Het Poincarévermoeden in dimensie 2 Erik Visse
|
|
- Tine de Vos
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Het Poincrévermoeden in dimensie 2 Erik Visse An het egin vn de eeuw ewees Grigori Perelmn het Poincrévermoeden uit 1904 en loste drmee het eerste milleniumproleem op. Het Poincrévermoeden geeft criteri wrmee men kn controleren of een topologische ruimte homeomorf is n een n-sfeer. Tegenwoordig weten we dt het vermoeden correct is voor lle ntuurlijke getllen n. Perelmns ewijs ws voor n = 3, het op dt moment enige nog openstnde gevl. Hier wordt een ewijs gegeven voor het gevl n = 2. Hiervoor is een klein eetje voorkennis vn topologie hndig, mr ls men ereid is termen zols compct of enkelvoudig smenhngend te negeren, dn is de kern vn het ewijs prim te volgen. Mocht de student deze termen willen egrijpen zonder een college topologie te volgen, dn zijn de docenten ntuurlijk ereid om ze wr nodig toe te lichten. Definitie 1.1. Een oppervlk is een topologische ruimte wrij 1. ieder punt een omgeving homeomorf n de tweedimensionle Euclidische ruimte R 2 heeft, en 2. verschillende punten disjuncte omgevingen heen. Voor wie wt meer voorkennis heeft: een oppervlk is een topologische 2-vriëteit. Vooreeld 1.2. De volgende verzmelingen met hun stndrdtopologieën zijn oppervlkken: () de 2-sfeer S 2 ; () de torus vn genus g, genoteerd met gt 2, de sfeer met g hndvtten ern geplkt; (c) np 2, de sfeer wruit n disjuncte schijven zijn vervngen door een Möiusnd; (d) de fles vn Klein, het specile gevl vn (c) met n = 2. Vn deze oppervlkken is in figuur 1 een representtie gegeven wrij zijden met dezelfde kleur in de ngegeven richting n elkr geplkt moeten worden. () () (c) (d) Figuur 1: Een representtie voor de genoemde oppervlkken. De ngegeven zijden worden geïdentificeerd volgens de quotiënttopologie. Voor () en (c) heen we het gevl met n = 1 weergegeven. Merk op dt in de definitie zit opgenomen dt een oppervlk geen rnd heeft. Voor een oppervlk met rnd vervngt men punt 1 door ieder punt heeft een omgeving homeomorf n R 2 of n het hlfvlk {(x, y) R 2 : x 0}. 1
2 Stelling 1.3 (Poincrévermoeden voor dimensie 2). Zij S een compct, enkelvoudig smenhngend oppervlk. Dn is S homeomorf n de sfeer S 2. Het ewijs vn deze stelling seren we op de volgende, eind-19 e -eeuwse stelling. Stelling 1.4 (Clssifictiestelling). Zij S een compct en smenhngend oppervlk. Dn zijn er drie mogelijkheden: 1. S is homeomorf n S 2 ; 2. S is homeomorf n nt 2 voor een zekere n Z >0 ; 3. S is homeomorf n np 2 voor een zekere n Z >0. Het ewijs vn Stelling 1.3 is nu heel eenvoudig: Bewijs Stelling 1.3. Dit volgt direct doordt de fundmentlgroepen niet trivil zijn, mr π 1 (nt 2 ) = Z 2n en π 1 (np 2 ) = C 2 Z n 1 [1,p.169]. De enige enkelvoudig smenhngende mogelijkheid is dus S 2. Voor het ewijs vn Stelling 1.4 heen we het egrip tringultie nodig en een tweetl lemm s die hiermee gemoeid zijn. De ewijzen hiervn lten we chterwege. Ze kunnen gevonden worden in [3] ls Stellingen 4.12 en Definitie 1.5. Een tringultie vn een oppervlk S is een eindige overdekking met driehoeken vn S zodnig dt twee verschillende driehoeken elkr in 0 of 1 zijde rken. Als ze elkr rken in een zijde, dn vllen deze zijdes geheel smen. Lemm 1.6. Zij S een compct oppervlk. Dn is er een tringultie vn S mogelijk. Lemm 1.7. Is S smenhngend, dn zijn de driehoeken zo te ordenen dt we een lijst (1, 2, 3,..., n) kunnen mken wrij voor lle i {2, 3,..., n} driehoek i een zijde gelijk heeft met driehoek i 1. Merk op dt - omdt onze oppervlkken geen rnd heen - iedere geruikte driehoek in l zijn zijdes n een ndere driehoek grenst. Hiermee heen we voldoende gereedschp om de Clssifictiestelling te ewijzen. Het gegeven ewijs is ook te vinden in [2, sectie 21]. Een vergelijkr ewijs is te vinden in [1, hoofdstuk 7]. Bewijs vn stelling 1.4. Zij S een compct en smenhngend oppervlk. Wegens Lemm 1.6 is er een tringultie mogelijk. Lt dus een tringultie gegeven zijn met de in Lemm 1.7 genoemde ordening. We mken een vlkke representtie vn S ls volgt. Beeld driehoek 1 f op een driehoek in het pltte vlk. Beeld driehoek 2 f op een driehoek in het pltte vlk die n het eeld vn driehoek 1 grenst. Beeld driehoek i f op een driehoek die n het eeld grenst vn driehoek i 1 mr niet n de eelden vn eerdere driehoeken. G zo door tot men lle driehoeken uit de tringultie gehd heeft. We knippen S ls het wre open en vouwen het uit. Vervolgens identificeren we zijdes in de representtie prsgewijs wnneer hun originelen in de tringultie gelijk zijn. Zolng we ijhorende zijdes lijven identificeren mogen we nr hrtelust knippen en plkken in de representtie omdt dit S 2
