Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen

Transcriptie

1 Discrete Wiskunde D. Bruin J.M. Jnsen Opleiding Hogere Informtic Noordelijke Hogeschool Leeuwrden Nederlndse defensie cdemie, fculteit militire wetenschppen Juni oktoer 2013

2 Discrete Wiskunde 2

3 1. EXPRESSIES EXPRESSIES EN HERSCHRIJVINGEN REGELS VOOR EXPRESSIES Opgven BEREKENEN VAN EXPRESSIES Opgven EXPRESSIES IN AMANDA WAARHEIDSWAARDEN (BOOLEANS) Opgven HERSCHRIJFREGELS Opgven INLEIDING FUNCTIONEEL PROGRAMMEREN FUNCTIES De Amnd interpreter Functies met meer resultten en where cluses Functies in functies FUNCTIES MET CONDITIES Opgven ANDERS DAN GETALLEN Wrheidswrden (oolens) Krkters Opgven LIJSTEN & TUPLES Lijsten vn krkters Opgven Tuples LIJST-COMPREHENSIES Opgven ZIP Opgven TYPERING IN AMANDA Typering vn expressies Typering vn functies Typering vn lijsten TOEPASSINGEN VAN LIJSTCOMPREHENSIES Opgven VOORBEELD: CIJFER ADMINISTRATIE Opgven VERWERKEN VOETBALUITSLAGEN DATABASES MBV. LIJSTCOMPREHENSIES Queries over één tel Opgven Suqueries en hulpfuncties Opgven Queries over twee tellen Opgven Complexe queries Opgven ANALYSE VAN TEKSTEN Opgven Ly-out FUNCTIES OP LIJSTEN Ptronen Opgven Ingewikkelder ptronen...39 Discrete Wiskunde 3

4 4. RECURSIE EN INDUCTIE RECURSIE Opgven INDUCTIE Opgven TORENS VAN HANOI Opgven RECURSIEVE BOMEN Opgven Opgven RECURSIEVE DATASTRUCTUREN EN BOMEN ZELF DATASTRUCTUREN MAKEN Opgven BINAIRE BOMEN Functies op omen Afdrukken vn een oom Opgven Binire Zoekomen Opgven HUFFMAN CODERING HUFFMAN BOMEN Opgven CODEER- EN DECODEER-ALGORITMEN VOOR HUFFMAN BOMEN Codeer Decoderen CONSTRUCTIE VAN DE HUFFMAN BOOM EINDIGE AUTOMATEN TALEN EN EINDIGE AUTOMATEN Opgven EEN EINDIGE AUTOMAAT BOUWEN Opgven DETERMINISME Opgven DETERMINISTISCH MAKEN VAN EEN AUTOMAAT Opgven REGULIERE EXPRESSIES Opgven GRAMMATICA S REKENKUNDIGE EXPRESSIES Opgven BACKTRACKING INLEIDING KLEUREN VAN EEN LANDKAART HET ACHT KONINGINNEN PROBLEEM Opgven GULZIGE ALGORITMEN GRAFEN Representties MINIMALE OPSPANNENDE BOOM Het lgoritme vn Kruskl Het lgoritme vn Prim Opgven KORTSTE PAD...84 Discrete Wiskunde 4

5 Het lgoritme vn Dijkstr Opgven Het lgoritme vn Floyd Opgven...87 Discrete Wiskunde 5

6 Discrete Wiskunde 6

7 1. Expressies 1.1 Expressies en herschrijvingen Discrete wiskunde gt over wiskundige structuren en technieken die vn fundmenteel elng zijn voor de informtic. Zols wiskundige eschrijvingen vn de vorm, de syntx, vn progrmmeertlen. Zols wiskundige eschrijvingen vn erekeningen. Zols het wiskundig nlyseren vn complexe dtstructuren en lgoritmen. Een veel geruikte techniek is om een oject te eschrijven met een formule (meestl een expressie genmd) en deze expressie stp voor stp te herschrijven volgens eplde rekenregels. In deze inleidende prgrf ekijken we dt procede voor de ons ekende wiskunde. De siselementen vn gewone wiskunde zijn getllen, punten, lijnen, mtrixen etc. De getllen kunnen we onderscheiden in ntuurlijke getllen (0, 1, 2...), de gehele getllen (... -2, -1, 0, 1, 2...), de reuken (1/2, 3/4..) en de reele getllen (π, 2...). Uit de siselementen kunnen we expressies opouwen m..v. functies zols sin, cos, ln en opertoren zols +, -, *, /. Vooreelden: sin π * (ln 1 + 3) (= 0) (8-2) * (8+2) (= 60) Voor de opertoren gelden llerlei rekenregels zols: (1) x + y = y + x (2) x * y = y * x (3) x * (y + z) = x * y + x * z (4) (x+y) 2 = x * x * y + y 2 (5) (x+y) * (x-y) = x 2 - y 2 Het nut vn de rekenregels is dt we er expressies mee kunnen herschrijven tot een hndiger vorm. Bijvooreeld: (8-2) * (8+2) = = 64-4 = 60 (volgens (5)) (8-2) * (8+2) = 6 * 10 = 60 Vi herschrijvingen kunnen we ook vergelijkingen oplossen: Vooreeld: 2 * x + 4 = 0 2 * x = 0-4 (vn gelijke dingen 4 ftrekken) 2 * x = * 2 * x = 0.5 * -4 x = -2 Discrete Wiskunde 7

8 Vooreeld: x * x - 12 = 0 x * x = 0 (x + 2) 2-16 = 0 (x + 2) 2 = 16 x + 2 = 4 \/ x + 2 = -4 x = 2 \/ x = -6 Vooreeld: x + 2 * y = 8 2 * x - y = 6 (stelsel vn 2 vergelijkingen met 2 onekenden) x = 8-2 * y 2 * (8-2 * y) - y = 6 (invullen in tweede vergelijking) 16-5 * y = 6-5 * y = -10 y = 2 x = 8-2 * 2 = 4 Met herschrijven moet je wel voorzichtig zijn wnt een verkeerde toepssing vn regel (2) is: * = * (x = en y = 2 + 1) Wel correct is: (1 + 2) * (2 + 1) = (2 + 1) * (1 + 2) (x = (1 + 2) en y = (2 + 1)) In het vk discrete wiskunde zullen we llerlei nieuwe wrden estuderen zols wrheidswrden (True, Flse) en lijsten. We zullen de functionele progrmmeertl Amnd estuderen die herschrijven geruikt om dingen uit te rekenen. We zullen formlismen estuderen die de precieze vorm vn expressies eschrijven. Wr het in de wiskunde voorl gt om het edenken vn efficiente lgoritmen voor het oplossen vn numerieke of ruimtelijke prolemen, gt het in de informtic veel meer om de structuur: de vorm vn expressies, de opouw vn progrmm s. 1.2 Regels voor expressies Voor rekenkundige expressies gelden er llerlei regels: * heeft een hogere prioriteit dn +, - - c moet gelezen worden ls: ( - ) - c. Indien we vn de stndrd regels willen fwijken dn geruiken we hkjes: 3 * (4 + 5) 6 - (3-1) Bij + + c mkt het niet uit hoe we de hkjes pltsen: + ( + c) ( + ) + c Discrete Wiskunde 8

