Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Merkwaardige producten en ontbinden in factoren"

Transcriptie

1 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord. Controleer je ntwoord in de correctiesleutel. Achter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenoek. A B C Verder oefenen? 1 ( 5 ) oef oef x 4 y 3 : (5 x y 3 ) 3 x y 3 x 6 y 6 3x oef ( ) (c d) c d c d c d c d c d oef (3 6d) : 3 ( 0) d 6d 3 d oef Dit he je nodig leerwerkoek p oefenoek nr Inhoud G8 Merkwrdig product: kwdrt vn een tweeterm p. 104 G9 Merkwrdig product: product vn toegevoegde tweetermen p. 106 G30 Ontinden in fctoren: fzonderen vn gemeenschppelijke fctoren p. 110 G31 Ontinden in fctoren: een tweeterm ontinden p. 11 G3 Ontinden in fctoren: een drieterm ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm p

2 G8 Merkwrdig product: kwdrt vn een tweeterm Op verkenning De vrkens in Animl Frm zijn oos. Hun territorium heeft nu de vorm vn een vierknt met zijde, mr dt is veel te klein. Het geied dt ze willen inplmen is echter vn de prden, niet zo eenvoudig dus. Mr de vrkens nemen, n enige discussie, een kordt esluit. Elke zijde vn hun vierknt moet met een lengte groter gemkt worden (<)! Wt is de oppervlkte vn het nieuwe geied? z z = z Hoe ereken je de oppervlkte vn een vierknt?... Wt is de zijde vn het oorspronkelijke geied?... Wt is de zijde vn het nieuwe geied?... kwdrt vn een tweeterm (meetkundige voorstelling) Bereken de oppervlkte vn elk geied. = S = ( ) I II III IV S = S I S II S III S IV ( ) ( ) = S =... S I =... S =... S II =... = S =... S III =... S IV =... S =... = Noteer de resultten ls een gelijkheid. ( ) = = =... kwdrt vn een tweeterm (product vn twee tweetermen) Noteer elk kwdrt ls een product vn twee tweetermen en reken uit. (x 3)² = (x 3) (x 3) x 3x 3x (3) x 6x ( ) ( ) () 4 4 ( )² (x ) (x ) x x x x 4x 4 (x )² (5 y) (5 y) (5) 5y 5y (y) 5 10y y (5 y)² Hoeveel termen zijn er telkens in het resultt?... Je kunt deze termen ook onmiddellijk erekenen. Drie vrg ntwoord vooreeld (x4) Hoe ereken je de eerste term? Wt is het teken? Verklr. Hoe ereken je de tweede term (het duelproduct)? Wt is het teken? Verklr. Hoe ereken je de derde term? Wt is het teken? Verklr. Is de volgorde vn de termen elngrijk? Je erekent het kwdrt vn de 1e term. Altijd omdt een kwdrt ltijd postief is. Je erekent het product vn de 1e en de e term en je vermenigvuldigt dit product met. Dit duelproduct is positief ls de termen hetzelfde teken heen. Je neemt het kwdrt vn de e term. Altijd omdt een kwdrt ltijd positief is. Neen, wnt het optellen is commuttief in q. x x (4) = 8x (4) = 16 x 8x 16 = x 16 8x 104 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

