorm w = u 1 u n (met n 1) wrij elke u i één vn de woorden of c is, en dus in ieder gevl mtcht met de expressie + c. Mr dn is het duidelijk dt inderdd w ( + c). : Stel omgekeerd dt w L(( + c) ). Dn is w óf het lege woord, óf w is vn de vorm w = u 1 u n (met n 1) wrij elke u i mtcht met de expressie +c. In ɛ het eerste gevl wordt w = ɛ geccepteerd door A 5 op grond vn de run q 0 q 0. In u i het tweede gevl geldt voor iedere u i dt q 0 q 0. Comineren we deze deelruns u 1 u 2 dn heen we een succesvolle run q 0 q 0... un q 0. Met ndere woorden w wordt inderdd door A 5 geccepteerd. 2.3 Determinizeren Definitie 2.14 Twee utomten A en B (deterministisch dnwel niet-deterministisch) heten equivlent ls L(A) = L(B), dt wil zeggen: ls ze precies dezelfde woorden herkennen.

6 Vooreeld 2.15 De utomten A 1 uit Vooreeld 2.1 en A 3 uit Vooreeld 2.8 herkennen lleei precies die woorden over het lfet {, } die drie opéénvolgende s evtten (g dit n voor A 3 ), en zijn dus equivlent. Het is niet zo moeilijk om in te zien dt je elke determinische utomt een niet-deterministisch equivlent A kunt geven: vervng de trnsitiefunctie δ : Q Σ Q door : Q Σ P(Q) gegeven door (q, ) := {δ(q, )}. Op het eerste gezicht hoeft het omgekeerde niet te gelden. Het is ijvooreeld niet op voorhnd duidelijk of je een deterministische utomt kunt mken die equivlent is met de utomt A 4 vn Vooreeld Toch is dit mogelijk. Vooreeld 2.16 De eindige utomt A 4 uit Vooreeld 2.12 kn worden eschreven door de volgende tel: A 4 q 0 q 0, q 1 q 0 q 1 q 2 q 2 We construeren nu een nieuwe utomt A d 4. De toestnden vn Ad 4 worden gevormd door lle cht verzmelingen vn toestnden vn A 4 :, {q 0 }, {q 1 },..., {q 0, q 1, q 2 }. De trnsities worden ls volgt epld: ekijk steeds lle toestnden die je op grond vn het symool (zeg, ) kunt ereiken uit één vn de toestnden uit de huidige verzmeling (zeg, S); de verzmeling vn l deze toestnden tesmen vormt de δ(s, ). Bijvooreeld: uit q 0 kun je met in q 0 terechtkomen, en uit q 1 kun je met in q 2 terechtkomen; dus geldt δ({q 0, q 1 }, ) = {q 0, q 2 }. De egintoestnd vn A d 4 is het singleton {q 0}; een deelverzmeling S Q is een eindtoestnd vn A d 4 ls S een eindtoestnd vn A 4 evt; dt wil zeggen, ls q 2 S. A d 4 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0 } {q 1 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1 } {q 0 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } Merk op dt voor elk woord w geldt dt ˆδ({q 0 }, w) precies de verzmeling vn toestnden w s Q is wrvoor geldt dt q 0 s. Bijvooreeld: ˆδ({q0 }, ) = {q 0, q 1 }, en q 0 en q 1 zijn precies de twee toestnden s vn A 4 wrvoor geldt q s. Het is niet l te moeilijk om te lten zien dt L(A d 4 ) = L(A 4). Sterker nog, de suset constructie vn het ovenstnde vooreeld kn worden uitgevoerd voor elke niet-deterministische utomt. 14