3 zelf niet ntst; we heen dus geen lst vn het feit dt knippen en plkken geen continue ewerkingen zijn. Met deze representtie zullen we nu lgoritmisch te werk gn om S te clssificeren. We ekijken in de representtie lleen de zijdes n de uitenknt. Een uitenknt estt omdt we slechts met een eindig ntl driehoeken werken. Voor een geïdentificeerd pr zijdes heen we twee mogelijkheden, welke we nu eide een nm zullen geven. De mogelijkheden ontstn door het feit dt de identifictie een oriënttie met zich meerengt. Definitie 1.8. Een gedrid pr is een pr zijdes in de representtie die, ls we de uitenrnd vn de representtie rondlopen, in dezelfde richting geöriënteerd zijn. Een gekruist pr is een pr zijdes in de representtie die, ls we de uitenrnd vn de representtie rondlopen, in onderling verschillende richting geöriënteerd zijn. Zie figuur 2. () () Figuur 2: () Een gedrid pr en () een gekruist pr. Stp I is het elimineren vn ngrenzende gekruiste pren. Dit doen we door zo n pr ls het wre nr innen te vouwen en het pr zijdes n elkr te plkken, zie figuur 3 voor een visuele presenttie. Deze stp zl in het vervolg n iedere ctie herhld worden. Merk op dt het mogelijk is dt we lleen mr ngrenzende gekruiste pren heen. In dt gevl elimineren we het ltste niet en vinden we de representtie vn S 2. Figuur 3: Deze figuur eeldt stp I uit het lgoritme uit. In stp II geven we lle hoekpunten in de representtie een nm, wrij geïdentificeerde hoekpunten ntuurlijk dezelfde nm krijgen. Merk op dt de twee situties fgeeeld in figuur 4 met A B niet kunnen voorkomen. De eerste niet wegens stp I en de tweede niet omdt dn A = B zou gelden. Vervolgens kiezen we een hoofdhoekpunt R en pssen we ls er nog verschillende hoekpunten zijn de volgende techniek toe die het est weergegeven wordt door figuur 5. We kiezen een pd vn R nr in het innenste vn de representtie en knippen de representtie door lngs dit pd. De losgekomen driehoek plkken 3
4 A A B B () () Figuur 4: De figuur geeft de hieroven genoemde onmogelijke situties weer. we vervolgens op een hndige mnier weer n de representtie vst. Merk op dt we vi deze weg een hoekpunt R meer heen gekregen ten koste vn een hoekpunt P. Dit terwijl het totl ntl hoekpunten gelijk is geleven. Door itertie kunnen we zo lle hoekpunten vervngen door hoekpunt R. Om te voorkomen dt in een gekozen pd ndere hoekpunten dn R liggen, vtten we dit pd op ls enkele zijde. Hierdoor ontnemen we onszelf de mogelijkheid ergens in het pd te knippen, mr het lijkt dt we hier zonder kunnen. R P R P P R Figuur 5: Met het hier fgeeelde proces kunnen we ervoor zorgen dt we slechts één hoekpunt in de representtie heen. Stp III noemen we normlistie vn gedride pren. Het houdt in dt we, zo die er is, een niet-ngrenzend gedrid pr nemen en die omvormen tot een ngrenzend gedrid pr. De mnier wrop is ngegeven in figuur 6. Mogelijk zijn we n deze stp klr. We heen in dt gevl lleen ngrenzende, gedride pren en drmee de representtie vn np 2 voor n het ntl pren zijdes. Figuur 6: Door weer slim knippen en plkken kunnen we gedride pren normliseren. 4
5 Voor stp IV, normlistie vn gekruiste pren, heen we een extr inzicht nodig. Lt een willekeurig gekruist pr, zo die er is, gegeven zijn. De ndere zijdes liggen nu in twee tkken. Stel nu dt er geen scheidend gekuist pr is, dt wil zeggen dt er geen gekruist pr is wrvn de één in de ene tk ligt en de nder in de ndere tk. Dn zijn wegens stp I en de nnme eide tkken niet leeg en volgt uit stp III dt iedere tk lleen gehele pren evt. Drmee is er geen recept om de ene tk ergens n de ndere te plkken. Mr dn zijn de hoekpunten in de ene tk verschillend vn de hoekpunten in de ndere tk, hetgeen ongerijmd is met stp II. Er volgt dt er ltijd een scheidend gekruist pr is. In het ijzonder komen gekruiste pren dus in tweetllen voor. Voer nu weer het nodige knip- en plkwerk uit om twee gekruiste pren in de eindvorm vn figuur 7 te rengen. Figuur 7: Met twee keer knippen en plkken vinden we de fgeeelde representtie. Als we n deze stp klr zijn, dn heen we de representtie vn nt 2 gevonden wrij 2n het ntl gekruiste pren is. Als we nog niet klr zijn, dn heen we nog één stp te gn. We heen nu een ntl ngrenzende gedride pren en een even ntl prsgewijs verwikkelde gekruiste pren (i.e. zols n het eind