Formeel Denken. Herfst Contents

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Formeel Denken. Herfst 2004. Contents"

Transcriptie

1 Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten Automten en Tlen Nondeterministische Automten Automten en processen

2 1. Automten In de informtic worden ook mchines estudeerd. Dt geeurt door nr de rchitectuur vn computers zelf te kijken, mr ook door geïdeliseerde, strcte mchines te estuderen. Het voordeel vn het estuderen vn zo n geïdeliseerd, strct mchine model is dt het eenvoudiger is om n zo n model llerlei eigenschppen te estuderen. Een ekend strct mchine model zijn de eindige utomten. Deze eindige utomten heen veel meer toepssingen dn lleen ls model voor simpele erekeningen. Zo worden ook processen met eindige utomten (of kleine uitreidingen drvn) gemodelleerd. Dit zullen we verderop zien. Lten we eerst kijken wt een eindige utomt is en hoe je ermee rekent. Hier is een vooreeld vn een eindige utomt. (M0) Een utomt is een soort grph, lleen zijn de lijnen nu pijlen en deze pijlen heen ook een lel. De punten in deze grph noemen we de toestnden vn de utomt:,, en. Het is geruikelijk om deze toestnden ls een rondje te schrijven met de nm vn de toestnd erin. Er zijn 2 toestnden vn een specile soort: 1. De egintoestnd. Deze wordt ngegeven door er een pijl uit het niets nr toe te tekenen. Een utomt heeft ltijd precies één egintoestnd, hieroven dus. 2. De eindtoestnden. Deze worden ngegeven door een duele cirkel. Een utomt heeft ltijd miniml één eindtoestnd, hieroven is er (toevllig) precies één,. (De egintoestnd kn rustig ook een eindtoestnd zijn!) We kunnen een utomt zien ls een (heel simpel) computertje dt voor ons kn rekenen. Dt rekenen gt heel simpel: we kunnen er een woord instoppen (in ovenstnde utomt woorden over het lfet {, }) en n een ntl stppen eindigt de utomt. Dn zijn we óf in een eindtoestnd óf in een niet-eindtoestnd. In het eerste gevl zeggen we dt het woord geccepteerd wordt, in het tweede gevl wordt het woord niet geccepteerd of ook wel verworpen Vooreeld. In de ovenstnde utomt wordt het woord geccepteerd: egin in en lees het eerste teken. Dn komen we in toestnd en we heen nog over. Lees ook deze en we komen in. Er is nu geen input meer: de erekening stopt in een eindtoestnd, dus is geccepteerd. G zelf n dt en geccepteerd worden en dt en niet geccepteerd worden. 1

3 Voor we verder gn geven we een precieze definitie vn het egrip eindige utomt Definitie. Een eindige utomt estt uit de volgende 5 componenten 1. Een eindige verzmeling Σ, het input lfet of de verzmeling vn tomire cties, 2. Een eindige verzmeling Q, de toestnden, 3. Een specile toestnd q 0 Q, de egintoestnd, 4. Een verzmeling specile toestnden F Q, de eindtoestnden, 5. Een overgngsfunctie δ, die ij iedere toestnd q en ctie ngeeft wt de nieuwe toestnd q is. (Dit zijn de gelelde pijlen in de utomt oven). Een eindige utomt noemt men ook wel een DFA, nr het Engels : Deterministic Finite Automton. Een eindige utomt wordt soms geschreven ls M := <Σ, Q, q 0, F, δ>. We zullen, ls we een utomt moeten definiëren, gewoon een digrm tekenen, net ls we in het vooreeld oven gedn heen Opgve. Bekijk de volgende utomt M 1. (M1) In deze utomt is Q = {,,, }, F = {} en Σ = {, }. 1. G voor de volgende woorden n of ze geccepteerd worden:,,, λ en. 2. Gelden de volgende uitsprken? (Geef steeds een tegenvooreeld of een ewijs.) Als w geccepteerd wordt, dn wordt w ook geccepteerd. Als w geccepteerd wordt, dn wordt w niet geccepteerd. Als w niet geccepteerd wordt, dn wordt w ook niet geccepteerd. Als w niet geccepteerd wordt, dn wordt w ook niet geccepteerd. 2