9 heen eide hetzelfde resultt. Dit geldt ook voor de * opertor. + en * heten drom ook wel ssocitieve operties. Dit geldt niet voor - en /. - en / heten links-ssocitieve operties, omdt we in - - c de hkjes links moeten zetten: ( - ) - c. Er estn ook rechts-ssocitieve operties. Mchtsverheffing is hier een vooreeld vn. ^ ^ c moet gelezen worden ls ^ ( ^ c) Opgven Opgve 1.1 Zet in onderstnde expressies de hkjes op de juiste plts: 3 * ^ 7 * * ( ) 7 ^ 2-2 ^ 3 Verwijder in onderstnde expressies de overtollige hkjes: (3 * 2) (3 + (6 * 2)) (2 ^ 3) ^ ((5-2) + 1) 1.3 Berekenen vn expressies Je kunt het reultt vn een rekenkundige expressie vk op meerdere mnieren erekenen: (3 + 2) ^ 2 -> 5 ^ 2 -> 5 * 5 -> 25 of (3 + 2) ^ 2 -> (3 + 2) * (3 + 2) -> 5 * (3 + 2) -> 5 * 5 -> 25 of (3 + 2) ^ 2 -> (3 + 2) * (3 + 2) -> (3 + 2) * 5 -> 5 * 5 -> 25 Alle mnieren vn erekenen leiden tot hetzelfde resultt, lleen de eerste mnier gt het snelste. Bij rekenkundige expressies is het ltijd zo dt het resultt onfhnkelijk is vn de mnier vn erekenen. We zullen lter ndere expressies zien wrij het resultt wel fhngt vn de mnier vn erekenen Opgven Opgve 1.2 Discrete Wiskunde 9

10 Op hoeveel mnieren kn erekend worden? Op hoeveel mnieren kn 3 * * 3 erekend worden? Op hoeveel mnieren kn ((2 + 3) ^ 2) ^ 2 erekend worden? 1.4 Expressies in Amnd In de Amnd interpreter kunnen gewone rekenkundige expressies erekend worden. Amnd is in dit opzicht niet meer dn een uitgereide rekenmchine. Amnd geruikt de stndrd regels voor prioriteiten en ssocitie. In Amnd kunnen expressies echter nog veel ingewikkelder zijn. Er kunnen v. functienroepen en lijsten in voorkomen. Hieronder volgen een ntl vooreelden met functienroepen: sqr 3 telop 2 3 sqr sqr (3 + 1) // sqr en telop zijn in een file gedefinieerde functies Omdit goed te kunnen egrijpen moeten we in Amnd extr fsprken mken over proriteiteiten. sqr moeten we lezen ls (sqr 3) + 1. Het toepssen vn een functie op een rgument heeft de llerhoogste prioriteit. telop is een functie met twee rgumenten. Ook voor functies met meerdere rgumenten geruiken we lleen hkjes ls dit echt nodig is: telop etekent (telop 2 3) + 1 telop (2+3) (4+5) -> telop 5 9 -> Wrheidswrden (oolens) Tot dusver heen we lleen expressies met getllen (en functies vn getllen) ekeken. Amnd kent echter ook zgn. wrheidswrden (oolens). Zols getllen worden geruikt om te tellen of fstnden te meten worden de wrheidswrden True en Flse geruikt om n te geven of een uitsprk wr of onwr is. Vooreelden: de rde is rond = True lle zoogdieren kunnen vliegen = Flse De wrheidswrden of eigenlijk de uitsprken kunnen we comineren met de opertoren niet, en, of, ls dn. Vooreelden: Discrete Wiskunde 10

11 niet de rde is rond = Flse de rde is rond en lle zoogdieren kunnen vliegen = Flse de rde is rond of lle zoogdieren kunnen vliegen = True ls de rde is rond dn lle zoogdieren kunnen vliegen = Flse ls lle zoogdieren kunnen vliegen dn de rde is rond = True De uitkomsten vn de opertoren hngen lleen f vn de wrheidswrden vn hun opernden. Met zogenmde wrheidstellen kunnen we de werking vn de opertoren precies vstleggen. p ~p (niet p) T F F T Voor het gemk geruiken we T ls fkorting vn True en F ls fkorting vn Flse. In het vk computerorgnistie wordt hetzelfde gedn met its die dn 0 en 1 heten. p q p /\ q (p en q) T T T T F F F T F F F F p q p \/ q (p of q) T T T T F T F T T F F F p q p -> q (ls p dn q) (-> komt niet voor in Amnd) T T T T F F F T T F F T De tellen voor \/ en -> verschillen mr heel weinig. Het is niet zo moeilijk om te zien dt: p -> q = ~p \/ q We kunnen dit nrekenen met een wrheidstel voor ~p \/ q Discrete Wiskunde 11

12 p q ~p ~p \/ q T T F T T F F F F T T T F F T T Het ntl rijen vn een wrheidstel hngt f vn het ntl vrielen dt erin voorkomt. Als er 1 vriele is dn zijn 2 rijen genoeg. Bij 2 vrielen zijn er 4 rijen. Bij 3 vrielen zijn er 8 rijen. Zols het volgende vooreeld lt zien: p q r p /\ q /\ r (p /\ q /\ r) -> p T T T T T T T F F T T F T F T T F F F T F T T F T F T F F T F F T F T F F F F T Hier is iets ijzonders n de hnd: de uitsprk is ltijd wr ongecht de wrheidswrden vn de vrielen. Zo n uitsprk noemen we een tutologie. Om het ntl hkjes in expressies te eperken geruiken we de conventie dt ~ het sterkst indt, dn /\, dn \/ en ls ltste -> De expressie: p \/ ~q /\ q -> ~p moeten we dus lezen ls (p \/ ((~q) /\ q)) -> (~p) Wrheidswrden spelen een elngrijke rol ij de werking vn computersystemen. True en Fklse corresponderen hier met wel of geen spnning. In essentie zitten er in een microprocessor lleen mr schkkelingen die nd en or uit kunnen rekenen. Alle ndere operties worden hier op teruggevoerd. In het vk Computer Orgnistie komt dit uitgereid n de orde en zl er ook dieper worden ingegn op oolense logic Opgven Opgve 1.3 Bepl n de hnd vn een wrheidstel of de volgende uitsprken tutologien zijn:. p /\ ~p -> q. q -> p \/ ~p c. p -> (q -> p) d. ~p -> p \/ q e. p -> (q -> (r -> ~q)) f. p /\ q -> p \/ q Opgve 1.4 Gegeven zijn de volgende uitsprken: Discrete Wiskunde 12

13 p = het regent q = de zon schijnt Formuleer mv p en q en de logische opertoren de volgende uitsprken:. het regent niet, mr de zon schijnt wel. ls het regent dn schijnt de zon niet c. ls de zon schijnt dn regent het niet d. de zon schijnt of het regent Opgve 1.5 Geef de ontkenning vn de volgende uitsprken:. 10 is groter dn 12. het regent en de zon schijnt c. ik heet Piet of jij heet Kls d. ls het regent dn schijnt de zon niet 1.6 Herschrijfregels Voor de logische opertoren gelden llerlei ekende regels: p /\ q = q /\ p p /\ (q /\ r) = (p /\ q) /\ r p \/ q = q \/ p p \/ (q \/ r) = (p \/ q) \/ r p /\ (q \/ r) = (p /\ q) \/ (p /\ r) Veel mensen onthouden deze regels door /\ te lezen ls * en \/ ls + Er zijn meer regels: T \/ p = T F \/ p = p T /\ p = p F /\ p = F ~p /\ p = F ~p \/ p = T p \/ (q /\ r) = (p \/ q) /\ (p \/ r) ~(~ p) = p p -> q = ~p \/ q ~(p /\ q) = ~p \/ ~q ~(p \/ q) = ~p /\ ~q (ls dn regel) (regel vn De Morgn) (regel vn De Morgn) Let er ij de regels vn De Morgn op dt /\ verndert in \/ en ndersom! We kunnen de regels geruiken om expressies te vereenvoudigen. Discrete Wiskunde 13