vn stp IV). Stp V estt nu uit vierml knippen en plkken om weer de representtie te vinden vn np 2. Zie figuur 8. We heen hiermee lle mogelijkheden ehndeld en slechts de in de stelling genoemde oppervlkken gevonden. Dit sluit het ewijs. Referenties [1] Armstrong, M.A., Bsic Topology, 1983, Springer Undergrtute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg, New York (origineel 1979 McGrw-Hill Book Compny, Midenhed) [2] Henle, M., A Comintionl Introduction to Topology, 1994, Dover Pulictions, Mineol (origineel 1979 W.H. Freemn & Compny, Sn Frnsisco) [3] Kinsey, L.C., Topology of surfces, 1997, 2 e edititie, Springer Undergrtute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg, New York 5
6 c c Figuur 8: Deze ltste stp is nodig om lle gevllen ehndeld te heen. 6
In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatieopgaven formele structuren procesalgebra
opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatieBekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.
Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004. Contents
Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieHoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieReguliere Expressies en Automaten: Overzicht
Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatieFormeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieZelfstudie practicum 1
Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().
Nadere informatieINTERVIEWEN 1 SITUATIE
INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed
Nadere informatieOm welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?
Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatie6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...
113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatieRouteplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Nadere informatieOpdrachten bij hoofdstuk 2
Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio
Nadere informatieHenk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl
Nadere informatie100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:
Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende
Nadere informatiefonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?
fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel
Nadere informatiePlatte en bolle meetkunde
Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor
Nadere informatieInhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150
Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht
Nadere informatieDeze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.
Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur
Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord
Nadere informatieKrommen en oppervlakken in de ruimte
(HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken
Nadere informatieLineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatieInhoud. Inleiding 5. 1 Handgereedschappen Verbindingen Elektrische techniek Pompen Verbrandingsmotoren 138
Inhoud Inleiding 5 1 Hndgereedschppen 10 2 Verindingen 42 3 Elektrische techniek 84 4 Pompen 116 5 Verrndingsmotoren 138 Trefwoordenlijst 183 INHOUD 9 1 Hndgereedschppen 1.1 Opdrcht 1.1 Gereedschppen opzoeken
Nadere informatieOntleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase
Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering
Nadere informatieDe tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel.
15 Ski-eroics Hoofdstuk 15, Pgin 1 vn 5 15.1 Inleiding Het is elngrijk om SneeuwFit triningen gevrieerd te houden. Proeer het nod vn ctiviteiten zo verschillend mogelijk te houden. Een vooreeld hiervn
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieHoe plan je een grote taak?
3 PLANNEN Hoe pln je een grote tk? Wt heb je n deze les? In deze les leer je hoe je grote tken in stukken opdeelt en over meerdere dgen inplnt. Hndig ls je bijvoorbeeld voor een toets moet leren, wnt zo
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:
Nadere informatiePraktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven
Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde
1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem
Nadere informatieEen feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a
Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten
Nadere informatieNatuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel
Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................