4 1.1. Automten en Tlen We kunnen de Σ uit de eindige utomt opvtten ls de verzmeling vn tomire cties (die ons vn één toestnd overvoeren in de volgende), mr ook ls de symolen vn een lfet, zols we oven l gedn heen. Als we n Σ denken ls een lfet, kunnen we een utomt zien ls een tlherkenner. Op deze mnier hoort er ij iedere eindige utomt een tl, nl. de tl estnde uit precies die woorden die de utomt ccepteert Definitie. Bij een eindige utomt M := <Σ, Q, q 0, F, δ> definiëren we de tl vn M, L(M) ls volgt L(M) := {w Σ w wordt geccepteerd door M}. Dus: w L(M) desd de utomt M stopt in een eindtoestnd op invoer w. Lten we eens kijken welke tl de utomt M0 uit het vooreeld ccepteert. De volgende woorden worden geccepteerd: wordt geccepteerd, w wordt geccepteerd wrij w een willekeurig lnge rij -tjes is, wv wordt geccepteerd wrij w en v eide willekeurig lnge rijen -tjes zijn. Als we toestnd voorij zijn komen we nooit meer in een eindtoestnd, dus wt hieroven stt is lles. We kunnen dit smenvtten ls L(M0) = { n m n, m 0} Op sis vn onze kennis vn tlen, opgedn in hoofdstuk??, zien we meteen de reguliere expressie die ij deze tl hoort (en we kunnen dus concluderen dt L(M0) regulier is): L(M0) = L( ). We kunnen hetzelfde met de tl vn M1 proeren, mr dt is lstiger: wordt geccepteerd, wordt geccepteerd, wordt geccepteerd, k wordt geccepteerd wrij k 0, k wordt geccepteerd wrij k 0, k () l wordt geccepteerd wrij k 0, l 0, k () l wordt geccepteerd wrij k 0, l 0, mr we heen nog steeds niet lles, wnt ls we voorij zijn kunnen we vi een lus weer in terechtkomen. Kunnen we toch meer grip krijgen op de tl vn deze utomt? J dt kunnen we door ij deze utomt een grmmtic te mken die dezelfde tl genereert. Dit gt ls volgt 3

5 1. Mk ij iedere toestnd q i een hulpsymool X i, zodt ij q 0 het strtsymool S hoort. 2. Als q i qj in de utomt, voeg dn n de grmmtic de regel X i X j toe. 3. Als q i F, voeg dn n de grmmtic de regel X i λ toe. Voor de utomt M1 krijgen we dn de volgende grmmtic G 1, wrij Σ = {, }. S B A A B C B B C C B S λ Merk op dt deze grmmtic rechtslineir is en dt ook de tl L(M1) dus regulier is. Deze schrijfwijze vn de tl L(M 1) m..v. een grmmtic is interessnt, l ws het lleen l omdt het een ndere eschrijving vn dezelfde tl oplevert. Mr het kn nog meer opleveren, nmelijk ls we in de grmmtic symolen gn sustitueren: vul eerst voor A in het rechterlid lle mogelijkheden voor A in: B en C. Doe dn hetzelfde met C: vul in de rechterleden voor C overl in B, S en λ. Dit levert de volgende grmmtic G 2 op, die dezelfde tl ls oven genereert. Dit is weer een rechtslineire grmmtic (zie de definitie). S B B B S B B B S 1.5. Opgve. Concludeer uit de grmmtic G 2 dt 1. () k L(M1) voor k 0, 2. k L(M1) voor k 0, 3. ls w L(M1), dn ook w L(M1), 4. ls w L(M1), dn ook w L(M1), Dt we vn een eindige utomt een rechtslineire grmmtic kunnen mken, op de minier zols we oven voor M1 gedn heen is een lgemeen feit Stelling. Bij iedere eindige utomt M kunnen we een rechtslineire grmmtic G mken zodt L(G) = L(M). ( De tl die G genereert is dezelfde ls de tl die M ccepteert.) Bij gevolg is L(M) regulier voor iedere eindige utomt M Opgve. Mk een rechtslineire grmmtic ij de eindige utomt M 0, zols oven gedn voor M1. Verklein deze grmmtic door overodige productieregels en hulpsymolen weg te lten. We kunnen ook de ndere knt op: ij een rechtslineire grmmtic een eindige utomt mken. Bekijk de volgende rechtslineire grmmtic G 3. 4