14 p /\ q -> p = (ls dn regel) ~(p /\ q) \/ p = (De Morgn) (~p \/ ~q) \/ p = ~p \/ ~q \/ p = ~p \/ p \/ ~q = T \/ ~q = T Dus p /\ q -> p is een tutologie. De volgorde wrin de regels werden toegepst is niet willekeurig. Vk is het hndig om lle -> weg te werken met de ls dn regel en drn ~ innen hkjes te werken met De Morgn. Nog een vooreeld: ~(p -> q) -> p = (ls dn regel) ~(~(p -> q)) \/ p = (p -> q) \/ p = (ls dn regel) (~p \/ q) \/ p = ~p \/ p \/ q = T \/ q = T Alweer een tutologie Opgven Opgve 1.6 Bepl n de hnd vn herschrijving of de volgende uitsprken tutologien zijn:. p /\ ~p -> q. q -> p \/ ~p c. p -> (q -> p) d. ~p -> p \/ q e. p -> (q -> (r -> ~q)) f. p /\ q -> p \/ q Opgve 1.5 Vereenvoudig de volgende uitsprken:. (p \/ q) /\ ~p. ~(p -> q) -> p c. (~p -> ~q) -> (q -> p) d. (p -> q) -> (~q -> ~p) Discrete Wiskunde 14

15 2. Inleiding Functioneel Progrmmeren In dit hoofdstuk geven we een inleiding in Functioneel Progrmmeren. We geruiken hiervoor de functionele progrmmeertl Amnd. Functionele progrmmeertlen onderscheiden zich vn de 'gewone' progrmmeertlen, zols Pscl, C en C++, omdt ze het wiskundige functieegrip ls uitgngspunt geruiken i.p.v. het model vn de computer. De nottie vn Functioneel Progrmmeren sluit drom eter n ij de wiskunde, hetgeen ij dit vk goed vn ps komt. 2.1 Functies De functies zols ze in functioneel progrmmeren geruikt worden lijken veel op de functies zols je die ij wiskunde het gehd: verhoog x = x + 1 De functie verhoog heeft een rgument x en heeft ls resultt x + 1. Wt zijn de verschillen met de functies die je ij wiskunde gewend ws. 1. We geven de functie een nm die de lding dekt i.p.v. f, g of h. De nm moet met een kleine letter eginnen. 2. Het rgument vn de functie stt niet tussen hkjes; dus geen verhoog(x)=x+1. De reden om het rgument niet tussen hkjes te zetten is een prktische, je wilt gewoon zo weinig mogelijk typen! Hkjes worden lleen geruikt ls dit nodig is om de etekenis goed te egrijpen. Nu nog wt terminologie: 1. verhoog heet de nm vn de functie 2. x heet de nm vn het rgument 3. x + 1 heet de definiërende expressie vn de functie De definiërende expressie vn een functie mg een willekeurige rekenkundige expressie zijn wrin de rgumenten mogen voorkomen. Een functie mg ook meerdere rgumenten heen. gem x y = (x + y) // 2 gem erekent het gemiddelde vn de getllen x en y. Ook ls er meerdere rgumenten zijn geruiken we geen hkjes n de linkerknt vn de functiedefinitie. In de definiërende expressie vn deze functie (x+y) // 2 heen we wel hkjes nodig vnwege de hogere prioriteit vn // oven +. In Amnd is // deling voor reële getllen. / is deling voor gehele getllen en wordt ook wel met div ngeduid. Discrete Wiskunde 15

16 Dus: 10 // 3 = / 3 = 3 10 div 3 = De Amnd interpreter Tijdens het werkplts heen we l kennisgemkt met de Amnd interpreter. Vn de Amnd interpreter estn verschillende versies. Als we in dit diktt een vooreeld willen geven vn een expressie die geëvlueerd wordt dn doen we dit ls volgt: > 3 * Op de eerste regel voorfgegn door een > stt de expressie die geëvlueerd moet worden, op de regel drn het resultt. Functie definities stn in een file. Deze kunnen in de Amnd omgeving gelden worden Functies met meer resultten en where cluses. We gn nu eens een wt meer ingewikkelde functie ekijken. Een functie die de nulpunten vn een tweedegrds polynoom erekent. Dit gt m..v. de c-formule. In eerste instntie definiëren we twee functies, voor iedere wortel één. Als rgumenten voor deze functie geven we de coefficiënten, en c. x1 c = (- - sqrt (^2-4 * * c) // (2 * ) x2 c = (- + sqrt (^2-4 * * c) // (2 * ) Het zou frier zijn ls we een functie hdden die eide resultten in een keer oplevert. Dit kn m..v. zogenmde tuples. Een tuple is een expressie estnde uit meerdere expressies tussen hkjes en gescheiden met komm's. Vooreelden: (1,2) is het tuple estnde uit de getllen 1 en 2. (5,7,3,3*4) is het tuple estnde uit de getllen 5, 7, 3 en de expressie 3 * 4. Typ in Amnd zelf ook een ntl tuples in en kijk wt er geeurt ls je ze evlueert. We definiëren nu een nieuwe functie die eide nulpunten vn een tweedegrds polynoom erekent en het resultt oplevert in een tuple: x12 c = ((- - sqrt (^2-4**c) // (2*), (--sqrt (^2-4**c) // (2*)) Deze functiedefinitie heeft een ndeel: de expressie sqrt (^2-4**c) moet twee keer worden uitgerekend. Dit kn voorkomen worden door een zgn. where cluse te geruiken. x12 c = ((- - wd) // (2*), (- + wd) // (2*)) where wd = sqrt (^2-4 * * c) Discrete Wiskunde 16

17 Op deze mnier wordt sqrt (^2-4**c) mr één keer uitgerekend en is ook de definitie overzichtelijker geworden. Let op: In de definitie vn x12 is er nog geen rekening mee gehouden dt de discriminnt wel eens negtief kn zijn Functies in functies In de definitie vn een functie mg ook geruik gemkt worden vn ndere functies: vfunctie n = verhoog n * 2 > vfunctie 4 10 verhoog n * 2 moet hier gelezen worden ls (verhoog n) * 2. Toepssing vn een functie op een rgument gt voor iedere ndere oppertie. Wil je eerst vermenigvuldiging met 2 en drn ps verhogen, dn moet je hkjes pltsen: vfunctie2 n = verhoog (n*2) 2.2 Functies met condities Vk is het resultt vn een functie fhnkelijk vn een conditie. Neem v. de functie die de solute wrde vn een getl erekent. Dit is het getl zelf ls het getl positief is en - getl ls het getl negtief is. In Amnd wordt dit nu: s x = x, if x >= 0 = - x, if x < 0 In deze definitie moeten de = tekens precies onder elkr stn. Een lterntieve definitie die hetzelfde resultt oplevert: s x = x, if x >= 0 = -x, otherwise otherwise geruik je ls de conditie er niet toe doet. In het tweede gevl is dit zo omdt een niet positief getl utomtisch negtief is. Achter if stt een zgn. wrheidsexpressie die True of Flse oplevert. Deze mg ook ingewikkelder zijn. Een nder vooreeld vn een functie met condities: f n = 1, if x > 0 /\ x < 5 = 2, if x >= 5 /\ x < 10 = 3, otherwise Een nder vooreeld vn een functie geseerd op een conditie (let op: mx2 is l gedefinieerd in Amnd): Discrete Wiskunde 17

18 mx2 x y = x, if x >= y = y, otherwise Opgven Opgve 2.1 Definieer een functie mx3 x y z, die het mximum vn x, y en z oplevert. Opgve 2.2 Definieer een functie grootsteverschil x y z, die het mximum vn de verschillen tussen x, y en z oplevert. 2.3 Anders dn getllen Tot dusver heen we lleen functies ekeken die getllen ls rgument en resultt heen. Om echt interessnte progrmm's te mken moeten we ook met ndere zgn. dt typen kunnen werken. Vooreelden vn deze dttypen zijn krkters (v letters), wrheidswrden (True en Flse), en strings (v. nmen) Wrheidswrden (oolens) Hiervn heen we l vooreelden gezien ij functies met condities. Een functie kn echter ook True of Flse opleveren (denk om de hoofdletters). kleinerdn3 x = x < 3 > kleinerdn3 5 Flse > kleinerdn3 2 True Krkters Dit zijn 256 tekens wrmee onder ndere teksten zijn opgeouwd. Er zijn zichtre en onzichtre krkters. Zichtre krkers zijn (onder ndere):!" %^&*()_+-=[]{};:'@#~/?.>,<\ zAB..Z Onzichtre krkters zijn v: sptie, regelovergng, t, el etc. Een krkter wordt in een functie genoteerd ls zijn wrde tussen quotes: '', '', '1'. Dit wordt gedn om een krkter te onderscheiden vn een functie- of rgument-nm! Voor onzichtre krkters estn er veell specile notties: '\n' voor een regelovergng, '\t' voor een t, etc. Let op: Mk goed onderscheid tussen v. 0 (het getl nul) en '0' het krkter nul. Getllen kun je optellen, krkters niet. Discrete Wiskunde 18