7 15 Definitie 2.17 Gegeven is een ne A = (Q, q I, Σ,, F ). De deterministische simultor vn A is de utomt A d = (Q, q I, Σ, δ, F ) gegeven door: Q = P(Q) q I = {q I } Σ = Σ δ(s, ) = {q Q s q voor zekere s S} F = {S Q S F }. Stelling 2.18 Voor elke niet-deterministische eindige utomt A geldt dt L(A) = L(A d ). Bewijs. De crucile oservtie in het ewijs is dt voor lle woorden w Σ geldt: Hieruit volgt vrijwel onmiddellijk dt L(A) = L(A d ): ˆδ({q I }, w) = {q Q q I w A q}. (7) L(A d ) = {w Σ ˆδ({q I }, w) F } = {w Σ ˆδ({q I }, w) F } = {w Σ er is een s ˆδ({q I }, w) F } = {w Σ er is een s F zodnig dt q I w A s} = L(A). Het ewijs vn (7) gt met inductie nr de lengte vn w. sisstp Neem n dt w = 0, dt wil zeggen: w = ɛ. Links in (7) stt er dn ˆδ({q I }, ɛ), en dt is wegens (3) gelijk n {q I }. ɛ Rechts in (7) stt er dn {q Q q I q} = {q I }. Deze twee verzmelingen zijn dus inderdd n elkr gelijk. inductiestp Neem n dt w = k + 1. We mogen dus nnemen dt w vn de vorm x is, wrij de inductiehupothese vn toepssing is op x. Dt wil zeggen: we mogen geruik mken vn de inductiehypothese ˆδ({q I }, x) = {q Q q I x A q}. We geven deze verzmeling weer ls P. Nu kijken we nr w. Wegens (3) geldt dt ˆδ({q I }, x) = δ(ˆδ({q I }, x), ) = δ(p, ). Links in (7) stt er nu ˆδ({q I }, x) = δ(p, ) = {q Q er is een p P zodnig dt p q} Rechts in (7) stt er {q Q q I x A q} = {q Q er is een p zodnig dt q I x p q} Deze twee verzmelingen zijn dus inderdd n elkr gelijk. qed

8 16 Merk op dt de deterministische simultor A d vn een nondeterministische eindige utomt A exponentieel veel toestnden heeft, uitgedrukt in het ntl toestnden vn A. Immers, een verzmeling vn n elementen heeft 2 n deelverzmelingen. In veel gevllen zijn niet l deze toestnden nodig, en kn een ne worden gesimuleerd door een de die niet l te veel groter is dn de ne. Vooreeld 2.19 In de utomt A d 4 vn Vooreeld 2.16 kunnen de onereikre toestnden, {q 1 }, {q 2 }, {q 1, q 2 } en {q 1, q 2, q 3 } proleemloos verwijderd worden zonder dt dit invloed heeft op de herkennende krcht vn de utomt. Wt overlijft is de volgende utomt, die evenveel toestnden heeft ls de oorspronkelijke. {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1 } {q 0 } In het lgemeen is een exponentiële toenme vn het ntl toestnden echter onvermijdelijk. Opgven Opgve 2.1 Geef deterministische utomten die precies de volgende tlen herkennen het lfet is steeds {0, 1}. () {w {0, 1} zowel # 0 (w) ls # 1 (w) is even}, () {w {0, 1} w eindigt op 0}, (c) {w {0, 1} w eindigt op 00}, (d) {w {0, 1} elk lok vn vijf opéénvolgende symolen in w evt minstens één 0 } (e) {w {0, 1} w 010 en w 101}. Opgve 2.2 Gegeven is een de A. Geef een de B die het complement vn L(A) herkent; dt wil zeggen: B ccepteert precies de woorden die niet door A worden herkend. Opgve 2.3 Welke tlen over {, } worden door de volgende utomten herkend? () A 1 q 0 q 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 q 2 q 1 () A 2 q ɛ q q ɛ q q q ɛ q q q q q q (c) A 3 q 0 q 1 q 3 q 1 q 3 q 2 q 2 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3 Opgve 2.4 In een zekere impertieve progrmmeertl P kunnen (en moeten) reële getllen op een vn de volgende mnieren worden gerepresenteerd: 1. een niet-lege cijferreeks (ijvooreeld: 24356);