Nadere informatieHoofdstuk 2: Bewerkingen in R
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen
Nadere informatieBreuken en verhoudingen
WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere
Nadere informatie2 De kracht van vectoren
De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)
Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,
Nadere informatieAntwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck
Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt
Nadere informatiewedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)
Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl
Nadere informatieEigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I
Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,
Nadere informatieMerkwaardige producten en ontbinden in factoren
6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieCirkels en cilinders
5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatieWerkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set
Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n
Nadere informatieWiskunde met een telrol. Adriaan Herremans
Wiskunde met een telrol Adrin Herremns drin.herremns@u.c.e 0 Hoe vouw je met een telrol?? Je mkt vouwlijnen op een lnge strook ppier (= de telrol) Begin met een willekeurige vouwlijn Er zijn dn twee soorten
Nadere informatieedatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.
Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde
Nadere informatieja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle
Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatie1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?
CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Nadere informatiePak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.
Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn
Nadere informatieWelke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart.
Route I 1 Flmingo's Flmingo's zeven met hun kromme snvel voedsel uit het wter. Jonge flmingo's heen een rehte snvel. De jonge dieren zeven niet zelf voedsel uit het wter, mr worden door de ouders gevoerd.
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatie1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?
Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.
Nadere informatieANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI , 13:30-16:30
Docent: J. vn de Leur Assistent: J.L. vn der Leer Durn ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI 6 03, 3:30-6:30 Exercise (5 pt) Lt T de torus in R 3 prmetristie zijn die gegeven wordt door de Φ(α, θ) = (( + cos
Nadere informatieOpgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c
Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de
Nadere informatieLespakket Belsimpel.nl
Lespkket Belsimpel.nl Alles over wt een smrtphone kost Met een telefoon kun je heel veel dingen doen, zols gmes spelen, video s kijken, internetten en htten met je vrienden. Een telefoon kost veel geld.
Nadere informatieVerschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD
Vershil zl er zijn hv ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4. In
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieHoofdstuk 3. N gekoppelde oscillatoren. 3.1 De bewegingsvergelijkingen
Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscilltoren 3.1 De bewegingsvergelijkingen We beschouwen ls een systeem vn N gekoppelde oscilltoren vn N puntmss s M die onderling met veren gekoppeld zijn, zols ngegeven in figuur
Nadere informatieRoute F - Desert. kangoeroerat
Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten
Nadere informatieOpgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?
Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:
Nadere informatieHoofdstuk 11. Kwadraatresten Inleiding
Hoofdstuk 11 Kwdrtresten 11.1 Inleiding In Hoofdstuk 6 hebben we geleerd hoe lineire congruentievergelijkingen vn de vorm x b mod M moeten worden ogelost. De volgende st is uiterrd het olossen vn kwdrtische
Nadere informatieAlgemeen. Restweefsel voor medischwetenschappelijk onderzoek
Algemeen Restweefsel voor medischwetenschppelijk onderzoek U bent in het Ersmus MC voor onderzoek en/of behndeling. Soms is het nodig bloed of lichmsweefsel/-vloeistof bij u f te nemen. N fronding vn dit
Nadere informatieProeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen
Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief
Nadere informatieKwadratische reciprociteit
Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete
Nadere informatie11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage
Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:
Nadere informatieHoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid
Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten
Nadere informatieSpiegelen, verschuiven en draaien in het vlak
2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p
Nadere informatieJOB-monitor 2016 Vragenlijst
JOB-monitor 2016 Vrgenlijst (versie met wijzigingen t.o.v. 2014) JOB in smenwerking met ReserchNed 2015 JOB. Geen vn de mterilen die onderdeel uitmken vn de JOB-monitor 2016 mogen zonder voorfgnde schriftelijke
Nadere informatieKennismaken. Wie zitten er bij jou in de klas? 4. Welke afspraken maak jij met je klas? 8
Kennismken 1 2 + + Wie zitten er bij jou in de kls? 4 Welke fsprken mk jij met je kls? 8 Plusopdrcht 11 Thuisopdrcht 12 Meesterproef bij dit hoofdstuk 74 Help je klsgenoot met kennismken! Een nieuw schooljr,
Nadere informatie1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.
Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder
Nadere informatieStyleView Scanner Shelf
StyleView Scnner Shelf User's Guide Mximl gewicht: 2 ls ( kg) SV Crt & Hoofdeenheid Optie - LCD Crts Optie 2 Lptop Crts Optie 3 Rils n de muur Optie 4 Achterknt SV Crt 3 6 7 Reduce Reuse Recycle of 8 Overzicht
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Nadere informatieZwaartepunt en traagheid
Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................
Nadere informatieAssertiviteit. Agressiviteit
ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en
Nadere informatieInhoud Basiswiskunde Week 5_2
Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Nadere informatieHet bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.
Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte
Nadere informatieOver de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek
Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,
Nadere informatie