6 S S B λ B B λ We creëren nu eerst voor ieder hulpsymool een toestnd en mken trnsities (pijlen) geleld met woorden (in plts vn lleen letters). De hulpsymolen die nr λ kunnen gn worden eindtoestnd en S wordt uiterrd egintoestnd. Vervolgens voegen we extr toestnden toe wrmee we de woorden ij de pijlen ophkken in letters. We krijgen dn (M2) q4 Dit is nog (net) geen eindige utomt, wnt ij een eindige utomt eisen we dt er vnuit iedere toestnd voor iedere letter een stp mogelijk is, en dt is nu niet zo. Om er een eindige utomt vn te mken moeten we een soort put toevoegen wr lle nog niet opgegeven trnsities nr toe gn en wr je niet meer uitkomt. Dt wordt q5 en het levert uiteindelijk de volgende eindige utomt op. (M2) q5 q4, 1.8. Opmerking. In de ovenstnde utomt heen we één pijl (vn q5 nr zichzelf twee lels gegeven. Dit is hetzelfde ls 2 gelelde pijlen, mr de pijlen-spghetti wordt zo iets minder. We zouden ook toe kunnen stn dt we niet lle pijlen hoeven toe te voegen en dn zouden 5

7 we de put dus weg kunnen lten. Dt doen we toch niet, wnt ijvooreeld een woord moet niet door M2 geccepteerd worden: dt is duidelijk in de 2de versie vn M2, terwijl in de 1ste versie de utomt stopt in toestnd, een eindtoestnd... Deze procedure om een utomt uit een rechtslineire grmmtic te mken werkt heel lgemeen, ehlve wnneer we een productieregel vn de vorm S B heen, dus wr het woord dt vòòr het hulpsymool stt λ is. Bekijk de volgende grmmtic G 4. S S B B B λ Als we hier de eerste stp zetten om een utomt te mken (op de mnier die we oven gevolgd heen) krijgen we hetvolgende. λ We heen dus λ, het lege woord, ij de pijl en dit woord kunnen we uiterrd niet ophkken, dus hier werkt onze techniek niet. De oplossing is om eerst een equivlente rechtslineire grmmtic te verzinnen wr producties vn de vorm S B niet voorkomen. Dt kn (ltijd), mr we lten hier niet zien hoe je het in zijn lgemeen doet. Voor G 4 zou je uitkomen op de grmmtic G 3, dus de utomt M2 ccepteert dezelfde tl ls grmmtic G 4 genereert. (En G 3 en G 4 genereren dezelfde tl: g dt voor jezelf n!) 1.9. Stelling. Bij iedere rechtslineire grmmtic G kunnen we een eindige utomt M mken zodt L(M) = L(G) Opgve. Mk een eindige utomt die de tl vn de volgende grmmtic ccepteert. S S A B A A λ B B λ Opgve. Bekijk de eindige utomt M 3 (volgende pgin). (M3) Mk een rechtslineire grmmtic die L(M 3) genereert. 6

8 (M4) Opgve. Bekijk de eindige utomt M 4 (volgende pgin). 1. Mk een rechtslineire grmmtic die L(M 4) genereert. 2. Geef een (eenvoudige) eschrijving vn L(M 4). 3. Als we lle toestnden eindtoestnd mken, welke tl ccepteert M 4 dn? 4. Als we de eindtoestnden en de niet-eindtoestnden omwisselen, welke tl ccepteert M4 dn? Opgve. Mk een eindige utomt die de volgende tl over Σ = {, } ccepteert: L := {() k () l k, l 0} Opgve. Mk een eindige utomt die de volgende tl over Σ = {, } ccepteert: L := {() k x() l x {, }, k, l 0} Opgve. Bekijk de utomt M D die (input) getllen in normle decimle nottie ccepteert. Zo n getl mg evt. eginnen met een + of een, mr niet met een 0, ehlve ntuurlijk ls het vn de vorm 0, 5 is, wnt dn is het weer wel goed. In het digrm stt voor één vn de getllen uit 0 t/m 9 enz , (MD) , q4 1. Vind je de utomt MD goed? Worden lle juiste getllen geccepteerd en lle foute verworpen? 2. Ps MD n ls je het er niet mee eens ent. 3. Geef een rechtslineire grmmtic die dezelfde tl ls M D genereert. 7