3 Weetje Je erekent hier telkens een product dt men merkwrdig noemt. Deze merkwrdige producten komen regelmtig voor in de wiskunde. Ze worden merkwrdig (vreemd) genoemd wegens hun symmetrie in zowel de opgve ls de uitkomst. Het is elngrijk deze merkwrdige formules uit het hoofd te leren. Zo kun je veel sneller en hndiger rekenen. Rekenregel het kwdrt vn een tweeterm erekenen Het kwdrt vn een tweeterm is gelijk n de som vn drie termen: het kwdrt vn de eerste term teken: ltijd het duelproduct vn eide termen teken: ls eide termen hetzelfde teken heen ls eide termen een verschillend teken heen het kwdrt vn de tweede term teken: ltijd ( )²= ² ² (x 3) = (x) x (3) (3) = x 6x 9 (5 ) = (5) (5) () = 5 10 ( 1 p ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 4 p p (p) (p) Oefeningen 1 Reken de merkwrdige producten uit. Noteer de formule die je geruikt: ( )² =... ( x)² c (x 1)² e (5 y)² x x x x (1) (1) 4 4x x x x 1 (c 4)² d (6 q)² f (p )² (c) (c) 4 4 c 8c 16 (5) (5) (y) (y) 5 10y y 6 6 q q p p () () 36 1q q p 4p Vul de ontrekende termen in. 5 10x x (... x)² = (...)² 4 = x 4x 36 c (... 6)² = 4x² d (... 4x...)² 3y = 16x²... 4xy 9y² 0,04 e (... 0,)² =... 0,4... f (p...)² 3q =... p 6pq... 9q Wt pst niet in het rijtje? Verklr. ( ) ( ) ( ) ( ) ² ² ( ) ( ) ( ) ( ) Dit is niet het product vn twee gelijke tweetermen. Als je dit merkwrdig product uitwerkt ekom je. De ndere drie producten zijn gelijk n Wt moet je kunnen? het kwdrt vn een tweeterm erekenen m..v. de formule 105

4 G9 Merkwrdig product: product vn toegevoegde tweetermen Op verkenning De opperhengst vn Animl Frm regeert furieus en zegt: Uitreiden ok, mr ls één zijde met uitreidt, dn moet de ndere zijde met inkrimpen! Toegevoegde tweetermen Wt is de oppervlkte vn het nieuwe stuk grond vn de vrkens? S = ( ) ( )... De fctoren estn uit... Zijn deze tweetermen gelijk n elkr? Neen... Wt is verschillend? Het teken voor tweetermen... Vergelijk deze tweetermen. Wt zie je of wt stel je vst? y en y 4p 6 en 4p 6 5 en 5 k 7t en k 7t Het zijn vooreelden vn tweetermen die lleen verschillen door het teken vn één term.... Wiskundetl - Begrippen Toegevoegde tweetermen zijn twee tweetermen die lleen verschillen door het teken vn één term. en 6 y en 6 y 3 5 en m en 1 m CONTROLE 3 Zijn deze tweetermen toegevoegde tweetermen? Indien j, onderstreep de termen die hetzelfde teken heen. 1 5 en 5 j / neen x 5 en x 5 j / neen 3 y 7 en 7 y j / neen 4 4 3x² en 4 3x² j / neen 5 3 en 3 j / neen 6 p q en p q j / neen Product vn toegevoegde tweetermen product vn een toegevoegde tweeterm (meetkundige voorstelling) Wt is de oppervlkte vn het gekleurde deel? product vn een toegevoegde tweeterm (erekenen) Onderstreep telkens de termen die hetzelfde teken heen. Reken uit. x x x x () () x x x 4 x 4 (x )(x ) () 3 () (3 )(3 ) S... Knip het ornje gedeelte f en verplts het onder de stippellijn. 106 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

5 (p 6) (p 6) = (p)... (p) (p) (6) 6 (p) 6 (6) p 6p 6p 36 p (5 s) (5 s) = (5) (s) (s) 5 (s) (s) 5 5s 5s s... 5 s... De oppervlkte vn het gekleurde deel is gelijk n [de oppervlkte vn het vierknt met zijde ] [de oppervlkte vn het witte vierknt]. S... Noteer de resultten ls een gelijkheid. ( ) ( ) =... Hoeveel termen zijn er telkens in het eindresultt?... Je kunt deze termen ook onmiddellijk erekenen. vrg ntwoord vooreeld Onderstreep in de opgve de termen met hetzelfde teken. Hoe ereken je de eerste term? Wt is het teken? Verklr. Hoe ereken je de tweede term? Wt is het teken? Verklr. Twee Je erekent het product vn de termen met hetzelfde teken uit de opgve., wnt de termen heen hetzelfde teken Je neemt het product vn de termen met het verschillend teken uit de opgve., wnt de termen heen een verschillend teken. (3) (3) 3 3 = 3 = 9 () = Rekenregel het product vn twee toegevoegde teweetermen erekenen Het product vn twee toegevoegde tweetermen is gelijk n het verschil vn twee kwdrten. ( ) ( ) = ² ² (x 3) (x 3) = x² 9 (5 ) (5 ) = 5 ( ) ( ) = ² 4 (p 4) (p 4) = 16 p 107