19 Ieder krkter heeft een specile wrde, zijn zgn. scii code. Deze code is stndrd (dus hetzelfde voor lle computer systemen). Amnd heeft een tweetl functies om met scii codes te kunnen werken: code en decode. code levert voor een krkter zijn scii code. decode geeft voor een code het ijehorende krkter. > code '' 97 > decode 97 '' Dmv. deze codering is er ook een volgorde gedefinieerd op krkters: er geldt voor twee krkters x en y, x < y ls code x < code y. Angezien letters en cijfers in de 'goede' volgorde gecodeerd zijn levert dit geen conflikten op Opgven Opgve 2.3 Definieer de functie iseven die een getl ls rgument heeft en True oplevert ls het getl even is en Flse ls het oneven is (denk n mod (%)). Opgve 2.4 Vergelijk de scii codes vn '' en 'A', '' en 'B' etc. Bedenk nu een functie kletter die vn een hoofdletter een kleine letter mkt. Opgve 2.5 Definieer een functie isletter die gegeven een krkter ngeeft of dit een letter is:..z of A..Z. Doe hetzelfde voor cijfers. 2.4 Lijsten & Tuples Rijen vn gelijksoortige dingen heten lijsten. Lijsten worden genoteerd tussen [ en ], wrij de elementen gescheiden zijn door komm's. [1,2,3,6,3,9] [True,Flse,True] ['d','i','c','k'] [] (lege lijst) Let erop dt er lleen gelijksoortige dingen in een lijst mogen. Dus: [1,True], ['',3,4] zijn niet toegestn. De elementen in een lijst zijn genummerd vnf 0. Om het i-de element in een lijst te selecteren geruiken we de! opertor: > [4,2,6]! 0 4 > [4,2,6]! 2 Discrete Wiskunde 19

20 6 De # opertor geeft het ntl elementen vn een lijst: > # [1,2,3] 3 Mv. ++ kunnen twee lijsten n elkr geplkt worden: > [1,2] ++ [3,4] [1,2,3,4] > ['',''] ++ ['c','d'] ['','','c','d'] Let erop dt de lijsten vn dezelfde soort zijn! Met -- erekenen we het verschil vn twee lijsten. > [1,2,3,4,5,6] -- [4,2,3] [1,5,6] Let goed op ij de volgende vooreelden: > [1,1,2,2,3,3,3,3] -- [1,2,3] [1,2,3,3,3] elk element uit de tweede lijst wordt mr een keer verwijderd. > [1,2,3,4,5] -- [3,6] [1,2,4,5] met 6 geeurt niets De : opertor wordt geruikt om een element n het egin vn een lijst te plkken. > 3 : [4,5] [3,4,5] Ntuurlijk hdden we dit ook met [3] ++ [4,5] kunnen ereiken. Het geruik vn : is echter efficiënter en verdient drom de voorkeur. Er estn een ntl nuttige functies op lijsten. We geven hier lleen vooreelden vn het geruik: > tke 3 [5,6,7,8,9,1,2] [5,6,7] > drop 3 [5,6,7,8,9,1,2] [8,9,1,2] > hd [1,2,3] 1 > tl [1,2,3] [2,3] Discrete Wiskunde 20

21 hd en tl (hed en til) zijn niet gedefinieerd voor lege lijsten. tke en drop zijn complementir. Als xs een lijst is en n een getl, dn geldt er: tke n xs ++ drop n xs = xs Voor lijsten estn een ntl hndige fkortingsnotties: > [1..10] [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] > [2,4..10] [2, 4, 6, 8, 10] > [7,6..1] [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] Let op: Lijsten kunnen ook oneindig zijn: > [1..] [1,2,3,4,5,6,7,8,9,.. etc Oneindige lijsten kunnen hndig zijn in expressies wrin mr een (eindig) deel vn de lijst geruikt wordt. > tke 20 [1..] [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20] Andere hndige voorgedefinieerde functies op lijsten zijn: > sum [1,2,3,4] 10 > prod [1,2,3,4] 24 > min [4,1,2,6,7] 1 > mx [4,5,7,3,1,2] 7 > nd [1 < 2,4 < 9] True > or [8 < 2,4 < 9] True De functie prod kunnen we geruiken om n! (fculteit) te erekenen. n! is gedefinieerd ls 1 * 2 *.. * n In Amnd wordt dit: fc n = prod [1..n] Discrete Wiskunde 21

22 2.4.1 Lijsten vn krkters Voor lijsten vn krkters is er een ijzondere nottie: ['','','p'] mg ook worden geschreven ls: "p". Lijsten vn krkters worden ook wel strings genoemd en deze spelen een elngrijke rol in veel computer progrmm's. Veel operties en functies voor lijsten gelden ook voor strings! Opgven Opgve 2.6 Welke vn de ovenstnde functies gelden niet voor strings? Tuples Lijsten geruiken we om elementen vn dezelfde soort te groeperen. Willen we elementen vn verschillende soort groeperen dn geruiken we tuples. We zijn tuples l eerder tegengekomen: (1,True), ('',1',Flse) Tuples zijn minder flexiel in het geruik dn lijsten. Je kunt geen tuples n elkr plkken. Ook estn er geen specile functies om elementen uit een tuple te selecteren, ehlve voor twee-tuples (fst en snd). > fst (3,4) 3 > snd (3,4) 4 Je kunt eenvoudig functies op tuples definiëren dmv. ptronen: fst3 (x,y,z) = x snd3 (x,y,z) = y thd3 (x,y,z) = z Op het geruik vn ptronen in functie definities zullen we lter nog terugkomen. Tuples heen dus een veel minder krchtige functionliteit dn lijsten en worden dn ook voornmelijk geruikt om resultten te groeperen, zols in het vooreeld vn de nulpunten vn een tweedegrds polynoom. 2.5 Lijst-comprehensies Lijsten zijn we l eerder tegengekomen. Amnd evt krchtige operties op lijsten, de zgn. lijst-comprehensies. We geven weer een ntl vooreelden om dit egrip te introduceren: Discrete Wiskunde 22

23 > [2*x x <- [3,4,1,6]] [6, 8, 2, 12] Lees dit ls: de lijst vn lle wrden 2 * x, wrij x komt uit de lijst [3,4,1,6]. Andere vooreelden: > [x+2 x <- [1..10]] [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] > [3 x <- [1..10]] [3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3] Een iets ingewikkelder vooreeld: > [x x <- [1..10]; x mod 2 = 0] [2, 4, 6, 8, 10] Lees dit ls: de lijst vn lle wrden x, wrij x komt uit de lijst [1..10] en wrij x voldoet n x mod 2 = 0 (x is even). > [3*x x <- [1..10]; x mod 2 = 0] [6, 12, 18, 24, 30] Lees dit ls: de lijst vn lle wrden 3 * x, wrij x komt uit de lijst [1..10] en wrij x voldoet n x mod 2 = 0 (x is even). Nu even wt terminologie: x <- [1..10] heet een genertor. x mod 2 = 0 heet een conditie. An de linkerknt vn de pijl in een genertor moet een vriele stn, n de rechter knt een expressie die een lijst oplevert. In deze expressie mogen vrielen uit eerdere genertoren voorkomen. De conditie is een expressie die True of Flse oplevert en wrin vrielen uit eerder gedefinieerde genertoren kunnen optreden. Er mogen in een lijst-comprehensie est meerdere genertoren en condities voorkomen. > [x + y x <- [1..3]; y <- [7..9]] [1+7,1+8,1+9, 2+7,2+8,2+9, 3+7,3+8,3+9] (dit is een tussenstp) [8,9,10,9,10,11,10,11,12] We zien hier dt de tweede genertor 3 keer herhld wordt, voor iedere wrde uit de eerste genertor een keer. De tweede genertor loopt het hrdst. Mv. lijstcomprehensies kunnen velen progrmmeerprolemen opgelost worden. We zullen hiervn in dit vk nog veel vooreelden tegenkomen. Het eerste vooreeld dt we ekijken is het volgende: Discrete Wiskunde 23