9 1.2. Nondeterministische Automten In de definitie vn utomt heen we een specile eis gesteld Bij iedere toestnd q en iedere letter uit het lfet is er precies één pijl vnuit q met lel. We kunnen deze eis verzwkken ls volgt Vnuit iedere toestnd q zijn er eindig veel pijlen met lel voor iedere Σ (dus 0, 1 of meer) Vnuit iedere toestnd q zijn er eindig veel pijlen met lel λ (dus 0, 1 of meer) Een utomt wrin we dit toestn noemen we een non-determinstische eindige utomt Vooreeld. Bekijk de volgende utomt, M6, 1. Als we het woord ls invoer nemen, zijn er 2 erekeningen mogelijk: we kunnen eindigen in q 0 of in q 3. De ltste is een eindtoestnd, de eerste niet. Dit fenomeeen noemen we non-determinisme: de utomt voert non-deterministisch (niet vn te voren te eplen) één vn de mogelijke erekeningen uit. 2. Als we het woord ls invoer nemen is er mr één erekening mogelijk, die eindigt in q Op invoer zijn er 2 erekeningen mogelijk die eide eindigen in een niet-eindtoestnd. 4. Op invoer zijn er ook twee erekeningen mogelijk. Eén eindigt in q 0 en de nder eindigt in q 1 terwijl nog niet het hele woord gelezen is (lleen de letter is gelezen). Deze situtie noemen we dedlock: de erekening kn niet verder, hoewel nog niet lle input gelezen is. Wnneer ccepteert een non-determinstische eindige utomt een woord w? Definitie. De non-deterministische utomt M ccepteert het woord w ls op invoer w er een erekening is die stopt in een eindtoestnd wrij hete hele woord gelezen is. Een erekening die de hele invoer consumeert en eindigt in een eindtoestnd noemen we ook wel een succesvolle of ccepterende ereking. Dus: ls de erekening stopt in een dedlock, is dit geen succesvolle erekening. Lten we ook even precies definiëren wt een non-deterministische eindige utomt is en wt de tl is die zo n utomt ccepteert. 8

10 1.18. Definitie. Een non-deterministische eindige utomt estt uit de volgende 5 componenten 1. Een eindige verzmeling Σ, het input lfet of de verzmeling vn tomire cties, 2. Een eindige verzmeling Q, de toestnden, 3. Een specile toestnd q 0 Q, de egintoestnd, 4. Een verzmeling specile toestnden F Q, de eintoestnden, 5. Een overgngsreltie δ, die ij iedere toestnd q en d Σ {λ} een verzmeling vn toestnden X geeft. (Als q δ(q, d), dn is er een pijl q d q, dus dit zijn de gelelde pijlen in het digrm vn de utomt). Een non-deterministische eindige utomt wordt soms geschreven ls M := <Σ, Q, q 0, F, δ>. De tl vn M, L(M), is ls volgt gedefinieerd L(M) := {w Σ w wordt geccepteerd door M}. Dus: w L(M) desd er is een erekening vn de utomt M op invoer w die stopt in een eindtoestnd wrij w geheel gelezen is Opgve. 1. G in de ovenstnde non-deterministische utomt M 6 n welke erekeningen er zijn met invoer,, en. 2. Welke vn ovenstnde woorden worden geccepteerd? 3. Beschrijf de tl die M6 ccepteert. 4. Ps M 6 n zodt hij {w w eindigt met } ccepteert Opgve. Bekijk de utomt M 7. λ, λ Μ7,c 1. Welke erekeningen zijn er op invoer, cc, c en λ? 2. Welke vn deze woorden wordt geccepteerd? 9

11 3. Beschrijf de tl die M 7 ccepteert. Kunnen we met non-deterministische utomten meer dn met deterministische utomten? J, we kunnen non-deterministische erekeingen modelleren. Mr kunnen we ook tlen ccepteren die we eerst niet konden ccepteren? Oftwel: Is er een tl L wrvoor we wel een non-deterministische utomt M heen die L ccepteert (L = L(M)), mr wrvoor er geen deterministische utomt M is die L ccepteert (L = L(M )) Het ntwoord is nee: Stelling. Bij iedere non-deterministische utomt M kunnen we een deterministische utomt M mken zodt L(M) = L(M ). De constructie is niet vreselijk moeilijk, mr doen we hier toch niet. We illustreren het met twee vooreelden en dn zien we meteen wrom non-deterministische utomten soms hndig zijn (wnt veel kleiner). Bekijk drtoe de 2 eindige utomten die corresponderen met M 6 en M 7 : M 8 en M 9. Verifieer zelf dt deze utomten inderdd dezelfde tlen ccepteren., M8, c,,c c M9,c Opgve. 1. Mk een non-deterministische utomt voor de tl L = {w {,, c} w eindigt met of w eindigt met cc}. 2. Mk een non-deterministische utomt voor de tl L = {w {,, c} w = vu en v evt en u evt }. 10