6 G9 Merkwrdig product: product vn toegevoegde tweetermen (vervolg) Oefeningen Zijn de gegeven tweetermen toegevoegde tweetermen? Verklr je ntwoord ls het geen toegevoegde tweetermen zijn. J. 1 x² en x² en 1 5 Neen, de tweetermen verschillen niet lleen door het teken vn één term.... J. c 8 en 8... Neen, eide termen heen een verschillend teken. d 4y x en 4y x... J. e ² 8 en 8 ²... J. f p 4 en p Vul n tot een toegevoegde tweeterm. 3 x en x... 5 en x d 4x 6 en 6... e 8 en 8... c y 7 en y... 7 f en Reken de merkwrdige producten uit. Noteer de formule die je geruikt: () () (5 x) (5 x)... 5 x 36 y d (y 6) (6 y) p r 64 (p 7) (p 7)... e (8 r) (r 8) c (4 ) ( 4)... q 16 f (4 q) (4 q) Vul de ontrekende termen in. (... x (...) 8 ) (x 8) = x² c ( (...) 4 ) ( (...) 4 ) = (... 7 ) (... 7 ) = r 3q 9q d (r 3q) (......) =... r² 108 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

7 8 Wt pst niet in het rijtje? Verklr. (1 n) (1 n) (1 n) (1 n) 1 n² (1 n) (1 n) (1 n) (1 n) Dit is het merkwrdig product (1 n). De ndere drie zijn gelijk n 1 n Reken de merkwrdige producten uit. Noteer eerst het merkwrdig product dt je toepst: formule (1) of formule (). (3 4)²... (5x y) (5x y)... c (3) (3) 4 (4) (y) (5x) () y 5 x 4y 5x ( 1 3x )... 1 (3x) (3x) ( 1 ) 1 3x 9x 4 d (0,5 ) ( 0,5)... (0,5) 0,5 0, e (x² 6x)²... (x ) x (6x) (6x) x (6) x x (6) x x 4 1x 3 36x f (7p t) (7p t)... (7p t) (7p) (7p) t t 49 p 14 pt t Wt moet je kunnen? toegevoegde tweetermen herkennen het product vn toegevoegde tweetermen erekenen m..v. de formule 109

8 G30 Ontinden in fctoren: fzonderen vn gemeenschppelijke fctoren Op verkenning Ontinden in fctoren Schrijf de producten ls een veelterm. PRODUCT product (fctoren) ( c) = ( ) ( ) = (x 3) (x 6) = ( ) ( ) = Wt stt er telkens in de linkerkolom? Een product vn twee fctoren PRODUCT VEELTERM veelterm (som vn termen) c x 6x 3x 18 = x 9x 18 Wt stt er telkens in de rechterkolom? Een som vn twee of meer termen VEELTERM Wiskundetl ontinden in fctoren Een veelterm ontinden in fctoren etekent dt je de veelterm schrijft ls een product vn fctoren. c = ( c) veelterm product 5 5c = 5( c) Afzonderen vn gemeenschppelijke fctoren Vul n. Bereken de oppervlkte c Methode 1 (de som vn de oppervlkten vn de twee deelfiguren erekenen) Methode (de totle lengte met de totle reedte vermenigvuldigen) c ( c) c c ( c) ( ) 3c 3c = 6c ( 3c) 110 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