24 Geef lle drietllen (x,y,z) tussen de 1 en 32 zodt: x - y = 6, z + x = 17 en y * z = 18. Mv. een lijstcomprehensie los je dit proleem in één regel op: [(x,y,z) x <- [1..32]; y <- [1..32]; z <- [1..32]; x - y = 6; z + x = 17; y * z = 18] Vrg Hoeveel cominties vn (x,y,z) worden er in deze lijstcomprehensie uitgeproeerd? Bovenstnde lijstcomprehensie geeft ons wel de juiste oplossing voor ons proleem, mr is niet erg efficiënt. Immers ls voor x een wrde gekozen is, dn liggen y en z l vst omdt: x - y = 6 en z + x = 17. We pssen onze lijstcomprehensie hiervoor n: [(x,y,z) x <- [1..32]; y <- [x - 6]; z <- [17 - x]; y * z = 18] We zien hier twee genertoren met een lijst met slechts een element: y <- [x - 6] en z <- [17 - x]. Hiervoor estt in Amnd een specile nottie: y := x - 6 en z := 17 - x. Onze lijstcomprehensie wordt nu: [(x,y,z) x <- [1..32]; y := x - 6; z := 17 - x; y * z = 18] Vrg Hoeveel keer efficiënter is de tweede oplossing? Opgven Opgve 2.7 Wt is er fout in onderstnde oplossingen vn ovengenoemde puzzel? [(x,y,z) x <- [1..32]; x - y = 6; y <- [1..32]; z <- [1..32]; z + x = 17; y * z = 18] [(x,y,z) x <- [1..32]; y <- x - 6; z <- [17 - x]; y * z = 18] [(x,y,z) x <- [1..32]; y = x - 6; z <- [17 - x]; y * z = 18] Voorl de ltste fout wordt veel gemkt! Opgve 2.8 De stndrd functie memer test of een lijst een epld element evt: > memer [1,2,3] 3 True > memer [1,2,3] 4 Flse Definieer nu zelf mv. een lijstcomprehensie de functie mem die hetzelfde doet ls memer. Definieer de functies nd en or mv. een lijstcomprehensie (tellen!). Opgve 2.9 Definieer mv. een lijstcomprehensie een functie ntldelers n, die voor gegeven n het ntl delers vn n erekent (d is een deler vn n, ls n mod d = 0). Opgve 2.10 Discrete Wiskunde 24

25 Mv. lijstcomprehensies kunnen we echte progrmm s mken. Toepssing telefoonoek: De inhoud vn een telefoonoek kunnen we opsln in een lijst vn tupels estnde uit nm en telefoonnummer: teloek = [("jn",123),("piet",234),...] Definieer nu mv lijstcomprehensies de opzoekfuncties telnr en : telnr : geeft voor gegeven nm (een lijst vn) telefoonnummer(s). : geeft ij telnr de ijehorende (lijst vn) n()m(en). Opgve 2.11 Toepssing gepst etlen: Definieer mv. een lijstcomprehensie de functie inmunten, die gegeven een edrg lle mogelijke 4 tuples (g,k,d,s) (guldens, kwrtjes, dueltjes en stuivers) geeft die smen het edrg vormen. 2.6 Zip Een hndige opertie op lijsten, die vk in lijstcomprehensies geruikt wordt, is zip (rits). Met zip kun je twee lijsten prsgewijs koppelen. > zip ([1,2,3],["p","noot","mies"]) [(1,"p",(2,"noot"),(3,"mies")] Het is hierij niet noodzkelijk dt de lijsten even lng zijn, het resultt is echter nooit lnger dn de kortste lijst. Zip is voorl hndig in comintie met lijstcomprehensies. Bekijk de volgende definitie die het i-de element vn een lijst oplevert: elem n xs = hd [x (x,m) <- zip (xs,[0..]); n = m] Omdt zip zo vk geruikt wordt in lijstcomprehensies is er in Amnd een prte fkortingsnottie voor: elem n xs = hd [x x,m <- xs,[0..]; n = m] zip kn ook hndig zijn wnneer je ieder element uit een lijst met zijn uurmn moet vergelijken. Dit kun je ereiken door de lijst met zijn til te 'zippen'. In het volgende vooreeld wordt zo gecontroleerd of een lijst gesorteerd is: issorted xs = nd [x <= y x,y <- xs,tl xs] In de volgende prgrf zullen we nog een ntl toepssingen vn zip tegenkomen Opgven Opgve 2.12 Discrete Wiskunde 25

26 G n wt het resultt is vn: zip ([1,2,3,4,5],[4..]) Opgve 2.13 Geruik zip in een lijstcomprehensie om te tellen hoe vk, in een lijst vn getllen, een getl precies een groter is dn zijn voorgnger. Opgve 2.14 In een lijstcomprehensie kun je ook een zip nemen vn meer dn twee lijsten. Dit gt op de volgende mnier: [...,,c <- s,s,cs] Geruik dit om te testen hoe vk de lettercomintie "een" in een string voorkomt. 2.7 Typering in Amnd Amnd is een zgn. sterk getypeerde tl. Dit etekent dt iedere expressie en functie een type heeft. Door de sterke typering vn Amnd kunnen veel progrmmeerfouten tijdig door de interpreter worden opgespoord Typering vn expressies Het type vn een expressie is het soort vn de wrde vn de expressie. Amnd kent drie sis types: num, ool en chr. num is het type vn getllen. Iedere rekenkundige expressie heeft dit type. ool is het type vn de wrheidswrden. Iedere oolense expressie heeft dit type. chr is het type vn de krkters zols, etc. Je kunt het type vn een expressie is Amnd opvrgen door chter de expressie :: te typen en drn op enter te drukken. > :: num > 1 = 3 :: ool > chr Omdt er in Amnd ook lijsten gemkt kunnen worden estt er ook het type lijst vn: > [1,2,3] :: [num] Discrete Wiskunde 26

27 > [True,Flse] :: [ool] > [, v ] :: [chr] > p [chr] Er estt ook een type voor tupels: > (1,True) :: (num,ool) Amnd is in stt om fouten in het type vn een expressie op te sporen: > 1 + True incorrect use of: + type1: (num -> ool -> *) type2: (num -> num -> num) ERROR: 1 type error Typering vn functies Iedere functie heeft ook een type. Het type vn een functie is een comintie vn het type vn de rgumenten en het type vn het resultt: verhoog x = x + 1 > verhoog :: num -> num Dit etekent dt het type vn rgument x vn verhoog een getl (num) moet zijn en dt het resultt vn verhoog toegepst op een getl weer een getl is. Als je in Amnd een functie toepst op een element vn een verkeerd type, wordt er een foutmelding gegeven. > inc True incorrect use of: inc type1: (ool -> *) type2: (num -> num) ERROR: 1 type error Nu een vooreeld vn een functie met twee rgumenten: telop x y = x + y > telop:: num -> num -> num Dit is enigszins merkwrdig. Je zou v. num, num -> num verwchten. Amnd ziet een functie vn twee rgumenten ls een functie die toegepst op het eerste element een nieuwe functie oplevert die drn op het tweede rgument kn worden toegepst! num -> num -> num moet je dus lezen ls num -> (num -> num), -> ssocieerd nr rechts. Discrete Wiskunde 27