12 λ λ c Μ Opgve., M12, λ λ 1. Mk een deterministische utomt die de tl vn M 11 ccepteert. 2. Beschrijf de tl die M 11 ccepteert. 3. Mk een deterministische utomt die de tl vn M 12 ccepteert. 4. Beschrijf de tl die M 12 ccepteert Opgve. 1. Stel dt M 1 een utomt is die L 1 ccepteert en dt M 2 een utomt is die L 2 ccepteert. Mk een non-determinitische utomt die L 1 L 2 ccepteert. (Hint kijk nr vooreeld M 7 oven.) 2. Bewijs dt de klsse vn reguliere tlen gesloten is onder, d.w.z. ls L 1 en L 2 regulier zijn, dn is L 1 L 2 ook regulier. 3. Stel dt M 1 een utomt is die L 1 ccepteert en dt M 2 een utomt is die L 2 ccepteert. Mk een non-determinitische utomt die L 1 L 2 ccepteert. (L 1 L 2 is de tl estnde uit eerst een woord uit L 1 en dn een woor uit L 2, dus L 1 L 2 = {vw v L 1, w L 2 }.) 4. Bewijs dt de klsse vn reguliere tlen gesloten is onder conctentie d.w.z. ls L 1 en L 2 regulier zijn, dn is L 1 L 2 ook regulier. 11

13 1.3. Automten en processen We gn nu met (non-deterministische) utomten processen modelleren. De Boer B stt met een kool K, een geit G en een wolf W n é en zijde vn de rivier en wil nr de overknt. Er is een roeioot, mr dr kn hij mr met hooguit één medepssgier in. Hoe komt hij nr de overknt zonder dt de geit de kool op eet of de wolf de geit opeet? Vooreeld. We modelleren dit door lle goede toestnden (wrij niets misgt) te tekenen en lle mogelijke overgngen n te geven met een pijl die ngeeft wie er in de oot overgn. (Alle pijlen kunnen dus twee knten op, drom he ik ze hier ls een duele pijl getekend.). Je kunt ook lle toestnden tekenen, mr dn wordt de utomt nog groter. BKGW BKW G BK BGW K BW K BGW BKGW BG B BW BG BG BG KW BG BKG W BK G BKW W BGK BG KW B De vrg is nu niet welke woorden geccepteerd worden, mr of er een pd vn egin nr eindtoestnd is. In termen vn tlen zou je dit kunnen formuleren ls: is de tl vn deze utomt leeg? (Dn is het proleem vn de oer onoplosr) Of nders: is er een woord dt geccepteerd wordt door deze utomt? G n dt er oneindig veel oplossingen zijn. G n dt er twee essentieel verschillende optimle oplossingen zijn voor de oer. We zien dt we ovenstnd proleem kunnen oplossen door het ls een utomt te modelleren. We wren op zoek nr een proces en dt lezen we f uit de utomt. Een iets ndere situtie ontstt ls we een proces willen esturen. Deze esturing kunnen we ook modelleren m..v. een utomt en dn kunnen we drn vk l llerlei prolemen flezen Vooreeld. Gegeven een spoor met een spoorwegovergng met utomtische overwegomen. We nemen n dt treinen ltijd vn links nr rechts rijden. Links zit een eind voor de overgng een sensor S 1 die een voorijkomende trein detecteert. Rechts zit n de overgng sensor S 2 die hetzelfde doet. De esturing vn de overgng m..v. de sensoren zou ls volget gemodelleerd kunnen worden met utomt M 9. (D etekent: omen gn dicht; O etekent: omen gn open.) Merk op dt er geen eindtoestnd is: de utomt is nooit klr, wnt we modelleren een (oneindig) proces. De vrg is nu of dit een goede esturing is, nnemende dt de sensoren en overwegomen goed functioneren (en dt er geen treinen vn rechts nr links rijden). Dit is niet het gevl, 12