9 Noteer de resultten ls een gelijkheid.... c =... ( c)... c =... ( c)... =... ( )... 6c=... ( 3c) Wt stt er telkens links vn het gelijkheidsteken? Een som vn twee termen.... Wt stt er telkens rechts vn het gelijkheidsteken? Een product vn twee fctoren.... Welke eigenschp ps je toe om vn een product nr een veelterm te gn? De distriutieve eigenschp... Welke ewerking he je hiervoor uitgevoerd? De term uiten de hkjes werd vermenigvuldigd met elke term innen de hkjes. Hoe kun je de gemeenschppelijke fctoren weer fzonderen? Door elke term te delen door de gem. fctoren en deze voor de hkjes te pltsen Door welk getl kun je elke term delen in deze veelterm: 7x 18y 36z? Door Hoe noem je dt getl? De grootste gemeenschppelijke deler, ggd (7, 18, 36)... Door welke letterfctoren kun je elke term delen in deze veelterm: 3x² 4x³ x 4? Door x.... Rekenregel een veelterm ontinden in fctoren door gemeenschppelijke fctoren f te zonderen Een veelterm ontinden in fctoren Schrijf de fctoren die in elke term voorkomen voor de hkjes. Schrijf innen de hkjes het quotiënt vn de gegeven veelterm met de gemeenschppelijke fctoren. c = ( c) 3x 3y = 3(x y) x y z = (x y z) 4 8 1c = 4( 3c) 9 6 = 3(3 ) Gemeenschppelijke fctoren zijn: de ggd vn de getllen; gemeenschppelijke letterfctoren, elk met hun kleinste exponent. 1x²y x 4 y² 6 x 3 y 3 = x²y (6 x²y 3xy²) Oefeningen 10 Ontind in fctoren door de gemeenschppelijke fctor f te zonderen. Onderstreep indien nodig de gemeenschppelijke fctor. 4x 4y... 3p 3q... c 15r 30s Ontind in fctoren door de gemeenschppelijke fctor f te zonderen. Onderstreep indien nodig de gemeenschppelijke fctor x 1xy 4xz... c 8³ 16²... Wt moet je kunnen? 4(x y) 3(p q) of 3(p q) 15(r s) of 15(r 1) 5 4 (5 4 ) 4x(1 3y z) 8 ( ) een veelterm ontinden door gemeenschppelijke fctoren f te zonderen 7(3 ) 10x(1 x) d e 10x 0x²... 3(5xy 3x 10y) f 15xy 9x 30y... 3x (x 3 4x) 7( 3) d 3x³ 9x 1x²... e 14² 1²... x (x c) f x³ cx²

10 G31 Ontinden in fctoren: een tweeterm ontinden Op verkenning Schrijf het product ls een veelterm. ( ). ( ) =... PRODUCT Wt stt er in het linkerlid?... Het product vn twee toegevoegde tweetermen, hier stn fctoren.... PRODUCT VEELTERM Wt stt er in het rechterlid? Een verschil vn twee kwdrten,hier... stn termen.... VEELTERM Hoe kun je een tweeterm ontinden ls een product vn toegevoegde tweetermen? Controleer of de tweeterm een verschil is vn twee kwdrten. x 16 p s... Wt zijn de vierkntswortels uit de kwdrten? De vierkntswortel uit een getl ken je l. 16 =... 4 omdt... 4 = 16 Hoe kun je de vierkntswortel uit een letterfctor erekenen? s p ( 3 ) = 6 Vermenigvuldigd met Bereken het kwdrt vn Wt he je met de exponent 3 gedn?... Wt moet je doen om de vierkntswortel uit 6 te erekenen?... De exponent delen door. Wt is de voorwrde voor de exponent om de vierkntswortel te kunnen erekenen?... De exponent moet even zijn. Bereken de vierkntswortels uit de onderstreepte termen. Noteer eerst de tweeterm ls een verschil vn twee kwdrten. x p s6 = s6 p 5 p x 4 7 s Noteer het verschil vn de twee kwdrten ls het product vn twee toegevoegde tweetermen: Noteer de vierkntswortels uit de onderstreepte termen ls een som. Noteer de vierkntswortels uit de onderstreepte termen ls een verschil. Vermenigvuldig de tweetermen. x s 6 p = (x... 4) (x 4) = ( ) (7 5 ) = (s 3... p) (s 3 p) Rekenregel een verschil vn twee kwdrten ontinden in fctoren Het verschil vn twee kwdrten kun je ontinden ls een product vn toegevoegde tweetermen. = ( ) ( ) termen fctoren 9 y x = (3y)² x² = (3y x) (3y x) Oefeningen Zijn volgende opgven een verschil vn twee kwdrten? Indien j, ontind ls een product vn toegevoegde tweetermen. Indien neen, verklr. Noteer de formule die je geruikt: ² ² = (... ) ( ) J (x 7) (x 7) J (q 9) (q 9) x² q² Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