28 Het toepssen vn een functie op mr een deel vn de rgumenten heet currying (nr H.B. Curry). Currying is vk erg hndig. > mp (telop 3) [1..10] [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] Het eerste rgument vn mp (telop 3) is een gecurryde functie Typering vn lijsten > [1..10]:: [num] > hllo [chr] Voor veel functies op lijsten geldt dt het type vn de elementen vn de lijst er niet toe doet. Dit wordt in Amnd met een * ngegeven. > tke :: num -> [*] -> [*] Voor * kn nu een willekeurig type worden ingevuld. Merk wel op dt voor tke de rgument lijst en de resultt lijst hetzelfde type heen. Discrete Wiskunde 28

29 3. Toepssingen vn lijstcomprehensies Veel wiskundige prolemen zijn vn de soort: G n of lle elementen in een verzmeling voldoen n..., of is er een element in deze verzmeling dt voldoet n..., hoeveel elementen in deze verzmeling voldoen n... Lijstcomprehensies ieden een mogelijkheid dit soort prolemen te verwoorden, wrij we lijsten ls stnd-in voor verzmelingen geruiken: Zijn lle elementen in de verzmeling vs even (een getl g is even ls g mod 2 = 0)? nd [ v mod 2 = 0 v <- vs] Geldt voor lle elementen in de verzmeling vs dt ze groter zijn dn 3 en kleiner dn 20? nd [ v > 3 /\ v < 20 v <- vs] Is er een element in vs dt even is? or [ v % 2 = 0 v <- vs] Nu een wt ingewikkelder vooreeld: Is er voor ieder element v in vs een nder element w in vs zodt: of v = 3 * w of w = 3 * v. In feite lopen hier twee eweringen door elkr heen, lle elementen uit vs moeten n iets voldoen, dus: nd[??? v <- vs] Hierij is??? de voorwrde (tweede ewering), wrn v moet voldoen. Dus is er een element w in vs zo dt: v = 3*w of w = 3 * v: or [v = 3 * w \/ w = 3 * v w <- vs] Deze ltse ewering moeten we dus op de plts vn??? invullen. Totl krijgen we: nd [or [v = 3 * w \/ w = 3 * v w <- vs] v <- vs] Opgven Opgve 3.1 Schrijf lijstcomprehensies voor de volgende eweringen: Geldt voor lle element in vs dt ze een drievoud zijn. Is er een element in vs dt groter is dn 25 en deelr door 18. Voor ieder element v in vs is er een nder element w in vs, dt gelijk is n v. Mw. ieder element komt miniml 2 keer voor. Discrete Wiskunde 29

30 3.2 Vooreeld: Cijfer dministrtie Nu een wt groter vooreeld. Gegeven een lijst vn cijfers voor het vk discrete wiskunde cfs. We willen hier grg wt sttistiek op plegen: Wt is het gemiddelde cijfer? Hoeveel (on)voldoendes zijn er? Hoe vk werd er tussen de 7 en 8 gescoord? Komen er cijfers duel (of meer) voor? gem cfs = sum [c c <- cfs] // # cfs onvoldoendes cfs = # [c c <- cfs; c < 5.5] tussen7en8 cfs = # [c c <- cfs; c >= 7 /\ c <= 8] duel cfs = or [# [k k <- cfs; k = c] > 1 c <- cfs] De eerste 3 uitwerking spreken voor zich, de ltste heeft misschien wt toelichting nodig: Gevrgd wordt of er een cijfer is dt duel voorkomt. Dit etekent dt het een proleem is vn het type: or [??? c <- cfs] Hierij moet??? een test zijn die ngeeft of c meer dn een keer voorkomt. Alle voorkomens vn c in cfs wordt gegeven door: [k k <- cfs; k = c] Nu nog testen of c vker dn een keer voorkomt: # [k k <- cfs; k = c] > 1 Het ltste ingevuld op de plts vn??? geeft nu het gevrgde Opgven Opgve 3.2 Geef verder lijstcomprehensies voor: Hoe vk kwm het cijfer 8 voor. Hoe vk werd het hoogste cijfer ehld. Discrete Wiskunde 30

31 3.3 Verwerken voetluitslgen Gegeven zijn een lijst vn uitslgen vn voetlwedstrijden (v lle wedstrijden tot nu toe gespeeld) en een lijst vn deelnemende tems, in de volgende vorm: uitslgen = [("jx","psv",2,0), (thuisclu, uitclu, doelp voor, doelp tegen) ("go hed", "fc utrecht",0,3),... ] clus = ["jx","feyenoord","psv",...] Bereken nu : Lijst vn wedstrijdpunten (3 voor gewonnen, 1 voor gelijk, 0 voor verloren). Het totl ntl punten per ploeg. Welke ploegen heen thuis nooit verloren? Om de wedstrijdpunten te kunnen erekenen geruiken we een functie die een uitslg omzet in punten voor eide tems: punten (c1,c2,p1,p2) = [(c1,3),(c2,0)], if p1 > p2 = [(c1,1),(c2,1)], if p1 = p2 = [(c1,0),(c2,3)], if p1 < p2 We kunnen nu eenvoudig een lijst vn lle wedstrijdpunten mken: wedstrijdpunten uitslgen = [(c,p) u <- uitslgen; (c,p) <- punten u] We kunnen de wedstrijdpunten ook zonder hulpfunctie in een keer mv. een lijstcomprehensie uitrekenen: wedstrijdpunten uitslgen = [(c1,0) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 < p2] ++ [(c1,1) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 = p2] ++ [(c1,3) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 > p2] ++ [(c2,0) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 > p2] ++ [(c2,1) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 = p2] ++ [(c3,3) (c1,c2,p1,p2) <- uitslgen; p1 < p2] Het is een kwestie vn smk welke oplossing je prefereert. De eerste oplossing is wel korter, mr heeft een hulpfunctie nodig. Nu we de wedstrijdpunten heen, is het eenvoudig het totl ntl punten per clu te erekenen: We moeten informtie per clu heen. Dit etekent een lijstcomprehensie vn de vorm: [??? c <- clus] Hierij is??? een expressie die ons de punten vn clu c levert. De lijst vn punten voor een clu c wordt gegeven door. Discrete Wiskunde 31

32 [p (c1,p) <- wedstrijdpunten uitslgen; c1 = c] Om het totl ntl punten voor een clu te krijgen, moeten we hiervn de som nemen: sum [p (c1,p) <- wedstrijdpunten uitslgen; c1 = c] Het ltste vullen we in op de plts vn???: totlen uitslgen = [(c, sum [p (c1,p) <- wedstrijdpunten uitslgen; c1 = c]) c <- clus] 3.4 Dtses mv. lijstcomprehensies Een tel uit een dtse kn in Amnd worden voorgesteld ls een lijst vn tuples. Queries op een tel kunnen vk geformuleerd worden mv. een lijstcomprehensie. Net ls in SQL worden de queries ps echt interessnt ls er gegevens vn meerdere tellen gecomineerd moeten worden. We eginnen ons vooreeld met een tel vn persoongegegevens. Om de leesrheid te vergroten voeren we eerst een ntl nieuwe typen in. Dit kn op de volgende mnier: nieuwe nm == estnd type Voor onze eerste tel definiëren we de volgende nieuwe typen: nm == [chr] dres == [chr] woonplts == [chr] leeftijd == num persoon == (nm,dres,woonplts,leeftijd) personen :: [persoon] personen = [("Piet Augustein","de Kwkel 23","Leeuwrden",18), ("Freek de Boer","Besterdyk 23","Sneek",23), ("Jcoien Bosch","Hegedyk 53","Bolswrd",21), ("Richrd Boum","Tjerkepd 12","St. Annprochie",20), ("Cornelis vd Heide","Buorren 3","Ferwerd",19), ("Piet de Jong","Tongerwei 4","Birdrd",21), ("Sytze Lemstr","Oude dyk 78","Leeuwrden",19) ] De tweede tel is de resultten tel: vk == [chr] cijfer == num stp == num resultt == (nm,vk,cijfer) resultten :: [resultt] resultten = [("Piet Augustein","Discrete Wiskunde",6), Discrete Wiskunde 32