14 S1 M9 O D S2 wnt het kn fout gn ls er 2 treinen in hetzelfde nvk zitten: ls er n de eerste trein t 1 een tweede trein t 2 voorij S 1 komt, nog voor dt t 1 lngs S 2 komt, dn gt de spooroom open terwijl t 2 nog tussen de 2 sensoren is (en misschien wel ij de spoorwegovergng). Dus de esturing moet verfijnder, om precies te zijn ls volgt: S1 M10 O D S1 S2 q4 S2 Ps zelf de utomt n voor het gevl er ook 3 treinen kort n elkr kunnen rijden. (In het lgemene gevl is het hndig om hiervoor een push-down utomt, ook wel stpelutomt genoemd, te geruiken.) Opgve. Modelleer het volgende proleem (op de mnier vn het BKGW proleem). Er stn 4 soldten, A, B, C en D voor een gmmele rug in het donker en moeten zo snel mogelijk nr de overknt. Ze heen slechts één lmp en de rug kn mximl 2 personen tegelijk drgen. De soldten zijn gewond en lopen niet snel meer: ze heen het volgende ntl minuten nodig om de rug te psseren: A 5, B 10, C 20 en D 25 minuten. 1. Modelleer de toestnden in de utomt. 13

15 2. Modelleer de toestndsovergngen in de utomt. (Houdt ij een pijl ook de tijd ij die zo n overgng kost.) 3. Lees uit de utomt f wt de tijd is die de soldten miniml nodig heen om de overknt te ereiken Opgve. Modelleer de esturing vn een spoorwegovergng met 2 sporen, wr over de voorste de treinen vn links nr rechts rijden (met sensoren S 1 en S 2 en over de chterste vn rechts nr links (met sensoren S 3 en S 4 ). Doe het eerst voor het simpele gevl (wr je nooit 2 treinen in hetzelfde nvk het) en dn voor het moeilijkere gevl. 14

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Inhoud

Inhoudsopgave. Inhoud sopgve 1 Ptronen... 3 2 Vergelijk: tegelptronen... 4 3 Regulier versus context-vrij... 5 4 Lettergrepen: tl met één hnd... 6 5 Bouwpln voor lettergrepen... 7 6 Tlspel met lettergreepstructuur... 8 7 Spiegelwoorden...

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

GBK Leden profiel beheer

GBK Leden profiel beheer GBK Leden profiel eheer Op de nieuwe GBK site kn het eigen leden profiel ijgehouden worden. Op dit profiel kn iogrfische informtie worden ingevoerd, werk kn n een portfolio worden toegevoegd, er kunnen

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Hndleiding edatenq Mndelijkse enquête toerisme en hotelwezen Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistische ngiften in te vullen en door te sturen vi internet.

Nadere informatie

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2)

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2), Universiteit Utrecht http://www.cs.uu.nl/groups/st/ Donderdg 21 decemer 2006 Deeltentmen 1 (vn 2) > Meerkeuze vrgen

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Didactische ondersteuning van theoretische informatica

Didactische ondersteuning van theoretische informatica Didctische ondersteuning vn theoretische informtic Annelotte BOLLEN promotor: Prof. dr. Frnk NEVEN Acdemiejr 2004-2005 Eindverhndeling voorgedrgen tot het ekomen vn de grd licentit in de informtic fstudeervrint

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage Snelstrtgids Access Online: Betlingen en Rpportge Snel op weg met Access Online Voor het geruik vn de pplictie De meest geruikte functies in overzichtelijke stppen Snelstrtgids Access Online: Betlingen

Nadere informatie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Hndreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Inleiding In het projet zij-instroom, onderdeel vn het progrmm Areidsmrkt & Opleiding Zuivelindustrie, is in de periode 2011-2012 onderzoek gedn nr mogelijkheden

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen Discrete Wiskunde D. Bruin J.M. Jnsen Opleiding Hogere Informtic Noordelijke Hogeschool Leeuwrden Nederlndse defensie cdemie, fculteit militire wetenschppen Juni 1999 + oktoer 2013 Discrete Wiskunde 2

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk.