9 17 2. twee niet-lege cijferreeksen gescheiden door een punt (ijvooreeld: ); 3. een niet-lege cijferreeks, gevolgd door het symool E, mogelijk gevolgd door een minteken (-), en zeker gevolgd door een niet-lege cijferreeks (ijvooreeld: 15E-4, 16E238); 4. een comintie vn 2 en 3, dt wil zeggen: twee niet-lege cijferreeksen gescheiden door een punt (ijvooreeld: ), gevolgd door het symool E, mogelijk gevolgd door een minteken (-), en zeker gevolgd door een niet-lege cijferreeks (ijvooreeld: 16.2E-23). Geef een eindige utomt die precies deze expressies herkent. Opgve 2.5 Geef eindige utomten die de volgende tlen herkennen: () L(( + ) ( + ) ) () L( + ) (c) L( + ). Kn een utomt met 5 toestnden het werk doen? (d) L(( + c) ). Kn een utomt met 3 toestnden het werk doen? Opgve 2.6 Geef deterministische equivlenten vn de volgende niet-deterministische utomten: () A 1 q 0 q 0, q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 () A 2 q 0 q 0, q 1 q 0 q 1 q 2 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3 q 3 (c) A 3 q 0 q 1, q 3 q 1 q 1 q 2 q 1, q 2 q 2 q 3 q 0 q 3 q 0 (d) A 4 q 0 q 0, q 1 q 0 q 1 q 2, q 3 q 4 q 2 q 1, q 2, q 4 q 3 q 4 Opgve 2.7 Gegeven is een eindige utomt A. Geef een eindige utomt B zó dt L(B) = L(A) L(A).

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Inhoud

Inhoudsopgave. Inhoud sopgve 1 Ptronen... 3 2 Vergelijk: tegelptronen... 4 3 Regulier versus context-vrij... 5 4 Lettergrepen: tl met één hnd... 6 5 Bouwpln voor lettergrepen... 7 6 Tlspel met lettergreepstructuur... 8 7 Spiegelwoorden...

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Didactische ondersteuning van theoretische informatica

Didactische ondersteuning van theoretische informatica Didctische ondersteuning vn theoretische informtic Annelotte BOLLEN promotor: Prof. dr. Frnk NEVEN Acdemiejr 2004-2005 Eindverhndeling voorgedrgen tot het ekomen vn de grd licentit in de informtic fstudeervrint

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Hndleiding edatenq Mndelijkse enquête toerisme en hotelwezen Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistische ngiften in te vullen en door te sturen vi internet.

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2)

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2), Universiteit Utrecht http://www.cs.uu.nl/groups/st/ Donderdg 21 decemer 2006 Deeltentmen 1 (vn 2) > Meerkeuze vrgen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur.

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur. Bijlge 4, ehorende ij rtikel 24 vn de Regeling spoorverkeer Hoofdstuk 1. Het ij een lichtsein door wit licht gevormd getl geeft de snelheid n in tientllen kilometers per uur. 1. Lichtseinen. 1.1 Hoofdseinen

Nadere informatie

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage Snelstrtgids Access Online: Betlingen en Rpportge Snel op weg met Access Online Voor het geruik vn de pplictie De meest geruikte functies in overzichtelijke stppen Snelstrtgids Access Online: Betlingen

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen Discrete Wiskunde D. Bruin J.M. Jnsen Opleiding Hogere Informtic Noordelijke Hogeschool Leeuwrden Nederlndse defensie cdemie, fculteit militire wetenschppen Juni 1999 + oktoer 2013 Discrete Wiskunde 2

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding 5. 1 Handgereedschappen Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 138

Inhoud. Inleiding 5. 1 Handgereedschappen Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 138 Inhoud Inleiding 5 1 Hndgereedschppen 10 2 Verindingen 42 3 Elektrische techniek 84 4 Pompen 116 5 Verrndingsmotoren 138 Trefwoordenlijst 183 INHOUD 9 1 Hndgereedschppen 1.1 Opdrcht 1.1 Gereedschppen opzoeken

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

1. Differentiaalvergelijkingen

1. Differentiaalvergelijkingen Differentilvergelijkingen Vn discreet nr continu We estuderen de evolutie vn de evolking vn een lnd met 5 miljoen inwoners Stel u n het ntl inwoners n n jr, met n een discrete vriele We heen enkel informtie

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Kwadratische reciprociteit

Kwadratische reciprociteit Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3 Voorwrden Hypotheek SprVerzekering Model 10052 Delt Lloyd Levensverzekering NV Inhoudsopgve 1 Wt edoelen wij met? 3 2 Wnneer strt uw verzekering? 3 3 Wnneer stopt uw verzekering? 3 3.1 Kunt u de verzekering

Nadere informatie

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude?

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude? VOORWAARDEN Overlijdensrisicoverzekering Delt Lloyd Levensverzekering NV Amsterdm MODEL 2401 U wilt uw finnciële zken goed geregeld heen. Ook ij overlijden. Drom het u een overlijdensrisicoverzekering

Nadere informatie

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel.