33 ("Piet Augustein","Computer Orgnistie",7), ("Piet Augustein","Progrmmeren 1",5), ("Piet Augustein","Dtse systemen 1",6), ("Piet Augustein","Project 1",8), ("Freek de Boer","Discrete Wiskunde",7), ("Freek de Boer","Computer Orgnistie",9), ("Freek de Boer","Progrmmeren 1",6), ("Freek de Boer","Computer Orgnistie",8), ("Freek de Boer","Telemtic I",7), etc. ] Als ltste tel heen we de vkgegevens: vkgegeven == (vk,stp) vkken :: [vkgegeven] vkken = [("Discrete Wiskunde",3), ("Computer Orgnistie",3), ("Progrmmeren 1",4), ("Dtse systemen 1",4), ("Project 1",7), ("Telemtic I",3), ("Informtie Anlyse",3)] Queries over één tel We gn nu queries formuleren. We eginnen met eenvoudige queries over één tel. Lijst vn resultten (Nm en Cijfer) voor het vk Discrete Wiskunde resdiwi = [(nm,cijfer) (nm,vk,cijfer) <- resultten; ] vk = "Discrete Wiskunde" Nmen vn studenten uit Leeuwrden: nmleeuw = [nm (nm,dres,woonplts,leeftijd) <- personen; ] woonplts = "Leeuwrden" Voor de leesrheid is het eter om de tuple velden wrin we niet zijn geïnteresseerd te vervngen door een streepje: nmleeuw = [nm (nm,_,woonplts,_) <- personen; woonplts = "Leeuwrden" ] Opgven Opgve 3.3 Formuleer queries voor: Discrete Wiskunde 33

34 Hoogste cijfer voor Informtie Anlyse Suqueries en hulpfuncties Net ls in SQL is het soms noodzkelijk om een query innen een query te geruiken. Vooreeld: Wt is het vk met de meeste studiepunten? mxstp = [(vk,stp) (vk,stp) <- vkken; stp = mxstp ] where mxstp = mx [stp (_,stp) <- vkken] Een lterntief zonder where cluse is: mxstp = [(vk,stp) (vk,stp) <- vkken; ] stp = mx [stp (_,stp) <- vkken] Het ndeel vn de ltste functie is dt mx [stp (_,stp) <- vkken] steeds weer opniew wordt uitgerekend. De eerste formulering verdient drom de voorkeur (ook vnwege de leesrheid). We zien dus dt we hier de suquery ls een hulpfunctie reliseren. Bij complexere queries is het vk verstndig het resultt op te ouwen mv. een ntl hulpfuncties Opgven Opgve 3.4 Welke student heeft het hoogste cijfer? Queries over twee tellen Bij queries over twee tellen moet er vk een join gemkt worden. Binnen een lijstcomprehensie ziet dit er in de regel ls volgt uit: [result_expr t1 <- tle1; t2 <- tle2; join_conditie; overige condities ] Als eerste vooreeld: de resultten vn de studenten uit Leeuwrden [(nm,vk,cijfer) (nm,_,woonplts,_) <- personen; (nm2, vk, cijfer) <- resultten; nm = nm2; woonplts = Leeuwrden ] Discrete Wiskunde 34

35 3.4.6 Opgven Opgve 3.4 Studiepunten voor de vkken ehld door Cornelis vd Heide Complexe queries Bij complexe is het meestl hndig eerst een ntl hulptellen(functies) te definiëren voor deelresultten. Vooreeld: Het vk met de meeste onvoldoendes. Mk hiertoe eerst een hulptel: vkonvoldoendes met ls type: [(vk,num)], wrin het tweede veld het ntl onvoldoendes voor het vk uit het eerste veld geeft. vkonvoldoende = [(vk,count) (vk,_) <- vkken; count := # [cijfer (_,vk2,cijfer) <- resultten; vk = vk2; cijfer < 5.5 ] ] meesteonvoldoendes = [vk (vk,o) <- vkonvoldoende; o = meesteon] where meesteon = mx [o (vk,o) <- vkonvoldoende] Opgven Opgve 3.5 Welke student heeft de meeste studiepunten ehld. 3.5 Anlyse vn teksten Gegeven is een tekst in de vorm vn een string (lijst vn krkters). We willen grg een sttistische nlyse op de tekst plegen. Eerst een ntl eenvoudige zken: Mk een histogrm vn de verschillende letters. Het resultt moet zijn een lijst vn tuples vn letter en het ntl keer dt de letter voorkomt. v: het ntl keren dt '' in een tekst voorkomt: # [c c <- tekst; c = ''] Voor lle letters wordt dit nu: histogrm tekst = [(c,# [k k <- tekst; k = c]) c <- "cdefghijklmnopqrstuvwxyz"] Nu een wt lstiger proleem: Hoe vk komt de comintie "de" voor? Discrete Wiskunde 35

36 Hiervoor estn verschillende oplossingen. Eerst een ntl 'dure' oplossingen: # [i i <- [0..#tekst-2]; tekst! i = 'd' /\ tekst! (i+1) = 'e'] # [i i <- [0..#tekst-2]; tke 2 (drop i) tekst = "de"] En dn nu de efficiente (en friere) oplossing mv. zip. We zippen hiertoe tekst met tl tekst, wrdoor we een lijst vn pren vn een krkter en zijn opvolger in de tekst krijgen: # [(c1,c2) c1,c2 <- tekst, tl tekst; c1 = 'd' /\ c2 = 'e'] Nog wt lstiger: Hoeveel woorden evt de tekst. Om dit proleem op te kunnen lossen, moeten we ons eerst reliseren wt een woord is. Woorden worden gescheiden door interpunctie tekens. Dit zijn: sptie, punt, komm en puntkomm. Het is echter niet voldoende het ntl interpunctie tekens in een tekst te tellen, omdt er est meerdere spties chter elkr kunnen stn. Dit kunnen we ondervngen door niet het ntl interpunctie tekens te tellen, mr cominties vn een interpunctie teken gevolgd door een niet interpunctie teken. Dus v: (' ', 'd') of ('.','e'). Hiertoe zippen we de tekst weer met zijn tl. # [(c1,c2) c1, c2 <- tekst,tl tekst; interpunctie c1 /\ ~ (interpunctie c2)] De functie interpunctie kunnen we ls volgt definiëren: interpunctie c = memer " ;,." c ~ etekent niet. Op deze mnier vergeten we echter het eerste woord, tenminste, ls er een eerste woord is. Dit komt omdt er n het eerste woord geen interpunctieteken voorf gt. Dit kunnen we ondervngen door n het egin vn de tekst een 'kunstmtig' interpunctieteken te zetten: # [(c1,c2) c1, c2 <- '.' : tekst, tekst; interpunctie c1 /\ ~ (interpunctie c2)] Let op: tl in het tweede rgument vn de zip komt nu te vervllen! Opgven Opgve 3.6 Schrijf een lijstcomprehensie voor: welke letter komt het meeste voor. Hieroven heen we het ntl keren dt "de" in een tekst voorkwm geteld. Tel nu eens het ntl keren dt het woord "de" voorkomt in de tekst. Lstig: Wt is de lengte vn het lngste woord. Tip mk eerst functies voor het egin en eind vn ieder woord. Discrete Wiskunde 36