11 c 1 ²... g c 4... d 4 16 x y 81 6 Neen,... er is geen positieve term. h 5x e 16² 9 = J... (4 3) (4 3) i 64² 1... J (8 1) (8 1) f 9² ² = Neen,... het is een som vn twee kwdrten, geen verschil. 13 Ontind indien mogelijk in fctoren. Noteer de formule die je geruikt: ² ²... ( ) ( ) 3² x²... ² c ² d 4² 1... e 64 49²... f 5 4 0, Ontind indien mogelijk in fctoren ² ² d (3) (3 ) (3 ) J (1 ) (1 ) J (5c 10 3 ) (5c 10 3 ) Neen, 5x 7 is geen kwdrt. (3 x) (3 x) ( 1) ( 1) ( 4) ( 4) Niet mogelijk 100 = (10 ) (10 ) 0, = (0,9 5 ) (0,9 5 ) (7 ) (10 3 ) ( ) ( ) y² y (9 3 ) (4y) (9 3 4y) (9 3 4y) c 5x (5x4) (3) (5x 4 3 ) (5x 4 3 ) e 11x 36 y 1 f Ontind in fctoren. Zonder de gemeenschppelijke fctoren f, indien mogelijk. Ontind de veelterm tussen hkjes in fctoren. 3x² 1y² d 0,5 x 6 1 3(x 4y ) 3(x y) (x y) (11x) (6y 6 ) (11x 6y 6 ) (11x 6y 6 ) ( 3 ) ( 1 4 ) ( ) ( 3 1 (0,5x 3 ) 1 (0,5x 3 1) (0,5x 3 1) 4 ) ³ 8 ( 4) ( ) ( ) e 56 45²³ 5 ( 4 9 ) 5 ( 3) ( 3) c ² 1 7 (54 9 ) 1 7 (9 5 4 ) 1 7 (3 5 ) (3 5 ) f p 4 q 3 q 13 q(p 4 16q 1 ) q(p 4q 6 ) (p 4q 6 ) q (p 4q 6 ) (p q 3 ) (p q 3 ) Wt moet je kunnen? een verschil vn twee kwdrten ontinden ls een product vn toegevoegde tweetermen 113

12 G3 Ontinden in fctoren: een drieterm ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm Op verkenning Schrijf het product ls een veelterm. ( ) =... PRODUCT VEELTERM Wt stt er in het linkerlid? Het product vn twee gelijke fctoren PRODUCT Wt stt er in het rechterlid? Een drieterm VEELTERM Hoe kun je een drieterm ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm? Controleer of twee termen vn de veelterm kwdrten zijn. Onderstreep die kwdrten. x² 8x 16 y² 10y 5 16 Wt zijn de vierkntswortels vn deze kwdrten? x² 8x 16 y² 10y 5 p² 5p 5... x y p... 5 Wt is het teken vn de overgeleven term? Het duel product is positief ls de termen vn de tweeterm... Het duel product is negtief ls de termen vn de tweeterm... Controleer of de overgeleven term gelijk is n het duel product vn de vierkntswortels.... Noteer elke drieterm ls het kwdrt vn een tweeterm. x² 8x 16 y² 10y 5 p² 5p 5 =... =... =... Rekenregel een drieterm ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm Een drieterm vn de vorm kun je ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm. Smenvtting een veelterm ontinden in fctoren Zonder de gemeenschppelijke fctoren f door de distriutieve eigenschp toe te pssen. De opgve is een tweeterm en vn de vorm ² ² Zet de positieve term voorn. Neem de positieve vierkntswortel vn de eerste en de tweede term en noteer ls: ( ) ( ). een drieterm en vn de vorm ² ² = ( ) 3 termen fctoren Rngschik de veelterm. Neem de positieve vierkntswortel vn de eerste en de ltste term en noteer ls: ( )². Controleer het duelproduct. hetzelfde teken heen. 8x = 4 x 10y = 5 y 5p 5 p (x 4) of (x 4) (y 5) of (5 y) een verschillend teken heen. niet mogelijk = (4 3) 4 3 Controle: x 30x 9 = (5x 3)² 5x 3 Controle: 5x (3) 114 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren

13 Oefeningen 16 Ontind in fctoren, indien mogelijk. 544 (3 4) of (4 3) ( 3 3 ) of (3 3 ) 9² 4 16 c (x 5) of (x 5) x 5 10x d niet ontindr y 3 y9 17 Controleer of je de veelterm ls een kwdrt vn een tweeterm (product) kunt schrijven. Indien niet, verklr wrom. 551 veelterm product controle juist/fout verklring x² 8x 64 (x 8)² x² 16x 64 fout 8x 16x ² 6 9 ( 3) 6 9 fout y y² 4x² 0x y 36y² (1 y) 1 y y juist (x 5) 4x 0x 5 juist (4 6y) 16 48y 36y 36y fout is een negtief getl en dus geen kwdrt 18 Ontind in fctoren, indien mogelijk. Noteer de formule die je geruikt:... = ( ) ² 6 9² = f 9x² 6x 1 = g 75x 3 y = 4²² 1 16 = ( 3) of ( 3) ( 1 4 ) of ( 1 4 ) (3x 1) of (1 3x) 3(5x y ) = 3(5x y)(5x y) c 4p² 36q² 4pq = h 0,01 0,6² 9 4 = 4(p 9q 6pq) = 4(p 3q) (0,1 3 ) of (0,1 3 ) d p5 5 = i 49x 4 46 = Niet ontindr (7x 4 3 ) (7x 4 3 ) = (7x 64) (7x 64) e 100 s t = 400t 100s 4 = 100(4t s 4 ) = 100(t s ) (t s ) j = = ( 5 8) ( 5 8) Wt moet je kunnen? een drieterm ontinden ls een kwdrt vn een tweeterm 115

14 Prolemsolving 19 Een rechthoek vn 5 x 49 is in drie stukken gesneden. Vn de drie stukken kun je een vierknt mken. Hoe lng is? 5 Oppervlkte rechthoek = 5 49 = Oppervlkte vierknt = (49 ) (49 ) = (49 ) 49 Oppervlkte vierknt is gelijk n oppervlkte rechthoek. (5 7) = (49 ) 5 7 = = 49 = Een vierknt is verdeeld in vier stukken: twee vierknten en twee rechthoeken. Vn twee stukken stt in de figuur hoe groot de oppervlkte is: 5 cm en 10 cm. Hoe lng is de zijde vn het hele vierknt? De zijde vn het vierknt is 5 cm. De rechthoek heeft dus een lengte vn 5 cm. De reedte moet dn cm zijn. De zijde vn het hele vierknt is dn 5 cm cm = 7 cm cm 10 cm 1 Wie is met wie getrouwd? De drie mnnen: Jorge, Peter en Amed De drie vrouwen: Lorn, Tori en Nele De drie koppels trouwden elk in een verschillende mnd, nl. mei, juni en ugustus. Eén koppel is 11 jr gehuwd, een nder koppel is 1 jr gehuwd en het derde koppel is 13 jr gehuwd. Jorge en zijn vrouw zijn niet in ugustus getrouwd. Ze zijn nog niet zo lng getrouwd ls Tori en hr echtgenoot. Nele en hr echtgenoot zijn in juni getrouwd en zij zijn lnger getrouwd dn Amed en zijn vrouw. Jorge Peter Amed mei juni ugustus Lorn Tori Nele mei juni ugustus Hiernst zie je de plttegrond vn een kmer. Alle hoeken zijn recht. Enkele fmetingen zijn gegeven. Wt is de oppervlkte vn deze kmer? A 4 ( ) B 6( ) 4 C 1 D 6( ) 4 E 6 Het vierknt rechtsonder pst links in het midden vn de figuur. De oppervlkte is dn ( ) = 6 = prolemsolving

15 Register leerwerkoek pgin A fzonderen vn gemeenschppelijke fctoren 110 B sisreuk 8 ewijs vn de hoofdeigenschp vn evenredigheden 46 ewijsvoering 3 ewijzen 46 reuk 8 reuken ftrekken 8 reuken delen 8 reuken optellen 8 reuken vermenigvuldigen 8 C cijfergedeelte 85 coëfficiënt 85 commuttief 47 D deciml getl 16 decimle schrijfwijze 17 distriutief 31 drieterm ontinden ls kwdrt vn een tweeterm 85 duele pijl 3, 46, 48 E eenterm 84, 85 eenterm tot een mcht verheffen 117 eentermen ftrekken 88 eentermen delen 91 eentermen optellen 88 eentermen vermenigvuldigen 90 eigenschp 10, 1,, 44 eigenschppen in symolen noteren 3 eigenschppen vn gelijkheden evenredigheid 4 evenredigheidsfctor 51 exponent 1, 70 F formule 84 formules omvormen 38 leerwerkoek pgin G gegeven 47 gelijkheid gelijknmige reuken 8 gelijksoortige eentermen 85, 96 gelijkvormige figuren 6 gelijkvormige veelhoeken 6 gelijkvormigheid 6 gelijkvormigheidsfctor 67 getlwrde eplen 85 ggd 111 grondtl 1, 70 grootheid 51 H hkjes 10, 31, 96 hkjes wegwerken 10, 31, 96 hndig rekenen met eigenschppen 10 hoe meer, hoe meer 51 hoe minder, hoe meer 5 hoofdeigenschp vn evenredigheden 45, 46 hyperool 5 K kgv 34 kruisproduct 45 kwdrt 13, 67 kwdrt vn een tweeterm 104 L lettergedeelte 85 linkerlid M mcht 1, 71 mcht vn een eenterm 94 mchten delen 7 mchten met een gehele exponent 1 mchten tot een mcht verheffen 74 mchten vermenigvuldigen 71 merkwrdig product 104, 106, 108 middelpuntshoek 57 middelste termen 4 N niet evenredig 53 noemer 34 register 117

16 Wiskunde wndeling leerwerkoek pgin O omgekeerd evenredig 5 omgekeerde 1 onekende 6 ontinden in fctoren 110, 11, 114 overeenkomstige hoeken 63 overeenkomstige mtgetllen 50 overeenkomstige zijden 63 P prktische schikking 96 product tot een mcht verheffen 76 product vn toegevoegde tweetermen 106 Q quotiënt tot een mcht verheffen 77 R recht evenredig 51 rechterlid rekenen met reuken 8 rekenregels vn mchten in symolen noteren 80 S schl 6 schijfdigrm 57 strookdigrm 56 T te ewijzen 47 tegengestelde 10, 6 tegenvooreeld 3 teller 4 toegevoegde tweetermen 106 tweeterm ontinden 11 U uiterste termen 4 leerwerkoek pgin V veelterm 85 veelterm herleiden 96 veeltermen ftrekken 96 veeltermen delen door een eenterm 99 veeltermen optellen 96 veeltermen rngschikken 96 veeltermen vermenigvuldigen 98 vergelijking vergelijking vn de vorm x = c 7 vergelijking vn de vorm x = cx d 30 vergelijking vn de vorm x = 6 vergelijking vn de vorm x = 6 vergelijkingen met reuken 34 vergelijkingen met hkjes 31 verhouding 4 verschil vn twee kwdrten ontinden in fctoren 11 vierkntswortel 110 vierkntswortels vn rtionle getllen 13, 11 vrgstuk 6, 41 W wetenschppelijke schrijfwijze REGISTER

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Formularium Wiskunde 1 ste graad

Formularium Wiskunde 1 ste graad Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

element (of de rol van nul bij opt)

element (of de rol van nul bij opt) Atheneum Wispelerg - Wispelergstrt - 9000 Gent Bijlge - Leerfihes (3 e jr 5uur wiskunde) Eigenshppen vn de ewerkingen in R Nm Kls. - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Nm vn de eigenshp Eigenshp

Nadere informatie

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30 Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

5.1 Hogeremachtswortels [1]

5.1 Hogeremachtswortels [1] 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk.

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk. Opgve 1 Je gt nr de winkel en koopt 4 pkken melk vn 1,40 per stuk. Hoeveel etl je in totl? Wt he je met de getllen 4 en 1,40 gedn om het ntwoord te vinden? Hoe doe je dt zonder rekenmhine? Opgve 2 Je gt

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

Wiskunde voor de eerste klas van het gymnasium

Wiskunde voor de eerste klas van het gymnasium Wiskunde voor de eerste kls vn het gymnsium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM AMSTERDAM, 200 Hoofdstuk Alger 98 Alger. Inleiding.2 Bsiskennis.2. De getllenlijn.2.2 Symolen,

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief De d-roms vn Wiskunde Intertief Breuk voor de Bsisshool het hoe wrom vn reuk verevoudig 8 4 4 optell 4 + 7 ftrekk 3 4 7 3 vermigvuldig 4 3 del 7 : 3 4 Breuk voor de Bsisshool,Vmo, Hvo/VWO Po het hoe wrom

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Rationale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing

Rationale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing Rtionle getllen: vermenigvuldiging, deling en mhtsverheffing Dit kun je l 1 gehele getllen vermenigvuldigen gehele getllen delen een mht vn een geheel getl erekenen reuken vereenvoudigen gehele getllen

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

= = = = = = = =

= = = = = = = = 0 ld nm Hulp Reken uit met cijferen 0 Reken uit met splitsen Honderdvouden ij elkr en dn de rest ij elkr. + 0 = 0 + = 0 + = 0 + 0 = + 0 = 0 + 0 = 0 + = 0 + = Honderdvouden vn elkr f en dn de rest vn elkr

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde Profielwerkstuk Geschiedenis vn de wiskunde De wondere wereld vn de wiskunde voor Christus. Dingo Alvrez V6 Inhoudsopgve Voorwoord Egyptische Wiskunde Delen en vermenigvuldigen op z n Egyptisch 5 Egyptische

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Ontbinden in factoren van veeltermen

Hoofdstuk 8 : Ontbinden in factoren van veeltermen - 05 - Hoofdstuk 8 : Ontbinden in fctoren vn veeltermen Een veelterm in fctoren ontbinden wil zeggen die veelterm schrijven ls een product vn veeltermen vn een lgere gr Ontbinden in fctoren ( + ) ( + )

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken?

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken? 0 vergelijken en op volgorde zetten vn eenvoudige reuken en kommgetllen reuken omzetten in kommgetllen en omgekeerd Welke reuk is het grootst? 5 6 2 7 9 5 5 9 2 5 7 2 7 8 8 9 8 5 00 5 6 7 20 5 7 27 70

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

GETALLENLEER 4 Rekenregels van machten

GETALLENLEER 4 Rekenregels van machten GETALLENLEER 4 Rekenregels vn mhten G18 Mhten vermenigvuligen en elen 106 G19 Een mht tot een mht verheen 110 G0 Een prout en een quotiënt tot een mht verheen 111 G1 Rekenregels vn mhten noteren in symolen

Nadere informatie