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk. Opgve 1 Je gt nr de winkel en koopt 4 pkken melk vn 1,40 per stuk. Hoeveel etl je in totl? Wt he je met de getllen 4 en 1,40 gedn om het ntwoord te vinden? Hoe doe je dt zonder rekenmhine? Opgve 2 Je gt

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan?

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan? Inhousmten Verkennen Opgve 1 Dit is een kuus met rien vn 1 m lengte. Hoeveel ergt e inhou ervn? Kun je e nm kuieke meter ls eenhei vn inhou verklren? In hoeveel kleinere kuussen is eze kuieke meter vereel?

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder Accenten lok 0 0 De leerlingen leren het optellen vnf een tienvoud in één sprong, ijv. 0. 0 7 de helft minder 7 Bij het rekenen met geld leren de leerlingen edrgen ls,98 fronden. 7 7 minder meer meer 7

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen.

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen. vk Mtshppijleer them Multiulturele smenleving onderwerp Het multiulturele drm vn P. Sheffer ntwoorden ij de vrgen over het rtikel kls Hvo 5 dtum jnuri 2014 1 2 3 4 5 6 7 8 De vrg hoe de slehte werk-, woon-

Nadere informatie

Anti-Spyware Enterprise Module software

Anti-Spyware Enterprise Module software Anti-Spywre Enterprise Module softwre versie 8.0 Hndleiding Wt is de Anti-Spywre Enterprise Module? De McAfee Anti-Spywre Enterprise Module is een invoegtoepssing voor VirusScn Enterprise 8.0i, wrmee de

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Aanvulling oefenboek rijbewijs B 19 e druk

Aanvulling oefenboek rijbewijs B 19 e druk Anvulling oefenoek rijewijs B 19 e druk Deze nvulling is noodzkelijk geworden door npssingen ij het CBR en vernderingen in de wetgeving. Met deze nvulling ij het oek ent u weer up to dte. Tijdens of n

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart.

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart. Route I 1 Flmingo's Flmingo's zeven met hun kromme snvel voedsel uit het wter. Jonge flmingo's heen een rehte snvel. De jonge dieren zeven niet zelf voedsel uit het wter, mr worden door de ouders gevoerd.

Nadere informatie

JOB-monitor 2016 Vragenlijst

JOB-monitor 2016 Vragenlijst JOB-monitor 2016 Vrgenlijst (versie met wijzigingen t.o.v. 2014) JOB in smenwerking met ReserchNed 2015 JOB. Geen vn de mterilen die onderdeel uitmken vn de JOB-monitor 2016 mogen zonder voorfgnde schriftelijke

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29)

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29) shets 10 Bergrede: tweeërlei fundment (7:24-29) A Kernpunten * An het einde vn de Bergrede vergelijkt Jezus de mens met de ouwer vn een huis. Het is een eeld voor wt wij vn ons leven mken en vioor de hele

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD Vershil zl er zijn hv ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4. In

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel.

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel. 15 Ski-eroics Hoofdstuk 15, Pgin 1 vn 5 15.1 Inleiding Het is elngrijk om SneeuwFit triningen gevrieerd te houden. Proeer het nod vn ctiviteiten zo verschillend mogelijk te houden. Een vooreeld hiervn

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding 5. 1 Handgereedschappen Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 138

Inhoud. Inleiding 5. 1 Handgereedschappen Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 138 Inhoud Inleiding 5 1 Hndgereedschppen 10 2 Verindingen 42 3 Elektrische techniek 84 4 Pompen 116 5 Verrndingsmotoren 138 Trefwoordenlijst 183 INHOUD 9 1 Hndgereedschppen 1.1 Opdrcht 1.1 Gereedschppen opzoeken

Nadere informatie

HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014. Informatie & Inspiratie document Met uitleg over het hoe en waarom van de fokwaarden

HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014. Informatie & Inspiratie document Met uitleg over het hoe en waarom van de fokwaarden HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014 Informtie & Inspirtie document Met uitleg over het hoe en wrom vn de fokwrden Missie Al ruim 25 jr ondersteunt ELDA bedrijven in de grrische sector, en het is voor ons een belngrijke

Nadere informatie

Assertiviteit. Agressiviteit

Assertiviteit. Agressiviteit ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en

Nadere informatie

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief

Nadere informatie