37 3.5.2 Ly-out Als we een lijst vn getllen netjes nst elkr op het scherm willen lten zien, dn moeten we de getllen eerst nr strings converteren. Hiervoor estt in Amnd een specile functie ito. Verder he je, om een lijst vn strings n elkr te plkken, de functie conct, die een lijst vn lijsten neenrijgt tot een lnge lijst: > conct [ito n ++ " " n <- [1..10]] Vrg Wrom kn dit niet met: [n ++ " " n <- [1..10]]? Opgve 3.7 Definieer de functie histogrm xs die voor een lijstje vn getllen een histogrm uitprint. > histogrm [3,1,5,8,2,3] **** ** ****** ******** *** **** Het zou nog mooier zijn ls we n ieder rijtje sterren het ijehorende getl voorf lten. Een prolem hierij echter is, dt ls het getl uit meerdere cijfers estt, de lyout vn het histogrm niet meer klopt: 8: ******** 10: ********** Gelukkig vlt hier wt n te doen. Amnd heeft een drietl uitlijningsfuncties: ljustify, cjustify en rjustify. ljustify n xs, vult de string xs n de rechterknt n met spties tot een lengte n. G zelf n wt cjustify en rjustify doen. Ps nu histogrm n volgens het volgende vooreeld: > histogrm [3,1,5,8,14,2,3] 3 : **** 1 : ** 5 : ****** 8 : ********* 14 : *************** 2 : *** 3 : **** Definieer, gewpend met de kennis uit de vorige opgve, de functie tfel n, die voor gegeven n de tfel vn vermenigvuldiging voor n print: > tfel 4 1 * 4 = 4 2 * 4 = 8 3 * 4 = 12 4 * 4 = 16 5 * 4 = 20 Discrete Wiskunde 37

38 6 * 4 = 24 7 * 4 = 28 8 * 4 = 32 9 * 4 = * 4 = Functies op lijsten We heen l een ntl voorgedefinieerde functies op lijsten ekeken zols: mx, min, sum, prod etc. Verder heen we gezien dt sommige functies mv. een lijstcomprehensie gedefinieerd kunnen worden. Mr dit geldt niet voor lle functies op lijsten. Proeer mr eens v. de functie sum mv. een lijstcomprehensie te definiëren. Als we zelf zo'n functie moeten definiëren, dn gt dit ltijd mv. een zgn. recursieve definitie. Een functie heet recursief ls hij zichzelf nroept. Lten we eens eginnen met de functie die het ntl elementen vn een lijst uitrekent: ntlel xs = 0, if xs = [] = 1 + ntlel (tl xs), otherwise In woorden: Het ntl elementen vn een lege lijst is 0; het ntl elementen vn een niet lege lijst is 1 plus het ntl elementen vn de strt (tl) vn de lijst. Vrg Schrijf mv. deze definitie eens ntlel [1,2,3] uit Ptronen Ipv. met if en otherwise kunnen we in Amnd functies vk ook op een elegntere mnier definiëren. Dit geldt met nme voor recursieve functies. ntlel [] = 0 ntlel (x:xs) = 1 + ntlel xs Dit heet een definitie mv. ptronen. Hier zijn [] en (x:xs) de ptronen. Bij een nroep vn de functie wordt vn oven nr eneden het rgument vn de functie met de ptronen vergeleken. Als het rgument een lege lijst is mtched het eerste ptroon en wordt de eerste definitie uitgevoerd. Voor een niet lege lijst mtched het tweede ptroon. Dit ptroon is hier (x:xs). We heen eerder gezien dt : de opertor is om een element voor n een lijst toe te voegen. Als we lijst met het ptroon (x:xs) mtchen dn wordt het eerste element vn de lijst (hd) geonden n x en de rest vn de lijst (tl) n xs. Dit kn ntuurlijk lleen voor een niet lege lijst, mr dit is ltijd het gevl omdt een lege lijst 'mtched' met het ovenste ptroon. Nu een wt moeilijker vooreeld. We willen grg een definitie geven voor de! opertor. Als we! ls functie schrijven, dn zou een nroep er ls volgt uit zien: elem 3 [1,2,3,4,5,6,7] elem 0 (x:xs) = x elem n (x:xs) = elem (n-1) xs Discrete Wiskunde 38

39 De recursie loopt hier over n, mr we geruiken toch ptronen voor de lijst Opgven Opgve 3.8 Definieer nu zelf de functie sum, die de som vn lle elementen vn een lijst erekent. Definieer mv. ptronen de functies hd en tl. Denk ern, hd en tl zijn niet gedefinieerd voor lege lijsten! G n wt er geeurt ls je elem nroept voor een lege lijst. Proeer nu zelf op recursieve wijze de functies memer, drop, tke, min en mx te definiëren. Lstig: min en mx kunnen wel mv. een lijstcomprehensie gedefinieerd worden, proeer deze definitie te geven. Tip: edenk eerst wt het etekent ls een element het mximum vn een lijst is Ingewikkelder ptronen Ptronen in lijsten kunnen est ingewikkelder zijn dn in het ovenstnde vooreeld. De volgende functie controleert of een lijst is gesorteerd vn klein nr groot: issorted [] = True issorted [x] = True issorted (x:y:xs) = x <= y /\ issorted (y:xs) Het idee hierij is: de lege lijst is gesorteerd een lijst estnde uit een element is gesorteerd een lijst estnde uit miniml twee elementen is gesorteerd ls het eerste element kleiner of gelijk is ls het tweede element en vnf het tweede element de lijst gesorteerd is. We zien hier een tweetl nieuwe ptronen: [x] 'mtched' met een lijst vn lengte precies een, het ene element wordt geonden n x. (x:y:xs) 'mtched' met een lijst vn lengte tenminste 2. Het eerste element wordt geonden n x, het tweede n y en de rest n xs. Opmerking In de tweede regel: issorted [x] = True, komt in het ptroon de vriele x voor die n de rechter knt niet wordt geruikt. In dit soort gevllen mg de vriele door _ vervngen worden. De tweede regel wordt dn: issorted [_] = True In lijstcomprehensies mogen vrielen n de linkerknt vn genertoren, die verder niet geruikt worden, ook worden vervngen door _. herhl n s = [s _ <- [1..n]] Discrete Wiskunde 39

40 Het geruiken vn _ ipv. een vriele nm voorkomt niet lleen het edenken vn nmen, mr zorgt ook voor een etere leesrheid vn progrmm's. Discrete Wiskunde 40

41 4. Recursie en inductie 4.1 Recursie Een recursieve functie is een functie die gedefinieerd is m..v. zichzelf. We heen dr l diverse vooreelden vn gezien: fc 0 = 1 fc n = n * fc (n-1) ntlel [] = 0 ntlel (x:xs) = 1 + ntlel xs issorted [] = True issorted [x] = True issorted (x:y:xs) = x <= y /\ issorted (y:xs) Deze definities heen een vst ptroon: voor een ntl sisgevllen worden directe definities gegeven en voor de ndere gevllen wordt de functie zelf weer ngeroepen mr met prmeters die dichter ij de sisgevllen zijn. Zulke definities leiden ltijd tot een eindige erekening zols uit de volgende vooreelden lijkt: fc 4 = 4 * fc 3 = 4 * 3 * fc 2 = 4 * 3 * 2 * fc 1 = 4 * 3 * 2 * 1 * fc 0 = 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 24 ntlel [1, 2, 3] = 1 + ntlel [2, 3] = ntlel [3] = ntlel [] = 3 issorted [1, 3, 2, 4, 5] = 1 <= 3 /\ issorted [3, 2, 4, 5] = issorted [3, 2, 4, 5] = 3 <= 2 /\ issorted [2, 4, 5] = Flse Er zijn ook wel recursieve definities denkr die niet tot een eindige erekening leiden zols de volgende definitie vn de fculteitsfunctie: fc n = fc (n+1) / (n+1) Het eigenrdige is dt deze definitie in wiskundige zin correct is, mr voor erekeningen tot niets leidt. Nog krsser is de volgende definitie: Discrete Wiskunde 41