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel. 15 Ski-eroics Hoofdstuk 15, Pgin 1 vn 5 15.1 Inleiding Het is elngrijk om SneeuwFit triningen gevrieerd te houden. Proeer het nod vn ctiviteiten zo verschillend mogelijk te houden. Een vooreeld hiervn

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder Accenten lok 0 0 De leerlingen leren het optellen vnf een tienvoud in één sprong, ijv. 0. 0 7 de helft minder 7 Bij het rekenen met geld leren de leerlingen edrgen ls,98 fronden. 7 7 minder meer meer 7

Nadere informatie

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015 Bijlge gendpunt 7: Inhoudelijke plnning overlegtfels 2015 In de Ontwikkelgend (ijlge 5 ij de Deelovereenkomst mtwerkvoorziening egeleiding 18+) zijn 7 them s en 31 suthem s opgenomen die in 2015 tijdens

Nadere informatie

Installatiehandleiding en gebruiksaanwijzing

Installatiehandleiding en gebruiksaanwijzing Instlltiehndleiding en geruiksnwijzing Dikin Altherm vereenvoudigde geruikersinterfce EKRUCBS Instlltiehndleiding en geruiksnwijzing Dikin Altherm vereenvoudigde geruikersinterfce Nederlnds Inhoudsopgve

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Nieuwe internet radio eigenschap

Nieuwe internet radio eigenschap XXXXX XXXXX XXXXX /XW-SMA3/XW-SMA4 Nieuwe internet rdio eigenschp EN NL Deze drdloze luidspreker is ontworpen om te genieten vn Pndor*/internetrdio. Om nr Pndor/internetrdio te kunnen luisteren, kn het

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Inhoud. 1 Handgereedschappen 6. 2 Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 128

Inhoud. 1 Handgereedschappen 6. 2 Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 128 Inhoud 1 Hndgereedshppen 6 2 Verindingen 34 3 Elektrishe tehniek 66 4 Pompen 88 5 Verrndingsmotoren 128 1 Hndgereedshppen 1.1 Opdrht 1.1 Gereedshppen 1 Doel N deze opdrht kun je diverse hndgereedshppen

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

5.1 Hogeremachtswortels [1]

5.1 Hogeremachtswortels [1] 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde.

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde. Route L - Oen 1 De route vn de Oen strt in de Bush. Volg de ordjes nr de Oen. De vrgen stn in hronologishe volgorde. Kwllen Dt er lngs de Nederlndse kust kwllen voorkomen, is lgemeen ekend. De oorkwl kun

Nadere informatie

Het leesdossier of de leesportfolio

Het leesdossier of de leesportfolio 1 Het leesdossier of de leesportfolio Leerdoelen 1 Litertuur Tekstkeuze en leeservring eschrijven, evlueren en documenteren. Tekstervrend en -estuderend lezen. c d e Informtie verzmelen en verwerken. Bij

Nadere informatie

Examenreglement 2014-2015 30 september 2014 GEERT GROOTE COLLEGE AMSTERDAM. Stichting voor Voortgezet Vrijeschoolonderwijs Noord-Holland

Examenreglement 2014-2015 30 september 2014 GEERT GROOTE COLLEGE AMSTERDAM. Stichting voor Voortgezet Vrijeschoolonderwijs Noord-Holland Exmenreglement vn het GEERT GROOTE COLLEGE AMSTERDAM Vestiging vn de Stichting voor Voortgezet Vrijeschoolonderwijs Noord-Hollnd Vstgesteld door het evoegd gezg septemer 2014-1- 30 septemer 2014 Het Geert

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Efficiënt zoeken in grote tekstbestanden

Efficiënt zoeken in grote tekstbestanden Efficiënt zoeken in grote tekstbestnden Een gstles wiskunde voor hvo/vwo 3 en 4, verzorgd door de Universiteit Twente Mriëlle Stoeling en Mrk Timmer Google, Twitter, en Fcebook doorzoeken in een mum vn

Nadere informatie

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = =

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = = 7b Hulp bld 1 nm 1 Reken uit met de rekenmchine 444 : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = 2 Reken uit met rest Voorbeeld: 469 : 37 = ntwoord op de rekenmchine: 12,675675 37 kn 12 keer vn 469 f 12 37

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie